三角函数中的数学思想方法
高中三角函数中基本数学思想论文
浅析高中三角函数中的基本数学思想摘要：基本数学思想在高中数学教学过程中占有重要地位，所以我们要将这种数学思想贯彻到整个高中数学教学过程中。
而三角函数作为高中数学的重要内容，在教学时也应该利用好基本数学思想，让学生掌握更多解决问题的方法，提高学生数学学习能力。
在本文中，我们就对这个问题进行详细的介绍。
关键词：三角函数；基本数学思想；应用方式中图分类号：g623.5在高中阶段，三角函数占有十分重要的地位，在教学过程中教师可以引导学生利用数形结合、分类讨论等基本数学思想，解决实际过程中出现的三角函数问题，从而有效的提高学生的数学学习能力，掌握这部分内容知识。
一、在高中三角函数中体现基本数学思想的重要意义基本数学思想是从数学知识中总结出来的，学生在数学学习过程中，除了要掌握基本数学知识外，还需要掌握基本数学思想，使数学思想深入学生心中，这样才能进一步提高学生的数学学习能力，拓展学生数学思维。
在学习三角函数这部分内容时，无论何种题型都是以考察三角变换为核心的，因此，在教学过程中教师要引导学生熟练掌握有关三角形的公式，了解三角函数中蕴含的数学思想，使学生能够更灵活的解决三角函数问题，增强学生分析问题、解决问题的能力。
二、高中三角函数中体现基本数学思想的方式1、数学结合思想的体现作为基本数学思想的主要部分，数形结合思想在解决数学问题时发挥着重要作用。
这种数学思想是借助数字的精确性，通过合理运用数字与图形之间的关系解决数学学习中的实际问题。
这种数学思想可以将抽象的数学问题变得更加直观。
在学习三角函数时，数学结合思想可以有效的将三角函数化简，比较适用于依据三角函数的图像求解定义域、单调性以及求解方程实根等问题。
比如说求|cosx|<sin|x|在[-π，π]上的解集这类题目时，教师就可以引导学生运用数形结合思想求解。
首先设y1=sin|x|，y2=|cosx|.并在同一个直角坐标系中画出y1，y2在[0，π]上的函数图像。
三角函数中的数学思想
三角函数中的数学思想三角函数是中学数学的重要内容之一，符号与变元、集合与对应、数形结合等基本数学思想在研究三角函数时起着重要作用，分析、探索、化归、类比、平行移动、伸长和缩短这些常用的基本方法时隐时现。
这些数学思想方法为学生学习数学和应用数学提供了一个新的领域，教科书对此作了渗透，教学时应注意及时提醒或强调。
下面谈谈这些具体的数学思想和方法：一、数形结合思想数形结合思想是通过“以形助数”或“以数助形”，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来解决问题的数学思想方法。
例1：已知0＜θ<，求证sinθ<θ<tanθ。
分析：本题所要证明的不等式中各个部分的意义完全不同（分别是角θ的正弦值、角θ、角θ的正切值），因此，证明的关键是找到联系三者的纽带，这就是单位圆中的三角函数线。
评注：本题是一道新颖而别致的题目，此证法体现了数学中数与形的完美结合。
二、分类讨论思想数学基础知识（如法则、公式、定理、性质、基本方法等）的应用都有一定的条件，就是说只能在一定的范围内使用它们。
当在一个比它需要的条件更广的范围内求解问题时，要应用这些基础知识，就需要把这一更广的范围划分成几个较小的范围以适应基本知识所需的条件，在每一个较小的范围内都把问题解决掉。
通俗地讲，就是“化整为零、各个击破”，或者说不同的情况要采用不同的方法去对待。
这种处理问题的思想就是“分类讨论”的思想。
点评：已知α在第几象限，要确定（n∈N+，n≥2）所在的象限，常用的方法是分类讨论，并且按被n除所得的余数0、1、2、…、n-1分为n类。
三、函数思想函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，使问题获得解决。
点评：本题若不注意考察题设特点用函数看问题，而是按照通常方法去括号、因式分解去证就比较繁琐。
用数学思想方法解高考三角函数题
用 数 学 思 想 方 法 解 高 考 三 角 函 数 题
谢 冬梅
