2020高考数学一轮复习第5章数列第1讲数列的概念与简单表示法学案

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2020版高考数学人教版理科一轮复习课件:5-1 数列的概念与简单表示法

2020版高考数学人教版理科一轮复习课件:5-1 数列的概念与简单表示法
余数构成一个新数列{bn},则 b2 018= 1 .
解析:(1)对 n=1,2,3,4 进行验证,an=2sinn2π不合题意. (2)由题意得,引入“兔子数列”: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….此数列被 3 整除后的余数 构成一个新数列为 1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,…构成以 8 为周 期的周期数列,所以 b2 018=b2=1.
C.4
D.5
解析:由题意知,a1=1,a2=2,a3=32,a4=53.
5.已知数列{an}满足 a1=1,an+1=a2n-2an+1(n∈N*),则 a2 018=
0.
解析:∵a1=1,∴a2=(a1-1)2=0,a3=(a2-1)2=1,a4=(a3 -1)2=0,…,可知数列{an}是以 2 为周期的数列,∴a2 018=a2= 0.
an=nn, -n1为 ,奇 n为数偶,数, n≥1,n∈N*.
由递推关系式求通项公式的常用方法 (1)已知 a1 且 an-an-1=f(n),可用“累加法”求 an. (2)已知 a1 且aan-n 1=f(n),可用“累乘法”求 an. (3)已知 a1 且 an+1=qan+b,则 an+1+k=q(an+k)(其中 k 可由待定 系数法确定),可转化为等比数列{an+k}.
1.若将“an+1=an+n+1”改为“an+1=n+n 1an”,如何求解?
解:∵an+1=n+n 1an,∴aan+n 1=n+n 1. ∴an=aan-n 1·aann- -12·aann- -23·…·aa32·aa21·a1, =n-n 1·nn- -21·nn- -32·…·12·2=2n.
2.若将“an+1=an+n+1”改为“an+1=2an+3”,如何求解?

2020年高考数学一轮复习教案:第5章 第1节 数列的概念与简单表示法(含解析)

2020年高考数学一轮复习教案:第5章 第1节 数列的概念与简单表示法(含解析)

