圆的切线的判定和性质 知能优化训练(答案解析) 高中数学选修4-1 北师大版
圆的切线的判定和性质 课时作业(答案解析) 高中数学选修4-1 北师大版
选修4-1 第1章1.2.2课时作业一、选择题1．AB 是⊙O 的切线，能确定CD ⊥AB 的条件是( )A ．O ∈CDB ．CD 过切点C ．O ∈CD ，且CD 过切点 D ．CD 是⊙O 的直径【解析】 由切线的性质定理知，选项C 正确．【答案】 C2．如图1－2－33所示，在△ABC 中，BC ＝14 cm ，AC ＝9 cm ，AB ＝13 cm ，内切圆分别和BC ，AC ，AB 切于D ，E ，F ，那么AF ，BD ，CE 分别为( )图1－2－33A ．AF ＝4 cm ，BD ＝9 cm ，CE ＝5 cmB ．AF ＝4 cm ，BD ＝5 cm ，CE ＝9 cmC ．AF ＝5 cm ，BD ＝4 cm ，CE ＝9 cmD ．AF ＝9 cm ，BD ＝4 cm ，CE ＝5 cm【解析】 由题意知AE ＝AF ，CE ＝CD ，BD ＝BF ，且AC ＝9 cm ，BC ＝14 cm ，AB ＝13 cm ，则⎩⎨⎧ AF ＋BD ＝13BD ＋CE ＝14CE ＋AF ＝9，解得AF ＝4，BD ＝9，CE ＝5.【答案】 A3．(2013·商丘模拟)如图1－2－34所示，⊙O 是正△ABC 的内切圆，切点分别为E 、F 、G ，点P 是弧EG 上的任意一点，则∠EPF 等于( )图1－2－34 A．120°B．90°C．60°D．30°【解析】如图所示，连接OE、OF.∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°.∴∠EOF＋∠ABC＝180°.∴∠EOF＝120°.∴∠EPF＝12∠EOF＝60°.【答案】 C4．如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD＝DC，则sin ∠ACO等于()A.1010 B.210C.55 D.24【解析】连接BD，作OE⊥AC于E. ∵BC切⊙O于B，∴AB⊥BC，∵AB为直径，∴BD⊥AC，∵AD＝DC，∴BA＝BC，∠A＝45°，设⊙O的半径为R，∴OC ＝BC 2＋OB 2＝4R 2＋R 2＝5R .OE ＝22R ，∴sin ∠ACO ＝OE OC ＝22R 5R＝1010. 【答案】 A二、填空题5．如图1－2－35，在半径分别为5 cm 和3 cm的两个同心圆中，大圆的弦AB 与小圆相切于点C ，则弦AB 的长为________cm.图1－2－35【解析】连接OA 、OC ，∵AB 是小圆的切线，∴OC ⊥AB ，∴AC ＝12AB . ∵在Rt △AOC 中，AC ＝52－32＝4(cm)，∴AB ＝8 cm.【答案】 86．如图1－2－36所示，AC 切⊙O 于D ，AO 的延长线交⊙O 于B ，且AB ⊥BC ，若AD ∶AC ＝1∶2，则AO ∶OB ＝________。
圆的切线的判定和性质 课后作业(答案解析)提升 高中数学选修4-1 北师大版
第二课时圆的切线的判定和性质1．下列直线是圆的切线的是() A．与圆有公共点的直线B．垂直于圆的半径的直线C．过圆半径的外端点的直线D．到圆心距离等于该圆半径的直线答案：D2．已知AB是⊙O的切线，下列条件可推出AB⊥CD的是() A．AB与⊙O相切于CD上的C点B．CD经过圆心C．CD为直径D．AB与⊙O相切于C点，且直线CD经过圆心答案：D3．如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB 的延长线交于P，PC＝5，则⊙O的半径是()A.533 B.536C．10 D．5答案：A4．下列说法正确的是()A．垂直于半径的直线是圆的切线B．垂直于切线的直线必经过圆心C．圆的切线垂直于经过切点的半径D．垂直于切线的直线必经过切点答案：C5．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D，AC ＝4，CD＝1，则⊙O的半径等于()A.45 B.54C.34 D.56答案：A6．如图，△ABC外切于⊙O，切点分别为D、E、F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O 的半径为3，△ABC的周长为________．答案：207．如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动，当⊙O移动到与AC边相切时，OA的长为________．答案：23 38．如图，从圆外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，点A、B为切点．求证：(1)PO平分∠APB；(2)PO垂直平分线段AB.证明：(1)连接OA、OB，则OA⊥PA，OB⊥PB，OA＝OB.又PO＝PO，所以△PAO≌△PBO.故∠APO＝∠BPO，即PO平分∠APB.(2)由上面证明可知△PAO≌△PBO，所以PA＝PB.又PO平分∠APB，由等腰三角形三线合一定理，知PO垂直平分线段AB.9．如图，BD为⊙O的直径，AD交BC于点E，AE＝2，ED＝4.(1)求AB的长；(2)延长DB到点F，使BF＝BO，连接FA，证明：FA与⊙O相切．解：(1)AB＝2 3.(2)证明：连接OA.∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°.∴BD＝AB2＋AD2。
弦切角定理 知能优化训练(答案解析) 高中数学选修4-1 北师大版
[学生用书P26～P27]1．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为直径，D为BC延长线上一点，PC切⊙O于C点，∠PCD＝20°，则∠A＝()A．20°B．30°C．40°D．50°解析：选A.∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝∠ACP＝180°－90°－20°＝70°，∴∠A＝90°－70°＝20°.2.已知，如图，P A切⊙O于点A，BC是⊙O的直径，BC的延长线交AP于P，AE⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.其中：∠B、∠AEC都与∠CAP相等，连接OA、OE，∵OC⊥AE，∴OC垂直平分AE，∴△ACE为等腰三角形，∴∠EAC＝∠AEC＝∠CAP.3．如图，P A，PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，C是上的一点，已知⊙O的半径为r，PO＝2r，设∠P AC＋∠PBC＝α，∠APB＝β，则α与β的大小关系为()A．α＞βB．α＝βC．α＜βD．不确定解析：选B.连接AB 、AO ， ∴∠P AC ＝∠ABC ， ∠PBC ＝∠BAC ， ∴α＝∠P AC ＋∠PBC ＝12(∠P AB ＋∠PBA ) ＝12(180°－∠APB )， ∵AO ＝r ，P A 切⊙O 于A ，AO ⊥P A 且PO ＝2r ， ∴∠APO ＝30°，∴∠APB ＝2∠APO ＝60°，∴α＝12(180°－60°)＝60°＝β.4.已知：如图，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，PCD 为⊙O 的割线． 求证：AC ·BD ＝AD ·BC . 证明：∵P A 是切线， ∴∠P AC ＝∠PDA ， ∵∠APC ＝∠APD ， ∴△APC ∽△DP A . ∴AC AD ＝P A PD .同理BC BD ＝PB PD. ∵P A ＝PB ，∴AC AD ＝BCBD.∴AC ·BD ＝AD ·BC .5．弦切角的定义是( )A ．一条切线和一条弦组成的角B ．顶点在圆上，一边是切线，另一边是射线组成的角C ．顶点在圆上，两边与圆相交的角D ．顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角 解析：选D.根据弦切角的定义易得答案． 6.如图，PC 与⊙O 相切于C 点，割线P AB 过圆心O ，∠P ＝40°，则∠ACP 等于( ) A ．20° B ．