七年级数学下册第三章三角形重点知识汇总
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。
在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2.5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90°+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
7.3 认识三角形(与三角形有关的线段) 苏科版数学七年级下册基础知识讲与练
专题7.17 认识三角形（与三角形有关的线段）（知识讲解）【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．特别说明：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB 分别用b、c表示．2．三角形的分类(1)按角分类：特别说明：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：特别说明：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.特别说明：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；特别说明：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC.特别说明：(1)三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .特别说明：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.特别说明：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、与三角形有关线段➽➼三角形的边段➽➼概念✭✭分类1．如图所示，（1）图中有几个三角形？（2）说出的边和角．（3）是哪些三角形的边？是哪些三角形的角？【答案】（1）图中有：，，，，，共5个；（2）的边：，，，角：，，；（3）是，，的边；是，，的角．【分析】（1）分类找三角形，含AB的，含AD（不含AB）的，含DE（不含AD）的三类即可；（2）根据组成三角形的三条线段一一找出，利用三角形两边的夹角即可找出；（3）观察图形，找出含AD的三角形，先找AD左边的，再找AD右边的即可，根据三角形内角的定义，角的两边是三角形的边，找到第三边，在∠C的内部在线段看与角的两边是否相交即可解：（1）图中有：以AB为边的三角形有△ABD，△ABC，以AD为边的三角形有△ADE，△ADC，再以DE为边三角形有△DEC，一共有5个三角形分别为，，，，；（2）的边：，，，角：，，；（3）是，，的边；是，，的角．【点拨】本题考查三角形的识别，三角形的基本要素，三角形个数，观察图形找出图中的三角形，三角形的组成，找以固定线段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分类思想找出所有的图形，三角形的边与角，共线段三角形以及共角三角形是解题关键．举一反三：【变式】如图，以BD为边的三角形有哪些？分别写出来；以∠1为内角的三角形有哪些？分别写出来．【分析】先根据BD边找三角形，再根据∠1找三角形.解：以BD为边的三角形有：△BDC，△BDO，以∠1为内角的三角形有：△EOC，△ACD．【点拨】本题考查了三角形的内角和边的概念，学会分类的方法找三角形是本题的解题关键.2．已知的三边长分别为a，b，c．若a，b，c满足，试判断的形状．【答案】的形状是等边三角形．【分析】利用平方数的非负性，求解a，b，c的关系，进而判断．解：∵，∴，∴a=b=c，∴是等边三角形．【点拨】本题主要是考查了三角形的分类，熟练掌握各类三角形的特点，例如三边相等为等边三角形，含的三角形为直角三角形等，这是解决此类题的关键．举一反三：【变式】满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．（1）△ABC中，∠A＝30°，∠C＝∠B；（2）三个内角的度数之比为1:2:3.【答案】(1)锐角三角形；(2)直角三角形．【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.解：(1)∵∠A＝30°，∠C＝∠B，∠A＋∠C＋∠B＝180°，∴∠C＝∠B＝75°，∴满足条件的三角形是锐角三角形．(2)∵三个内角的度数之比为1∶2∶3，∴可求得每个内角的度数分别为30°，60°，90°，∴满足条件的三角形是直角三角形．【点拨】本题主要考查了三角形的分类问题．类型二、与三角形有关线段➽➼构成三角形条件✭✭确定第三边取值范围3．判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？（1）3cm、8cm、4cm；（2）5cm、6cm、11cm；（3）5cm、6cm、10cm；【答案】（1）不能，因为3cm＋4cm ＜8cm；（2）不能，因为5cm＋6cm＝11cm；（3）能，因为5cm＋6cm＞10cm【分析】略举一反三：【变式】如图所示三条线段a，b，c能组成三角形吗？你是用什么方法判别的？【答案】三条线段a，b，c能组成三角形，理由见分析【分析】只需要利用作图方法证明即可．解：三条线段a，b，c能组成三角形，理由如下：如图所示，根据线段的和差可知，∴三条线段a，b，c能组成三角形．【点拨】本题主要考查了构成三角形的条件，线段的尺规作图，证明是解题的关键．4．己知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a．（1）求a的取值范围；（2）若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？【答案】(1) (2)当时，三角形的周长最大为【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可得到答案；（2）由（1）取最大值即可得到答案．（1）解：由三角形的三边关系可知，即，∴a的取值范围是；（2）解：由（1）知，a的取值范围是，a是整数，∴当时，三角形的周长最大，此时周长为：，∴周长的最大值是23．【点拨】本题考查三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．举一反三：【变式】已知：中，，，，求的范围．【答案】【分析】根据三角形的三边关系列不等式求解即可．解：∵是的三边，∴，即：，解得：，故答案为：．【点拨】本题考查了三角形的三边关系、解不等式组；熟练掌握三角形的三边关系以及解不等式组的方法是解题的关键．类型三、与三角形有关线段➽➼三角形的高➽➼作图✭✭求值（等面积法）5．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C均在小正方形的顶点上．(1) 画出中边上的高；(2) 直接写出的面积为___．【答案】(1)见分析(2)【分析】（1）结合网格图，直接利用三角形高线作法得出答案；（2）结合网格图，直接利用三角形的面积求法得出答案．（1）解：如图所示：即为所求；（2）解：．故答案为：【点拨】本题主要考查了应用设计与作图以及三角形面积求法，正确得出三角形高线的位置是解题关键．举一反三：【变式】如图：(1) 用三角尺分别作出锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的各边上的高线．(2) 观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，与三角形的类型有什么关系？【分析】（1）根据三角形高的画法画图即可；（2）根据（1）所作图形进行求解即可．（1）解；如图所示，即为所求；（2）解：由（1）可知，锐角三角形的三条高线的交点在三角形内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线的交点在三角形外部．【点拨】本题主要考查了画三角形的高，三角形高线的交点，正确画出三角形的高是解题的关键．6．如图，分别是的中线和高，，．求和的长．【答案】，【分析】利用，求出，再根据是的中线，得到，即可得解．解：由题意，得：，∴，∵是的中线，∴，∴．【点拨】本题考查三角形的高线和中线．熟练掌握三角形的中线是三角形的顶点到对边中点所连线段，是解题的关键．举一反三：【变式】如图，分别是的高，若，求的长．【答案】【分析】利用，根据等面积法即可求解．解：∵分别是的高，∴∵，∴,∴．【点拨】本题考查了三角形面积的计算公式，掌握等面积法求解是解题的关键．