第5章数列第一节数列的概念与简单表示法[考纲传真] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.1.数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限单调性递增数列a n+1>a na n+1<a n其中n∈N*递减数列常数列a n+1=a n摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和通项公式法.4.数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.5.数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n -1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.6.a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ,通项公式为a n , 则a n =⎩⎨⎧S 1(n =1),S n -S n -1(n ≥2).[常用结论]1.数列{a n }是递增数列⇔a n +1>a n 恒成立. 2.数列{a n }是递减数列⇔a n +1<a n 恒成立.[基础自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达. ( )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( )(3)如果数列{a n }的前n 项和为S n ,则对∀n ∈N *,都有a n +1=S n +1-S n .( ) (4)若已知数列{a n }的递推公式为a n +1=12a n -1,且a 2=1,则可以写出数列{a n }的任何一项.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2.(教材改编)数列-1,12,-13,14,-15,…的一个通项公式为( ) A .a n =±1n B .a n =(-1)n ·1n C .a n =(-1)n +11nD .a n =1nB [由a 1=-1,代入检验可知选B.]3.设数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a 8的值为( ) A .15 B .16 C .49 D .64 A [当n =8时,a 8=S 8-S 7=82-72=15.]4.把3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示).则第6个三角形数是( )A .27B .28C .29D .30 B [由题图可知,第6个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28.] 5.(教材改编)在数列{a n }中,a 1=1,a n =1+(-1)na n -1(n ≥2),则a 5=( )A.32B.53C.85D.23D [a 2=1+1a 1=2,a 3=1+-1a 2=1-12=12,a 4=1+1a 3=1+2=3,a 5=1+-1a4=1-13=23.]由数列的前几项归纳数列的通项公式1.数列0,23,45,67,…的一个通项公式为( ) A .a n =n -1n +1(n ∈N *) B .a n =n -12n +1(n ∈N *) C .a n =2(n -1)2n -1(n ∈N *)D .a n =2n2n +1(n ∈N *) C [注意到分子0,2,4,6都是偶数,对照选项排除即可.]2.数列{a n }的前4项是32,1,710,917,则这个数列的一个通项公式是a n =__________.2n +1n 2+1 [数列{a n }的前4项可变形为2×1+112+1,2×2+122+1,2×3+132+1,2×4+142+1,故a n =2n +1n 2+1.]3.写出下面各数列的一个通项公式: (1)3,5,7,9,…;(2)12,-34,78,-1516,3132,…; (3)3,33,333,3 333,…; (4)-1,1,-2,2,-3,3….[解] (1)各项减去1后为正偶数,所以a n =2n +1.(2)数列中各项的符号可通过(-1)n +1表示.每一项绝对值的分子比分母少1,而分母组成数列21,22,23,24,…,所以a n =(-1)n +12n -12n .(3)将数列各项改写为93,993,9993,9 9993,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以a n =13(10n -1).(4)数列的奇数项为-1,-2,-3,…可用-n +12表示, 数列的偶数项为1,2,3,…可用n2表示.因此a n =⎩⎪⎨⎪⎧-n +12(n 为奇数),n 2(n 为偶数).殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用(-1)k 或(-1)k +1,k ∈N *处理.由a n 与S n 的关系求通项公式【例1】 n n {a n }的通项公式a n =________.(2)若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13,则{a n }的通项公式a n =________. (1)⎩⎨⎧2,n =1,6n -5,n ≥2 (2)(-2)n -1 [(1)当n =1时,a 1=S 1=3×12-2×1+1=2;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=3n 2-2n +1-[3(n -1)2-2(n -1)+1]=6n -5,显然当n =1时,不满足上式.故数列的通项公式为a n =⎩⎪⎨⎪⎧2,n =1,6n -5,n ≥2.(2)由S n =23a n +13,得当n ≥2时,S n -1=23a n -1+13, 两式相减,得a n =23a n -23a n -1,∴当n ≥2时,a n =-2a n -1,即a na n -1=-2.又n =1时,S 1=a 1=23a 1+13,a 1=1,∴a n =(-2)n -1.][规律方法] 1.已知S n 求a n 的三个步骤,(1)先利用a 1=S 1求出a 1; (2)用n -1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用a n =S n -S n -1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式;(3)注意检验n =1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并.2.S n 与a n 关系问题的求解思路,根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.(1)利用a n =S n -S n -1(n ≥2)转化为只含S n ,S n -1的关系式,再求解; (2)利用S n -S n -1=a n (n ≥2)转化为只含a n ,a n -1的关系式,再求解.(1)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n +1,则数列的通项公式a n =________.