数列的概念及简单表示方法
高中数学-数列
数列的概念及简单表示法一、数列的概念1.数列定义：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2.数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集)为定义域的函数a n＝f(n).当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值3.数列有三种表示法：是列表法、图象法和通项公式法二、数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1＞a n其中n∈N＋递减数列a n＋1＜a n常数列a n＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M，使|a n|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列三、数列的两种常用的表示方法1.通项公式：如果数列{a n}的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式2.递推公式：如果已知数列{a n}的第1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式四、通项公式的求法：1.观察法：仔细观察数列的项和项数之间的关系，可分离出随项数变化的部分和不变的部分，从而找到规律.如数列2 , -1,10 , -17 , 26 , -37 ，，先将数列变为 2 , -5 , 10 , -17 , 26 , -37 ，，显然3 7 9 11 13 3 5 7 9 11 13S ⎪ ⎪ ⎨ - S 分母为2n +1，分子为n 2 +1，奇数项正偶数项负，乘以(-1)n +1即可.故n +1n 2 +1 a n = (-1)2n +1 .又如数列 7，77，777， ，可写成 7 ⨯ 9, 7 ⨯ 99, 7⨯999, 999，而 9，99，999，依次又可写成10 -1,102-1,103-1， ，因此，这个数列的通项公式为a = 7 (10n -1)2. 公式法：（1） 已知数列{a n }的前 n 项和S n ，则 a n= ⎧⎪S 1⎪⎩ nn -1 n9(n = 1) (n ≥ 2) （2） 对于等差数列和等比数列，把已知条件代入其通项公式、前 n 项和公式列出方程（组）求解3.累加法：形如a n +1 = a n + f (n )，当 f (1) + f (2) + + f (n ) 的值可求时用此法 ⎧an - a n -1 = f (n -1) ⎪a - a = f (n - 2) ⎪ n -1⎨n -2 ⇒ a n = f (n -1) + f (n - 2) +... f (2) + f (1) + a 1, (n ≥ 2) ⎪... ⎪⎩a 2 - a 1 = f (1)（1） 若 f (n ) 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和（2） 若 f (n ) 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和（3） 若 f (n ) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和（4） 若 f (n ) 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和4. 累乘法：形如a = f (n )a ⎛或 a n +1 = f (n ) ⎫，当 f (1) f (2)f (n ) 可求时，用此法.⎧ a n⎪ a= f (n -1) n +1n⎪⎝a n⎭⎪ n -1 ⎪ a n -1⎪ a f (n - 2) ⎨ n -2 ⎪... ⎪ a 2 = af (1) ⎩ 1 将上述n -1个式子两边分别相乘，可得： a n = f (n -1) ⋅ f (n - 2) ⋅...⋅ f (2) f (1)a 1, (n ≥ 2)=⎩5. 构造法：当已知非常数数列的首项（或前几项）及递推公式时用此法 （1）对于一阶递推公式： a n +1 = pa n + q ， ( p 为常数，p ≠ 1) 给出的数列，两边各加q 得， a+ q = p (a +q ) ，这样就构造出一个等比数列⎧a +q ⎫ ，其公比 p -1 n +1 p -1 n p -1 ⎨ n p -1⎬⎩ ⎭为 p ，首项是a +q ，∴ a + q= (a + q ) p n -1 ，即a = (a + q ) p n -1 - q 1p -1 n p -1 1 p -1 n 1p -1 p -1（2）对于二阶递推公式： a n +1 = pa n + qa n -1 （p , q 为常数） 给出的数列，设 a + xa =y (a + xa ) (*)，显然⎧ y - x = p.把方程组的解代入(*)便可构成一个等 n +1 n n n -1 ⎨xy = q比数列，继而可以求出通项公式（3）以 a = ma n 给出的数列（p , q , m 均为非零整数），当m = q 时，可以构造一个 n +1pa n + q等差数列；当m ≠ q 时，可以构造一个一阶递推公式6. 周期数列举例：通过计算前有限项发现周期，继而求出某些项或 S n1n n 等 差 数 列 及 其 前 n 项 和一、等差数列的概念1. 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 2. 