类型四、与三角形有关线段➽➼三角形中线➽➼求线段长✭✭求面积✭✭周长7．如图，在中边上的中线把的周长分成和两部分，求和的长．【答案】【分析】先根据和三角形的中线列出方程求解，分类讨论，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解：设，则，边上的中线把的周长分成和两部分，，当时，，解得：，，，，，，满足三边关系，；当时，，解得：，，，，，不满足三角形三边关系，所以舍去，．【点拨】本题考查了三角形中线的性质和三边的关系，解题的关键是找到等量关系，列出方程．举一反三：【变式】如图，已知、分别是的高和中线，，．试求：(1) 的面积；(2) 的长度；(3) 与的周长的差．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）先根据三角形面积公式计算出，然后利用是边的中线，得到；（2）利用面积法得到，即可求出的长；（3）由的周长－的周长=，即可求得答案．（1）解：是直角三角形，，，，是上的中线，，，；（2）解：，是上的高，，；（3）解：是边上的中线，，的周长－的周长=，即和的周长差是．【点拨】本题考查了三角形的面积公式，以及三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，熟练掌握相关的性质与公式是解决此题的关键．8．如图，中，，，，．若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒．(1) 当t=___________时，把的周长分成相等的两部分？(2) 当t=___________时，把的面积分成相等的两部分？(3) 当t为何值时，的面积为12？【答案】(1)6(2)6.5(3) 2或6.5秒【分析】（1）先求出的周长为24cm，所以当把的周长分成相等的两部分时，点P在上，此时，再根据时间=路程÷速度即可求解；（2）根据中线的性质可知，点P在中点时，把的面积分成相等的两部分，进而求解即可；（3）分两种情况：①P在上；②P在上．解：（1）中，∵，，，∴的周长，∴当把的周长分成相等的两部分时，点P在上，此时，∴，解得．故答案为：6；（2）当点P在中点时，把的面积分成相等的两部分，此时，∴，解得．故答案为：6.5；（3）分两种情况：①当P在上时，∵的面积=12，∴，∴，∴，；②当P在上时，∵的面积=12=面积的一半，∴P为中点，∴，．故t为2或6.5秒时，的面积为12．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．举一反三：【变式】已知的面积为S，根据下列条件完成填空.图1图2图3(1) 是的边BC上的中线，如图1，则的面积为（用含S的式子表示，下同）；是的边上的中线，如图2，则的面积为；是的边上的中线，如图3，则的面积为；……(2) 在图2022中，是的边上的中线，则的面积为.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）利用三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分求解即可；（2）根据（1）中的求解可得规律，利用规律即可求解．（1）解：∵是的边BC上的中线，的面积为S，如图1，∴；又∵是的边上的中线，如图2，∴；∵是的边上的中线，如图3，∴，故答案为：，，（2）解：∵，，，，以此类推，可得，∴当时，，故答案为：【点拨】本题考查了三角形中线的性质，熟记三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．类型五、与三角形有关线段➽➼三角形角平分线➽➼求线段长✭✭求面积9．如图，是的角平分线，，交AC于点F，已知，求的度数．【答案】【分析】根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到即可得到答案．解：∵，，∴，∵是的角平分线，∴，∴．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，根据平行线的性质求出是解题的关键．举一反三：【变式】如图，点为直线上一点，，平分，求证：AB CD．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．解：平分，，，，∴．【点拨】本题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．10．如图，中，按要求画图：(1) 的平分线；(2) 画出中边上的中线；(3) 画出中边上的高．【分析】（1）画出的平分线交于D即可；（2）取的中点E，连接，中线即为所求；（3）过点C作交的延长线于F，即为中边上的高．（1）解：如图，即为所求；（2）解：如图，中线即为所求；（3）解：如图，高即为所求．【点拨】本题考查了作三角形的角平分线、中线和高线，解决本题的关键是掌握基本作图方法．举一反三：【变式】在边长为1的正方形网格中：(1) 画出沿方向平移2个单位后的；(2) 与的重叠部分面积为多少？【答案】(1)图见分析(2)重叠部分面积为10【分析】（1）根据题意画出沿方向平移2个单位后的即可；（2）正方形的边长为1，根据图形进行求解即可．解：（1）沿方向平移2个单位后的如图所示：（2）∵正方形的边长为1，根据（1）中的图形可得，重叠部分的面积为：．【点拨】本题考查了作图—平移变换，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．类型六、与三角形有关线段➽➼三角形的稳定性✭✭四边形的不稳定性9．下列图形中哪些具有稳定性？【答案】（1）（4）（6）中的图形具有稳定性．【分析】根据三角形的稳定性可直接进行求解．解：具有三角形稳定性的有（1）（4）（6）．【点拨】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．举一反三：【变式1】（1）下列图形中具有稳定性是；（只填图形序号）（2）对不具有稳定性的图形，请适当地添加线段，使之具有稳定性．【答案】（1）①④⑥；（2）图见分析【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．解：（1）具有稳定性的是①④⑥三个．（2）如图所示：【点拨】本题主要考查了三角形的稳定性，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．【变式2】如图（1）扭动三角形木架，它的形状会改变吗？如图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变吗？如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______；②四边形木架的形状______说明四边形没有______．【答案】图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：①是三角形，稳定性；②四边形，稳定性．【分析】①根据三角形的稳定性进行解答即可；②根据四边形的不稳定性进行解答即可．解：图（1）扭动三角形木架，它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性；图（2）扭动四边形木架，它的形状会改变，四边形不稳定；图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性；归纳：①由三角形具有稳定性知，三角形木架的形状不会改变，这说明三角形具有稳定性．故答案为：是三角形，稳定性；②四边形木架的形状是四边形，四边形具有不稳定性．故答案为：四边形，稳定性．【点拨】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单．。
(word版)北师大版七年级数学下册三角形重点知识汇总
第三章三角形一．认识三角形1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
注意：①组成三角形的三条线段要“不在同一直线上〞；如果在同一直线上，三角形就不存在；②三条线段“首尾是顺次相接〞，是指三条线段两两之间有一个公共端点，这个公共端点就是三角形的顶点。
2、三角形分类按内角的大小可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
3、关于三角形三条边的关系根据公理“连结两点的线中，线段最短〞可得三角形三边关系的一个性质定理，即三角形任意两边之和大于第三边。
三角形三边关系的另一个性质：三角形任意两边之差小于第三边。