(2)在数列{a n }中,S n 是其前n 项和,且S n =2a n +1,则数列的通项公式a n =________.(1)⎩⎨⎧4,n =1,2·3n -1,n ≥2 (2)-2n -1 [(1)当n =1时,a 1=S 1=3+1=4,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=3n +1-3n -1-1=2·3n -1. 显然当n =1时,不满足上式. ∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧4,n =1,2·3n -1,n ≥2.(2)依题意得S n +1=2a n +1+1,S n =2a n +1,两式相减得S n +1-S n =2a n +1-2a n ,即a n +1=2a n ,又S 1=2a 1+1=a 1,因此a 1=-1,所以数列{a n }是以a 1=-1为首项、2为公比的等比数列,a n =-2n -1.]由数列的递推关系求通项公式►考法1 形如a n +1=a n +f (n ),求a n【例2】 在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +3n +2(n ∈N *),求数列{a n }的通项公式.[解] (1)∵a n +1-a n =3n +2, ∴a n -a n -1=3n -1(n ≥2),∴a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1 =n (3n +1)2(n ≥2).当n =1时,a 1=12×(3×1+1)=2符合公式, ∴a n =32n 2+n 2.►考法2 形如a n +1=a n f (n ),求a n【例3】 已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2n a n ,求数列{a n }的通项公式. [解] ∵a n +1=2na n ,∴a n +1a n =2n ,∴a na n -1=2n -1(n ≥2),∴a n =a n a n -1·a n -1a n -2·…·a 2a 1·a 1=2n -1·2n -2·…·2·1=21+2+3+…+(n -1) =2n (n -1)2.又a 1=1适合上式,故a n =.►考法3 形如a n +1=Aa n +B (A ≠0且A ≠1),求a n .【例4】 已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n +2,求数列{a n }的通项公式. [解] ∵a n +1=3a n +2, ∴a n +1+1=3(a n +1), 又a 1=1,∴a 1+1=2,故数列{a n+1}是首项为2,公比为3的等比数列,∴a n+1=2·3n-1,因此a n=2·3n-1-1.[规律方法]由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且a n-a n-1=f(n),可用“累加法”求a n,即a n=(a n-a n-1)+(a n -1-a n-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1.(2)已知a1且=f(n),可用“累乘法”求a n,即a n= (1)(3)已知a1且a n+1=qa n+b,则a n+1+k=q(a n+k)(其中k可由待定系数法确定),可转化为等比数列{a n+k}.(4)形如a n+1=(A,B,C为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.根据下列条件,求数列{a n}的通项公式.(1)a1=1,a n+1=a n+2n;(2)a1=12,a n=n-1n+1a n-1(n≥2);(3)a1=1,a n+1=2a n+3;(4)a1=1,a n+1=2a na n+2.[解](1)由题意知a n+1-a n=2n,a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=1-2n1-2=2n-1.(2)因为a n=n-1n+1a n-1(n≥2),所以当n ≥2时,a na n -1=n -1n +1,所以a na n -1=n -1n +1,a n -1a n -2=n -2n ,…,a 3a 2=24,a 2a 1=13,以上n -1个式子相乘得a n a n -1·a n -1a n -2·…·a 3a 2·a 2a 1=n -1n +1·n -2n ·…·24·13, 即a n a 1=1n +1×1n ×2×1,所以a n =1n (n +1).当n =1时,a 1=11×2=12,与已知a 1=12相符,所以数列{a n }的通项公式为a n =1n (n +1).(3)由a n +1=2a n +3得a n +1+3=2(a n +3). 又a 1=1,∴a 1+3=4.故数列{a n +3}是首项为4,公比为2的等比数列, ∴a n +3=4·2n -1=2n +1,∴a n =2n +1-3. (4)因为a n +1=2a n a n +2,a 1=1,所以a n ≠0,所以1a n +1=1a n +12,即1a n +1-1a n =12. 又a 1=1,则1a 1=1,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项,12为公差的等差数列.所以1a n =1a 1+(n -1)×12=n 2+12.所以a n =2n +1(n ∈N *).1.(2014·全国卷Ⅱ)数列{a n }满足a n +1=11-a n ,a 8=2,则a 1=________.12 [∵a n +1=11-a n, ∴a n +1=11-a n =11-11-a n -1=1-a n -11-a n -1-1=1-a n -1-a n -1=1-1a n -1 =1-111-a n -2=1-(1-a n -2)=a n -2,∴周期T =(n +1)-(n -2)=3. ∴a 8=a 3×2+2=a 2=2. 而a 2=11-a 1,∴a 1=12.]2.(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n +1=S n S n +1,则S n =________.-1n [∵a n +1=S n +1-S n ,a n +1=S n S n +1, ∴S n +1-S n =S n S n +1.∵S n ≠0,∴1S n -1S n +1=1,即1S n +1-1S n=-1.又1S 1=-1,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为-1,公差为-1的等差数列.∴1S n=-1+(n -1)×(-1)=-n ,∴S n =-1n .]3.(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1,a 2n -(2a n +1-1)a n -2a n +1=0.(1)求a 2,a 3; (2)求{a n }的通项公式.[解] (1)由题意可得a 2=12,a 3=14.(2)由a 2n -(2a n +1-1)a n -2a n +1=0得 2a n +1(a n +1)=a n (a n +1).因为{a n }的各项都为正数,所以a n +1a n=12. 故{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,因此a n =12n -1.。