数学语言表达式： a n +1 - a n = d ( n ∈N ＋，d 为常数)，或a n - a n -1 = d ( n ≥2，d 为常数)3. 等差中项：如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么 A 叫做 x 和 y 的等差中项，且有 A =x + y 2二、等差数列的通项公式与前n 项和公式1. 若等差数列{a n }的首项是a ，公差是d ，则其通项公式为a = a + (n -1)d = dn + a - d (n ∈ N *)n11通项公式的推广： a = a + (n - m )d ( m ， n ∈N) ⇒ d =a n - a mnm＋n - m2. 等差数列的前n 项和公式S= na + n (n -1) d = n (a 1 + a n ) = d n 2 + (a - 1 d )n n 12 22 1 2 (其中n ∈N ＋， a 1 为首项，d 为公差， a n 为第n 项)数列{a }是等差数列⇔ S = An 2+ Bn(A , B 为常数)三、等差数列的性质1. 非零常数列既是等差数列又是等比数列2. 数列{ a n }为等差数列⇔ a n = pn + q （p,q 是常数）3. 数列{λa n + b }（ λ, b 为常数）仍为等差数列4. 若m + n = p + q (m , n , p , q ∈ N + )，则a m + a n = a p + a q5. 等差数列{a n }中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列6. 等差数列{a n }中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列p +nq 2k 2k n n 7. 若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d8. 若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n } 、{ka n + pb n }{a }( p , q ∈ N *)…也成等差数列 9.单调性：{a n }的公差为d ，则： （1） d > 0 ⇔ {a n }为递增数列 （2） d < 0 ⇔ {a n }为递减数列 （3） d = 0 ⇔ {a n }为常数列( k 、 p 是非零常数)、10. 若等差数列{a n }的前n 项和S n ，则S k 、S 2k - S k 、S 3k - S … 是等差数列 11. 等差数列{a n }的单调性：当d ＞0 时， {a n }是递增数列；当d ＜0 时， {a n }是递减数列；当d ＝0 时， {a n }是常数列12. 若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k 、a k + m 、a k +2m …(k ，m ∈N ＋)是公差为md的等差数列13. 若数列{a}是等差数列，前n 项和为S ，则⎧S n ⎫也是等差数列，其首项和{a}的首 nn⎨ n ⎬ n项相同，公差是{a n⎩ ⎭}公差的 1214. 若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为 x - d , x , x + d ；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为 x - 3d , x - d , x + d , x + 3d 四、等差数列前n 项的性质1. 若等差数列{a n }的前n 项和S n ，则S k 、S 2k - S k 、S 3k- S … 是等差数列2. 若数列{a } {b } 都是等差数列，其前 n 项和分别为S T ，则a n= 2n -1n,nn ,nbTn 2n -13. 若数列{a }的前n 项和S = An 2+ Bn +C (A , B 为常数,C ≠ 0) ，则数列{a n }从第二项起是等差数列sn⎨ 2n偶奇 中 偶 奇 偶偶4. 若数列{a n }是等差数列的充要条件是前n 项和公式S n = f (n ) ，是n 的二次函数或一次函数且不含常数项，即 S = An 2 + Bn (A , B 为常数,A 2 +B 2 ≠ 0)5. 等差数列{a n }中，若a < 0,d > 0 （ a ≤ 0 的n 的最大值为k ）则S 有最小值S ，前n 项绝对值的和T n 1 = ⎧⎪-s n nn ≤ k；若a > 0,d< 0，（ n a n ≥ k0 的n 的最大 ⎪⎩s n - 2s k n ≥ k + 1值为k ）则S 有最大值S ，前n 项绝对值的和T = ⎧⎪s nn ≤ kn k n⎨ ⎪⎩2s k - s n n ≥ k + 16. 等差数列{a n }中，若项数为奇数2n - 1，则中间项为a ， S =(2n-1)a ，S - S = n - 1 d s n + a ， 奇 = 奇 偶 2 1S n - 1 若n 为偶数，则S = nd2若n 为奇数，则S - S =a (中间项)7. 等差数列{a n }中，若项数n 为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为S 、S ，则sn + 1 s a n奇=；若项数n 为偶数， 奇= 2S n - 1S a n + 12五、等差数列的前 n 项和的最值等差数列{a n }中1. 若a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值2. 