2018届内蒙古包头市第一中学高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版 含答案

2018届内蒙古包头市第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题命题人：高三理数备课组 审题人：高三理数备课组一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.每题只有一个选项符合要求. 1. 设集合{1,2}P =，2{|20}Q x N x x =∈--≤，则P Q = （ ）A. []1,2-B. {1,2}C. {0,1,2}D. {1,0,1,2}- 2. 设复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. 5 B. 5- C. 4i -+ D. 4i -- 3. 设向量,a b 满足||a b+= a b 1=，则||a b -=（ ） A. 6C. 84. 圆22410280x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为2，则a =（ ）A. 43-B. 34-D. 25. 如下图（左）网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3，高为6的圆柱体毛坯切削得到，则该几何体的体积为( ) A. 28π B. 30π C. 34π D. 54π6. 如上图（右）所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的,a b 分别为12,42，则输出的a =( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 87. 设函数221log (4),2()22,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则2(4)(log 12)f f -+=（ ）A. 9B. 7C. 6D. 3 8.设函数()cos f x x x =，则下列结论错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为4π-B ．()y f x =的图像关于直线53x π=对称 C ．()f x 的一个零点为76x π=D ．()f x 在(,)2ππ单调递减 9. 若3cos()45πα+=，则sin 2α=（ ）A. 725±B. 15±C. 15-D. 72510. 已知集合{}{}2,1,0,,=c b a ，且下列三个关系：①1a =②1b ≠③2c ≠有且只有一个正确，则 ,,a b c 分别为（ ）A. 2,1,0B. 1,0,2C. 2,0,1D. 1,2,011. 已知,A B 为双曲线222:14x y E b-=的左，右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为120︒，则E 的方程为（ ）A ．221416x y -=B ．221412x y -=C ．22148x y -=D ．22144x y -=12. 已知函数()()f x x R ∈满足()()02f x f x π-++=，若函数tan()4y x π=-与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则1()ni i i x y =+=∑（ ）A.4n π B. 2n πC. 0D. n π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量a (2,3)=-，b (4,)m =，且a //b ，则m =__________.14. 若双曲线C :22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线被圆()2225x y -+=所截得的弦长为C 的离心率为_________.15．函数2()sin f x x x =+(0,)2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为________________.16. 已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交C 的准线于点N .若 3FN FM =，则||FN =___________.三、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（12分）在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b ccos sin (cos cos )A A c B b C =+. （1）求A ；（2）若4c =，且ABC ∆的面积为，求a .18.（12分）已知等差数列{}n a 的公差不为零，若11a =，且124a a a ，，成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列2n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，2364n n n a a S +=+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11(2)(2)n n n b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（12分）已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x E 的右焦点为()0,2F ，且椭圆E 上的点到右焦点距离的最大值为222+.（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的动直线l 与椭圆交于B A ,两点，是否存在常数λ，使得λ⋅+⋅OA OB FA FB 为定值，若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知函数2()2ln ()f x x ax a R =-∈.（1）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线220x y ++=平行，求实数a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当0a >时，讨论函数()f x 在区间2[1,]e 上零点的个数.22.（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为43,5().3,5x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin .ρθ= （1）将曲线1C 和曲线2C 化为普通方程；（2）若M 为曲线1C 与x 轴的交点，N 为曲线2C 上一动点，求||MN 的最小值.