高三一轮复习第五章 第一节数列的概念与简单表示法

高三一轮复习第五章 第一节数列的概念与简单表示法

课时作业1.在数列{a n }中,a n =n 2-9n -100,则最小的项是( ) A .第4项 B .第5项C .第6项D .第4项或第5项【解析】 ∵a n =(n -92)2-814-100,∴n =4或5时,a n 最小.【答案】 D2.数列{a n }:1,-58,715,-924,…的一个通项公式是( )A .a n =(-1)n +12n -1n 2+n (n ∈N +)B .a n =(-1)n -12n +1n 3+3n (n ∈N +)C .a n =(-1)n +12n -1n 2+2n (n ∈N +)D .a n =(-1)n -12n +1n 2+2n(n ∈N +)【解析】 观察数列{a n }各项,可写成:31×3,-52×4,73×5,-94×6,故选D .【答案】 D3.(2022·福建福州质检)已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=a 2n -2a n +1(n ∈N *),则a 2 019=( )A .1B .0C .2 019D .-2 019【解析】 ∵a 1=1,∴a 2=(a 1-1)2=0,a 3=(a 2-1)2=1,a 4=(a 3-1)2=0,…,可知数列{a n }是以2为周期的数列,∴a 2 019=a 1=1.【答案】 A4.(2022·大庆二模)已知数列{a n }满足:a n ={(3-a )n -3,n ≤7a n -6,n >7(n ∈N *),且数列{a n }是递增数列,则实数a 的取值范围是( )A .(94,3)B .[94,3)C .(1,3)D .(2,3)【解析】 根据题意,a n=f(n)={(3-a)n-3,n≤7a n-6,n>7,n∈N*,要使{a n}是递增数列,必有{3-a>0a>1(3-a)×7-3<a8-6,据此有:{a<3a>1a>2或a<-9,综上可得2<a<3.【答案】 D5.(2022·黄冈模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n=n2-2n+2,则数列{a n}的通项公式为( )A.a n=2n-3 B.a n=2n+3C.a n={1,n=12n-3,n≥2D.a n={1,n=12n+3,n≥2【解析】 当n=1时,a1=S1=1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-3,由于a1的值不适合上式,故选C.【答案】 C6.(多选)(2022·常州期末)已知数列{a n}中,a1=2,a n+1=1+a n1-a n,使a n=-12的n可以是( )A.2 019 B.2 021C.2 022 D.2 023【解析】 由题意可知,a1=2,a2=-3,a3=-12,a4=13,a5=2,a6=-3,a7=-12,a8=13,可得数列{a n}的周期为4,所以a2 019=a3=-12,a2 021=a1=2,a2 022=a2=-3,a2 023=a3=-12,所以使a n=-12的n可以是2 019,2 023,故答案选AD.【答案】 AD7.(2022·石家庄二模)在数列{a n}中,已知a1=2,a2=7,a n+2等于a n a n+1(n∈N*)的个位数,则a2 015=( )A.8 B.6C.4 D.2【解析】 由题意得a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现,周期为6,故a2 015=a335×6+5=a5=2.【答案】 D8.(多选)已知数列{a n}满足a1=-12,a n+1=11-a n,则下列各数是{a n}的项的有( )A.-2 B.2 3C.32D.3【解析】 ∵数列{a n}满足a1=-12,a n+1=11-a n,∴a2=11-(-12)=23,a3=11-a2=3,a4=11-a3=-12=a1,∴数列{a n}是周期为3的数列,且前3项为-12,23,3,故选BD.【答案】 BD9.(多选)下列四个命题中,正确的有( )A.数列{n+1n}的第k项为1+1kB.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-n-50,n∈N*,则-8是该数列的第7项C.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为a n=2n-1D.数列{a n}的通项公式为a n=nn+1,n∈N*,则数列{a n}是递增数列【解析】 对于A,数列{n+1n}的第k项为1+1k,A正确;对于B,令n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去),B正确;对于C,将3,5,9,17,33,…的各项减去1,得2,4,8,16,32,…,设该数列为{b n},则其通项公式为b n=2n(n∈N*),因此数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为a n=b n+1=2n+1(n∈N*),C错误;对于D,a n=nn+1=1-1n+1,则a n+1-a n=1n+1-1n+2=1(n+1)(n+2)>0,因此数列{a n}是递增数列,D正确.故选ABD.【答案】 ABD10.(2022·太原二模)已知数列{a n}满足a1=1,a n-a n+1=na n a n+1(n∈N*),则a n=________.【解析】 由已知得1a n+1-1a n=n,∴1a n-1a n-1=n-1,1a n-1-1a n-2=n-2,…,1a2-1a1=1,∴1a n -1a1=n (n -1)2,∴1an =n 2-n +22,∴a n =2n 2-n +2.【答案】 2n 2-n +211.在数列{a n }中,a 1=1,对于所有的n ≥2,n ∈N *,都有a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2,则a 3+a 5=________.【解析】 由题意知a 1·a 2·a 3·…·a n -1=(n -1)2,∴a n =(nn -1)2(n ≥2),∴a 3+a 5=(32)2+(54)2=6116. 【答案】 611612.数列{a n }满足12a 1+122a 2+…+12n a n =2n +5,n ∈N *,则a n =________.【解析】 在12a 1+122a 2+…+12n a n =2n +5中,用n -1代换n 得12a 1+122a 2+…+12n -1a n -1=2(n -1)+5 (n ≥2),两式相减得12n a n =2,a n =2n +1,又12a 1=7,即a 1=14,故a n={14,n =1,2n +1,n ≥2.【答案】 {14,n =1,2n +1,n ≥213.根据下列条件,确定数列{a n }的通项公式. (1)a 1=1,a n +1=3a n +2; (2)a 1=1,a n +1=(n +1)a n ; (3)a 1=2,a n +1=a n +ln (1+1n).【解】 (1)∵a n +1=3a n +2, ∴a n +1+1=3(a n +1), ∴a n +1+1a n +1=3,∴数列{a n +1}为等比数列,公比q =3,又a 1+1=2, ∴a n +1=2·3n -1,∴a n =2·3n -1-1.(2)∵a n +1=(n +1)a n ,∴a n +1an =n +1.∴a nan -1=n ,a n -1a n -2=n -1,…a 3a 2=3,a 2a1=2,a 1=1. 累乘可得,a n =n ×(n -1)×(n -2)×…×3×2×1=n! 故a n =n!(3)∵a n +1=a n +ln (1+1n ),∴a n +1-a n =ln (1+1n )=ln n +1n.∴a n -a n -1=ln nn -1,a n -1-a n -2=ln n -1n -2,…a 2-a 1=ln 21,∴a n -a 1=ln n n -1+ln n -1n -2+…+ln 21=ln n .又a 1=2,∴a n =ln n +2.14.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1=a (a ∈R 且a ≠3),a n +1=S n +3n ,n ∈N *. (1)设b n =S n -3n ,求数列{b n }的通项公式; (2)若a n +1≥a n ,n ∈N *,求a 的取值范围. 【解】 (1)依题意,S n +1-S n =a n +1=S n +3n , 即S n +1=2S n +3n ,由此得S n +1-3n +1=2(S n -3n ), 又S 1-31=a -3(a ≠3),故数列{S n -3n }是首项为a -3,公比为2的等比数列, 因此,所求通项公式为b n =S n -3n =(a -3)2n -1,n ∈N *. (2)由(1)知S n =3n +(a -3)2n -1,n ∈N *, 于是,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=3n +(a -3)2n -1-3n -1-(a -3)2n -2=2×3n -1+(a -3)2n -2, a n +1-a n =4×3n -1+(a -3)2n -2 =2n -2[12·(32)n -2+a -3],当n≥2时,a n+1≥a n 12·(32)n-2+a-3≥0 a≥-9.又a2=a1+3>a1.综上,所求a的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞).。

高考数学一轮复习第五章数列5.1数列的概念与简单表示法课件理

高考数学一轮复习第五章数列5.1数列的概念与简单表示法课件理
第五章 数 列 第一节 数列的概念与简单表示法
【知识梳理】 1.数列的有关概念
概念
含义
数列 数列的项 数列的通项
按照_一__定__顺__序__排列的一列数
数列中的_________ 每一个数
数列{an}的第n项an
概念 通项公式 前n项和
含义
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用 公式_a_n=_f_(_n_)_表示,这个公式叫做数列 的通项公式
将第一项看成 这样,先不考虑符号,则分母为3,5, 7,9,…可归纳为 233 n, +1,分子为3,8,15,24,…将其每一项
加1后变成4,9,16,25,…可归纳为(n+1)2,综上,数列的
通项公式an= 1nn1211nn22n.
2n1
2n1
③把数列改写成 1, 0, 1, 0, 1, 0分, 1母, 0依, 次为 12345678
答案:(1)5 030 (2)
5k 5k 1
2
【加固训练】
1.数列
则 是该数列的 ( )
2,5, 2 2, 2 5