25° C ．30° D ．40° 解析：选B.连接OC (图略)，∴OC ⊥PC . 又∵∠P ＝40°，∴∠COP ＝50°，∴∠ACP ＝12×50°＝25°.7．判断如图中的角：∠BAC ，不是弦切角的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D 8.如图，AB 是⊙O 的直径，DB 、DC 分别切⊙O 于B 、C ，若∠ACE ＝25°，则∠D 为( ) A ．50° B ．55° C ．60° D ．65° 解析：选A.如图所示，连接BC .根据弦切角定理，得∠ACE ＝∠ABC ＝25°. 又∵AB ⊥BD ，∴∠CBD ＝90°－∠ABC ＝65°. ∵DC 、DB 是圆的切线， ∴∠CBD ＝∠DCB ＝65°， ∴∠D ＝180°－2×65°＝50°，故选A. 9.如图，AD ⊥直径CE ，AB 为⊙O 的切线，A 为切点，若∠1＝30°，则∠2＝( ) A ．15° B ．20° C ．25° D ．30°解析：选D.连接AE (图略)，∵CE 是直径， ∴∠CAE ＝90°，∴∠E ＋∠ACE ＝90°，AD ⊥EC ， ∴∠ADC ＝90°，∴∠2＋∠ACE ＝90°，∴∠2＝∠E ， 又AB 切⊙O 于A ，AC 是弦，∴∠1＝∠E ， ∴∠1＝∠2. 10.。
截面欣赏 知能优化训练(答案解析) 高中数学选修4-1 北师大版
[学生用书P 46～P 47]1．用一个平面去截球可能得到的截面为( ) A ．椭圆 B ．正方形 C ．圆或点 D ．双曲线 答案：C2．正方体的全面积是a ，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是( ) A.πa 3 B.πa 2 C ．πa D ．2πa解析：选B.设正方体的棱长为x ，则a ＝6x 2，而球半径R ＝32x ，∴S 球＝4πR 2＝3πx 2＝πa2.3.如图，圆柱的轴截面是边长为5 cm 的正方形ABCD ，则圆柱侧面上从A 到C 的最短距离为( )A ．10 cm B.52π2＋4 cmC ．5 2 cmD ．5π2＋1 cm解析：选B.如下图是圆柱的侧面展开图，则AC 长为圆柱侧面上从A 到C 的最短距离．设圆柱的底面半径为r ，则r ＝52.∴底面圆周长l ＝2πr ＝5π，∴AB ＝52π，AD ＝BC ＝5，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝(52π)2＋52＝52π2＋4(cm)．4．已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，求这两个截面间的距离． 解：设球心为O ，两截面的圆心分别为C 、D ，由已知2π·CE ＝12π，得CE ＝6，由2π·DF ＝16π，得DF ＝8，当两截面在球心同侧时，如图(1)．CD ＝OC －OD ＝OE 2－EC 2－OF 2－DF 2＝102－62－102－82＝2； 当两截面在球心两侧时，如图(2)所示．CD ＝OC ＋OD ＝OE 2－EC 2＋OF 2－DF 2＝14.故两个截面间的距离为2或14.5．从球外一点引球的切线，则( )A ．可以引无数条切线，所有切点组成球的一个大圆B ．可以引无数条切线，所有切点组成球的一个小圆C ．只可以引两条切线，两切点的连线过球心D ．只可以引两条切线，两切点的连线不过球心 解析：选B.根据球的切线性质知B 正确．6．已知球的半径R ＝6，过球外一点P 作球的切线长为8，则P 点到球面上任意一点Q 的最短距离为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析：选B.设点P 到球心的距离为d ， 则d ＝62＋82＝10，∴PQ 的最短距离为10－6＝4. 7．(2012·汕头高二检测)一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面图可能是( )A ．①③B ．②③C ．①③④D ．①②③解析：选D.根据截面的位置不同，可得到的截面形状可能是①②③，但不可能为④，故选D.8．已知三棱锥S －ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC ＝2r ，则球的体积与三棱锥体积之比是( ) A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 解析：选D.如图所示，由题意知OA ＝OB ＝OS ＝r ，且△ACB 为直角三角形，所以V 球V 锥＝43πr 313×12(2r )2×r ＝4π.9．某管理员为加强对体育组环境的管理，订做了半径为2R ，高为20R 的圆柱形筐(有盖也有下底)，用来盛放半径为R 的篮球，则该筐最多可放篮球的个数为( ) A ．12 B ．13 C ．24 D ．26解析：选D.通过构造几何模型来完成解答．设A 、B 为同一层球的球心，C 、D 为相邻一层的球心，这四个球心A 、B 、C 、D 的连线刚好构成一个正四面体，相邻两层之间距离即为正四面体对棱之间的距离EF (如图所示)．易求得EF ＝2R ，20R －2R2R＝12.7.共13个“间隔”，即共放了13层， ∴13×2＝26.∴该筐最多可放篮球的个数为26.10．球的半径为R ，则它的外切正方体的棱长为________，内接正方体的棱长为________． 解析：外切正方体的棱长为2R ，内接正方体的体对角线是球的直径，故3a ＝2R (a 是内接正方体的棱长)，∴a ＝233R .答案：2R 233R11．平面α与球O 相交，截面圆圆心为O 1，若OO 1＝3，截面圆半径为4，则球O 的半径为________．解析：设球O 的半径为R ， 由题意知R 2＝32＋42＝25， ∴R ＝5. 答案：512．在球面上有四点P 、A 、B 、C ，若P A 、PB 、PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝a ，求这个球的体积和表面积． 解：由P A ⊥PB 可知P 、A 、B 确定一个平面，设它与球O 的交线为⊙O 1，由于P A ⊥PB ，故AB 是⊙O 1的直径，且 AB ＝AP 2＋BP 2＝2a . ∵PC ⊥P A ，PC ⊥PB ， ∴PC ⊥平面P AB . 又OO 1⊥平面P AB ， ∴OO 1∥PC .过OO 1、PC 作平面α交球面为大圆O ，设⊙O 与⊙O 1的另一个交点为Q ，则直线PQ 是平面α与平面P AB 的交线，点O 1∈PQ ，连CQ ，在⊙O 中， ∵PC ⊥PQ ，∠CPQ 为直角，∴CQ 为⊙O 的直径．设⊙O 的半径为R ，即球O 的半径为R ，在Rt △CPQ 中， CQ ＝PC 2＋PQ 2＝a 2＋(2a )2＝3a ，∴2R ＝3a ，即R ＝32a ，∴V 球＝4π3(32a )3＝32πa 3，S 球＝4π(32a )2＝3πa 2.。
北师大版高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》检测卷(有答案解析)
一、选择题1．若点P 在圆22(1)1x y -+=上运动，(,1)Q m m --，则PQ 的最小值为（ ） A ．22B ．21-C ．21+D ．22．过点(0,1)且倾斜角为3π的直线l 交圆2260x y y +-=于A ，B 两点，则弦AB 的长为（ ） A ．10B ．210C ．22D ．423．直线1+=kx y 与圆()41)2(22=-+-y x 相交于P 、Q 两点。