设三角形三边的长分别为a、b、c那么：①一般地，对于三角形的某一条边a来说，一定有|b-c|＜a＜b+c成立；反之，只有|b-c|＜a＜b+c成立，a、b、c三条线段才能构成三角形；②特殊地，如果线段a最大，只要满足b+c＞a，那么a、b、c三条线段就能构成三角形；如果线段a最小，只要满足|b-c|＜a，那么这三条线段就能构成三角形。
4、关于三角形的内角和三角形三个内角的和为180°①直角三角形的两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；③一个三角中至少有两个内角是锐角。
5、关于三角形的角平分线、高线和中线①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。
但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部，如图1；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条边，如图2；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部，如图3。
④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。
A CB F AEFCB DC AD B E钝角三角形D直角三角形锐角三角形鹏翔教图1二、图形的全等能够完全重合的图形称为全等形。
七年级数学下学期第三章三角形(知识点)重点
七下第三章三角形（知识点）一、知识要点：1．全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．2．全等形的性质：（1）形状相同．（2）大小相等．3．全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．4．全等三角形的表示：（1）两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．（2）如图，和全等，记作．通常对应顶点字母写在对应位置上．5．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．（2）全等三角形的周长、面积相等．6．全等变换：只改变位置，不改变形状和大小的图形变换．平移、翻折（对称）、旋转变换都是全等变换．7．全等三角形基本图形翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素8．两个三角形全等的条件（1）全等三角形的判定1——边边边公理三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．“边边边”公理的实质：三角形的稳定性（用三根木条钉三角形木架）．（2）全等三角形的判定2——边角边公理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．（3）全等三角形的判定3——角边角公理两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简写为“角边角”或“ASA”．（4）全等三角形的判定4——角角边推论两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．简称“角角边”或“AAS”．（5）直角三角形全等的判定——斜边直角边公理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边直角边”或“HL”．判定直角三角形全等的方法：①一般三角形全等的判定方法都适用；②斜边-直角边公理9、判定三角形全等方法的选择：10、一般情况下，证明关于三角形全等的题有以下步骤：（1）读题：明确题中的已知和求证；（2）要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中（3）、分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。
七年级数学下册第三章 三角形同步串讲
c B a b C
3.
A
记作：△ABC
b 三 角 形 的 九 C 元 素
c
B
a
｛
c
三个顶点： A、B、C 三个内角:∠A 、 ∠B 、 ∠C
三条边：AB、AC、BC
趁热打铁：
d b
c
记作： △BCD
b
a
顶点： 点B,点C,点D
内角： ∠B ∠ C ∠D 边：BC, CD, DB 或 d, c, b
B
∠A+∠B＝90°
直
斜
C┓
直
A
【例3】认识“两垂图”与“三垂图”
1. 图中：
2. 图中：
┐ ┐
标出相等的角并熟记此图。
┌
标出相等的角并熟记此图。
3. 已知：∠A=32°，∠ADC=110°，BE⊥AC 于点E。求∠B的度数。
A E B D
C
四．三角形的分类
锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形
1.
2、若等腰△ABC的两边长为4和7， 则它的周长为：（ 15或18 ) 3、若等腰△ABC周长为26，AB=6 , 求它的腰长.
特别注意：无图的几何题是否需要分类讨论？？
六． 三角形的中线、角平分线、高
1. 中线：连接一个顶点与对边顶点的线段，叫做三角 形的中线。一个三角形有三条中线，三条中线相交 于一点，这点叫三角形的重心，重心到顶点的距离 是它到对边中点距离的2倍。重心总在三角形的内 部。 角平分线：内角的平分线与它的对边相交，交点到 这个角的顶点之间的线段叫三角形的角平分线。三 角形的三条角平分线相交于一点。这点在三角形的 内部。 高：从一个顶点向对边所在的直线引垂线，顶点和 垂足之间的线段叫做三角形的高。
新课标人教版七年级数学下册《三角形》知识要点概括
1、三角形的定义：不在上的三条线段连接而成的平面图形。
其表示方法是符号“△”后接着三个顶点字母。
三角形是边数最少的多边形。
2、三角形的有关重要线段:⑴三角形的三边：三角形的两边之和第三边；两边之差第三边；△abc的三边a、b、c中已知a、b，求c的取值范围是：＜c＜；其中a表示边，所对的角是，b表示边，所对的角是，c表示边，所对的角是。
⑵三角形的高线、中线、角平分线：①三线都经过顶点;②都是;③除直角三角形的两条高线在三角形的两条边上,钝角三角形的两条高线在三角形,其他各线均在形内;④三条中线、三条角平分线、三条高线均交于一点：锐角三角形的高交于三角形一点，直角三角形的高交于三角形的点，钝角三角形的高的延长线交于三角形一点。
⑤三角形的一条中线把三角形分成两个相等的小三角形；三条中线交点把每条中线分成∶两部分；有中线就有线段的倍分关系；⑥三角形的角平分线交点到三角形三边距离；有角平分线就有角的倍分关系；⑦有高就有度的角，三角形的各边与这边上的高的乘积相等，据此可以建立方程解题：如图4中有：ab·cf=bc·=·；⑧要能用几何语言表达三角形的三线。
3、三角形的稳定性的应用举例：，四边形的不稳定性的应用举例：。
4、三角形有关的角：⑴内角和等于；要能用推理得出结论；⑵外角：是三角形的一边与另一边的的夹角，外角和等于；⑶三角形的一个外角等于，大于；三角形的外角与与之相邻的内角互为；⑷三角形的两条内角平分线的夹角等于与第三个角的的和，如图5，p是△abc的两条角平分线的交点，且∠a=α，则∠p=；三角形的一条内角平分线和一条外角平分线的夹角等于第三个角的，如图6，p是△abc的内角平分线和外角平分线的交点，且∠a=α，则∠p=；三角形的两条外角平分线的夹角等于与第三个角的的差，如图7，p是△abc的两条外角平分线的交点，且∠a=α，则∠p=；5、多边形：⑴定义：是的几条线段连接而成的平面图形；其表示方法为：多边形abcde……应该按图形中的排列顺序书写字母。
七年级数学下第三章三角形复习
七年级数学下第三章三角形复习（一）（一）知能要点1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形的表示：三角形用符号“∆”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“∆ABC”，读作“三角形ABC”。
3、三角形的三边关系：（1）三角形的两边之和大于第三边。
（2）三角形的两边之差小于第三边。
（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
4、三角形的内角的关系：（1）三角形三个内角和等于180°。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
6、三角形的分类：(1)三角形按边分类：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形(2)三角形按角分类：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形。