若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值六、等差数列的四种判断方法1. 定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列2. 等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列3. 通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列4. 前 n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列1- S 偶 偶 奇mb n 等 比 数 列 及 其 前 n 项 和一、等比数列的概念1. 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q ( q ≠0)表示 2.数学语言表达式： a n= q ( n≥2， q 为非零常数)，或 an +1 = q ( n ∈N ， q 为非零常数)＋a n -1 a n3. 等比中项：如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，那么G 叫做 x 与 y 的等比中项，其中G = ±二、等比数列的通项公式及前n 项和公式1. 若等比数列{a }的首项为a ，公比是q ，则其通项公式为a = a q n -1n通项公式的推广： a n 1= a q n - mn 1a (1- q n )a - a q 2. 等比数列的前n 项和公式：当q ＝1 时， S n = na 1 ;当q ≠1 时， S n =11- q= 1 n1- q三、等比数列的性质 1. q = 1 ⇒{a n }为常数列2. q < 0 ⇒{a n } 为摆动数列3. 若正项数列{a n }为等比数列，则数列{log a a n }为等差数列4. 若{a }是等比数列，则{λa }（λ 为不等于零的常数），{a 2}⎧ 1 ⎫ {a r }(r ∈ Z ) 是等n n n⎨ a ⎬ n ⎩ n ⎭比数列，公比依次是q ，q 2 1 q r ，若数列{a } ，{b }都是等比数列且项数相同，则⎧ a n ⎫是等比数列， ， n nq ⎨ ⎬ ⎩n ⎭ 5. 若数列{a }为等差数列，则数列{ba n}为等比数列6. 若 m + n = p + q (m , n , p , q ∈ N + ) ，则 a⋅ a = a ⋅ a ，当 p = q 时， a ⋅ a = a 2 即a p 是a m 和a n 的等比中项mnpqm n p7. 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k 、a k + m 、a k +2m …仍是等比数列，公比为xy1 1 1 1 2n ⎩ n ⎩ q m （即若项数成等差数列，则对应的项也等比数列）8. 任意两数a , b 都存在等差中项为a + b，但不一定都存在等比中项，当且仅当a , b 同号时 2才存在等比中项为9. 任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列10. 等比数列{a n }的单调性：（1） 当q ＞1， a ＞0 或 0＜ q ＜1， a ＜0 时，数列{a n }是递增数列 （2） 当q ＞1， a ＜0 或 0＜ q ＜1， a ＞0 时，数列{a n }是递减数列 （3） 当q ＝1 时，数列{a n }是常数列11. 当q ≠－1，或q ＝－1 且 n 为奇数时，S n 、S 2n - S n 、S 3n - S 仍成等比数列，其公比为q n12. 等比差数列{a n }: a n +1 = qa n + d , a 1 = b (q ≠ 0) 的通项公式为⎧b + (n -1)d q = 1⎪ a n = ⎨bq n+ (d - b )q n -1 - d ；⎪q -1 q ≠ 1 ⎧nb + n (n -1)d(q = 1)其前 n 项和公式为 s n ⎪ ⎨(b - d ) 1- q + d n(q ≠ 1)⎪1- q q -1 1- q（四）判断给定的数列{a n }是等比数列的方法（1）定义法： an +1 = q （不为 0 的常数）⇔数列{a a n}为等比数列（2）中项法： a ⋅ a= a2⇔数列{a }为等比数列mn +2n +1n（3）前n 项和法：数列{a n }的前n 项和S n = A - Aq n （A 是常数， A ≠ 0, q ≠ 0, q ≠ 1 ）⇔数列{a n }为等比数列= nS 1 1 ⎨ - S 数 列 求 和一、公式法1. 等差数列的前n 项和公式： S n2. 等比数列的前n 项和公式 （1） 当q ＝1 时， S n = na 1= na 1+n (n -1) d = n (a 1 + a n)2 2a (1- q n )a - a q（2） 当q ≠1 时， S n = 11- q = 1 n1- q3. 已知数列{a n }的前 n 项和S n ，则 a n= ⎧⎪S 1⎪⎩ nn -1 (n = 1) (n ≥ 2) 4. 差比数列求和：通项为a n b n 型，其中{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，称为差比数列.