若22PQ ≥,则k 的取值范围是（ ） A ．]0,43[-B ．]33,33[- C ．]1,1[- D ．]3,3[- 4．若直线2=-y x 被圆4)()1(22=++-a y x 所截的的弦长为22，则实数a 的值（ ）A 、－2或6B 、0或4C 、－1 或3D 、－1或35．已知点(,)M a b ，(0)ab ≠是圆222:O x y r +=内一点，直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，直线n 的方程是2ax by r +=，那么（ ） A ．//m n 且n 与圆O 相离 B ．//m n 且n 与圆O 相交C ．m 与n 重合且n 与圆O 相离D ．m n ⊥且n 与圆O 相交6．过点()3,1P 作圆()22:21C x y -+=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-= 7．与圆相切，并在轴、轴上的截距相等的直线共有A ．6条B ．5条C ．4条D ．3条8．已知点P 是圆22:450C x y x ay +++-=上任意一点， P 点关于直线210x y +-=的对称点在圆上，则实数a 等于（ ） A ．10 B ．10- C ．20 D ．20-9．直线20x y -+=与圆222x y +=的位置关系为（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定10．已知斜率为k 的直线l 平分圆22230x y x y +-+=且与曲线2y x = 恰有一个公共点，则满足条件的k 值有（ ）个. A ．1 B ．2C ．3D ．011．设在圆上运动，且，点在直线上运动，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．经过直线l :220x y +-=上的点P ，向圆:221x y +=引切线，切点为A ，则切线长PA 的最小值为（ ）A ．2B ．22C ．3D ．23二、填空题13．已知0a >，0b >，0c >，且222c a b =+，()1,0A a -，()2 ,0A a ，()0,B b ，() ,0F c ．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点()1,2i P i =，使得i 1i 2PA PA ⊥，则实数ca的取值范围是___． 14．已知点A 在直线20x y a ++=上，过点A 引圆22:1O x y +=的切线，若切线长的最小值为255，则实数a 的值为__________． 15．已知P 为平面内一点，且(1,0),(1,0)A B -，若3PA PO =，2PB PO =，则点P 的横坐标等于________16．（几何证明选讲选做题）如图，圆O 中的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A 作圆O 的切线与 O C 的延长线交于点P ，则图PA=___________．17．（几何证明选做题）如图，已知P 是O 外一点，PD 为O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，若12,43PF PD ==则EFD ∠的度数为____．18．已知圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4的圆心为C，点P，Q在圆上，若△CPQ的面积是3，则C到直线PQ的距离为_____．19．如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O 的半径r＝________.20．（几何证明选讲选做题）如图，过圆O外一点P分别作圆PB=，C是圆上一点使得的切线和割线交圆于,A B．且7∠=∠，则AB=_____.5BC=，BAC APB三、解答题21．如图，从圆O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为,A B，AB与OP交于点、、、四点共圆．M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，求证：O C P D22．已知点,直线与圆相交于两点, 且,求. （1）的值； （2）线段中点的轨迹方程； （3）的面积的最小值.23．一个圆的圆心在直线x- y -1= 0上，与直线4x + 3y + 14 = 0相切，在3x+4y+10=0上截得弦长为6，求圆的方程．24．已知圆C 的圆心在直线2y x =-上.（1）若圆C 经过()3,2A -和()0,5B -两点，且与y 轴与另一交点为P ，直线l 过点P 且与圆C 相切.设D 是圆C 与x 轴正半轴的交点，直线BD 与直线l 交于点R .试求圆C 的方程，并判断以PR 为直径的圆与直线CD 的位置关系（说明理由）；（2）设点()0,3M ，若圆C 半径为3，且圆C 上存在点N ，使2MN NO =，求圆心C 的横坐标的取值范围.25．记事件A 为“直线0=-by ax 与圆6)22(22=+-y x 相交”（1）若将一颗骰子先后掷两次得到的点数分别记为b a ,，求事件A 发生的概率 （2）若实数b a ,满足4)1()3(22≤-+-b a ，求事件A 发生的概率． 26．（本小题12分）已知圆,02042:22=---+y x y x C 直线()().046112:=--++-m y m x m l（Ⅰ）求证：直线l 与圆C 相交；（Ⅱ）计算直线l 被圆C 截得的最短的弦长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】由圆的方程求得圆心和半径；根据Q 点坐标可得其轨迹为一条直线，则所求的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，利用点到直线距离公式求得距离后，代入可得结果. 【详解】由圆的方程得：圆心坐标()1,0C ，半径1r =(),1Q m m -- Q ∴点轨迹为：1y x =--，即10x y ++=∴圆心到直线距离：d ==min 1PQ d r ∴=-=本题正确选项：B 【点睛】本题考查圆上的点到直线上的点的距离的最小值的求解问题，关键是能够通过点的坐标得到轨迹方程.2．D解析：D 【解析】 【分析】写出直线l 的方程，求圆心到直线l 的距离，再利用弦长公式进行求解即可． 【详解】过点()0,1且倾斜角为3π的直线l 为10y -+=, ∵圆()22226039x y y x y +-=+-=即，∴圆心（0，3），半径r =3， 圆心到直线l10y -+=的距离d =312-+=1，∴直线被圆截得的弦长l= 故选：D ． 【点睛】本题考查了直线被圆截得的弦长公式l =3．C解析：C 【解析】试题分析：由已知知：圆()41)2(22=-+-y x 的圆心为()2,1，半径为2r =，直线1+=kx y 过点()0,1P ，且()0,1P在圆上；因为PQ ≥，所以圆心到直线的距离d =≤21k ≤，解得11k -≤≤.故选C.考点：直线与圆的位置关系；圆的弦长；点到直线的距离.4．D解析：D 【解析】试题分析：由圆的方程4)()1(22=++-a y x 可知圆心为()1,a -,半径为2.圆心()1,a -到直线2=-y x 的距离()22121211a a d +--==+-.由题意可得222122222a ⎛⎫⎛-⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得3a =或1a =-.故D 正确. 考点：圆的弦长问题.5．A解析：A 【解析】试题分析：直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，所以m PO ⊥，所以m 的斜率为ab-，所以//n m ，圆心到直线n 的距离为222r a b+，因为M 在圆内，所以2ax by r +<，所以222r r a b>+，所以直线n 与圆相离，故选A ．考点：直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及应用，属于中档试题，对于直线和圆的位置关系分为相交、相离、相切三种情形，常利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断，本题解答中利用直线m 是以点M 为中点的弦所在直线可求得其斜率，进而根据直线n 的方程可判断出两直线平行，表示出点到直线n 的距离，根据点M 在园内判断出,a b 和r 的关系，进而判断长圆心到直线n 的距离大于半径，判断长二者的关系是相离．6．A解析：A【解析】试题分析：根据题意，过点P （3，1）作圆C ： ()2221x y -+=的切线，切点A 、B 的坐标分别为（2，1），（3，0），∴直线AB 的方程为： ()10323y x -=--，即x ＋y －3＝0，故选A ．