7、三角形的三种重要线段：（1）三角形的角平分线：定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
性质：三角形的三条角平分线交于一点。
交点在三角形的内部。
（2）三角形的中线：定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。
（3）三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。
锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点是它的斜边的中点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；8、三角形的面积：三角形的面积=21×底×高（二）知能运用典型例题1．下面四个图形中，线段BE 是⊿ABC 的高的图是（ ）2．以长为13cm 、10cm 、5cm 、7cm 的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（ ）(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个3．给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形 ②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角 ③三角形的角平分线是射线 ④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 ⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 ，⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内。
北师大数学七年级下册第三章-认识三角形
第03讲_全等三角形辅助线的作法知识图谱三角形的内角（北师版）知识精讲概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形表示三角形有三条边、三个内角和三个顶点，“三角形”可以用符号“”表示如图，顶点是A ，B ，C 的三角形，记作，的三边，有时也用a ，b ，c 来表示．顶点A 所对的边BC 用a 表示，边AC 、边AB 分别用b ，c 来表示．按角分类直角三角形三角形中有一个角是直角 斜三角形锐角三角形 三角形中三个角都是锐角 钝角三角形 三角形中有一个角是钝角思考：如何按边分类？内角和定理三角形三个内角的和等于．证明过点A 作BC 的平行线DE ∴∠B=∠1，∠C=∠3 ∵D 、A 、E 三点共线 ∴∠1+∠2+∠3=180° ∴∠B+∠2+∠C=180°直角三角形的性质直角三角形的两个锐角互余．表示在Rt △ACB 中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，即两个锐角互余.五．易错点1．求角度过程中计算错误．2．注意导角计算等角的补角相等，等角的余角相等. 3．会利用三角形内角和定理判定三角形形状.三点剖析一．考点：1．按角分类；2．内角和定理；3．直角三角形的性质二．重难点：利用内角和定理求角度．三．易错点：求角度过程中计算错误．按角分类例题1、 在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则△ABC 是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.等腰直角三角形231DBCA ECBA【答案】 D【解析】 设三个内角的度数分别为k°，k°，2k°，则 k°+k°+2k°=180°， 解得k°=45°， ∴2k°=90°，∴这个三角形是等腰直角三角形．随练1、 现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（ ）A.3B.4或5C.6或7D.8【答案】 A【解析】 由题意得：若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角时， ∴共有33÷3=11个三角形；又三角形中，最多有一个直角或最多有一个钝角，显然11个三角形中，有5个直角三角形和3个钝角三角形； 故还有11﹣5﹣3=3个锐角三角形．内角和定理例题1、 如图，在△ABC 中，46B ∠=︒，54C ∠=︒，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，DE ∥AB ，交AC 于E ，则∠ADE 的大小是（ ）A.45°B.54°C.40°D.50°【答案】 C【解析】 ∵46B ∠=︒，54C ∠=︒，∴180180465480BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵AD 平分∠BAC ，∴11804022BAD BAC ∠=∠=⨯︒=︒，∵DE ∥AB ，∴40ADE BAD ∠=∠=︒．故选：C ．例题2、 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD ，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处．若∠A ＝22°，则∠BDC 等于（ ）A.44°B.60°C.67°D.77°【答案】 C【解析】 △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝22°， ∴∠B ＝90°－∠A ＝68°，由折叠的性质可得：∠CED ＝∠B ＝68°，∠BDC ＝∠EDC ， ∴∠ADE ＝∠CED －∠A ＝46°，∴180672ADEBDC ︒-∠∠==︒．例题3、 （1）如图①，在△ABC 中，∠B ＝40°，∠C ＝80°，AD ⊥BC 于点D ，AE 平分∠BAC ，求∠EAD 的度数；EDC B A（2）将（1）中“∠B＝40°，∠C＝80°”改为“∠B＝x°，∠C＝y°，∠C＞∠B”，①其他条件不变，你能用含x，y的代数式表示∠EAD吗？请写出，并说明理由；②如图②，AE平分∠BAC，F为AE上一点，FM⊥BC于点M，用含x，y的代数式表示∠EFM，并说明理由．【答案】（1）20°（2）①1122EAD y x∠=-；理由见解析②1122EFM y x∠=-；理由见解析【解析】（1）∵∠B＝40°，∠C＝80°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝60°∵AE平分∠BAC，∴1302CAE BAC∠=∠=︒∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝80°，∴∠CAD＝90°－∠C＝10°，∴∠EAD＝∠CAE－∠CAD＝30°－10°＝20°；（2）①∵三角形的内角和等于180°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－x－y∵AE平分∠BAC，∴11(180)22CAE BAC x y∠=∠=︒--，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－y，∴∠EAD＝∠CAE－∠CAD111(180)(90)222x y y y x =︒---︒-=-；②过A作AD⊥BC于D，∵三角形的内角和等于180°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C，∵AE平分∠BAC，∴11(180)22CAE BAC x y∠=∠=︒--，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－y，∴∠EAD＝∠CAE－∠CAD111(180)(90)222x y y y x =︒---︒-=-∵AD⊥BC，FM⊥BC，∴AD∥FM，∴∠EFM＝∠EAD，∴1122 EFM y x ∠=-．随练1、如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1=____________．【答案】105°【解析】给图中角标上序号，如图所示．∵∠2+∠3+45°=180°，∠2=30°，∴∠3=180°﹣30°﹣45°=105°，∴∠1=∠3=105°．随练2、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为_________-．