高中数学2-1_1曲线与方程习题新人教A版-1

2.1.1曲线与方程一、选择题1．【题文】已知直线:30l x y +-=和曲线()()22:232C x y -+-=，则点()2,1M 满足( )A ．在直线上，但不在曲线C 上B ．既在直线上，也在曲线C 上C ．既不在直线上，也不在曲线C 上D ．不在直线上，但在曲线C 上2．【题文】方程1x y +=表示的曲线是图中的 ( )3．【题文】已知点()0,0O ，(1,2)A -，动点P 满足3PA PO =，则点P 的轨迹方程是( )A ．22882450x y x y ++--=B ．22882450x y x y +---=C ．22882450x y x y +++-=D ．22882450x y x y +-+-=4．【题文】“曲线C 上的点的坐标都是方程(),0f x y =的解”是“曲线C 的方程是(),0f x y =”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5．【题文】方程1x -=表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一个圆D ．两个半圆6．【题文】如果曲线C 上的点满足方程(),0F x y =，则下列说法正确的是（ ）A ．曲线C 的方程是(),0F x y =B ．方程(),0F x y =表示的曲线是CC ．坐标满足方程(),0F x y =的点在曲线C 上D ．坐标不满足方程(),0F x y =的点不在曲线C 上7．【题文】已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于 ( )A ．B ．4πC ．8πD ．9π8．【题文】平面上有三点()()2,,0,,,2y A y B C x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若AB BC ⊥，则动点C 的轨迹方程是( )A ．28y x =B ．28y x =-C ．24y x =D ．24y x =-二、填空题9．【题文】已知02πα≤<，点()cos ,sin P αα在曲线()2223x y -+=上，则α的值为________．10．【题文】等腰△ABC 中，AB AC =，已知点()()3,2,0,1,A B -则点C 的轨迹方程为________．11．【题文】已知直线:2430l x y ++=，P 为上的动点，O 为坐标原点，点Q 分线段OP 为1:2两部分，则点Q 的轨迹方程为__________．三、解答题12．【题文】设过点(),P x y 的直线分别与轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =，且1OQ AB ⋅=.求P 点的轨迹方程．13.【题文】如图所示，已知()3,0A -，,B C 两点分别在y 轴和轴上运动，点P 为BC 延长线上一点，并且满足AB BP ⊥，12BC CP =，试求动点P 的轨迹方程．14．【题文】已知坐标平面上一点(),M x y 与两个定点()126,1M ，()22,1M ，且125MM MM =.（1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中轨迹为C ，过点()2,3P -的直线被C 所截得的线段长度为，求直线的方程.2.1.1曲线与方程参考答案与解析1.【答案】A【解析】把M 的坐标代入直线方程和曲线方程验证即可．考点：点与曲线的位置关系.【题型】选择题【难度】较易2.【答案】D【解析】分0x ≥，0y ≥；0x ≥，0y ≤；0x ≤，0y ≥；0x ≤，0y ≤四种情形去绝对值号，即可作出判断，其图形为条线段1,1x y x y +=±-=±围成的图形，故选D. 考点：由方程求曲线的图形.【题型】选择题【难度】一般3.【答案】A【解析】设P 点的坐标为(),x y ，整理得22882450x y x y ++--=.考点：求平面轨迹方程.【题型】选择题【难度】一般4.【答案】B【解析】“曲线C 的方程是(),0f x y =”包括“曲线C 上的点的坐标都是方程(),0f x y =的解”和“以方程(),0f x y =的解为坐标的点都在曲线C 上”两个方面，所以“曲线C 上的点的坐标都是方程(),0f x y =的解”是“曲线C 的方程是(),0f x y =”的其中一个条件，所以后者能推出前者，前者推不出后者，是必要不充分条件.考点：曲线的方程和方程的曲线的概念辨析和充分条件、必要条件的判断.【题型】选择题【难度】一般5.【答案】D 【解析】由题意，得1x ≥，即1x ≥或1x ≤-，方程两边平方整理得()()22111x y -+-=， 当1x ≥时，是以()1,1为圆心，以为半径的右半圆；当1x ≤-时，是以()1,1-为圆心，以为半径的左半圆.综上，方程表示的曲线是以()1,1为圆心，以为半径的右半圆与以()1,1-为圆心， 以为半径的左半圆合起来的图形，故选D ．考点：由方程求曲线的图形．【题型】选择题【难度】一般6.