求和方法为（设 d ， q 分别是{a n }，{b n }的公差、公比）：令S n = a 1b 1 + a 2b 2 + + a n b n …①，两边同乘以q 得qS n = a 1b 1q + a 2b 2q + + a n b n q ， ∴qS n = a 1b 2 + a 2b 3 + + a n b n +1 …②，①-②得 (1- q )S n = a 1b 1 + (a 2 - a 1)b 2 + + (a n - a n -1)b n - a n b n +1 = a 1b 1 + d b 2 + d b 3 + + d b n -1 + d b n - a n b n +1 = a 1b 1 + d (b 2 + b 3 + + b n -1 + b n ) - a n b n +1= a 1b 1 + d ⨯b (1- qn) 1- q-a nb n +1，∴当q ≠ 1时， Sn = a 1b 1 - a n b n +1 + d ⨯ 1- q b (1- q n) (1- q )2二、观察法：仔细观察数列的项和项数之间的关系，可分离出随项数变化的部分和不变的部分，从而找到规律.1.数列 2 , -1,10 , - 17 , 26 , - 37 ， ，先将数列变为 2 , - 5 , 10 , - 17 , 26 , - 37， ，分母379 111335 79 11 13n +1n 2 +1 为2n +1，分子为n 2 +1，奇数项正偶数项负，乘以(-1)n +1即可.故a = (-1)2n +1 .2.又如数列 7，77，777， ，可写成 7 ⨯ 9, 7 ⨯ 99, 7 ⨯999,9 9 9，而 9，99，999，依次又可写成10 -1,102-1,103 -1， ，因此，这个数列的通项公式为a = 7 (10n -1)n9n⎪ ⎪ 3. 周期数列举例：通过计算前有限项发现周期，继而求出某些项或 S n三、累加法：形如a n +1 = a n + f (n )，当 f (1) + f (2) + + f (n ) 的值可求时用此法⎧an - a n -1 = f (n -1) ⎪a - a = f (n - 2) ⎪ n -1⎨n -2 ⇒ a n = f (n -1) + f (n - 2) +... f (2) + f (1) + a 1, (n ≥ 2) ⎪... ⎪⎩a 2 - a 1 = f (1)（1） 若 f (n ) 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和（2） 若 f (n ) 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和（3） 若 f (n ) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和（4） 若 f (n ) 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和四、累乘法：形如a= f (n )a ⎛或 a n +1 = f (n ) ⎫，当 f (1) f (2)f (n ) 可求时用此法.⎧ a n⎪ a= f (n -1) n +1n⎪⎝a n⎭⎪ n -1 ⎪ a n -1⎪ a f (n - 2) ⎨ n -2 ⎪... ⎪ a 2 = af (1) ⎩ 1 将上述n -1个式子两边分别相乘，可得： a n = f (n -1) ⋅ f (n - 2) ⋅...⋅ f (2) f (1)a 1, (n ≥ 2)五、构造法：当已知非常数数列的首项（或前几项）及递推公式时用此法1. 对于一阶递推公式： a n +1 = pa n + q ， ( p 为常数，p ≠ 1) 给出的数列，两边各加qp -1得， a +q = p (a +q) ，这样就构造出一个等比数列⎧a + q ⎫ ，其公比为 n +1p -1 np -1 ⎨ n p -1⎬⎩ ⎭p ，首项是a +q ，∴ a + q= (a + q ) p n -1 ，即a = (a + q ) p n -1 - q 1p -1 n p -1 1 p -1 n 1p -1 p -12. 对于二阶递推公式： a n +1 = pa n + qa n -1 （p , q 为常数） 给出的数列， =⎩设 a + xa =y (a + xa ) (*)，显然⎧y - x = p.把方程组的解代入(*)便可构成一个等n +1n n n -1⎨xy = q比数列，继而可以求出通项公式3. 以 a= ma n 给出的数列（ p , q , m 均为非零整数），当m = q 时，可以构造一个等n +1pa n + q差数列；当m ≠ q 时，可以构造一个一阶递推公式 4. 形如a n +1 = pa n + q （其中 p , q 均为常数且 p ≠ 0 ）型的递推式：（1） 若 p = 1时，数列{ a n }为等差数列 （2） 若q = 0 时，数列{ a n }为等比数列（3） 若 p ≠ 1 且q ≠ 0 时，数列{ a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：法一：设a n +1 + λ = p (a n + λ) ,展开移项整理得a n +1 = pa n + ( p -1)λ ,与题设a = pa + q 比较系数（待定系数法）得λ =q, ( p ≠ 0) ⇒ a + q = p (a + q)n +1np -1 n +1p -1n p -1⇒ a + q= p (a + q ) ,即⎧a + q ⎫构成以a + q为首项，以 p 为公比的等比 np -1 n -1 p -1 ⎨ n p -1⎬ 1 p -1⎩ ⎭数列.再利用等比数列的通项公式求出⎧a + q ⎫的通项整理可得a . ⎨ n p -1⎬ n法二：由a= pa ⎩ ⎭ + q 得a = pa + q (n ≥ 2) 两式相减并整理得a n +1 - a n= p , 即 n +1 n n n -1 a - an n -1{a n +1 - a n }构成以a 2 - a 1 为首项，以 p 为公比的等比数列.