2020高考数学一轮复习第5章数列第1讲数列的概念与简单表示法学案

【2019最新】精选高考数学一轮复习第5章数列第1讲数列的概念与简单表示法学案板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．考点2 数列的分类考点3 数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．考点4 数列的通项公式如果数列{an}的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[必会结论]1．若数列{an}的前n 项和为Sn ，通项公式为an ，⎩⎪⎨⎪⎧ S1，n ＝1，Sn －Sn －1，n≥2.＝an 则 ⎩⎪⎨⎪⎧ an≥an－1，an≥an＋1.最大，则an 中，若{an}．在数列2 ⎩⎪⎨⎪⎧an≤an－1，an≤an＋1.最小，则an 若 3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( )(2)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是an ＝.( )(3)如果数列{an}的前n 项和为Sn ，则对∀n∈N*，都有an ＋1＝Sn ＋1－Sn.( )(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．[课本改编]数列1，，，，，…的一个通项公式an 是( )n2n ＋3D. A. B. C. 答案 B解析 由已知得，数列可写成，，，…，故该数列的一个通项公式为.故选B.3．[课本改编]在数列{an}中，a1＝1，anan －1＝an －1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是( )38A. B. C. D. 答案 C解析 由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴2a3＝2＋(－1)3，a3＝，∴a4＝＋(－1)4，a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝，∴＝×＝.故选C.4．已知f(1)＝3，f(n ＋1)＝(n∈N*)．则f(4)＝________.54 答案 解析 由f(1)＝3，得f(2)＝2，f(3)＝，f(4)＝.5．[2018·山东师大附中月考]已知数列{an}的前n 项和Sn ＝，则a5＋a6＝________.124答案 解析 a5＋a6＝S6－S4＝－＝－＝.6．[课本改编]在数列{an}中，a1＝2，an ＋1＝an ＋，则数列an ＝________.1n－3 答案 解析 由题意，得an ＋1－an ＝＝－，an ＝(an －an －1)＋(an －1－an －2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋＋2＝3－.板块二 典例探究·考向突破考向 由数列的前几项求数列的通项公式 例 1 写出下面各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…；(2)，1，，，…；(3)，，－，，－，，…；(4)1,3,6,10,15，…；(5)3,33,333,3333，….解(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)将数列统一为，，，，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，因此可得它的一个通项公式为an＝.(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，原数列可化为－，，－，，…，所以an＝(－1)n·. (4)将数列改写为，，，，，…，因而有an＝，也可用逐差法a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式累加得an＝.(5)将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝(10n－1)．触类旁通观察法求通项公式的常用技巧求数列的通项公式实际上是寻找数列的第n项与序号n之间的关系，常用技巧有：(1)借助于(－1)n或(－1)n＋1来解决项的符号问题；(2)项为分数的数列，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系；(3)对较复杂的数列的通项公式的探求，可采用添项、还原、分割等方法，转化为熟知的数列，如等差数列、等比数列等来解决．考向由an与Sn的关系求通项an例 2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________.答案4n－5解析(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5. (2)设Sn为数列{an}的前n项的和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，则an＝________.答案3n解析 当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝(an －1)－(an －1－1)，整理，得an ＝3an －1，即＝3，又a1＝3，∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴an＝3n.(3)已知数列{an}，满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan ＝2n ，则an ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n≥2 答案 解析 当n ＝1时，由已知，可得a1＝21＝2， 当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan ＝2n ， ① 故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n －1)an －1＝2n －1， ②由①－②得nan ＝2n －2n －1＝2n －1，∴an＝.⎩⎪⎨⎪⎧ 2，n ＝1，2n －1n，n≥2.＝∴an 时不满足上式，1＝n 显然 触类旁通给出Sn 与an 的递推关系，求an 的常用思路：一是利用Sn －Sn －1＝an(n≥2)转化为an 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn 的递推关系，先求出Sn 与n 之间的关系，再求an.【变式训练】 (1)已知数列{an}的前n 项和Sn ＝3n ＋1，则an ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧ 4，n ＝1，2×3n－1，n≥2解析 当n ＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n－1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，n ＝1，2×3n－1，n≥2.(2)[2018·广州模拟]设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n －1an ＝，则an ＝________.答案 13n解析 因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n －1an ＝，①则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n －2an －1＝，②①－②得3n －1an ＝，所以an ＝(n ≥2)．由题意知a1＝，符合上式，所以an＝.(3)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝________.答案n－1解析由已知Sn＝2an＋1，得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，＝，而S1＝a1＝1，所以Sn＝n－1.考向由递推公式求数列的通项公式命题角度1 形如an＋1＝anf(n)，求an例 3 在数列{an}中，a1＝4，nan＋1＝(n＋2)an，求数列{an}的通项公式．解由递推关系得＝，又a1＝4，∴an＝··…···a1＝···…···4＝·4＝2n(n＋1)(n∈N*)．命题角度2 形如an＋1＝an＋f(n)，求an例 4 (1)[2015·江苏高考]设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求数列前10项的和．解由题意可得，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝，则＝＝2，数列的前10项的和为＋＋…＋＝2＝.(2)若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通项公式．解由题意知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.命题角度3 形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an例 5 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.解设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3.故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列．所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3.命题角度4 形如an＋1＝(A，B，C为常数)，求an例 6 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式．解∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0，∴＝＋，即－＝，又a1＝1，则＝1，∴是以1为首项，为公差的等差数列，∴＝＋(n－1)×＝，∴an＝(n∈N*)．触类旁通由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an.(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}．(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．