A.第6项
B.第7项
C.第10项
D.第11项
【解析】选B.原数列可写成
因为
所以20=2+(n-1)×3,所以n=27, . 5,8, 2 5 20,
2.根据下图5个图形及相应点的个数的变化规律,猜测 第n个图中有________个点.
1,2,3,…,而分子1,0,1,0,…周期性出现,因此数列 的通项可表示为
an
12[11n1]11n1.
n
2n
④将数列统一为 3,5,7,对9 ,于分子3,5,7,9,…, 2 5 10 17

(新课标)2020年高考数学一轮总复习第五章数列5_1数列的概念与简单表示法课件文新人教A版

(新课标)2020年高考数学一轮总复习第五章数列5_1数列的概念与简单表示法课件文新人教A版

(2)(2018·郑州市质量预测)已知函数f(x)=a2x,a-x>11x+4,x≤1, 的定义域为R,数
列{an}(n∈N*)满足an=f(n),且{an}是递增数列,则a的取值范围是( )
A.(1,+∞)
B.12,+∞
C.(1,3)
D.(3,+∞)
解析:由题意,得aa2>>1a,1, 即aa>2>12,a-1+4, 解得a>3,故选D. 答案:D
3.以常见数列为背景,利用通项
低档.
公式、递推公式求数列的项.
[基础梳理]
1.数列的有关概念
概念
含义
数列 按照 一定顺序 排列的一列数
数列的项 数列中的 每一个数
数列的通项 数列{an}的第n项an
通项公式 前n项和
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式 an=f(n) 表示,这个公式叫作数列的通项公式 数列{an}中,Sn= a1+a2+…+an 叫作数列的前 n项和
将以上各式累乘求得aan1=n, ∴an=n,而n=1也适合. ∴数列的通项公式为an=n. [答案] n
方法3 用转化法求数列的通项公式
【例4】 在数列{an}中a1=1,an+1=3an+2,则an=________.
[解析]
因为an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),所以
an+1+1 an+1
(2)当n=1时,S1=a1=-1,所以
1 S1
=-1.易知Sn≠0,因为an+1=Sn+1-Sn=SnSn+
1,所以
1 Sn

1 Sn+1
=1,即
1 Sn+1

1 Sn
=-1,所以

高三数学一轮复习 5.1数列的概念与简单表示法课件

高三数学一轮复习 5.1数列的概念与简单表示法课件

a3=2sin3 2 =-2≠2,其他选项都适合,故选B.
完整版ppt
10
3.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为以这些 数目的点可以排成一个正三角形(如图).
则第7个三角形数是( )
A.27
B.28
C.29
D.30
【解析】选B.由图可知,第7个三角形数是
1+2+3+4+5+6+7=28完. 整版ppt
2n
(3)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式的符号为(-1)n;各项绝
对值的分母组成数列1,2,3,4,…;而各项绝对值的分子组成的数
列中,奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为2-1,偶数项为2+1,
所以an=1n •2,也1可n 写完为整版ppt
18
n
an=
3 n
1 ,n为 正 奇 数 n ,n为 正 偶 数 .
A.①②
B.③④
C.①③
完整版ppt
D.②④
8
【解析】选D.①错误.不是所有的数列的第n项都能使用公式表 达. ②正确.根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可以有多个. ③错误.如已知an+2=an+1+2an,则只要知道任意连续两项都可 以确定这个数列. ④正确.根据数列的前n项和的定义可知.
完整版ppt
13
6.在数列{an}中,a1=1,an+2=an+1-an(n∈N*),则a100等

.
【解析】因为an+2=an+1-an, 所以an+3=an+2-an+1. 两式相加得an+3=-an, 则an+6=-an+3=an, 即数列{an}的周期为6,

高考数学大一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的概念及简单表示法课件 文

高考数学大一轮复习 第五章 数列 5.1 数列的概念及简单表示法课件 文
【解】 由已知Sn=2an-a1 有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2), 即an=2an-1(n≥2). 从而a2=2a1,a3=2a2=4a1. 又因为a1,a2+1,a3成等差数列, 即a1+a3=2(a2+1).
所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2. 所以,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列. 故an=2n.
【答案】 C
(2)(2016·西安八校联考)观察下列三角形数表: 1 2 3 4 … 97 98 99 100 3 5 7 …… 195 197 199 8 12 ……… 392 396 20 ………… 788 …………… ……… …… …
其中从第2行起,每行的每一个数为其“肩膀”上两数之 和,则该数表的最后一行的数为( )
高考真题演练 课时作业
突破考点 01
由数列前几项归纳数列的通项公式
(基础送分型——自主练透)
1.数列的分类
2.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与________之间的关系可以用一个 式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
1.有限 无限 > < 2.序号n
【调研1】 (1)(2016·西安五校联考)下列可作为数列
①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③拆项后的特征; ④各项符号特征,并对此进行归纳、猜想; ⑤若给出图示,充分结合图示分析规律. 2.由数列的前几项求通项时,数列的通项公式不唯一.
突破考点 02
Sn与an的关系
(高频考点型——多维探究)
数列的前n项和通常用Sn表示,记作____出下列各数列的一个通项公 式:
①-1,7,-13,19,… ②0.8,0.88,0.888,… ③1,0,13,0,15,0,17,0,… ④32,1,170,197,…