【答案】130°或90°【解析】∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°，∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，∴∠ADC=130°，当∠ADB=90°时，则∠ADC=90°．直角三角形的性质例题1、如图，图中直角三角形共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个．例题2、如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1＋∠2＋∠3＝________°．【答案】 135【解析】 观察图形可知：△ABC ≌△BDE ， ∴∠1＝∠DBE ，又∵∠DBE ＋∠3＝90°， ∴∠1＋∠3＝90°． ∵∠2＝45°，∴∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠3＋∠2＝90°＋45°＝135°．例题3、 如图，ABC △中，AD 是高，AE 、BF 分别是BAC ∠和ABC ∠的平分线，它们相交于点O ，60A ∠=︒，70C ∠=︒．求DAC ∠，BOA ∠．【答案】 20︒；125︒【解析】 9020DAC C ∠=︒-∠=︒∵180C BAC ABC ∠+∠+∠=︒，70C ∠=︒，60BAC ∠=︒，∴50ABC ∠=︒∵AE ，BF 是角平分线，∴12302BAC ∠=∠=︒，13252ABC ∠=∠=︒∵23180BOA ∠+∠+∠=︒，∴125BOA ∠=︒．随练1、 如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边成50°角，那么这个直角三角形的较小的内角是________度． 【答案】 25【解析】 暂无解析随练2、 图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，Rt △ABC 的顶点都是图中的格点，其中点A 、点B 的位置如图所示，则点C 可能的位置共有（ ）A.9个B.8个C.7个D.6个【答案】 A【解析】 暂无解析三角形的边知识精讲按角分直角三角形三角形中有一个角是直角斜三角形锐角三角形三角形中三个角都是锐角钝角三角形三角形中有一个角是钝角按边分不等边三角形三边都不相等的三角形等腰三角形底边和腰不相等的三角形有两条边相等的三角形等边三角形（正三角形）三边相等的三角形三角形任意两边的和大于第三边三角形任意两边的差小于第三边如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征叫做三角形的稳定性．除了三角形外，其他多边形不具备稳定性，因此在生产建设中，为达到巩固的目的，把一些构件都做成三角形结构．四．易错点1．在做与三角形的边有关的计算时，最后一定要注意检验是否满足三边关系定理，即最能否组成三角形．2．在应用三边关系判断三条线段能否组成三角形时，要注意“任意”二字．三点剖析考点：1. 按边分类；2. 三边关系；3. 稳定性重难点：1. 在应用三边关系判断能否组成三角形时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．2. 由三角形三边关系可得，如果a, b, c三条线段能够组成三角形，那么b c a b c-<<+.易错点：在做与三角形的边有关的计算时，最后一定要注意检验是否满足三边关系定理，即最终能否组成三角形.按边分类例题1、若下列各组值代表线段的长度，以它们为边能构成三角形的是（）A.6、13、7B.6、6、12C.6、10、3D.6、9、13【答案】D【解析】A、6＋7＝13，则不能构成三角形，故此选项错误；B、6＋6＝12，则不能构成三角形，故此选项错误；C、6＋3＜10，则不能构成三角形，故此选项错误；D、6＋9＞13，则能构成三角形，故此选项正确．例题2、各边长度都是整数、最大边长为11的三角形共有________个．【解析】 设另外两边长为x ，y ，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x ＋y≥12． 当y 取值11时，x ＝1，2，3，…，11，可有11个三角形； 当y 取值10时，x ＝2，3，…，10，可有9个三角形；当y 取值分别为9，8，7，6时，x 取值个数分别是7，5，3，1，∴根据分类计数原理知所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36．三边关系例题1、 下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ） A.2cm ，3cm ，5cm B.7cm ，4cm ，2cm C.3cm ，4cm ，8cm D.3cm ，3cm ，4cm 【答案】 D【解析】 A 、因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A 错误； B 、因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B 错误； C 、因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C 错误； D 、因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D 正确．例题2、 已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ） A.5 B.6 C.11 D.16 【答案】 C【解析】 设此三角形第三边的长为x ，则10﹣4＜x ＜10+4，即6＜x ＜14，四个选项中只有11符合条件． 故选：C ．例题3、 如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，求证：12AB AE BC AD AC ++>+【答案】 见解析【解析】 ∵AD BC ⊥∴AB AD ＞，在△AEC 中，AE EC AC +>．又∵AE 为中线，∴12EC BC =即12AE BC AC +>，∴12AB AE BC AD AC ++>+随练1、 已知一个三角形的第一条边长为（a+2b ）厘米，第二条边比第一条边短（b ﹣2）厘米，第三条边比第二条边短3厘米．（1）请用式子表示该三角形的周长；（2）当a=2，b=3时，求此三角形的周长． 【答案】 （1）3a+4b+1 （2）19【解析】 （1）第二条边长为：a+2b ﹣（b ﹣2）=（a+b+2）厘米， 第三条边长为：a+b+2﹣3=（a+b ﹣1）厘米， 则周长为：a+2b+a+b+2+a+b ﹣1=3a+4b+1； （2）当a=2，b=3时， 周长为：3×2+4×3+1=19．随练2、 在△ABC 中，若AB ＝5，BC ＝2，且AC 的长为奇数，则AC ＝________．ED CBA【解析】暂无解析随练3、如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有________对．【答案】3【解析】暂无解析稳定性例题1、下列图形中，不具有稳定性的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查的是三角形稳定性．A可以看成两个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；B可以看成一个三角形和一个四边形，而四边形不具有稳定性，则这个图形一定不具有稳定性，故本选项正确；C可以看成三个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；D可以看成7个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误．故选B．随练1、王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）A.0根B.1根C.2根D.3根【答案】B【解析】本题考查的是三角形稳定性．加上AC后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC，故这种做法根据的是三角形的稳定性．故选B．三角形的高、中线、角平分线知识精讲一．三角形的高线、中线、角平分线概念从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线三．易错点1.画三角形的高时，只要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高．特别是钝角三角形的高，有两条是在三角形外.2.三角形的角平分线是一条线段，而角的角平分线是一条射线.3.三角形的中线是线段4.三角形边上的高是线段，而该边的垂线是直线三点剖析考点：1.三角形的高、中线、角平分线；2.