求出{a n +1 - a n }的通项再转化为累加法便可求出a n .5. 形如a n +1 = pa n + f (n ) ( p ≠ 1) 型的递推式： （1） 当 f (n ) 为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设a n + An + B = p [a n -1 + A (n -1) + B ] ，通过待定系数法确定 A 、B 的值，转化成以a 1 + A + B 为首项，以 p 为公比的等比数列{a n + An + B } ，再利用等比数列的通项公式求出{a n + An + B } 的通项整理可得a n .法二：当 f (n ) 的公差为d 时，由递推式得： a n +1 = pa n + f (n ) ， a n = pa n -1 + f (n -1)两式相减得： a n +1 - a n = p (a n - a n -1 ) + d ，令b n = a n +1 - a n 得： b n = pb n -1 + d 转化为“4”求出 b n ，再用累加法便可求出a n .（2） 当 f (n ) 为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设a n + λ f (n ) = p [a n -1 + λ f (n -1)]，通过待定系数法确定λ 的值，转化成以 a 1 + λ f (1) 为首项，以 p 为公比的等比数列{a n + λ f (n )} ，再利用等比数列的通项公式求出{a n + λ f (n )} 的通项整理可得a n .法二：当 f (n ) 的公比为q 时，由递推式得： a n +1 = pa n + f (n ) ——①，a n = pa n -1 + f (n -1) ，两边同时乘以q 得a n q = pqa n -1 + qf (n -1) ——②，由①②两式相减得a - a q = p (a - qa ) ，即 a n +1 - qa n= p ，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出a . n +1 n n n -1 a - qa nn n -1法三：递推公式为an +1 = pa n + q n （其中p ，q 均为常数）或a = pa n + rq n （其中p ，q, r 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以q n +1 ，得：a n +1 = p • a n + 1 ，引入辅助数列{b }（其中b = a n ），得： b = p b + 1 再应用类型 q n +1 q q n qn n q nn +1 q n q“4”的方法解决。
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即数列{n2}，可得分母的通项公式为 cn＝n2＋1，因此
可得它的一个通项公式为 an＝2nn2＋＋11.
(3)an
＝
0
1
n为奇数 n为偶数
或
an
＝
1＋－1n 2
或
an ＝
1＋cos nπ 2
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an 思维启迪
题型分类·深度剖析
变式训练 2 根据下列 条件，确定数列{an} 的通项公式：
(1)a1＝1，an＋1＝3an ＋2； (2)a1＝1，an＝n－n 1
·an－1 (n≥2)； (3) 已 知 数 列 {an} 满 足 an＋1＝an＋3n＋ 2，且 a1＝2，求 an.
解 (1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴aan＋n＋1＋11＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比 q＝3， 又 a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1. (2)∵an＝n－n 1an－1 (n≥2)， ∴an－1＝nn－ －21an－2，…，a2＝12a1. 以上(n－1)个式子相乘得 an＝a1·12·23·…·n－n 1＝an1＝1n.
题型二
由数列旳递推关系求通项公式
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an ＋1，求 an； (2)已知 a1＝2，an＋1＝an＋n，求
an.
思维启迪
解析
探究提升
已知数列的递推关系，求数列的 通项时，通常用累加、累乘、构 造法求解．
当出现 an＝an－1＋m 时，构造等差 数列；当出现 an＝xan－1＋y 时， 构造等比数列；当出现 an＝an－1 ＋f(n)时，用累加法求解；当出现 aan－n 1＝f(n)时，用累乘法求解．
2.1数列的概念与简单表示法
第1课时 数列的概念与简单表示法
知识点一 数列及其有关概念 梳理 (1)按照 一定顺序 排列的 一列数 称为数列，数列中的每一个数叫 做这个数列的 项 .数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数 称为这个数列的 第1项 (通常也叫做 首项 )，排在第二位的数称为这个数 列的第2项 ……排在第n位的数称为这个数列的第n项 . (2) 数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，…，an，… ，简记为{an} .