考点：考查了圆的切线和直线方程．点评：解本题的关键是求出两个切点的坐标，然后根据两个点的坐标求出直线方程．7．C解析：C 【解析】试题分析：由圆的方程知圆的圆心为，半径为，而该直线在轴、轴上的截距相等可得斜率，所以设直线方程为．由直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，得，解得或．当时，；当时，（舍去）或，故选C ．考点：直线与圆的位置关系．8．B解析：B【解析】试题分析：将圆22:450C x y x ay +++-=化成标准方程()2222924a a x y ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，故圆心为2,2a C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，依意可知直线210x y +-=过点圆心C ，所以()2210102aa ⨯---=⇒=-，故选B ．考点：1．圆的方程；2．直线与圆的位置关系．9．B解析：B 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系. 【详解】设圆心到直线的距离为d,则d r ==，所以直线与圆相切，故选B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属于中档题.10．C解析：C 【解析】 【分析】直线平分圆可知，直线经过圆心，从而可得直线的方程，然后和曲线的方程联立，根据公共点的个数，确定k 的值. 【详解】圆22230x y x y +-+=的圆心为3(1,)2-，所以设直线为3(1)2y k x +=-. 联立23(1)2y k x y x ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩，得2302ky y k ---=. 因为恰有一个公共点，所以0k =或者0314()02k k k ≠⎧⎪⎨---=⎪⎩，解得k =. 综上可得，k 的值有3个，故选C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，利用公共点的个数确定参数，一般是联立方程后，根据方程解得情况来求解.11．D解析：D【解析】试题分析：设的中点为，由平行四边形法则可知所以当且仅当三点共线时，取得最小值，此时直线，因为圆心到直线的距离为，所以取得最小值为故答案选考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离；平面向量.12．C解析：C 【解析】试题分析：设直线直线l :220x y +-=为直线MN ，过圆心O 作直线OP MN ⊥，连接OA ，如图所示：由PA 为圆O 的切线，得到OA PA ⊥，即90OAP ∠=︒，221x y +=，故圆心O 坐标为00（，），半径3OA =， 则圆心O 到直线220x y +-=的距离22101022211OP ⨯+⨯-==+，在Rt OAP 中，根据勾股定理得：223AP OP OA =-=故选C考点：点到直线的的距离二、填空题13．【解析】【分析】利用距离关系即可列出不等式从而得到取值范围【详解】解：直线方程即由已知得且则可得到由于所以则由于则所以所以解得：【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系的关系利用点线距建立不等式是解题的 解析：5122c a +<<【解析】 【分析】利用距离关系即可列出不等式，从而得到取值范围. 【详解】解：直线BF 方程1x yc b +=，即b x+c y-b c=0，由已知得22bc d a b c=<+且a b <则可得到42310e e -+<，由于e>1，所以e>1，则512e +<,由于a b <则222a c a <-，所以2e >，所以5122c a +<<解得：5122c a +<<【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系的关系，利用点线距建立不等式是解题的关键，难度中档.14．【解析】【分析】根据题意画出图形结合图形求出点O 到直线的距离d 利用勾股定理求出的值得到结果【详解】设点O 到直线的距离为d 则又过垂足引圆的切线切线长的最小值为则有解得故答案是【点睛】该题考查的是有关圆 解析：3±【解析】 【分析】根据题意，画出图形，结合图形求出点O 到直线20x y a ++=的距离d ，利用勾股定理求出a 的值，得到结果. 【详解】设点O 到直线20x y a ++=的距离为d ，则5a d =，又过垂足引圆221x y +=的切线，切线长的最小值为255， 则有24155a +=，解得3a =±，故答案是3±. 【点睛】该题考查的是有关圆的切线问题，涉及到的知识点有点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，特殊的三角形，正确转化题的条件是解题的关键.15．【解析】【分析】先根据条件化简得方程组解得点P 的横坐标【详解】设则由得即解得【点睛】本题考查轨迹方程及其交点坐标考查基本分析求解能力属基础题解析：16【解析】 【分析】先根据条件化简得方程组，解得点P 的横坐标. 【详解】设(,)P x y ，则由3PA PO =，2PB PO =得22222222(1)3(),(1)2()x y x y x y x y ++=+-+=+，即2222212(),21x x y x x y +=+-+=+，解得1.6x = 【点睛】本题考查轨迹方程及其交点坐标，考查基本分析求解能力，属基础题.16．【解析】连接OA ∵圆O 的圆周角∠ABC 对弧AC 且∠ABC=30°∴圆心角∠AOC=60°又∵直线PA 与圆O 相切于点A 且OA 是半径∴OA ⊥PA ∴Rt △PAO 中OA=1∠AOC=60°∴PA=OAtan 解析：【解析】 连接OA ，∵圆O 的圆周角∠ABC 对弧AC ，且∠ABC=30°， ∴圆心角∠AOC=60°．又∵直线PA 与圆O 相切于点A ，且OA 是半径， ∴OA ⊥PA ，∴Rt △PAO 中，OA=1，∠AOC=60°， ∴PA=OAtan60°=故答案为17．30°【详解】由切割线定理得连接ED 则∴又∴∴故答案为：解析：30°. 【详解】由切割线定理得2PD PE PF =⋅2163412PD PE PF ⨯⇒===，1248EF PF PE ∴=-=-=,连接OD ,ED ,则142OE OD EF ===, 448PO PE EO =+=+=，∴12OD PO =， 又OD PD ⊥，∴30P ∠=,∴60POD ∠=, ∴113022EFD EOD POD ∠=∠=∠=， 故答案为：30︒.18．1或【解析】【分析】设到直线的距离为根据圆的弦长公式利用三角形面积公式可得结合可得的值【详解】根据题意设到直线的距离为圆的半径若的面积是则即解可得或故答案为或【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及圆解析：13【解析】 【分析】设C 到直线PQ 的距离为d ，根据圆的弦长公式，利用三角形面积公式可得221232S d r d =⨯⨯-=，结合2r 可得d 的值.【详解】根据题意，设C 到直线PQ 的距离为d ， 圆()()22344x y -+-=的半径2r ，若CPQ ∆的面积是3，则221232S d r d =⨯⨯-=， 即243d d ⨯-=，解可得1d =或3，故答案为1或3. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及圆的弦长公式的应用，属于基础题. 求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式2121l k x x =+-，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.19．【详解】设⊙O 的半径为r(r ＞0)∵PA ＝1AB ＝2∴PB ＝PA ＋AB ＝3延长PO 交⊙O 于点C 则PC ＝PO ＋r ＝3＋r 设PO 交⊙O 于点D 则PD ＝3－r 由圆的割线定理知PA·PB ＝PD·PC ∴1×3＝ 解析：6【详解】设⊙O 的半径为r (r ＞0)，∵PA ＝1，AB ＝2，∴PB ＝PA ＋AB ＝3. 