2020版高考数学一轮复习第五篇数列必修5第1节数列的概念与简单表示法课件理

2020版高考数学一轮复习第五篇数列必修5第1节数列的概念与简单表示法课件理

2
,所以 an= 2 2
.当 n=1 时,适合上式.故 an= 2 2
.
(3)a1=1,an+1=2an+1.
解:(3)由题意知 an+1+1=2(an+1),所以 an1 1 =2.所以数列{an+1}是以 2 为首项,2 为公比 an 1
如果数列{an}的第n项与 序号n
之间的关系可以用一个式子来表示,那
么这个公式叫做这个数列的通项公式.
6.数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项),且从第二项开始的任何一项an与它的前
一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即an=f(an-1)或an=f(an-1,
an-2),那么这个式子叫做数列{an}的递推公式.
.
解析:因为{an}是递增数列,所以对任意的n∈N*,都有an+1>an,即 (n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,整理, 得2n+1+λ>0,即λ>-(2n+1).(*) 因为n≥1,所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需λ>-3.
答案:(-3,+∞)
5.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则S5=
an=
.
解析:(1)当 n=1 时,a1=S1=1;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-2n+2-[(n-1)2-2(n-1)+2]=2n-3.
由于
n=1
时,a1=1≠2×1-3,所以{an}的通项公式为
an=
1, n 2n
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【2019最新】精选高考数学一轮复习第5章数列第1讲数列的概念与简单表示法学案板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.考点2 数列的分类考点3 数列的表示法数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.考点4 数列的通项公式如果数列{an}的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.[必会结论]1.若数列{an}的前n 项和为Sn ,通项公式为an ,⎩⎪⎨⎪⎧ S1,n =1,Sn -Sn -1,n≥2.=an 则 ⎩⎪⎨⎪⎧ an≥an-1,an≥an+1.最大,则an 中,若{an}.在数列2 ⎩⎪⎨⎪⎧an≤an-1,an≤an+1.最小,则an 若 3.数列与函数的关系数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.[考点自测]1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( )(2)数列:1,0,1,0,1,0,…,通项公式只能是an =.( )(3)如果数列{an}的前n 项和为Sn ,则对∀n∈N*,都有an +1=Sn +1-Sn.( )(4)若数列用图象表示,则从图象上看都是一群孤立的点.( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√2.[课本改编]数列1,,,,,…的一个通项公式an 是( )n2n +3D. A. B. C. 答案 B解析 由已知得,数列可写成,,,…,故该数列的一个通项公式为.故选B.3.[课本改编]在数列{an}中,a1=1,anan -1=an -1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则的值是( )38A. B. C. D. 答案 C解析 由已知得a2=1+(-1)2=2,∴2a3=2+(-1)3,a3=,∴a4=+(-1)4,a4=3,∴3a5=3+(-1)5,∴a5=,∴=×=.故选C.4.已知f(1)=3,f(n +1)=(n∈N*).则f(4)=________.54 答案 解析 由f(1)=3,得f(2)=2,f(3)=,f(4)=.5.[2018·山东师大附中月考]已知数列{an}的前n 项和Sn =,则a5+a6=________.124答案 解析 a5+a6=S6-S4=-=-=.6.[课本改编]在数列{an}中,a1=2,an +1=an +,则数列an =________.1n-3 答案 解析 由题意,得an +1-an ==-,an =(an -an -1)+(an -1-an -2)+…+(a2-a1)+a1=++…+++2=3-.板块二 典例探究·考向突破考向 由数列的前几项求数列的通项公式 例 1 写出下面各数列的一个通项公式:(1)-1,7,-13,19,…;(2),1,,,…;(3),,-,,-,,…;(4)1,3,6,10,15,…;(5)3,33,333,3333,….解(1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5).(2)将数列统一为,,,,…,对于分子3,5,7,9,…,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17,…,联想到数列1,4,9,16,…,即数列{n2},可得分母的通项公式为cn=n2+1,因此可得它的一个通项公式为an=.(3)各项的分母分别为21,22,23,24,…,易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为-,原数列可化为-,,-,,…,所以an=(-1)n·. (4)将数列改写为,,,,,…,因而有an=,也可用逐差法a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,…,an-an-1=n,各式累加得an=.(5)将数列各项改写为,,,,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以an=(10n-1).触类旁通观察法求通项公式的常用技巧求数列的通项公式实际上是寻找数列的第n项与序号n之间的关系,常用技巧有:(1)借助于(-1)n或(-1)n+1来解决项的符号问题;(2)项为分数的数列,可进行恰当的变形,寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系;(3)对较复杂的数列的通项公式的探求,可采用添项、还原、分割等方法,转化为熟知的数列,如等差数列、等比数列等来解决.考向由an与Sn的关系求通项an例 2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,则an=________.答案4n-5解析(1)a1=S1=2-3=-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5,由于a1也适合此等式,∴an=4n-5. (2)设Sn为数列{an}的前n项的和,且Sn=(an-1)(n∈N*),则an=________.