数列中的项的性质 (1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的. (2)可重复性：数列中的数可以重复. (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列 次序有关.
知识点二 通项公式
梳理 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表 示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
跟踪训练 3 已知数列{an}的通项公式为 an＝nn1＋2(n∈N*)，那么1120是 这个数列的第__1_0___项. 解析 ∵nn1＋2＝1120，∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.
(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018； (2)0，12，23，…，n－n 1，…；
(3)1，12，14，…，2n1－1，…；
解 (1)(6)是有穷数列； (1)(2)是递增数列； (3)是递减数列； (4)(5)是摆动数列；
(4)－1×1 2，2×1 3，－3×1 4，4×1 5，…；(6)是常数列.
题型探究
类型一 数列的分类 例1 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是 A.1，12，13，14，… B.－1，－2，－3，－4，…
√C.－1，－12，－14，－18，…
新版数列公式总结-新版
数列公式总结一、数列的概念与简单的表示法数列前 n 项和：对于任何一个数列，它的前 n 项和Sn 与通项 an 都有这样的关系：二、等差数列1.等差数列的概念台(1)等差中项：若三数 a 、A 、b 成等差数列(2)通项公式：an =a +(n-1)d=am+(n-m)d(3).前n 项和公式：2等差数列的.常用性质(1)若m+n=p+q(m,n,P,q ∈N+), 则am+an=ag+ag自n}的公差为d,则：(2)单调性：i) d >0 ⇔白，}为递增数列；ii) d <0 ⇔A,} 为递减数列；ii) d =0 台白，}为常数列；(3)若等差数列(白，)的前n项和S,,则S、Sa-S、Sm-S…是等差数列。
三、等比数列1.等比数列的概念(3).前n 项和公式：2.等比数列的常用性质(1)若m+n=p+q(m,n,p,q ∈N+), 则am an=ap 码(2)单调性：a₁>0,q>1 或a<0,0<q<1={an} 为递增数列；a₁>0,0<q<1 或a<0,q>1={a}为递减数列；q =1={an}为常数列；q<0={an}为摆动数列；(3)若等比数列(a,)的前n项和S₁,则S、S₂-S₁、S-S…是等比数列.四、非等差、等比数列前n项和公式的求法(1)错位相减法(2)裂项相消法常见的拆项公式有：①②(3){分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组(4)倒序相加法一、等差数列公式及其变形题型分析：1. 设S 是等差数列{an}的前n 项和，若,则A. B C. D.2. 在等差数列{an}中，若a10o3+a1004+a1os+a106=18, 则该数列的前2008项的和为( ).A. 18072B.3012C. 9036D.120483. 已知等差数列{an}中，az+ag=16,a4=1, 则a12的值是( ).A.15B. 30C. 31D. 644. 在等差数列{an}中，3(a₂+a₆)+2(a₅+ao+as)=24, 则此数列前 13项之和为()A. 26B.13C.52D. 1565. 等差数列{an}中，ai+az+ag=-24,a18+ ag+a2o=78,则此数列前20项和等于( ).A. 160B.180C.200D.220二、等比数列公式及其变形题型分析：1. 已知{an}是等比数列，a2=2, , 则a ia₂+aza₃+ …+ anan+1=( ).A.16(1-4"B. 16( 1 — 2C. D.2. 已知等比数列{an}的前10项和为32,前20项和为56,则它的前30项和为3.在等比数列{an}中，若a₁+a₂+a₃=8,a₄+as+a₆=-4, 则a₁3+a₁4+a₁5=该数列的前15项的和S15=4.等比数列a,中，a₂=9,as=243,则(a,}的前4项和为()A.81B.120C.168D.1925. √②+1与√②-1,两数的等比中项是( )A.1B.-1C.±1D.6. 已知一等比数列的前三项依次为 x,2x+2,3x+3,那么是此数列的第( ) 项A.2B. 4C. 6D. 87.在等比数列{a,}中，若a₃=3,ag=75,则a₁三、数列求和及正负项的解题思路1. 两个等差数列则2求和：(a-1)+(a²-2)+ …+(a”-n),(a≠0)3.求和：1+2x+3x²+…+nx′14.已知数列{an}的通项公式an=-2n+11,如果b₁=an(n∈N)求数列6,}的前n项和。
数列的概念及简单表示方法
§6.1 数列的概念及简单表示法1．数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类3．数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4． 数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2).1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n ＝1＋(－1)n ＋12.( × )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n . ( √ ) (5)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ ) (6)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( √ ) 2． 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64 答案 A解析 ∵S n ＝n 2，∴a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. ∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15.3． 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于 ( )A ．1B ．9C ．10D ．55答案 A解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1. 可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1.4． (2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝_____.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1.当n ＝1时，也符合a n ＝(－2)n －1. 综上，a n ＝(－2)n －1.5． (2013·安徽)如图，互不相同的点A1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n …分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．答案 a n ＝3n －2由相似三角形面积比是相似比的平方知OA 2n ＋OA 2n ＋2＝2OA 2n ＋1，即a 2n ＋a 2n ＋2＝2a 2n ＋1， 因此{a 2n }为等差数列且a 2n ＝a 21＋3(n －1)＝3n －2，故a n ＝3n －2.题型一 由数列的前几项求数列的通项 例1 写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….思维启迪 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．解 (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n ·2＋(－1)nn.也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n ，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n －1)．思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．(1)数列－1,7，－13,19，…的一个通项公式是a n ＝________.(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________.答案 (1)(－1)n ·(6n －5) (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.