延长PO 交⊙O 于点C ，则PC ＝PO ＋r ＝3＋r .设PO 交⊙O 于点D ，则PD ＝3－r . 由圆的割线定理知，PA ·PB ＝PD ·PC ， ∴1×3＝(3－r )(3＋r )，∴9－r 2＝3，∴r 620．【解析】由题设知:又于是有得所以 35【解析】由题设知:ACB PAB ∠=∠,又BAC APB ∠=∠, 于是有ACB PAB ∆~∆,得AB CBPB AB= 所以35AB =三、解答题21．证明见解析 【分析】先根据,PA PB 为圆O 的两条切线,得到OP 垂直平分弦AB ,进而得到2OM MP AM ⋅=;再结合相交弦定理即可得到AM BM CM DM ⋅=⋅,二者相结合得到三角形相似,进而即可得到,,,O C P D 四点共圆. 【详解】因为PA ，PB 为圆O 的两条切线，所以OP 垂直平分弦AB ， 在R t OAP ∆中，2OM MP AM ⋅=， 在圆O 中，AM BM CM DM ⋅=⋅， 所以，OM MP CM DM ⋅=⋅，.由于圆中同弦所对的圆心角相等, 所以, , , O C P D 四点共圆． 【点睛】本题主要考查与圆有关的比例线段、相交弦定理的应用及切线性质的应用，考查了四点共圆问题，是对基础知识的考查. 22．（1）；（2）；（3）．【解析】试题分析：（1）利用，得圆心到直线的距离，从而，再进行化简，即可求解的值；（2）设点的坐标为，则代入①，化简即可求得线段中点的轨迹方程；（3）将面积表示为，再利用基本不等式，即可求得的面积的最小值．试题 （1）直线的方程,即:, 圆圆心到的距离即：，化简得，．①（2）设点的坐标为,则代入①得即：为所求的轨迹方程．（3）,当时, 面积最小, 最小值为．考点：直线与圆的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的综合问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、轨迹方程的求解，以及基本不等式的应用求最值等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中将面积表示为，再利用基本不等式是解答的一个难点，属于中档试题．23．()()251222=-+-y x .【解析】试题分析：由题意设圆心为()1,-a a ，半径为r ，利用圆与直线01434=++y x 相切，在01043=++y x 上截得弦长为6，列出方程组，求出a ，r ，得到圆的方程．试题由圆心在直线01=--y x 上，可设圆心为()1,-a a ，半径为r ，由题意可得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++==+-+22510139514134a a r r a a ，经计算得2=a ，5=r 所以所求圆的方程为()()251222=-+-y x .考点：直线与圆的位置关系.24．（1） ()2229x y ++=，此时PR 为直径的圆与直线CD 相切；（2）30a -≤≤或14a ≤≤.【解析】试题分析：（1）设出圆的方程220x y Dx Ey F ++++=，利用待定系数法即可求解圆的方程，再求出以PR 为直径的圆S 到CD 的距离，得到d r =，即可得到结论；（2）点N在圆()22:14E x y ++=上，由点N 在圆C 上，圆E 圆N 有公共点，进而确定不等式关系，即可求解a 的取值范围. 试题（1）设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则圆心为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 由题意知222133202550E D D E F E F ⎧-=--⎪⎪+-+=⎨⎪-+=⎪⎩解得：0,4,5D E F ===-，∴圆()22:29C x y ++=知()()0,10,5P B -、，则:1l y =，设)D，:5,DB y R ⎫=-⎪⎪⎝⎭，以PR为直径的圆的圆心5S ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，半径r =:2CD y x =-，即20x -= 以PR 为直径的圆的圆心S 到CD 的距离设为d则d ==故以PR 为直径的圆与直线CD 相切（2）设圆心(),2C a a -，设(),N x y ，2MN NO =，∴()2222344x y x y +-=+， ∴点N 在圆()22:14E x y ++=上又点N 在圆C 上，∴圆E 与圆C 有公共点∴3232EC -≤=≤+∴30a -≤≤或14a ≤≤考点：圆的方程；直线与圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了圆的方程的求解，直线与圆的位置关系的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题思维量大、运算繁琐，需要仔细解答、认真运算，属于难题，本题的解答中要牢记直线与圆的位置关系的判定方法——圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，同时注意圆与圆的位置根系的应用是列出不等关系的依据. 25．（1）43；（2）23- 【解析】试题分析：（1）根据条件得到b a ,间的关系，找出所有的基本事件再找出事件A 中的基本事件即可得到事件A 发生的概率；（2）首先分析这是一个几何概型，找出相应的区域计算面积进而得出事件A 发生的概率．试题（1）事件A223a b <⇔<总的基本事件有36个，A 发生有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，6），共27个 故事件A 发生的概率为43 （2）事件A 发生的区域如图阴影部分面积为半圆面积加上弓形面积 弓形面积为3-32π阴影部分面积为83π- 故事件A发生的概率为234π- 考点：概率模型的应用．26．（Ⅰ）证明过程详见试题解析；（Ⅱ）直线l 被圆C 截得的最短的弦长为3108．【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出圆心和半径，直线恒过点，根据圆心和直线恒过点的距离小于半径，知直线和圆相交；（Ⅱ）当CM 垂直弦AB 时，弦长最短，由垂径定理得最小值为3108．试题（Ⅰ）证明：圆的标准方程25)2()1(22=-+-y x ，圆心)2,1(，直线经过定点)314,32(M 22214(1)(2)2533-+-< 点M 在圆的内部，则直线和圆相交．（Ⅱ）当CM 垂直弦AB 时，弦长最短，由垂径定理得最小值为3108． 考点：1、直线与圆的位置关系；2、弦长问题．【思路点晴】先根据圆的一般方程得到圆心和半径，再把直线方程化为()2640x y m x y +--+-=，得直线恒过定点214(,)33从而得直线和圆的位置关系；当碰到直线被圆所截得的弦长的最值问题时，一般弦为直径时最长，和弦垂直时最短，再根据勾股定理求得弦长的值；本题主要考查直线和圆的位置关系、弦的最值问题，属于中档题．。
北师大版高中数学选修4-1专题练习(含答案)