面积问题；重难点：1.锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；直角三角形两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点也在三角形的直角顶点处；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部.2.三角形三条中线的交点一定在三角形内部.3.每个三角形都有三条角平分线且交于一点，这个点叫三角形的内心，它也一定在三角形内部．易错点：1.画三角形的高时，只要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高．2.三角形的角平分线是一条线段，而角的角平分线是一条射线.三角形的高、中线、角平分线例题1、如图，在△ABC中，∠C=90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别为（）A.2cm、2cm、2cmB.3cm、3cm、3cmC.4cm、4cm、4cmD.2cm、3cm、5cm【答案】A【解析】∵△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，∴OE=OF=OD，设OE=x，∵S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OCB，∴12×6×8=12OF×10+12OE×6+12OD×8，∴5x+3x+4x=24，∴x=2，即点O到三边AB，AC和BC的距离都等于2．故选A．例题2、如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到'''A B C，图中标出了点B 的对应点'B．（1）补全'''A B C根据下列条件，利用网格点和三角板画图：（2）画出AB边上的中线CD；（3）画出BC边上的高线AE；（4）'''A B C的面积为________【答案】（1）如图所示：'''A B C即为所求；（2）如图所示：CD就是所求的中线；（3）如图所示：AE即为BC边上的高；（4）8．【解析】（1）连接BB'，过A、C分别做BB'的平行线，并且在平行线上截取AA CC BB'='='，顺次连接平移后各点，得到的三角形即为平移后的三角形；（2）作AB的垂直平分线找到中点D，连接CD，CD就是所求的中线．（3）从A点向BC的延长线作垂线，垂足为点E，AE即为BC边上的高；（4）4421628⨯÷=÷=．故'''A B C的面积为8．随练1、如图，在△ABC中，CD是高线，点E在CD上，且∠ACD＝∠DBE，则有（）A.BE⊥ACB.BE平分∠ABCC.∠BCD＝∠CBED.∠CBD＝∠BED【答案】A【解析】延长BE到AC上一点F，∵CD是高线，∴∠BED＝∠CEF，∠BDE＝90°，则∠DEB＋∠EBD＝90°，∵∠ACD＝∠DBE，∴∠ACE＋∠CEF＝90°，∴∠CFB＝180°－（∠ACE＋∠CEF）＝90°，即BE⊥AC，故A选项正确；随练2、如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD于H．下面判断正确的有________．（1）AD是在△ABC的角平分线（2）BE是的△ABD的AD边上的中线（3）CH为△ACD边AD上的中线（4）AH是△ACF的角平分线和高线．【答案】（1）（4）【解析】（1）根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故此说法正确；（2）根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法不正确；（3）根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法不正确；（4）根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．面积问题例题1、如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADC的面积为S l，△ACE的面积为S2，若S△ABC＝12，则S1＋S2＝________．【答案】14【解析】∵BE＝CE，∴1112622ACE ABCS S==⨯=，∵AD＝2BD，∴2212833ACD ABCS S==⨯=，∴S1＋S2＝S△ACD＋S△ACE＝8＋6＝14．例题2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，先以每秒2cm的速度沿A→C运动，然后以1cm／s的速度沿C→B运动．若设点P运动的时间是t秒，那么当t＝________，△APE的面积等于6．【答案】 1.5或5或9【解析】如图1，当点P在AC上，∵△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，∴CE＝4，AP＝2t．∵△APE的面积等于10，∴1124622APES AP CE t==⨯⨯=△，∴t＝1.5；如图2，当点P在线段CE上，∵E是DC的中点，∴BE＝CE＝4．∴PE＝4－（t－3）＝7－t，∴11(7)6622S EP AC t==-⨯=，∴t＝5，如图3，当P在线段BE上，同理：PE＝t－3－4＝t－7，∴11(7)6622S EP AC t==-⨯=，∴t＝9，综上所述，t的值为1.5或5或9．例题3、如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△A1B l C1的面积是14，那么△ABC的面积是（）A.2B.143C.3D.72【答案】A【解析】如图，连接AB1，BC1，CA1，∵A 、B 分别是线段A 1B ，B 1C 的中点，∴S △ABB1＝S △ABC ，S △A1AB1＝S △ABB1＝S △ABC ，∴S △A1BB1＝S △A1AB1＋S △ABB1＝2S △ABC ，同理：S △B1CC1＝2S △ABC ，S △A1AC1＝2S △ABC ，∴△A 1B 1C 1的面积＝S △A1BB1＋S △B1CC1＋S △A1AC1＋S △ABC ＝7S △ABC ＝14．∴S △ABC ＝2．随练1、 如图所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且S △ABC ＝4cm 2，则S 阴影等于（ ）A.2cm 2B.1cm 2C.12cm 2D.14cm 2 【答案】 B 【解析】 2111cm 24BCE ABC S S S ===△△阴影． 随练2、 如图，在△ABC 中，E 为AC 的中点，点D 为BC 上一点，BD ︰CD ＝2︰3，AD ，BE 交于点O ，若S △AOE －S △BOD＝1，则△ABC 的面积为________．【答案】【解析】 ∵点E 为AC 的中点，∴S △ABE=12S △ABC ． ∵BD ：CD=2：3， ∴S △ABD=25S △ABC ， ∵S △AOE -S △BOD=1，∴S △ABE -S △ABD=12S △ABC -25S △ABC=1， 解得S △ABC=10．故答案为：10随练3、 阅读下列材料：某同学遇到这样一个问题：如图1，在ABC ∆中，AB AC =，BD 是ABC ∆的高．P 是BC 边上一点，PM ，PN 分别与直线AB ，AC 垂直，垂足分别为点M ，N ．求证：BD PM PN =+．他发现，连接AP ，有ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，即111222AC BD AB PM AC PN ⋅=⋅+⋅．由AB AC =，可得BD PM PN =+． 他又画出了当点P 在CB 的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示．他猜想此时BD ，PM ，PN 之间的数量关系是：请回答：（1）请补全以下该同学证明猜想的过程；∵ABC APC S S ∆∆=-___________，∴1122AC BD AC ⋅=⋅_____12AB -⋅______， ∵AB AC =，∴BD PN PM =-．（2）参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：在ABC ∆中，AB AC BC ==，BD 是ABC ∆的高．P 是ABC ∆所在平面上一点，PM ，PN ，PQ 分别与直线AB ，AC ，BC 垂直，垂足分别为点M ，N ，Q ．图3，若点P 在ABC ∆的内部，则BD ，PM ，PN ，PQ 之间的数量关系是：_________________；②若点P 在如图4所示的位置，利用图4探究得出此时BD ，PM ，PN ，PQ 之间的数量关系是：________________________．