2020年高考数学全真模拟卷(解析版)1

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都不对
【答案】A
【解析】
因为存在角 使得：
则 > ,
即三边长 也可构成一个三角形，
不妨假设 ，
由两边之和大于第三边可得： ，
即 ，
在 中，C最大，
由余弦定理 >0,
即C为锐角，
即 为锐角三角形，
故选A.
四、解答题：本大题共5小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【答案】
【解析】
，
函数 ，
当且仅当 时取等号．
∴函数 的最小值为 ．
故答案为： ．
8．若两整数 、 除以同一个整数 ，所得余数相同，即 ，则称 、 对模 同余，用符号 表示，若 ，满足条件的 由小到大依次记为 ，则数列 的前 项和为________.
【答案】976
【解析】
由两数同余的定义，
是一个正整数，对两个正整数 、 ，若 是 的倍数，
∵sinC≠0，
∴cosC= ，
∵C∈（0，π），
∴C= ．
20．教材曾有介绍：圆 上的点 处的切线方程为 ．我们将其结论推广：椭圆 上的点 处的切线方程为 ，在解本题时可以直接应用．已知，直线 与椭圆 有且只有一个公共点.
（1）求 的值；
（2）设 为坐标原点，过椭圆 上的两点 、 分别作该椭圆的两条切线 、 ，且 与 交于点 ．当 变化时，求 面积的最大值；
④设 为曲线 上任意一点，则点 关于直线 ，点 及直线 对称的点分别为 、 、 ，则四边形 的面积为定值 ；
其中，所有正确结论的序号是________
【答案】②③④
【解析】
由题意设动点坐标为 ，则由题意及点到直线的距离公式得： ，
对于①将 代入验证可知方程不过此点，所以①错；
对于②，把方程中的 被 代换， 被 代换，方程不变，所以曲线 关于点 成中心对称，②正确；
对于③，由题意知P在曲线C上，点A,B分别在直线 上，
则 ，所以③正确；
对于④，由题意知点 在曲线C上，根据对称性，则四边形 的面积
，所以④正确。
故答案为：②③④
10．如图，甲从A到B，乙从C到D，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有________对.（用数字作答）
二、选择题：本大题共4题，每题5分，共20分
13．已知点A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（ ）
A．（0，1）B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意可得，三角形ABC的面积为 1，
由于直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（ ，0），
，
，
故它是周期为 的周期函数，故正确；
②若函数 是“似周期函数”，则 ，
即 恒成立；
故 恒成立，
上式不可能恒成立；
故错误；
③若函数 是“似周期函数”，则 ，
即 恒成立；
故 成立，无解；故错误；
④若函数 是“似周期函数”，则 ，
即 恒成立；
故 恒成立；
即 恒成立，
故 ，则 ，
故 ， ；故正确；
故答案为：①④.
当 时，若个位数字为 ，则十位数字可以为 ，共有 种；若个位数字为 ，则十位数字可以为 ，共有 种.所以当 时，共有 种，即 .
当 时，若个位数字是 ，则十位和百位的可能情况有 种；若个位数字为 ，则十位和百位分别有 种，共有 种.所以 .
（2）结合（1）的分析可知，当 位数时，若个位数字是 ，其余 个位置的方法数为 ；若个位数字为 ，则其余 个位置的方法数为 种.所以 .整理得 ，所以 是以 为首项，公差为 的等差数列，则 ，化简得 .所以数列 的通项公式为 .
所以二面角 的大小为 .
（2）设点 ，则
而 ，即 ，解得 .
平面 将多面体分成两个体积相等的四棱锥 和
由于 平面 ，而 ，所以 平面
四边形 是直角梯形，
.所以多面体的体积为 .
18．已知函数 ：
（1）若 在区间 上最大值为4，最小值为1，求 、 的值；
（2）若 ，关于 的方程 ，有3个不同的实数解，求实数 的值.
（3）在（2）的条件下，经过点 作直线 与该椭圆 交于 、 两点，在线段 上存在点 ，使 成立，试问：点 是否在直线 上，请说明理由.