（ 西南大学 数学与统计学院 ， 重庆 摘 要： 三 角 函 数 是 基 本 的初 等 函 数之 一 ． 它 涉及 的 公 式 多、 变化 多 ， 是 初 等 数 学 的 重 点 内容 ． 本 文 通 过 分 析 历 年 高 考 数 学题 中出现 的三 角 函数 题 ， 阐 述 如何 运 用 数 形 结合 、 函数 与 方程、 等价转换 、 分 类 与整 合 等 基 本 的教 学思 想方 法解 高考 函
一
（ Ａ ＞ Ｉ ） 或缩短 （ ０ ＜ Ａ ＜ Ｉ ） 为 原 来 的Ａ倍 （ 横 坐 标Ｘ 不变 ） ． 自变 量ｘ 和 函 数 值Ｙ 进 行 变换． 另外 ， 在做这类 题时 ， 还 应 尽 量 避 免 对 代 数 问 题 的 抽 象 讨论 ， 把 代 数 问 题 图形 化 ． 二、 函数 与 方 程 思 想 函 数 的 思想 是 用 运 动 和变 化 的观 点 、 集 合 与 对 应 的 思想 。 分 析 和 研 究 数学 问题 中 的数 量 关 系 ，建 立 函数 关 系或 构 造 函 数， 运 用 函数 的 图像 和性 质 分 析 问 题 、 转 化 问题 ， 从 而 使 问 题 得以解决 ； 方 程 思 想 是 分 析 数 学 问 题 中 的 变 量 间 的 等量 关 系 。 从 而 建 立 方 程或 方 程 组 或 者构 造 方 程 ． 通 过 解 方 程 和方 程组 ． 或 者 运 用 方 程 的性 质 分 析 问 题 、 转化 问题 ， 使题得 以解决． 在 高 考 试 卷 中 ，三 角 函 数 中 的最 值 问题 有 时候 可 转 化 为 函数 问 题解决． 例２ ： 在 同一 直 角 坐 标 系 巾 ， 函数ｙ ＝ ｃ 。 ｓ （ ＋ ） ， ｘ ∈［ ０ ，
初三数学三角函数知识点：解题思想方法总结
初三数学三角函数知识点：解题思想方法总结1．转化思想
转化思想贯穿于本章的始终．例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用互余两角三角函数关系可以实现“正”与“余”的互化；利用同角三角函数关系可以实现“异名”三角函数之间的互化．此外，利用解直角三角形的知识解决实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．
2．数形结合思想
本章从概念的引出到公式的推导及直角三角形的解法和应用，无一不体现数形结合的思想方法．例如，在解直角三角形的问题时，常常先画出图形，使已知元素和未知元素更直观，有助于问题的顺利解决．
3．函数思想
锐角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想．例如，任意锐角a与它的正弦值是一一对应的关系．也就是说，对于锐角a任意确定的一个度数，sina都有惟一确定的值与之对应；反之，对于sina在（01）之间任意确定的一个值，锐角a都有惟一确定的一个度数与之对应．
4．方程思想
在解直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角关系列出方程，通过解方程求出所求的元素．
精心整理，仅供学习参考。
高中数学：三角函数中的常用数学思想方法
一、方程的思想例1、已知sinθ+cosθ=，θ（0，π），则cotθ=________。
解析：由sinθ+cosθ=平方得sinθcosθ=。
又θ（0，π），所以sinθ＞0，cosθ＜0，且sinθ＞，将sinθ，cosθ看作是方程的两根。
所以sinθ=，cosθ=。
从而cotθ=，应填。
二、函数的思想例2、已知x，y ∈[]，且x3+sinx-2a=0①，4y3+sinycosy+a=0②，求cos(x+2y)的值。
解析：设f(u)=u3+sinu。
由①式得f(x)=2a，由②式得f(2y)=－2a。
因为f（u）在区间[]上是单调奇函数，所以f(x)=-f(2y)=f(-2y)。
又所因x,-2y∈[]，所以x=-2y，即x+2y=0。
所以cos(x+2y)=1。
三、数形结合的思想例3、函数f(x)=sinx+2，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是______。
解析：f(x)=函数f(x)=sinx+2，x∈[0，2π]的图象（如图1）与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则1＜k＜3。