【答案】D【解析】曲线C 的方程是(),0F x y =需满足以下两个条件：①曲线C 上的点都满足方程(),0F x y =；②满足方程(),0F x y =的点都在曲线C 上.所以A ，B ，C 都不完全正确.因为曲线C 上的点都满足方程(),0F x y =，所以若点坐标不满足方程(),0F x y =，则该点也不会在曲线C 上，D 正确，故选D.考点：曲线的方程和方程的曲线的概念辨析.【题型】选择题【难度】一般7.【答案】B【解析】设(),P x y ，由2PA PB =得，=，整理得2240x x y -+=，即()2224x y -+=.所以点P 的轨迹是以()2,0为圆心，以为半径的圆，故4πS =.考点：求平面轨迹方程.【题型】选择题【难度】一般8.【答案】A【解析】∵()()2,,0,,,2y A y B C x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,,,22y y AB BC x ⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵AB BC ⊥，∴0AB BC ⋅=，∴2204y x -=，即28.y x = 考点:求平面轨迹方程.【题型】选择题【难度】一般9.【答案】3π或53π 【解析】由()22cos 2sin 3αα-+=，得1cos 2α=. 又因为02πα≤<，所以π3α=或5π3α=. 考点：点与曲线的位置关系.【题型】填空题【难度】较易10.【答案】226450x y x y +-+-=（除去点()0,1和()6,5-）【解析】设点C 的坐标为(),x y ，因为AB AC =，所以=，整理得226450x y x y +-+-=.因为,,A B C 三点不共线，所以要除去与,A B 确定的直线10x y +-=的交点()0,1，()6,5-. 考点：求平面轨迹方程.【题型】填空题【难度】一般11.【答案】2410x y ++=【解析】设点Q 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()11,x y ． ∵Q 分线段OP 为1:2，∴12OQ QP =，即()()111,,2x y x x y y =--， ∴()()1111,22x x x y y y =-=-，即113,3.x x y y =⎧⎨=⎩ ∵点P 在直线上，∴112430x y +=+.把13x x =，13y y =代入上式并化简，得 2410x y ++=.考点：求平面轨迹方程.【题型】填空题【难度】一般12.【答案】()223310,02x y x y +=>> 【解析】设(),0A a ，()0,B b ，则(),BP x y b =-，(),PA a x y =--，又2BP PA =， ∴22x a x =-，2y b y -=-，解得32a x =，3b y =，∴()0,3B y ，3,02A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴3,32AB x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∵Q 与P 关于y 轴对称，∴(),Q x y -，∴(),OQ x y =-．由1OQ AB ⋅=得()223310,02x y x y +=>>．考点：求平面曲线的轨迹方程.【题型】解答题【难度】一般13.【答案】24y x =【解析】设(),P x y ，()0,B y '，(),0C x '，则(),BC x y ''=-，(),CP x x y '=-， 由12BC CP =，得()()1,,2x y x x y '''-=-， 即3xx '=，2yy '=-，∴0,2y B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,03x C ⎛⎫⎪⎝⎭.又()3,0A -，∴33,,,22y y AB BP x ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由AB BP ⊥，得0AB BP ⋅=，∴23304x y -=，得24y x =，此即为动点P 的轨迹方程．考点:求平面曲线的轨迹方程.【题型】解答题【难度】一般14.【答案】（1）()()221125x y -+-=，轨迹是以()1,1为圆心，以为半径的圆 （2）2x =-或512460x y -+=【解析】（1）由125MM MM =5=，化简，得2222230x y x y +---=，所以点M 的轨迹方程是()()221125x y -+-=．轨迹是以()1,1为圆心，以为半径的圆．（2）当直线的斜率不存在时，:2l x =-，此时所截得的线段的长为8=， 所以:2l x =-符合题意．当直线的斜率存在时，设的方程为()32y k x -=+，即230kx y k -++=，圆心到的距离d =，由题意，得22245+=， 解得512k =． 所以直线的方程为5230126x y -+=，即512460x y -+=． 综上，直线的方程为2x =-或512460x y -+=.考点：求平面曲线的轨迹方程.【题型】解答题【难度】一般。