核心规律已知递推关系求通项，一般有以下方法：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)累加法、累乘法、待定系数法．满分策略1.数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列an＝f(n)和函数y＝f(x)的单调性是不同的．2.数列的通项公式不一定唯一．3.在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形.板块三启智培优·破译高考数学思想系列6——用函数思想解决数列的单调性问题[2018·南京段考]数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4. (1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值．(2)对于n∈N*，都有an＋1>an.求实数k的取值范围．解题视点(1)求使an<0的n值；从二次函数看an的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N*上单调递增，可利用二次函数的对称轴研究单调性，但应注意数列通项中n的取值．解(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.∵n∈N*，∴n＝2,3，∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.∵an＝n2－5n＋4＝2－，由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.(2)由an＋1>an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3.答题启示1在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取.,2本题易错答案为k>－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.跟踪训练已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)．(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．解(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又∵a＝－7，∴an＝1＋.结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)．∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.(2)an＝1＋＝1＋.∵对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋的单调性，知5<<6，∴－10<a<－8.故a的取值范围为(－10，－8)．板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．已知数列，，2，…，则2是该数列的( )A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项答案C解析由数列，，2，…的前三项，，可知，数列的通项公式为an＝＝，由＝2，可得n＝7.故选C. 2．[2018·上饶模拟]已知数列{an}满足an＋1＋an＝n，若a1＝2，则a4－a2＝( )A．4 B．3 C．2 D．1答案D解析由an＋1＋an＝n，得an＋2＋an＋1＝n＋1，两式相减得an＋2－an＝1，令n＝2，得a4－a2＝1.故选D.3．[2018·济宁模拟]若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则等于( )A. B. C. D．30答案D 解析∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，∴＝5×(5＋1)＝30.故选D.4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，则a10＝( )A．64 B．32 C．16 D．8答案B解析∵an＋1an＝2n，∴an＋2an＋1＝2n＋1，两式相除得＝2.又a1a2＝2，a1＝1，∴a2＝2.则···＝24，即a10＝25＝32.故选B. 5．在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于( )A．256 B．510 C．512 D．1024答案C解析在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.∴a6＝a3·a3＝64，a3＝8.∴a9＝a6·a3＝64×8，a9＝512.故选C. 6．[2018·辽宁实验中学月考]设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝( )A．2n B．2n－1 C．2n D．2n－1答案C解析 当n ＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2；当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝2an －2an －1，∴an＝2an －1，∴an＝2·2n－1＝2n.选C.7．若数列{an}的前n 项和Sn ＝n2－10n(n∈N*)，则数列{nan}中数值最小的项是( )A ．第2项B ．第3项C ．第4项D ．第5项答案 B解析 ∵Sn＝n2－10n ，∴当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝2n －11；当n ＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．∴an ＝2n －11(n ∈N*)．记f(n)＝nan ＝n(2n －11)＝2n2－11n ，此函数图象的对称轴为直线n ＝，但n∈N*，∴当n ＝3时，f(n)取最小值．于是，数列{nan}中数值最小的项是第3项．故选B.8．已知数列{an}中，a1＝1，若an ＝2an －1＋1(n≥2)，则a5的值是________．答案 31解析 ∵an＝2an －1＋1，∴an＋1＝2(an －1＋1)，∴＝2，又a1＝1，∴{an ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即an ＋1＝2×2n －1＝2n ，∴a5＋1＝25，即a5＝31.9．[2018·洛阳模拟]数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________.6116答案 解析 由题意知：a1·a2·a3·…·an－1＝(n －1)2，所以an ＝2(n≥2)，所以a3＋a5＝2＋2＝.10．[2015·全国卷Ⅱ]设Sn 是数列{an}的前n 项和，且a1＝－1，an ＋1＝SnSn＋1，则Sn ＝________.1n－ 答案 解析 ∵an＋1＝Sn ＋1－Sn ，∴Sn＋1－Sn ＝Sn ＋1Sn ，又由a1＝－1，知Sn≠0，∴－＝1，∴是等差数列，且公差为－1，而＝＝－1，∴＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴Sn ＝－.[B 级 知能提升]1．[2018·天津模拟]已知正数数列{an}中，a1＝1，(n ＋2)·a－(n ＋1)a ＋anan＋1＝0，n∈N*，则它的通项公式为( )＝an ．A2n ＋1＝an ．B C ．an ＝D ．an ＝n 答案 B解析 由题意可得＝，则an ＝··…··a1＝··…·×1＝.故选B.2．已知数列{an}的通项公式为an ＝，若数列{an}为递减数列，则实数k 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞) 答案 D解析 因为an ＋1－an ＝－＝，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an ＋1－an ＝＜0，所以k ＞3－3n 对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．故选D.3．[2018·重庆模拟]数列{an}满足an ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2an ，0≤a n ≤12，2an －1，12＜an ＜1，．_______项为2018＝，则数列的第a1 15答案 解析 ∵a1＝，∴a2＝2a1－1＝.∴a3＝2a2＝.∴a4＝2a3＝.∴a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝，….∴该数列周期为T ＝4.∴a2018＝a2＝.4．已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n －1an ＝9－6n ，求数列{an}的通项公式．解 令Sn ＝a1＋2a2＋22a3＋…＋2n －1an ，则Sn ＝9－6n ，当n ＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，2n －1an ＝Sn －Sn －1＝－6，∴an ＝－.而n ＝1时，a1＝3，不符合上式，2019年⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，－32n －2，n≥2.＝an ∴通项公式 5．[2018·贵阳模拟]已知在数列{an}中，a1＝1，前n 项和Sn ＝an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．解 (1)由S2＝a2，得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3；由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝(a1＋a2)＝6.(2)由题设知a1＝1.当n ＞1时，有an ＝Sn －Sn －1＝an －an －1，整理，得an ＝an －1.于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…，an －1＝an －2，an ＝an －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理，得an ＝.综上，{an}的通项公式an ＝.。