答案3n解析 当n≥2时,an =Sn -Sn -1=(an -1)-(an -1-1),整理,得an =3an -1,即=3,又a1=3,∴数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列,∴an=3n.(3)已知数列{an},满足a1+2a2+3a3+…+nan =2n ,则an =________.⎩⎪⎨⎪⎧2,n =1,2n -1n ,n≥2 答案 解析 当n =1时,由已知,可得a1=21=2, 当n≥2时,a1+2a2+3a3+…+nan =2n , ① 故a1+2a2+3a3+…+(n -1)an -1=2n -1, ②由①-②得nan =2n -2n -1=2n -1,∴an=.⎩⎪⎨⎪⎧ 2,n =1,2n -1n,n≥2.=∴an 时不满足上式,1=n 显然 触类旁通给出Sn 与an 的递推关系,求an 的常用思路:一是利用Sn -Sn -1=an(n≥2)转化为an 的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn 的递推关系,先求出Sn 与n 之间的关系,再求an.【变式训练】 (1)已知数列{an}的前n 项和Sn =3n +1,则an =________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧ 4,n =1,2×3n-1,n≥2解析 当n =1时,a1=S1=3+1=4;当n≥2时,an =Sn -Sn -1=(3n +1)-(3n -1+1)=2×3n-1.当n =1时,2×31-1=2≠a1,所以an =⎩⎪⎨⎪⎧ 4,n =1,2×3n-1,n≥2.(2)[2018·广州模拟]设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n -1an =,则an =________.答案 13n解析 因为a1+3a2+32a3+…+3n -1an =,①则当n≥2时,a1+3a2+32a3+…+3n -2an -1=,②①-②得3n -1an =,所以an =(n ≥2).由题意知a1=,符合上式,所以an=.(3)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=________.答案n-1解析由已知Sn=2an+1,得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,=,而S1=a1=1,所以Sn=n-1.考向由递推公式求数列的通项公式命题角度1 形如an+1=anf(n),求an例 3 在数列{an}中,a1=4,nan+1=(n+2)an,求数列{an}的通项公式.解由递推关系得=,又a1=4,∴an=··…···a1=···…···4=·4=2n(n+1)(n∈N*).命题角度2 形如an+1=an+f(n),求an例 4 (1)[2015·江苏高考]设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),求数列前10项的和.解由题意可得,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2+3+…+n=,则==2,数列的前10项的和为++…+=2=.(2)若数列{an}满足:a1=1,an+1=an+2n,求数列{an}的通项公式.解由题意知an+1-an=2n,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1==2n-1.命题角度3 形如an+1=Aan+B(A≠0且A≠1),求an例 5 已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,求an.解设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2(an-t),即an+1=2an-t,解得t=-3.故递推公式为an+1+3=2(an+3).令bn=an+3,则b1=a1+3=4,且==2.所以{bn}是以b1=4为首项,2为公比的等比数列.所以bn=4×2n-1=2n+1,即an=2n+1-3.命题角度4 形如an+1=(A,B,C为常数),求an例 6 已知数列{an}中,a1=1,an+1=,求数列{an}的通项公式.解∵an+1=,a1=1,∴an≠0,∴=+,即-=,又a1=1,则=1,∴是以1为首项,为公差的等差数列,∴=+(n-1)×=,∴an=(n∈N*).触类旁通由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且an-an-1=f(n),可用“累加法”求an.(2)已知a1且=f(n),可用“累乘法”求an.(3)已知a1且an+1=qan+b,则an+1+k=q(an+k)(其中k可由待定系数法确定),可转化为等比数列{an+k}.(4)形如an+1=(A,B,C为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.核心规律已知递推关系求通项,一般有以下方法:(1)算出前几项,再归纳、猜想;(2)累加法、累乘法、待定系数法.满分策略1.数列是一种特殊的函数,在利用函数观点研究数列时,一定要注意自变量的取值,如数列an=f(n)和函数y=f(x)的单调性是不同的.2.数列的通项公式不一定唯一.3.在利用数列的前n项和求通项时,往往容易忽略先求出a1,而是直接把数列的通项公式写成an=Sn-Sn-1的形式,但它只适用于n≥2的情形.板块三启智培优·破译高考数学思想系列6——用函数思想解决数列的单调性问题[2018·南京段考]数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4. (1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值.(2)对于n∈N*,都有an+1>an.求实数k的取值范围.解题视点(1)求使an<0的n值;从二次函数看an的最小值.(2)数列是一类特殊函数,通项公式可以看作相应的解析式f(n)=n2+kn+4.f(n)在N*上单调递增,可利用二次函数的对称轴研究单调性,但应注意数列通项中n的取值.解(1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4.∵n∈N*,∴n=2,3,∴数列中有两项是负数,即为a2,a3.∵an=n2-5n+4=2-,由二次函数性质,得当n=2或n=3时,an有最小值,其最小值为a2=a3=-2.(2)由an+1>an知该数列是一个递增数列,又因为通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N*,所以-<,即得k>-3.答题启示1在利用二次函数的观点解决该题时,一定要注意二次函数对称轴位置的选取.,2本题易错答案为k>-2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性,即自变量是正整数.跟踪训练已知数列{an}中,an=1+(n∈N*,a∈R,且a≠0).