【答案】 （1）见解析（2）①BD PM PN PQ =++②BD PM PQ PN =+-【解析】 该题考查的是等面积方法的应用．（1）由图可知∵ABC APC APB S S S ∆∆∆=-∴111222AC BD AC PN AB PM ⋅=⋅-⋅, ∵AB AC =∴BD PN PM =-（2）①连接AP 、BP 、CP参考该同学思考问题的方法，则有∵ABC APB APC BPC S S S S ∆∆∆∆=++，∴11112222AC BD AB PM AC PN BC PQ ⋅=⋅+⋅+⋅，∵AB AC BC ==，∴BD PM PN PQ =++．②过点P 分别作直线AB ，AC ，BC 的垂线P ，垂足分别为点M ，N ，Q ，分别连接接AP 、BP 、CP ，参考以上的思考方法，则有∵ABC APB BPC APC S S S S ∆∆∆∆=+-， ∴11112222AC BD AB PM BC PQ AC PN ⋅=⋅+⋅-⋅， ∵AB AC BC ==，∴BD PM PQ PN =+-．拓展1、 若一个三角形的三个内角的度数之比为3:4:2，那么这个三角形是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定【答案】 A【解析】 ∵三个内角的度数之比为3:4:2，∴三个内角的度数分别是60︒，80︒，40︒；∴该三角形是锐角三角形．2、 如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a b ∥，150∠=︒，260∠=︒，则3∠的度数为（ ）A.50︒B.60︒C.70︒D.80︒【答案】 C 【解析】 由题意：354∠=∠=∠，由124180∠+∠+∠=︒，故123180∠+∠+∠=︒，故370∠=︒。
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第三章 三角形一．认识三角形 1．三角形的概念由不在同一直线上的 三条线段首尾顺次相接所组成的 图形叫做三角形。
注意：①组成三角形的 三条线段要“不在同一直线上”；如果在同一直线上，三角形就不存在；②三条线段“首尾是顺次相接”，是指三条线段两两之间有一个公共端点，这个公共端点就是三角形的 顶点。
2、三角形分类按内角的大小可以分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
3、关于三角形三条边的关系根据公理“连结两点的线中，线段最短”可得三角形三边关系的 一个性质定理，即三角形任意两边之和大于第三边。
三角形三边关系的 另一个性质：三角形任意两边之差小于第三边。
设三角形三边的 长分别为a 、b 、c 则：①一般地，对于三角形的 某一条边a 来说，一定有|b-c|＜a ＜b+c 成立；反之，只有|b-c|＜a ＜b+c 成立，a 、b 、c 三条线段才能构成三角形；②特殊地，如果已知线段a 最大，只要满足b+c ＞a ，那么a 、b 、c 三条线段就能构成三角形；如果已知线段a 最小，只要满足|b-c|＜a ，那么这三条线段就能构成三角形。
4、关于三角形的内角和三角形三个内角的 和为180° ①直角三角形的 两个锐角互余；②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角； ③一个三角中至少有两个内角是锐角。
5、关于三角形的角平分线、高线和中线①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线； ②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高； ③任意一个三角形的 三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。
但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部，如图1；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条边，如图2；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的 外部，如图3。
④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。
F直角三角形钝角三角形锐角三角形鹏翔教图1ADCEBDBACFEA DCB二、图形的全等能够完全重合的 图形称为全等形。
全等图形的 形状和大小都相同。
只是形状相同而大小不同，或者说只是满足面积相同但形状不同的 两个图形都不是全等的 图形。
三、全等三角形1．全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
所谓“完全重合”，就是各条边对应相等，各个角也对应相等。
因此也可以这样说，各条边对应相等，各个角也对应相等的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
应用：证明两条线段相等和两个角相等。
3、三角形全等的条件（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”（2）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS” （3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”（4）两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS” 4、直三角形全等的条件（1）斜边和一条直角边对应相等的 两个直角三角形全等。
简称为“斜边、直角边”或“HL”。
这只对直角三角形成立。
（2）直角三角形是三角形中的 一类，它具有一般三角形的 性质，因而也可用“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”来判定。
直角三角形的 其他判定方法可以归纳如下： ①两条直角边对应相等的 两个直角三角形全等；②有一个锐角和一条边对应相等的 两个直角三角形全等。
③三条边对应相等的 两个直角三角形全等。
四．作三角形1．已知两个角及其夹边，求作三角形，是利用三角形全等条件“角边角”即（“ASA”）来作图的 。
2．已知两条边及其夹角，求作三角形，是利用三角形全等条件“边角边”即（“SAS”）来作图的 。
3．已知三条边，求作三角形，是利用三角形全等条件“边边边”即（“SSS”）来作图的 。
五、利用三角形的全等测距离，即三角形全等的应用第三章三角形经典练习 一. 选择题：1. 下列四种图形中，一定是轴对称图形的有（ ）① 等腰三角形 ② 等边三角形 ③ 直角三角形 ④ 等腰直角三角形 A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 2. 到三角形三边距离都相等的点是三角形（ ）的交点 A. 三边中垂线 B. 三条中线 C. 三条高 D. 三条内角平分线 3. 到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形（ ）的交点 A. 三边中垂线 B. 三条中线 C. 三条高 D. 三条内角平分线 4.如图，OP 平分,MON PA ON ∠⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若2PA =，则PQ 的最小值为（ ）A.1B.2C.3D. 45.如图，已知∠1＝∠2，则不一定．．．能使△ABD ≌△ACD 的条件是（） A ．AB ＝AC B ．BD ＝CD C ．∠B ＝∠C D ．∠ BDA ＝∠CDA6、如图下列条件中，不能．．证明△ABD ≌△ACD 的是（ ）. A.BD =DC ，AB =AC B.∠ADB =∠ADC C.∠B =∠C ，∠BAD =∠CAD D.∠B =∠C ，BD =DC第6题图7下列命题中，真命题是（ ）．(A)周长相等的锐角三角形都全等； (B) 周长相等的直角三角形都全等； (C)周长相等的钝角三角形都全等； (D) 周长相等的等腰直角三角形都全等．8．如图所示，90E F ∠=∠=o，B C ∠=∠，AE AF =，结论：①EM FN =；②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM △≌△．其中正确的有（第4题）AONM QPA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9.