《几何证明选讲》习题一考试大纲说明的具体要求：1.了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理.2会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.3.会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.4.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).5.了解下面定理：定理在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，其夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β(π与l平行，记β＝0)，则：①β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；②β=α，平面π与圆锥的交线为抛物线；③β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线.一、基础知识填空：1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________.推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________.2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段___________. 3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________；相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；4. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项.5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半.圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数.推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是____；90o的圆周角所对的弦是________. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________. 6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：圆的内接四边形的对角______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_____.如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点______；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________. 7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________.推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______；经过切点且垂直于切线的直线必经过______.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________. 8.相交弦定理:圆内两条相交弦，_____________________的积相等.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，_____________的两条线段长的积相等. 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是__________的比例中项. 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____； 圆心和这点的连线平分_____的夹角.二 、经典试题：1.如图所示，在四边形ABCD 中，EF//BC ，FG//AD ，则EF FG+=BC AD．2.在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ：EB=1：2，DE 与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6cm 2，则△ABC 的面积为cm 2．3.如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，BD=8则圆O 的半径等于 ．A BC D E F GBCDE F4.如图所示，从圆O 外一点P 作圆O 的割线PAB 、PCD ，AB 是圆O 的直径， 若PA=4，PC=5，CD=3，则∠CBD= __.5.已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA=2. AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB=1， 则圆O 的半径R=_______.6. 如图所示，圆O 的直径AB=6，C 圆周上一点，BC=3，过C过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点 D 、E ，则∠DAC ＝ __，线段AE 的长为 __.三、基础训练：1.如图所示，PC切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 点E ，PC=4，PB=8，则CD=________.2.如图所示，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AD=AC=6，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距 离为________.3.如图所示,圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，BD=8则圆O 的半径等于 ．4.如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD=AB=BC=3. 则BD 的长______，AC 的长_______．5. 如图， ⊙O′和⊙O 相交于A 和B ， PQ 切⊙O 于P ， 交⊙O′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ， MN=3，NQ=15，则 PN ＝______．6.如图所示, 圆的内接△ABC 的∠C 的平分线CD 延长后交圆于点E ，连接BE ，已知BD=3，CE=7，BC=5，则线段 BE= .7.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ， ∠MAB=250，则∠D= ___ .8.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC于F ，则BF=FC.9.如图：EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 如果∠E ＝460，∠DCF ＝320，则∠A 的度数是 .10. 如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于D ， 若AD=1，∠ABC=300，则圆O 的面积是______.BADCEN CBADEF11.如图，AB 、CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的中垂线，已知AB=6，CD=52， 则线段AC 的长度为 ．12.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∥EF ， E 是AB 的中点，EF 交BD 于G ，交AC 于H. 若 AD=5，BC=7，则GH=________.13.如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D. AD=2，AC= 52，则AB=____ __,CD=___ __.14.如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且1PB =BC 2，则PAPB的值是________.15.如图，⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，割线 PCD 经过圆心O ，PE 是⊙O 的切线。
切割线定理 知能优化训练(答案解析) 高中数学选修4-1 北师大版