四、化归的思想例4、设α为第四象限的角，若，则tan2α=_________。
解析：因为===，所以，tan2=。
又因为为第四象限的角，所以tan=，从而求得tan2=。
五、分类讨论的思想例5、若△ABC的三内角满足sinA=①，问此三角形是否可能为直角三角形？解析：假设△ABC可以为直角三角形。
（1）若B=90°，则A=90°-C，代入①中，得sin(90°-C)=，所以cos2C=1+sinC，1-sin2C=1+sinC，所以sinC=1，即C=90°。
这是不可能的，所以B≠90°。
（2）同理，C≠90°。
（3）若A=90°。
①式右边=①式左边=sinA=sin90°=1。
所以此三角形可为直角三角形，此时A=90°。
数学思想方法在三角函数中的应用
数学思想方法在三角函数中的应用四川 张继海数学思想方法属于方法范畴，但更多地带有思想、观点的属性，是数学知识在更高层次上的抽象和概括．中学教学与高考考查中，常用的数学思想有：化归与转化的思想，函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，特殊与一般的思想，有限与无限的思想，或然与必然的思想等．本文主要说明的是，数学思想方法在三角函数中的应用．在三角函数一章中，主要用到的数学思想方法有：1．化归与转化的思想 把未知化归为已知，如用诱导公式把求任意角的三角函数值逐步化归为求锐角的三角函数值；把特殊化归为一般，如把正弦函数的图象逐步化归为函数y = A sin （ωx + φ），x ∈R （其中A ＞0，φ＞0）的简图，把已知三角函数值求特殊范围内的角逐步化归为求适合条件的所有角的集合等；等价化归，如进行三角函数式的化简、恒等变形和证明三角恒等式．2．函数与方程思想 在某些等式条件中，余弦定理，特别是已知三角函数值求角时，可将其看作是关于某个元的方程（组），借助解方程（组）的思想使问题得以解决．3．数形结合的思想 如将角的研究纳入直角坐标系下，利用三角函数线作正弦、余弦、正切函数的图象，利用图象求解某些三角等式或不等式问题．4．分类与整合的思想 如已知角α 的某一三角函数值，求α 的其余三角函数值或求角α 时，则应分情况讨论α 的范围或所在象限，用正弦定理解已知两边和一边的对角这类斜三角形问题时亦应分类讨论．例1 在△ABC 中，已知364=AB ，66cos =B ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值．分析与解 设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE ∥AB ，且DE =36221=AB ．设BE = x ，在△BDE 中，利用余弦定理可得： BD 2 = BE 2 + ED 2－2 BE ·ED ·cos ∠BED ，∴ 5663622382=⋅⋅++x x ， 3x 2 + 4x －7 = 0，解得 x = 1，37-=x （舍去）， 故 BC = 2．从而 328cos 2222=⋅⋅-+=B BC AB BC AB AC ，即 3212=AC ．∵ 630sin =B ， ∴ 3063212sin 2⋅=A ， 1470sin =A ． 评注 本题内涵丰富，结构特别，有很多（至少5种）解法，同学们不妨一试．它不仅对方程的思想、数形结合的思想有较深入的考查，而且对等价转化的思想方法也有很高的要求．例2 已知锐角三角形ABC 中，53)sin(=+B A ，51)sin(=-B A ．（1）求证：tan A = 2tan B ；（2）设AB = 3，求AB 边上的高．分析与解 题目给出的条件是两角和与差的正弦值，用和、差角公式将其展开，得53sin cos cos sin =+B A B A ， ①B EC D A51sin cos cos sin =-B A B A ． ② 此时有sin A ，cos A ，sin B ，cos B 四个未知数，显然不能通过两个方程求出，因此将sin A cos B ，cos A sin B 看成两个未知数（二元一次方程组），将其整体解出，得52cos sin =B A ，51sin cos =B A ．