如图2所示，在ABC Rt ∆中，︒=∠90A ,BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ,且5,4==BD AB ,则点D到BC的距离是：（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 10．如图，给出下列四组条件：①AB DE BC EF AC DF ===，，； ②AB DE B E BC EF =∠=∠=，，； ③B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，； ④AB DE AC DF B E ==∠=∠，，．其中，能使ABC DEF △≌△的条件共有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组11.如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°12、如图，为估计池塘岸边A 、B 两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得15=OA 米，10=OB 米，A 、B 间的距离不可能是 （ ） A ．5米 B ．10米 C ． 15米 D ．20米13、下列命题中，错误的是（ ）． A ．三角形两边之和大于第三边 B ．三角形的外角和等于360°C ．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分D ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形14、如图，在Rt ABC △中，ο90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知ο10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ） A ．ο30 B ．ο40 C ．ο50 D ．ο60 15、如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ） A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与CD 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ACBABCD16、如图，将Rt△ABC(其中∠B＝340，∠C＝900）绕A 点按顺时针方向旋转到△AB 1 C 1的位置，使得点C 、A 、B 1 在同一条直线上，那么旋转角最小等于（ ） A.560B.680C.1240D.1800340B 1C BAC 1ADB17、如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ） A ．20° B ．30° C ．35° D ．40°18、尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS19、如图，为估计池塘岸边A B 、的距离，小方在池塘的一侧选取一点O ，测得15OA =米，OB =10米，A B 、间的距离不可能是（ ） A ．20米 B ．15米 C ．10米 D ．5米20、如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠ C ．OA OB = D ．AB 垂直平分OP二. 填空题：1. 我国国旗上的每一个五角星的对称轴有 条2. 在△ABC 中，边AB 、AC 的垂直平分线相交于点P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系为C AB B 'A 'OOABOBAP3. 如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE=3，△ABD 的周长为13，那么△ABC 的周长为4. 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在5. 线段是 图形，它的对称轴是6、已知△ABC 中，AB=BC≠AC，作与△ABC 只有一条公共边，且与△ABC 全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个.7.（2009年济宁市）观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 ． 三. 解答题： 1. 如图，点E 是Rt△ABC 的斜边AB 的中点，ED⊥AB，且∠CAD:∠BAD=5:2，则 ∠BAC 的度数是多少？2. 如图，AB=AC ，AB 的垂直平分线DE 交BC 延长线于E ，交AC 于F ，∠A=50°，AB+BC=6，则（1）△BCF 的周长为多少？（2）∠E 的度数为多少？3.已知：如图，∠ABC =∠DCB ，BD 、C A 分别是∠ABC 、∠DCB 的平分线．求证：AB =DC第1个第2个第3个4 、如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AF ＝DC ．求证：BC ∥EF ．5、两块完全相同的三角形纸板ABC 和DEF ，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O 为边AC 和DF 的交点.不重叠的两部分△AOF 与△DOC 是否全等？为什么？6.在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90º,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且AE=CF. (1)求证:Rt△AB E≌Rt△CBF; (2)若∠CAE=30º,求∠ACF 度数.7.如图6,AB BD ⊥于点B ,ED BD ⊥于点D ,AE 交BD 于点C ,且BC DC =. 求证AB ED =.AB CEF第6题图8．如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ． 试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．9.如图，D ，E ，分 别 是 AB ，AC 上 的 点 ，且AB=AC ，AD=AE ．求证∠B=∠C ．10.如图，在△ABC 中，AD 是中线，分别过点B 、C 作AD 及其延长线的垂线BE 、CF ，垂足分别为点E 、F ．求证：BE =CF ．11．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与B ，C 重合），F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE . 请你添加一个条件，使△BDE ≌△CDF (不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．（1）你添加的条件是： ； （2）证明：12．如图，分别过点C 、B 作△ABC 的BC 边上的中线AD 及其延长线的垂线，垂足分 A图6BCDEABCDEACB DF别为E、F．求证：BF=CE．13．如图，B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，AC∥DF，BF=CE．求证：AC=DF14．已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE,求证：AE=BD．题20图15．已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC．求证：∠ACE=∠DBF．16．如图，点A、E、B、D在同一条直线上，AE＝DB，AC＝DF，AC∥DF.请探索BC与EF有怎样的位置关系？并说明理由．ABC DEF11 17．如图，点B 、D 、C 、F 在一条直线上，且BC = FD ，AB = EF.（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使△ABC≌△EFD，你添加的条件是；（2）添加了条件后，证明△ABC≌△EFD.18．如图4，已知AC ∥DF ，且BE =CF .（1）请你只添加一个．．条件，使△ABC ≌△DEF ，你添加的条件是 ； （2）添加条件后，证明△ABC ≌△DEF.19．已知：点B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ∥DF ．求证：⑴ △ABC ≌△DEF ；⑵ BE ＝CF ．FAB CD E。