题型二 由数列的前n 项和S n 求数列的通项例2 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式：(1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .思维启迪 当n ＝1时，由a 1＝S 1，求a 1；当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1消去S n ，得a n ＋1与a n 的关系．转化成由递推关系求通项． 解 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ， n ＝1，2·3n －1， n ≥2.思维升华 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝16n －5，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式例3 (1)设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________.(2)数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则它的一个通项公式为a n ＝________.(3)在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .则{a n }的通项公式为________．思维启迪 观察递推式的特点，可以利用累加(乘)或迭代法求通项公式． 答案 (1)n (n ＋1)2＋1 (2)2×3n －1－1 (3)a n ＝n (n ＋1)2解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)2＋1.又a 1＝2＝1×(1＋1)2＋1，符合上式，因此a n ＝n (n ＋1)2＋1.(2)方法一 (累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3. 将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n .因为a 1＝1，所以a n ＋1＋11＋1＝3n ，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)， 又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1. 方法二 (迭代法)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1)＝…＝3n (a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)， 又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1. (3)由题设知，a 1＝1.当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1.∴a na n －1＝n ＋1n －1.∴a na n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3.以上n －1个式子的等号两端分别相乘，得到a n a 1＝n (n ＋1)2，又∵a 1＝1，∴a n ＝n (n ＋1)2.思维升华 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解． 当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)，则a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N ＋)，则a 5等于 ( ) A ．－16 B ．16 C ．31 D ．32 答案 (1)1n(2)B解析 (1)∵a n ＝n －1na n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n.(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， ∴a n ＝2a n －2a n －1， ∴a n ＝2a n －1.∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2， 故a 5＝a 1×q 4＝24＝16.数列问题中的函数思想典例：(12分)已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2－5n ＋4， ①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n .求实数k 的取值范围．思维启迪 (1)求使a n <0的n 值；从二次函数看a n 的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f (n )＝n 2＋kn ＋4.f (n )在N ＋上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性． 规范解答解 (1)①由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. [4分]②∵a n＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94的对称轴方程为n ＝52.又n ∈N ＋，∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.[8分](2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N ＋，所以－k 2<32，即得k >－3.[12分]温馨提醒 (1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N ＋上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k 的取值范围，使问题得到解决．(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取． (3)易错分析：本题易错答案为k >－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.方法与技巧1． 求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n 或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2． 强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2).3． 已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有二种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式．失误与防范1． 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )的单调性是不同的． 2． 数列的通项公式不一定唯一．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( )A.(－1)n ＋12B ．cosn π2C ．cosn ＋12π D ．cosn ＋22π答案 D解析 令n ＝1,2,3，…逐一验证四个选项，易得D 正确．2． 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于 ( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1答案 A解析 当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1， ∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n ＝1)，3×4n －2(n ≥2).∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.3． 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15 答案 A解析 由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)] ＝3×5＝15.4． 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(49)n －1－(23)n －1，则数列{a n }( )A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项 答案 C解析 ∵数列{a n }的通项公式为a n ＝(49)n －1－(23)n －1，令t ＝(23)n －1，t ∈(0,1]，t 是减函数，则a n＝t 2－t ＝(t －12)2－14， 由复合函数单调性知a n 先递增后递减． 