由于两个等式相除可得正切与余切，tan A ·cot B = 2，即tan A = 2 tan B ．（这也可从转化待定式 ⇐ BBA A cos sin 2cos sin = ⇐ sin A cosB = 2cos A sin B 得到有效支撑）． 由第（1）问的结论，能得关于tan A 与tan B 的一个方程 tan A = 2 tan B ．③ 还需要再建立一个关于tan A 与tan B 的方程，这个方程可由已知条件53)sin(=+B A 及ππ<+<B A 2求得，先得出43)tan(-=+B A ，展开后，得43tan tan 1tan tan -=-+B A B A ．④ 解由③、④组成的方程组，可求出 62tan +=A ，262tan +=B ．求CD 时，同样需要列方程：AB = AD + DB =623tan tan +=+CDB CD A CD ，由AB = 3，可解得AB 边上的高62+=CD ． 评注 本题是对三角恒等变形及求值问题的考查，重点放在方程思想和转化思想上，其解题过程是方程思想与转化思想的最佳体现．例3 已知函数y = tan （2x + ϕ）的图象过点)0,12(π，则ϕ 可以是（ ）．A ．6π-B ．6π C ．12π- D ．12π分析与解 ∵ y = tan （2x + ϕ）过点)0,12(π，∴ 0)6t a n (=+ϕπ，即 πϕπk =+6，6ππϕ-=k ，k ∈Z ．当 k = 0时，得 6πϕ-=，选A ．评注 将点代入后，化为已知三角函数值求角的问题，这时应通过坐标系写出满足条件的角的终边所在象限的所有角，再结合题目要求求出其解．例4 已知α，β，γ 是成公比为2的等比数列（α∈[ 0，2π ]），且sin α，sin β，sin γ 也成等比数列．求α，β，γ 的值．分析与解 ∵ α，β，γ 是成公比为2的等比数列， ∴ β = 2α，γ = 4α． （减少变量，消元） ∵ sin α，sin β，sin γ 成等比数列，∴ βγαβsin sin sin sin = ⇔ αααα2sin 4sin sin 2sin = ⇒ cos α = 2cos 2α－1， 即 2cos 2α－cos α－1 = 0，（化归为关于cos α 的二次方程）解得 cos α = 1，或 21cos =α．当 cos α = 1时，sin α = 0，与等比数列的首项不为零矛盾，故cos α = 1应舍去．当 21cos =α，α∈[ 0，2π ] 时，32πα= 或 34πα=．所以 32πα=，34πβ=，38πγ= 或 34πα=，38πβ=，316πγ=． 评注 本题通过将文字叙述向等式（符号）转化，使用方程思想（消元）化为关于cos α的一元二次方程，并时时注意字母取值范围，而简捷获解．例5 已知 6 sin 2α + sin α·cos α－2cos 2α = 0，],2[ππα∈，求)32sin(πα+的值．分析与解 首先从已知出发，需要将二次式转化为一次式（因式分解转化），（或减少函数名种类，转化为关于tan α 的一元二次方程），有（3sin α + 2cos α）（2sin α－cos α）= 0， 即 3sin α + 2cos α = 0 或 2sin α－cos α = 0．由已知条件可知cos α≠0，所以2πα≠，即),2(ππα∈，从而tan α＜0，∴ 32tan -=α．其次从待求式出发，有 3sin 2cos 3cos 2sin )32sin(παπαπα+=+=)sin (cos 23cos sin 22αααα-+=αααααααα222222sin cos sin cos 23sin cos cos sin +-⋅++ =αααα222tan 1tan 123tan 1tan +-⋅++=ααα22tan 22tan 3tan 23+-+． 于是将tan α 的值代入，不难计算出)32sin(πα+的值等于261235-，为所求．评注 本题对已知和待求式一再进行等价转化，目的是沟通它们的联系，寻到一个联结点tan α．事实上，若借助于计算器（机），亦可由32tan -=α直接求出角α≈－33.69︒，代入)32sin(πα+快速求得其值为－0.12845，与上述结果一致．