(1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范围.解(1)∵an=1+(n∈N*,a∈R,且a≠0),又∵a=-7,∴an=1+.结合函数f(x)=1+的单调性,可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*).∴数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.(2)an=1+=1+.∵对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,结合函数f(x)=1+的单调性,知5<<6,∴-10<a<-8.故a的取值范围为(-10,-8).板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1.已知数列,,2,…,则2是该数列的( )A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项答案C解析由数列,,2,…的前三项,,可知,数列的通项公式为an==,由=2,可得n=7.故选C. 2.[2018·上饶模拟]已知数列{an}满足an+1+an=n,若a1=2,则a4-a2=( )A.4 B.3 C.2 D.1答案D解析由an+1+an=n,得an+2+an+1=n+1,两式相减得an+2-an=1,令n=2,得a4-a2=1.故选D.3.[2018·济宁模拟]若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=,则等于( )A. B. C. D.30答案D 解析∵当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=,∴=5×(5+1)=30.故选D.4.已知数列{an}满足a1=1,an+1an=2n(n∈N*),则a10=( )A.64 B.32 C.16 D.8答案B解析∵an+1an=2n,∴an+2an+1=2n+1,两式相除得=2.又a1a2=2,a1=1,∴a2=2.则···=24,即a10=25=32.故选B. 5.在各项均为正数的数列{an}中,对任意m,n∈N*,都有am+n=am·an.若a6=64,则a9等于( )A.256 B.510 C.512 D.1024答案C解析在各项均为正数的数列{an}中,对任意m,n∈N*,都有am+n=am·an.∴a6=a3·a3=64,a3=8.∴a9=a6·a3=64×8,a9=512.故选C. 6.[2018·辽宁实验中学月考]设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则an=( )A.2n B.2n-1 C.2n D.2n-1答案C解析 当n =1时,a1=S1=2(a1-1),可得a1=2;当n≥2时,an =Sn -Sn -1=2an -2an -1,∴an=2an -1,∴an=2·2n-1=2n.选C.7.若数列{an}的前n 项和Sn =n2-10n(n∈N*),则数列{nan}中数值最小的项是( )A .第2项B .第3项C .第4项D .第5项答案 B解析 ∵Sn=n2-10n ,∴当n≥2时,an =Sn -Sn -1=2n -11;当n =1时,a1=S1=-9也适合上式.∴an =2n -11(n ∈N*).记f(n)=nan =n(2n -11)=2n2-11n ,此函数图象的对称轴为直线n =,但n∈N*,∴当n =3时,f(n)取最小值.于是,数列{nan}中数值最小的项是第3项.故选B.8.已知数列{an}中,a1=1,若an =2an -1+1(n≥2),则a5的值是________.答案 31解析 ∵an=2an -1+1,∴an+1=2(an -1+1),∴=2,又a1=1,∴{an +1}是以2为首项,2为公比的等比数列,即an +1=2×2n -1=2n ,∴a5+1=25,即a5=31.9.[2018·洛阳模拟]数列{an}中,a1=1,对于所有的n≥2,n∈N*,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5=________.6116答案 解析 由题意知:a1·a2·a3·…·an-1=(n -1)2,所以an =2(n≥2),所以a3+a5=2+2=.10.[2015·全国卷Ⅱ]设Sn 是数列{an}的前n 项和,且a1=-1,an +1=SnSn+1,则Sn =________.1n- 答案 解析 ∵an+1=Sn +1-Sn ,∴Sn+1-Sn =Sn +1Sn ,又由a1=-1,知Sn≠0,∴-=1,∴是等差数列,且公差为-1,而==-1,∴=-1+(n -1)×(-1)=-n ,∴Sn =-.[B 级 知能提升]1.[2018·天津模拟]已知正数数列{an}中,a1=1,(n +2)·a-(n +1)a +anan+1=0,n∈N*,则它的通项公式为( )=an .A2n +1=an .B C .an =D .an =n 答案 B解析 由题意可得=,则an =··…··a1=··…·×1=.故选B.2.已知数列{an}的通项公式为an =,若数列{an}为递减数列,则实数k 的取值范围为( )A .(3,+∞)B .(2,+∞)C .(1,+∞)D .(0,+∞) 答案 D解析 因为an +1-an =-=,由数列{an}为递减数列知,对任意n∈N*,an +1-an =<0,所以k >3-3n 对任意n∈N*恒成立,所以k∈(0,+∞).故选D.3.[2018·重庆模拟]数列{an}满足an +1=⎩⎪⎨⎪⎧ 2an ,0≤a n ≤12,2an -1,12<an <1,._______项为2018=,则数列的第a1 15答案 解析 ∵a1=,∴a2=2a1-1=.∴a3=2a2=.∴a4=2a3=.∴a5=2a4-1=,a6=2a5-1=,….∴该数列周期为T =4.∴a2018=a2=.4.已知a1+2a2+22a3+…+2n -1an =9-6n ,求数列{an}的通项公式.解 令Sn =a1+2a2+22a3+…+2n -1an ,则Sn =9-6n ,当n =1时,a1=S1=3;当n≥2时,2n -1an =Sn -Sn -1=-6,∴an =-.而n =1时,a1=3,不符合上式,2019年⎩⎪⎨⎪⎧3,n =1,-32n -2,n≥2.=an ∴通项公式 5.[2018·贵阳模拟]已知在数列{an}中,a1=1,前n 项和Sn =an.(1)求a2,a3;(2)求{an}的通项公式.解 (1)由S2=a2,得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3;由S3=a3,得3(a1+a2+a3)=5a3,解得a3=(a1+a2)=6.(2)由题设知a1=1.当n >1时,有an =Sn -Sn -1=an -an -1,整理,得an =an -1.于是a1=1,a2=a1,a3=a2,…,an -1=an -2,an =an -1.将以上n 个等式两端分别相乘,整理,得an =.综上,{an}的通项公式an =.。

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