[学生用书P 30～P 31]1．如图所示，⊙O 的两条弦AB 、CD相交于点E ，AC 和DB 的延长线交于点P ，则下列结论成立的是( ) A ．PC ·CA ＝PB ·BD B ．CE ·AE ＝BE ·ED C ．CE ·CD ＝BE ·BA D ．PB ·PD ＝PC ·P A解析：选D.由切割线定理的推论知PB ·PD ＝PC ·P A ，故选项D 正确． 2.如图所示，线段AB 和⊙O 交于C 、D ，AC ＝BD ，AE 、BF 分别切⊙O 于E 、F .那么AE 与BF 的关系为( )A ．AE ＝2BFB ．AE ＝13BFC ．AE ＞BFD ．AE ＝BF 解析：选D.∵AE 2＝AC (AC ＋CD )，BF 2＝BD (BD ＋CD )， 又∵AC ＝BD ，CD ＝CD ，∴AE 2＝BF 2， ∴AE ＝BF . 3.P AB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PC ＝AB ，P A ＝20，CD ＝11，则AB 的长为( ) A ．30 B ．25 C ．20 D ．15解析：选B.设PC ＝AB ＝x ，则x (x ＋11)＝20×(20＋x )，所以x ＝25. 所以AB 的长为25. 4.如图，△ABC 外切于⊙O ，切点分别为D 、E 、F ，∠A ＝60°，BC ＝7，⊙O 的半径为3，求△ABC 的周长．解：连接OA 、OF (图略)，∵△ABC 的内切圆为⊙O ，切点为D 、E 、F ，由切线长定理知：AE ＝AF ，BD ＝BF ，CD ＝CE ，OF ⊥AF ，∠F AO ＝12∠BAC ＝30°，在Rt △AOF 中，∵OF ＝3，∠F AD ＝30°， ∴AO ＝2OF ＝23，AF ＝AO 2－OF 2＝(23)2－(3)2＝3.∴AE ＝AF ＝3，∴AB ＋AC ＋BC ＝AF ＋BF ＋AE ＋EC ＋BC ＝2AF ＋2BC ＝20. 即△ABC 的周长为20.5．如图，已知P A 是⊙O 的切线，A为切点，PC 与⊙O 相交于B 、C 两点，PB ＝2 cm ，BC ＝8 cm ，则P A 的长等于( ) A ．4 cm B ．16 cm C ．20 cm D ．2 5 cm 解析：选D.∵PB ＝2，BC ＝8，∴PC ＝10. ∵P A 是⊙O 的切线，PC 是⊙O 的割线， ∴P A 2＝PB ·PC ＝2×10， ∴P A ＝25(cm)．6．一直角三角形的斜边长为8 cm ，内切圆半径为1 cm ，那么这个三角形的周长等于( ) A ．18 cm B ．19 cm C ．20 cm D ．21 cm解析：选A.根据切线长定理可知，两直角边之和为10 cm ，三角形周长为18 cm. 7．已知⊙O 的弦AB 过CD 弦的三等分点M ，AM 和BM 是方程3x 2＋2mx ＋18＝0的两个根，则CD 的长为( ) A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 3解析：选C.由题意得：AM ·BM ＝183＝6，∴CM 或DM 为3，∴CD ＝3 3. 故应选C.8．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，点O 在BC 上，以O 为圆心的⊙O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径为( )A.abB.a ＋babC.aba ＋bD.a ＋b 2解析：选C.如下图所示，分别连接OE 、OF ，则四边形OEAF 是正方形，不妨设⊙O 的半径为r ，则 由切线长定理，可得AE ＝AF ＝r ， ∵BE ＝AB －AE ，CF ＝AC －AF ， ∴BE ＝a －r ，CF ＝b －r ，∵△BEO 与△CFO 相似，∴BE OE ＝OF CF， ∴a －r r ＝r b －r ，解得r ＝ab a ＋b .9.如图所示，在⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于点C ，且AD ＝DC ，则sin ∠ACO ＝( )A.1010B.210C.55D.24解析：选A.如图所示，连接BD 、DO ，过点O 作OE ⊥AC 于点E . ∵AB 是直径，∴BD ⊥AC . 又∵BC 是⊙O 的切线， ∴∠ABC ＝90°.又∵AD ＝CD ，∴△ACB 是等腰直角三角形． 设AE ＝x ，∵OE ⊥AC ，BD ⊥AC ，O 是AB 的中点， ∴E 是AD 的中点， ∴AD ＝2x .又∵CD ＝AD ，∴CE ＝3x .又OE ＝AE ＝x ，∴CO ＝10x ，∴sin ∠ACO ＝sin ∠ECO ＝x 10x ＝1010.10.如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝________.解析：由切割线定理知，PC 2＝P A ·PB ，解得PC ＝2 3.又OC ⊥PC ，故CD ＝PC ·OC PO ＝23×24＝ 3.答案： 311．如图，PT 是⊙O 的切线，切点为T ，直线P A 与⊙O 交于A 、B 两点，∠TP A 的平分线分别交直线TA 、TB 于D 、E 两点，已知PT ＝2，PB ＝3，则P A ＝________，TEAD＝________.。
新北师大版高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》检测(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知圆截直线所得的弦的长度为，则等于（ ）A ．B ．C ．或D ．或2．已知点是圆内的一点，则该圆上的点到直线的最大距离和最小距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．不确定 3．若圆上有且只有一点到直线的距离为，则实数的值为 （ ） A ． B ．C ．或D ．或4．圆22:4210A x y x y ++++=与圆22:2610B x y x y +--+=的位置关系是（ ）．A ．相交B ．相离C ．相切D ．内含 5．若直线与曲线有公共点,则b 的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．6．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为 AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 （ ） A ．10B ．20C ．30D ．407．已知圆C ：的圆心为抛物线的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆 C 相切，则该圆的方程为( ) A ． B ． C ．D ．8．直线20x y -+=与圆222x y +=的位置关系为（ ） A ．相交 B ．相切C ．相离D ．不确定9．设集合(){},|A x y y x a ==+，集合(){}2,|34B x y y x x ==-， 若A B ∅⋂≠的概率为1，则a 的取值范围是（ ）A ．122,122⎡-+⎣B ．12,3⎡⎤⎣⎦C ．1,122⎡⎤-+⎣⎦D ．122,3⎡⎤-⎣⎦10．已知点(0,2)A 为圆22:220(0)C x y ax ay a +--=>外一点，圆C 上存在点使得45CAP ∠=，则实数a 的取值范围是（ ）A.(0,1)B.[31,1)-C.(0,31]-D.[31,31]---11．如下图,已知,AB AC 是圆的两条弦,过B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D .过点C 作BD 的平行线与AB 相交于点E ,3=AE ,1=BE ,则BC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．23 12．过)1,21(M 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+= 交于A 、B 两点，当ACB ∆面积最大时，直线的方程为（ ）A ．0342=+-y xB ．2450x y +-=C ．430x y -+=D ．20x y -=二、填空题13．