例6 若513sin 3sin =αα，求cos α 的值． 分析与解 αααααs i n )2s i n (s i n 3s i n +==513sin sin 2cos cos 2sin =+ααααα， ∴513sin sin 2cos cos sin 22=+ααααα， 即 5132cos cos 22=+αα，518cos 42=α， 109cos 2=α．∴ 10103cos ±=α．评注 本题通过和角公式、倍角公式（或变形）对已知条件一再实施转化，使其和结论联系起来．例7 函数xxx f cos 2cos 1)(-=（ ）．A ．在]2,23(),23,[,],2(),2,0[πππππππ在上递增上递减B ．在]2,23(),,2[,]23,(),2,0[πππππππ在上递增上递减C ．在]23,(),2,0[,]2,23(],,2(πππππππ在上递增上递减D ．在]2,2(),2,0[,],23(),23,0[ππππππ在上递增上递减分析与解 将函数f （x ）简单化、明显化，有x x x x x x x f cos |sin |2cos sin 2cos )sin 21(1)(22==--=是分段函数， 即⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=.0sin ,tan 2,0sin ,tan 2)(x x x x x f（1）在一、二象限时sin x ＞0，x x f tan 2)(=单调递增；（2）在三、四象限时sin x ＜0，x x f tan 2)(-=单调递减． 于是，结合备选项，选A ．评注 本题综合考查三角函数式的化简及分段函数知识，同时较好地考查了三角函数的性质，整个解题过程十分深刻地蕴含了多种数学思想的应用．例8 函数y = A ·sin （ω x + ϕ）（ω＞0，| ϕ |＜2π，x ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）．A ．)48sin(4ππ+-=x yB ．)48sin(4ππ-=x yC ．)48sin(4ππ--=x yD ．)48sin(4ππ+=x y 分析与解 由图象可以看出，A = 4，262+=T ， ∴ T = 16， 于是 8162ππω==． 将点（－2，0）（或（6，0））代入函数)8sin(4ϕπ+=x y 中，得0)4sin(=+-ϕπ，∴ πϕπ=+-4（比照到正弦函数五点作图简法，此处对应于π），∴ )458sin(4ππ+=x y ．又 ∵ 2||πϕ<， ∴ 函数表达式为 )48sin(4πππ++=x y =)48sin(4ππ+-x ，选A ．评注 本题考查给定三角函数图象，求三角函数表达式，考查方程、数形结合和化归的数学思想．自我检测一、选择题1．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（ ）． D A ．sin （α + β）＞ sin α + sin β B ．sin （α + β）＞ cos α + cos β C ．cos （α + β）＜ sin α + sin β D ．cos （α + β）＜ cos α + cos β2．当20π<<x 时，函数xx x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）． CA ．2B ．32C ．4D ．34 解 将函数式等价化为xx x x x x x x x x x f tan 1tan 4cos sin 4sin cos cos sin 2sin 8cos 2)(22+=+=+=，所以，当20π<<x 时，有f （x ）≥ 4，选C 。
关注：三角函数解题中的数学思想方法
１ ２
，当狋＝槡２
时，狔
有
最大值为１ ２
＋槡２．
评注：第（１）小题利用消元法，第（２）小题利用换
元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变
量的取值 范 围．本 题 告 诉 我 们，当 无 法 直 接 利 用 三 角 函数的有关知识解决三角函数问题时，一般可采用换
元或消元的思想，转化为其他函数来解决，可谓“他山
化法．