包头一中2017-2018学年度第一学期期中考试高三理科数学参考答案1-5 C A B B C 6-10 C B D D A 11-12 D A13.-6 15. 71,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦16. 417.（12分）解：（1） cos sin (cos cos )A A c B b C =+∴2cos sin (sin cos sin cos )sin A A A C B B C A =+=又 在ABC ∆中，∴sin 0A ≠，∴sin A A =∴tan A =()0,A π∈，∴.3A π=…………………………………（6分）（2） 1sin 2ABC S bc A ∆==4c =∴2b =又 2222cos b c a bc A +=+∴a =. ………………………………………………………（12分）18.（12分）解：（1）由题意可得，等差数列{}n a 的公差0d ≠，2214a a a = ∴2111()(3)a d a a d +=+，1d ∴=n a n ∴= …………………………………（6分） （2）由（1）知，2n n b n =+12n n S b b b ∴=+++1221222n n =++++++12(222)(123)n n =++++++++2(21)1212n nn -+=+- 21222n n n ++=-+ …………………………………（12分）19.（12分）解：（1）2364n n n a a S +=+ ①，∴当1n =时，211113646+4a a S a +=+=，因为0n a >，所以14a =.当2n ≥时，2111364n n n a a S ---+=+②，∴①—② 得221133n n n n a a a a --+--=16464n n S S -+--=6n a ，即111()()3()n n n n n n a a a a a a ---+-=+， 0n a >，∴1n n a a --=3，∴数列{n a }是首项为4，公差为3的等差数列，∴n a =31n +； ………………………………………………………（6分）（2）由（1）知，n b =1111()(31)(32)33132n n n n =--+-+，所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++ =1111111[()()()]325583132n n -+-++--+11132322(32)nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ ……………（12分） 20.（12分）解：（1）22=== c a b ，22:184∴+=x y E …………………………………………………………………（4分）（2）(2,0) F ，∴①当直线l 斜率为0时，((2,0),2,0)=-==--=OA OB FA FB84OA OB FA FB λλ∴+=-- …………………………………………………（5分） ②当直线l 斜率不为0时，设:2=+l x my联立222184=+⎧⎪⎨+=⎪⎩x my x y ，可得22(2)440++-=m y my ， 0∆>恒成立，设11(,)A x y ，22(,)B x y则1221224242⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩m y y m y y m121228()42∴+=++=+x x m y y m 21212288(2)(2)2-+=++=+m x x my my m ………………………………………………………（9分）又11221122(,),(,),(2,),(2,)===-=-OA x y OB x y FA x y FB x y()()1212121222λλ∴+=++--+=⎡⎤⎣⎦ OA OB FA FB x x y y x x y y 254(2)2λλ+-+-+m 当5λ=-时，λ+OA OB FA FB 为常数12.综上所述：存在5λ=-，使得λ+ OA OB FA FB 为定值12. ………………………（12分）21. （12分）解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞222(1)'()2ax f x ax x x-=-=，则'(1)2(1)f a =- 直线220x y ++=的斜率为2-，2(1)22a a ∴-=-∴=，. …………………（4分）（2）由（1）知22(1)'()(0,)ax f x x x-=∈+∞，当0a ≤时，'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令'()0f x >且0x >得0x <<，令'()0f x <且0x >得x >∴()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减. 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间；当0a >时，()f x 的单调增区间为，单调减区间为)+∞. ………（8分） （3） 0a >，由（2）的单调性可知①若1≤，即1a ≥时，()f x 在2[1,]e 上单调递减，且(1)0f a =-<， ∴()f x 在2[1,]e 上无零点.②若21e <≤，即411a e<<时，()f x 在上单调递增，在2)e 上单调递减，且(1)0f a =-<，(ln 1)f a =-+.（I ）若(ln 1)0f a =-+<，即1a e >时，()f x 在2[1,]e 上无零点；（II ）若(ln 1)0f a =-+=，即1a e=时，()f x 在2[1,]e 上有1个零点；（III ）若(ln 1)0f a =-+>，即1a e<时，24()4f e ae =- （i ）当440ae ->，即440a e<<时，()f x 在2[1,]e 上有1个零点； （ii ）当440ae -≤，即44a e≥时，()f x 在2[1,]e 上有2个零点；③若2e >，即410a e <<时，()f x 在2[1,]e 上单调递增， (1)0f a =-<，24()40f e ae =->，∴()f x 在2[1,]e 上有1个零点.综上所述：1a e >时，()f x 在2[1,]e 上无零点；440a e <<或1a e =时，()f x 在2[1,]e 上有1个零点；441a e e≤<时，()f x 在2[1,]e 上有2个零点. …………………（12分） 22. （10分）解：（1）曲线1C 的普通方程为3490x y +-=，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=. ………………（5分）（2）由（1）知，(3,0)M ，曲线2C 为以2(0,1)C 为圆心，半径1r =的圆，则2||MC = ，∴2||||1,MN MC r ≥-= 即||MN 1.- …………………（10分）。