已知圆22:1O x y +=和直线:2l y =，0(,2)P x 是直线l 上一点，若圆O 上存在,A B 两点，满足PA AB =，则实数0x 的取值范围是________． 14．已知圆及直线，当直线被圆截得的弦长为时，的值等于________.15．（几何证明选讲选做题）如图，是圆的切线，是圆的割线，若，，，则圆的半径___.16．已知直线m ：0x y a +-=，点M 在直线m 上，过点M 引圆221x y +=的切线，若切线长的最小值为22，则实数a 的值为__________．17．（几何证明选讲选做题）如图2所示AB 与CD 是O 的直径，AB ⊥CD ，P 是AB 延长线上一点，连PC 交O 于点E ，连交AB 于点，若，则．18．设,m n R ∈，若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切，则+m n 的取值范围为_________.19．（几何证明选讲选做题）如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C 23E =，则D A =___________．20．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与轴的正半轴重合,曲线的参数方程为4cos {3sin x y θθ==（θ为参数）,直线l 的极坐标方程为.点在曲线上,则点到直线l 的距离的最小值为 .三、解答题21．如图，CD 是圆O 的切线，切点为D ，CA 是过圆心O 的割线且交圆O 于点B ，过B 作圆O 的切线交CD 于点E ，12DE EC =. 求证：3CA CD =.22．已知圆C 的圆心在直线2y x =-上.（1）若圆C 经过()3,2A -和()0,5B -两点，且与y 轴与另一交点为P ，直线l 过点P 且与圆C 相切.设D 是圆C 与x 轴正半轴的交点，直线BD 与直线l 交于点R .试求圆C 的方程，并判断以PR 为直径的圆与直线CD 的位置关系（说明理由）；（2）设点()0,3M ，若圆C 半径为3，且圆C 上存在点N ，使2MN NO =，求圆心C 的横坐标的取值范围.23．已知平面区域00240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩被圆C 及其内部所覆盖． （Ⅰ）当圆C 的面积最小时，求圆C 的方程；（Ⅱ）若斜率为1的直线l 与（1）中的圆C 交于不同的两点A 、B ，且满足CA ⊥CB ，求直线l 的方程．24．（12分） 圆8)1(22=++y x 内有一点P （-1,2）,AB 过点P , ①若弦长72||=AB ，求直线AB 的倾斜角α； ②圆上恰有三点到直线AB 的距离等于2，求直线AB 的方程．25．（本小题满分14分）已知圆的方程是， 且圆的切线满足下列条件，求圆切线方程：（1）过圆外一点（2）过圆上一点26．（本小题12分）如图7，已知圆)1()1(:222>=+-r r y x C ，设A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在y 轴上.（1）当r 在),1(+∞内变化时，求点M 的轨迹E 的方程；（2）已知定点P （-1，1）和Q （1，0），设直线PM 、QM 与轨迹E 的另一个交点分别是M 1、M 2 . 求证：当M 点在轨迹E 上变动时，只要M 1、M 2都存在且M 1≠M 2，则直线M 1M 2恒过一个定点，并求出这个定点。
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[学生用书P 22～P 24]
1．如图，AB 为⊙O 的直径，MN 切
⊙O 于C ，AC ＝1
2
BC ，则sin ∠MCA 等于( )
A.12
B.22
C.32
D.55
解析：选D.连接OC (图略)，∵MN 切⊙O 于C ，∴OC ⊥MN ，即∠MCA ＋∠ACO ＝90°，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，即∠ACO ＋∠OCB ＝90°，∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OCB ，∴∠MCA ＝∠B ，
又在Rt △ABC 中，AB ＝BC 2＋AC 2＝5AC ，sin B ＝AC AB ＝AC 5AC ＝55
.∴sin ∠MCA ＝5
5.
2.
如图，已知四边形ABCD 为圆内接四边形，AD 为圆的直径，直线MN 切圆于B ，DC 的延
长线交MN 于G ，若cos ∠ABM ＝3
2
，
则tan ∠BCG ＝( )
A.32
B. 3
C.12
D.33 解析：选B.连接BD ，OB .
∵cos ∠ABM ＝
32
， ∴∠ABM ＝30°.
∵∠OBA ＋∠ABM ＝∠OBD ＋∠OBA ＝90°， 又∵∠OBD ＝∠ADB ， ∴∠ADB ＝∠ABM ＝30°. 又AD 为直径，
∴∠ABD ＝90°，∠DAB ＝60°， ∴∠BCG ＝∠DAB ＝60°， ∴tan ∠BCG ＝tan60°＝ 3. 3.
如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧上一点，已知∠BAC ＝
80°，那么∠BDC ＝( ) A ．25° B ．45° C ．50° D ．80° 解析：选C.∵AB 、AC 是两条切线， ∴∠BOC ＝100°，∴∠BDC ＝50°. 4.
如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径作圆，⊙O 交BC 于D ，作DE ⊥AB 于E . 求证：DE 是⊙O 的切线． 证明：连接OD (图略)．
因为AC 为直径，所以∠ADC ＝90°， 又AB ＝AC ，所以BD ＝CD . 又OA ＝OC ，
所以OD 是△ABC 的中位线． 所以OD ∥AC .
又因为∠DEA ＝90°， 所以∠ODE ＝90°. 又因为D 在圆周上， 所以DE 是⊙O 的切线．
5．如图，AP 为圆O 的切线，P 为切点，
OA 交圆O 于点B ，若∠A ＝40°，则∠APB 等于( ) A ．25° B ．20° C ．40° D ．35° 解析：选A.连接OP (图略)，
∵AP 为圆O 的切线，∴∠OP A ＝90°， ∵∠A ＝40°，∴∠AOP ＝90°－40°＝50°.
∵OP ＝OB ，∴∠OPB ＝1
2
×(180°－50°)＝65°.
∴∠APB ＝∠OP A －∠OPB ＝90°－65°＝25°. 6.
如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆，若AB 与圆相切，则r ＝( ) A ．2 cm B ．2.6 cm C ．0.75 cm D ．2.4 cm 解析：选D.过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，
在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2
＝5， ∴CD ·AB ＝AC ·BC ，
∴CD ＝AC ·BC
AB
＝2.4 cm ，
∵AB 与圆相切， ∴r ＝CD ＝2.4 cm. 7.
如图所示，EB 是半圆⊙O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC ⊥BC 于C ，且AC 是半圆的切线，切点为D ，连接OD ，若AC ＝12，BC ＝9，则OD 的长为( )
A ．5 B.45
8
C ．6
D ．4 解析：选B.∵AC ＝12，BC ＝9， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝15.
∵AC 为半圆的切线，∴OD ⊥AC . 又∵AC ⊥BC ，∴OD ∥BC . ∴OD BC ＝AO AB ，∴OD 9＝15－OD 15
， ∴OD ＝45
8
.
8.
如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O 于D ，AB ＝6，BC ＝8，则BD ＝( ) A ．4 B ．4.8 C ．5.2 D ．6。