三、函数与方程思想
图１
解析：我们可把原函数犳（狓）＝槡狓 －ｃｏｓ狓 看成幂 函数狔＝槡狓 与余弦函数狔＝ｃｏｓ狓 的差，于是把它们画 在在同一坐标系中，如图１所示，狔１＝槡狓 与狔２＝ｃｏｓ狓， 狓 ∈ ［０，＋ ∞）的图像，从图像上直接可以看出狔１ 与 狔２ 的图像只有一个交点，所以犳（狓）＝槡狓 －ｃｏｓ狓 在 ［０，＋ ∞）内只有一个零点．
１ ２
时，ｓｉｎ狔 －ｃｏｓ２狓
有最小值
－１ １１ ２；当 ｓｉｎ狓
＝－
２ ３
时，ｓｉｎ狔 －ｃｏｓ２狓 有 最 大 值 ４ ９．故 ｓｉｎ狔 －ｃｏｓ２狓 ∈
［ ］ －１１１ ２，４９ ．
（２）设ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓＝狋（－槡２ ≤狋≤ 槡２），则ｓｉｎ狓·
ｃｏｓ狓
＝狋２２－１，则狔＝
１ ２狋２
＋狋－
一、数形结合思想
在《三角函数》这 章 中，数 形 结 合 思 想 贯 穿 始 终，
主要体现在以下几个方面：利用单位圆给出三角函数
的定义，并 推 导 出 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系；利 用 三
角函数线画正（余）弦及正切函数的图像．
例１ 函数犳（狓）＝槡狓 －ｃｏｓ狓 在［０，＋ ∞）上的
教学 参谋 解法探究 ２０２０年２月
三角函数中的数学思想方法
题 意 。 当ａ Ｏ ＜ 时
再 根 据 正 弦 、 弦 函数 的 有 界 性 求 得 。 余
Ｎ 已 函 ｆ 一 （ 詈＋＋ｘｑ莩］ 问是 否 存 ３ 知 数ｘ２．ｘ ） ｂ ［， ， （ ａｎ＋ ２ ， ｑ ） ｓ２ ａ ∈－ ＝
ｎ
－
在常数ａ ， Ｑ， ， 使得ｆ ） ｂ （ 的值域为 Ｅ３ 、了 一 ］ ｘ － ， ／ １ 。若存在 ， 的ａ 求 ， ｂ
一 —
＿
删１
ｂ的 函 数 值 域 问题
，
由于 三 角 函数 值 受 角 所 在 象 限 的 影 响 ，需 要 对 角 所 在 不 同
ｏ ＣＯＳ Ｘ＋ ｄ
Ｏ ｎ ｓｉ ｘ＋ ０
的象 限 进 行讨 论 ， 样 才 能 使 问 题 圆满 解 决 。 这
通 常 将 函数 式 变 形 ， 后 转 化 为 一 个 角 的正 弦 或余 弦 函数 形 式 ， 然
在 三 角 函数 问题 中 ， 常 引 入 变 量 问题 转 化 成 对 新 变 量 通 把
的值 ； 不 存 在 ， 明理 由 。 若 说
的讨 论 。这 样 通 过 转 化 原 问题 的结 构 ， 以 简 化 解题 过程 。 可 例 ２求 函 数ｖ — ｌ Ｉ 的最 大 值 与最 小 值 。 ： ｘｃ！ ！
维普资讯
室
Ｎ ｏ ． ２
Ｔ ＭＥ Ｅ Ｕ Ａ １ Ｎ Ｉ Ｄ Ｃ Ｔ０
Ｆｅ ｒ ａ ｙ ２ ０ ｂ ｕ ｒ ０ ８
三角 函数 中的数 学思想 方法
何大 明
摘 要 ： 角 函数 是 中 学数 学 的 重要 内容 之 一 ， 三 函数 单 调 性 又是 函数 性 质 的 重 中之 重 ， 由于 中 学初 等 数 学 以 及 学 生 认 知 水 平 的 Ｎ 但 －
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三角函数中的数学思想方法扬中市第二高级中学季成龙摘要：本文主要研究了三角函数一章中所渗透的各种数学思想。
从其涵义出发，具体介绍了数形结合，方程函数，以及化归等解决问题的方法，并通过大量习题详细讲解了它们在本章知识中的应用。
在此基础上，提出了运用数学思想探究问题规律的教学观点。
关键词：三角函数；数学思想方法；数形结合思想；化归思想；思维能力三角函数问题是中学数学重要内容之一，在数学的各个分支都有广泛的应用，同时也是历年高考的一个热点。
三角函数问题中所蕴涵的数学思想，更是值得我们在教学过程中去开发和领悟。
在三角函数一章的学习和复习中，熟练掌握以下几种数学思想方法，有助于提高同学们灵活处理问题和解决问题的能力。
一、数形结合思想-数形结合思想即运用数与形的关系来解决数学问题。
可以借助数的精确性来说明形的某些属性；也可借助形的直观性来阐明数之间的某种关系。
体现在三角函数中是利用单位圆中的三角函数线、三角函数图象求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、讨论方程实根的个数、比较大小等。
