三角函数中数学思想方法解析

三角函数中数学思想方法解析在三角函数这一章的学习和复习过程中，熟练掌握以下几种数学思想方法，有助于提高同学们灵活处理问题和解决问题的能力。

下面通过例题透视三角函数中的数学思想。

1、数形结合思想三角函数中可利用的图形有两类，即函数图象和三角函数线（单位圆）． 例1 求不等式x x cos sin >在[]ππ,-上的解集。

解析：设x y sin 1=，x y cos 2=，在同一坐标系中作出在[]π,0上两函数图像(如图1)，在[]π,0上解得x x cos sin =的解为4π=x 或43π=x ，故由图像得要使得21y y >，即434ππ<<x ，由于x y sin 1=，x y cos 2=在[]ππ,-上为偶函数，故在[]0,π-上的解为443ππ-<<-x ，得原不等式的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--43,44,43ππππ 。

2、函数与方程的思想方程（或不等式）与函数是互相联系的，利用函数与方程（或不等式）之间的对立统一关系，能进一步提高综合运用知识分析问题和解决问题的能力．例2 试求方程80sin x x =的实根的个数以及所有实根的和．解析 解决这类问题宜从函数的角度来考虑．由80sin x x =得sin 80x x =．∴1180x -≤≤，即2626x ππ-<<． 设()sin f x x =，()(2626)80x g x x ππ=-<<，方程80sin x x =的实根，即是以上两个函数图象交点的横坐标．由于()sin f x x =，()80x g x =均为奇函数，其图象关于原点对称，因此只须画出[0,26)π内的图象．由于()sin f x x =和()80x g x =的单调性，可知在()sin f x x =的任意两个相邻的对称轴之间，这两个函数最多只能有一个交点（见图2），而()sin f x x =的对称轴方程为()2x k k Z ππ=+∈，当026x π<<时，两个函数图象共有25个交点，又由于两个图象均过原点，所以当2626x ππ-<<时，两个图象共有225151⨯+=个交点，即方程80sin x x =共有51个实根．由于这些实根关于原点对称，可知这51个实根之和为0．3、分类讨论思想分类讨论是一种重要的数学思想，它有三个重要的原则，即不越级、不重复、不遗漏． 例3 已知函数()2sin(2)3f x a x b π=-+的定义域为[0,]2π，值域为[5,1]-，求a 和b 的值．解析 因为a 值与函数的单调性有关，所以对a 要分a >0与a <0两种情况进行讨论． ∵02x π≤≤，∴22333x πππ-≤-≤，∴sin(2)123x π≤-≤． ⅰ）当0a >时，则21,5,a b b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩解得1223a b ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩ ⅱ）当0a <时，则25,1,a b b +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1219a b ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩ 例4 已知2sin cos 1θθ-=，求sin cos 1sin cos 1x x x x ++-+的值． 解析 由已知得2sin 1cos θθ=+． ⅰ）若cos 1θ=-，则sin 0θ=，所以sin cos 10sin cos 1x x x x ++=-+； ⅱ）若cos 1θ≠-，则有sin 11cos 2x x =+， 根据半角的正切公式，有sin 1cos tan 21cos sin x x x xθ-==+， 再由等比定理，有sin 1cos 1cos tan 21cos sin sin x x x x x xθ+--==++， 故sin cos 112sin cos 1tan 2x x x x θ++==-+． 综上可知，所求的值为0或2．4、化归（转化）思想要解决一个新问题，常常采用由生疏到熟悉，由复杂到简单等的转化策略，使问题获得解决．转化时要注意问题的等价性．三角公式的应用及三角函数关系式的化简、计算、证明等都体现了转化（化归）思想．特别地，在三角变换解题时的一般思路是：遇切割，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消约，引辅助． 例 5 已知定义域为R 的函数()f x 为奇函数，且在定义域上为单调递增函数，当[0,]2πθ∈时，(cos 23)(42cos )0f f m m θθ-+->恒成立，求实数m 的取值范围． 解析 关于抽象函数的不等式是无法直接解出的，必须根据函数的有关性质转化将其为初等代数不等式．∵(cos 23)(42cos )(2cos 4)f f m m f m m θθθ->--=-，且函数在定义域上单调递增，∴cos 232cos 4m m θθ->-，或2cos cos 220m m θθ-+->，即22(cos )22024m m m θ--+->．又∵[0,]2πθ∈，∴0cos 1θ≤≤． ⅰ）当012m ≤≤，即02m ≤≤时，则22204m m -+->； ⅱ）12m >，即2m >时，则211220m m -⨯+->； ⅲ）当02m <，即0m <时，则200220m m -⨯+->，综上，解得4m ≥-所以当4m ≥-(cos 23)(42cos )0f f m m θθ-+->恒成立．评析 另一方面，由2cos cos 220m m θθ-+->，得2(2cos )2cos m θθ->-． ∵0cos 1θ≤≤，∴12cos 2θ≤-≤，从而有22c o s 222c o s (2c o s )42c o s 2c o s 2c o s m θθθθθθ-->=++=--++---． 