【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】
（1）联立 ，整理得
依题意 ，即
（2）设 、 ,于是直线 、 的方程分别为 、
将 代入 、 的方程得 且
所以直线 的方程为
此时b ，点N在点B和点C之间，
由题意可得三角形NMB的面积等于 ，
即 ，即 ，可得a 0，求得b ，
故有 b ．
③若点M在点A的左侧，
则b ，由点M的横坐标 1，求得b＞a．
设直线y＝ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（ ， ），
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于 ，即 •（1﹣b）•|xN﹣xP| ，
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【答案】D
【解析】
如图：
取 的中点 ，连接 ，则 ，
连接ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，在 上任取一点 ，
过 在面 中，作 平行于 ，
其中 为线段 的中点，交 于 ，
再过 作 ，交 于 ，连接 ，
在平面 的正投影为 ，连接 ，则 ，
由于 ， ， 平面 ，
平面 ，
所以 平面 ，
同理由 ，可推得 平面 ，
由面面平行的判定定理得，平面 平面 ，
则 平面 ．
由于 为 上任一点，故这样的直线 有无数条．
故选： ．
15．如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别是 ， ，动点 从 点出发沿着圆弧按 的路线运动（其中 五点共线），记点 运动的路程为 ，设 , 与 的函数关系为 ，则 的大致图象是（）
①如果“似周期函数” 的“似周期”为 ，那么它是周期为 的周期函数；
②函数 是“似周期函数”；
③函数 是“似周期函数”；
④如果函数 是“似周期函数”，那么“ ， ”.
其中是真命题的序号是___________.（写出所有满足条件的命题序号）
【答案】①④.
【解析】
解：① “似周期函数” 的“似周期”为 ，
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）函数 的对称轴为 ，又 ，所以 在 上单调递增
所以 即 解方程得 .
（2） ，所以
可化为 令
则方程可化为 ，
若 ，即 ，则关于 的方程只有一个正数解，原方程不可能有3个解；
若 ，则 可化为 ，
所以，原方程有3个解 ；
若 ，要使原方程有3个实数解，则必须满足：
解：设 ，则
，
，
， ，
，
．
故答案为：2．
3．已知向量 则 _______.
【答案】
【解析】
∵
∴
∴ ，
故答案为：13
4．在二项式 的展开式中，常数项的值为______.（结果用数字表示）
【答案】28
【解析】
的展开式中第 项为 ，
令 ，解得 ，所以常数项为 .
故答案为：28
5．设变量x，y满足约束条件 ，则 的最大值为．
由直线y＝ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，
故 0，故点M在射线OA上．
设直线y＝ax+b和BC的交点为N，则由 可得点N的坐标为（ ， ）．
①若点M和点A重合，如图：
则点N为线段BC的中点，故N（ ， ），
把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b ．
②若点M在点O和点A之间，如图：
则称 、 模 同余，
我们易得若 ，则 为6的整数倍，则 ，
故 均满足条件．
由等差数列 的前 项公式 ，
则 ．
故答案为：976．
9．曲线 是平面内到直线 和直线 的距离之积等于常数 （ ）的点的轨迹，下列四个结论：
①曲线 过点 ；
②曲线 关于点 成中心对称；
③若点 在曲线 上，点 、 分别在直线 、 上，则 不小于 ；
2020年全真模拟卷（1）
数学
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一、填空题：本题共12个小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分.
1．设全集 若集合 则 ______.
【答案】
【解析】
或 ，因此， .
故答案为： .
2．复数 满足 是虚数单位），则 ____；
【答案】2
【解析】
【答案】1750
【解析】
甲从A到B，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从A到B共有 种走法，
乙从C到D，需要向右走4步，向上走4步，共需8步，所以从A到B共有 种走法，
根据分步乘法计数原理可知，共有不同路径 对，
甲从A到D，需要向右走6步，向上走4步，共需10步，所以从A到D共有 种走法,
乙从C到B，需要向右走2步，向上走4步，共需6步，所以从C到B共有 种走法,
联立
显然 ，由 ， 是该方程的两个实根，有 ，
面积
即
当且仅当 时，“=”成立， 取得最大值
（3）点 在直线 上，因为
设 、 、 ，且
于是 ，即 、 、 、
又 ，
，
，即 在直线 上.
21．已知 位数满足下列条件：①各个数字只能从集合 中选取；②若其中有数字 ，则在 的前面不含 ，将这样的 位数的个数记为 ；
（1）求 、 ；
（2）探究 与 之间的关系，求出数列 的通项公式；