例1．函数ln cosy x=的定义域是解析：该函数的定义域即不等式组2250cos0xx⎧-≥⎨>⎩的解集，即55cos0xx-≤≤⎧⎨>⎩的解集若用传统方法则要求{}/55x x -≤≤与/2222x k x k ππππ⎧⎫-<<+⎨⎬⎩⎭的交集，比较麻烦，若画出[]cos ,5,5y x x =∈-的图象如图2所示，再由cos 0x >， 易得335,,,52222x ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤∈---⎪ ⎢⎣例2．求方程lg sin x x =实根的个数解析：此方程为超越方程，可通过数形结合法求出方程的实根个数。
在同一坐标系中画出函数lg sin y x y x ==与的图象，如图3所示，两个图象有三个交点,即方程lg sin x x =有三个实根。
二、 函数与方程思想三角函数本身就一种特殊的函数，解决三角函数问题自然离不开函数与方程的思想。
体现在某些三角函数问题可用函数的思想求解参数的值（范围）问题；有些三角函数问题可以直接转化为一元二次方程求解，还有一些三角问题，依据题设条件和求角结构，适当选取三角公式联立组成方程组，以达到消元求值的目的，这是方程的思想在三角求值、证明等问题中的最佳表现。
例3．求当函数213sin cos 22y x m x m =+--的最大值为1时m 的值 解析：依据题设条件，可转化为关于cos x 的二次函数，利用二次函数在闭区间上求最值的方法求解。
22211cos cos cos .222422m m m m y x m x x ⎛⎫=-+--=--+-- ⎪⎝⎭设cos .1cos 1,1 1.x t x t =-≤≤∴-≤≤∴求函数221cos .2422m m m y x ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭的最大值为1时m 的值等价于求闭区间上的二次函数221.(11)2422m m m y t t ⎛⎫=--+---≤≤ ⎪⎝⎭的最大值为1时m 的值（1）当12m <-时，即2m <时，1t =-，y 有最大值为3322m --，21422m m -- 由题设可知3351,2223m m --=∴=->-（舍去）； （2）当112m -≤≤时，即22m -≤≤时，2m t =，y 有最大值为21422m m --， 由题设可知21422m m --=1，解得1m =±（正号舍去）（3）当12m >时，即2m >时，1t =，y 有最大值为322m -， 由题设可知31,522m m -=∴=综上可得1m = 5.a =例4．已知()1sin cos ,0,5x x x π+=∈，求tan x 的值 解法1：直接解方程组若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos ) 1.4x x x π+=+≥ ,2x ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，即sin 0,cos 0.x x ><由221sin cos ;5sin cos 1x x x x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得4sin 53cos 5x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 4tan .3x ∴=-解法2：构造一般方程 由1sin cos 5x x +=得：12sin cos .25x x ⋅=- 又()0,,sin 0,cos 0.x x x π∈∴><以sin ,cos x x 为两个根，构造一元二次方程2112055t t --=，解得1243,55t t ==-，则43sin ,cos 55x x ==-，从而4tan .3x =- 三、 转化与化归思想转化与化归思想是解决数学问题的一种重要的思想方法，实质就是实现新问题向旧问题转化，复杂问题向简单问题转化，未知问题向已知问题的转化，抽象问题向具体问题的转化等，从而便于找出问题的解决方法。