通过变量分离，然后利用均值不等式后函数的单调性解之，这样可以避免分类讨论．5、类比思想类比有助于解题．比如，我们常常会把函数()y af bx c =+与()y f x =图象之间的变换和函数sin()y A x ωϕ=+与sin y x =图象之间的变换作一比较．类比的关键是要在不同之中找相同，在相似之中找不同．例6 判断下列函数的周期：（1）|sin |y x =；（2）sin ||y x =；（3）|tan |y x =；（4）|sin 1|y x =+；（5）sin 2cos3y x x =+；（6）|sin ||cos |y x x =+；（7）tan cot y x x =-； （8）sin y x =+．解析 （1）|sin |y x =的周期为π；（2）sin ||y x =无周期性；（注意与（1）的区别；（3）|tan |y x =的周期为π；（注意与（1）的区别，它的周期不是2π，因为函数的间断点之间的距离并未因减半）（4）|sin 1|y x =+的周期为2π；（它的周期也不像（1）那样减半，因为sin 1y x =+的函数值并不关于x 轴对称）（5）sin 2cos3y x x =+无法化为一个角的三角函数，但sin 2y x =的周期是π，cos3y x =的周期是23π，一般地，两个周期函数的和，它仍是周期函数，且其最小正周期是它们的最小公倍数，所以sin 2cos3y x x =+的周期是2π；（6）),[2,2]42),(2,2]42|sin ||cos |()3),(2,2]423),(2,22]42x x k k x x k k y x x k Z x x k k x x k k πππππππππππππππππππ+∈+-∈++=+=∈⎨⎪+∈++⎪⎪⎪-∈++⎩ ，结合图象可知，|sin ||cos |y x x =+的周期是2π． 评析 |sin |y x =和|cos |y x =的周期都是π，但|sin ||cos |y x x =+的周期却不是π．事实上，由诱导公式可得|sin()||cos |2x x π+=，|cos()||sin ||sin |2x x x π+=-=，显然2π是函数|sin ||cos |y x x =+的一个周期，而且是最小正周期． （7）tan cot y x x =-的周期是2π，这是因为 22sin cos sin cos 2cos 2tan cot 2cot 2cos sin sin cos sin 2x x x x x y x x x x x x x x-=-=-==-=-． （注意，当两个函数作差时，其周期就可能不是它们的最小公倍数了）（8）sin y x =+无周期性，因为2π无最小公倍数．（可用反证法证明）．6、整体思想有时从整体的角度解题，可以减少计算量或避免分类讨论，其中比较典型的是关于奇次式的求值问题．例7 已知22sin sin 2()1tan 42k ααππαα+=<<+，试用k 表示sin cos αα-的值． 解析 ∵22sin sin 22sin (sin cos )2sin cos sin 1tan 1cos αααααααααα++==++， ∴2sin cos k αα=．而2(sin cos )12sin cos 1k αααα-=+=+，又42ππα<<，于是sin cos 0αα->，所以sin cos αα-=评析 这里把sin cos αα看作一个整体，从而避免分别求出sin α及cos α的值．7、特殊化（具体化）思想对一些比较复杂或抽象的问题，若先将其特殊化或具体化，可以更容易找到解题思路． 例8 函数()sin()(0)f x M x ωϕω=+>，在区间[,]a b 上是增函数，且()f a M =-，()f b M =，则函数()cos()g x M x ωϕ=+在[,]a b （ ）．A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值M - 解析 解法一：由已知得0M >，22()22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈，故有()g x 在[,]a b 上不单调，且当2()x k k Z ωϕπ+=∈时()g x 可取到最大值M ，答案为C ．解法二：由于()f x 和()g x 两函数图象的相对位置关系不变，所以可令1,0ωϕ==，区间[,]a b 为[,]22ππ-，1M =，则()cos g x x =，由余弦函数的性质得答案为C ． 评述 此题主要考查函数()sin()f x M x ωϕ=+的性质，兼考分析思维能力．要求对基本函数的性质能熟练运用（正用和逆用）；解法二取特殊值可降低难度，简化命题．8、消元的思想方法消元的思想方法在三角函数的求值以及恒等式证明时也是常用的一种方法．例9 已知ABC 的三内角A 、B 、C 满足sin(1802cos(90)A B -- ，)A B =+ ，求角A 、B 、C 的大小．解析 ∵sin(180)90)A B -=- ，∴sin A B =， ①)A B =+ A B =． ②①2+ ②2，得21c o s 2A =，即c o s A =．∵0180A << ，∴45A = 或135A = ．当45A = 时，有cos B =． ∵0180B << ，∴30B = ，180(4530)105C =-+= ．当135A = 时，有1sin 2B =．∴30B = ，180(13530)15C =-+= ． 综上，可知A 、B 、C 的大小为4530105 、、或1353015 、、． 9、逆向思想逆向思想通常是指从问题的反向进行思考，运用于正面考虑繁琐或难以进行时的一种解题思维策略，正确使用这种策略，往往能问题绝处逢生，找到求解的新途径。