体现在三角函数中是切化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）、最值、比较大小等问题。
例5．设α为第四象限的角，若513sin 3sin =αα，则tan2α=_________。
解析：因为)2sin()2sin(sin 3sin α-αα+α=αα=αα-αααα+ααsin 2cos cos 2sin sin 2cos cos 2sin=α-αα+αtan 2tan tan 2tan==α+α-22tan 1tan 3513， 所以，tan 2α=91。
又因为α为第四象限的角， 所以tan α=31-，从而求得tan2α=43-。
四、 分类讨论思想分类讨论是一种重要解题策略，“分类”，相当于缩小讨论范围，故能使复杂问题简单化，从而问题化整为零，各个击破。
体现在三角函数值受角所在象限的影响，在不同的象限有不同的三角函数值，因此就应根据求值或求角的需要对角的范围或参数的范围展开有序的讨论。
例6．已知tan m α=，求sin α的值解析：已知tan m α=，但不知角α所在的象限或终边落在哪个坐标轴上；应根据m 的值来确定角α所在的象限或终边落在哪个坐标轴上，然后分不同的情况来求sin α的值。
（1）当0m =，即sin tan 0cos ααα==（此时角α的终边在x 轴上）时，sin 0α=（2）当0m >，α为第一或第三象限角22222111111,sin tan m m m αα+=+=+=∴若角α在第三象限，则sin α=若角α在第三象限，则sin α=（3）当0m <，α为第二或第四象限角22222111111,sin tan m m m αα+=+=+= ∴若角α在第二象限，则sin α=若角α在第四象限，则sin α=综上所述，当角α在第一象限、x 轴的正方向及第四象限角时，sin α=当角α在第二象限、x 轴的负方向及第三象限角时，sin α=五、 整体的思想整体思想方法是一种重要的思想方法，它把研究对象的某一部分（或全体）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从中找出解决问题的新途径，往往能起到化繁为简，化难为易的效果。
体现在三角函数中主要是整体代入、整体变形、整体换元、整体配对、整体构造等进行化简求值、研究函数性质等。
例7．已知x 为三角形的一个内角，且满足1sin cos .5x x += （1）求sin cos x x -的值；（2）求223sin 2sin cos cos 2222tan cot x x x x x x+++的值 解析：由条件和问题联想到公式()2sin cos 1sin cos x x x x ±=±，可实施整体代换求值（1）由1sin cos 5x x +=平方，得221sin 2sin cos cos 25x x x x ++=， 即242sin cos 25x x =-因为249(sin cos )12sin cos ,25x x x x -=-=又因为x 为三角形的一个内角，1sin cos 05x x +=>，242sin cos 025x x =-< 所以sin 0,cos 0.x x ><，则sin cos 0.x x -> 因此7sin cos .5x x -=（2）223sin 2sin cos cos 2222tan cot x x x x x x +++ =22sin sin 12sin cos cos sin xx x x x x +++()221cos sin 1sin cos 2cos sin sin cos sin cos x x x x x x x xx x-++==-++ 127362.255125⎛⎫⎛⎫=-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以上是对三角函数一章中如何应用数学思想方法的一点总结，还有一些思想方法，如换元法，逆向思维法，特例（或特殊值法）等。
但其中数形结合，函数与方程，转化与化归三种方法尤为重要，也是历年高考题所注重的能力考察。
若能在学习过程中自觉应用，往往可以避免复杂的运算，优化解题过程，降低解题难度，把数学水平提高到一个新的高度。