故有最大项和最小项，选C.5． 若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝nn ＋1，则1a 5等于 ( )A.56B.65C.130 D ．30答案 D解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n＝1n (n ＋1)，所以1a 5＝5×6＝30.二、填空题 6． 已知数列{n 2n 2＋1}，则0.98是它的第________项．答案 7解析 n 2n 2＋1＝0.98＝4950，∴n ＝7.7． 数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N ＋，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝_____.答案6116解析 由题意知：a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2， ∴a n ＝(nn －1)2(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝(32)2＋(54)2＝6116. 8． 已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N ＋，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________． 答案 (－3，＋∞) 解析 方法一 (定义法)因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n ， 即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 方法二 (函数法)设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为直线n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f (n )为增函数， 故只需满足f (1)<f (2)，即λ>－3. 三、解答题9． 数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)． 故数列从第7项起各项都是正数．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n (n ＋1)10n，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由． 解 a n ＋1－a n ＝9n ＋1(n ＋2)10n ＋1－9n (n ＋1)10n ＝9n 10n ·8－n10，当n <8时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝8时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >8时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 则a 1<a 2<a 3<…<a 8＝a 9>a 10>a 11>…，故数列{a n }有最大项，为第8项和第9项， 且a 8＝a 9＝98×9108＝99108.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1． 跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为( )A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种 答案 C解析 设跳到第n 个格子的方法种数有a n ，则到达第n 个格子的方法有两类： ①向前跳1格到达第n 个格子，方法种数为a n －1；②向前跳2格到达第n 个格子，方法种数为a n －2，则a n ＝a n －1＋a n －2， 由数列的递推关系得到数列的前8项分别是1,1,2,3,5,8,13,21. ∴跳到第8个格子的方法种数是21.故选C.2． 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92 D.132答案 B解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，∴a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…，故a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2.∴S 21＝10×12＋a 1＝5＋12－2＝72.3． 若数列{n (n ＋4)(23)n }中的最大项是第k 项，则k ＝________.答案 4解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k (k ＋4)(23)k ≥(k ＋1)(k ＋5)(23)k ＋1k (k ＋4)(23)k≥(k －1)(k ＋3)(23)k －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10k 2－2k －9≤0，由k ∈N ＋可得k ＝4.4． 已知数列{a n }满足前n 项和S n＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23(n ＝1)1n (n ≥2).(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1(2n ＋3)(2n ＋2)<0， ∴{c n }是递减数列．5． 设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a ，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N ＋.(1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N ＋，求a 的取值范围． 解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )． 即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3，因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N ＋. (2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N ＋， 于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2[12(32)n －2＋a －3]， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12(32)n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9.又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞)．。
(完整版)数列公式总结
数列公式总结一、 数列的概念与简单的表示法数列前n 项和: 对于任何一个数列，它的前n 项和Sn 与通项an 都有这样的关系：an=二、 等差数列1.等差数列的概念（1）等差中项：若三数a A b 、、成等差数列2a b A +⇔=（2）通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d=+-=+-（3）.前n 项和公式：()()11122n n n n n a a S na d -+=+=2等差数列的.常用性质（1）若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则qp n m a a a a +=+；（2）单调性：{}n a 的公差为d ，则：ⅰ）⇔>0d {}n a 为递增数列； ⅱ）⇔<0d {}n a 为递减数列； ⅲ）⇔=0d {}n a 为常数列；（3）若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-… 是等差数列。
三 、 等比数列1.等比数列的概念（1）等比中项： 若三数a b 、G 、成等比数列2,G ab ⇒=（ab 同号）。
反之不一定成立。
（2）.通项公式：11n n mn m a a q a q --==（3）.前n 项和公式：()11111n n n a q a a qS qq --==--2.等比数列的常用性质（1）若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则m n p qa a a a ⋅=⋅；（2）单调性：110,10,01a q a q >><<<或{}n a ⇒为递增数列； {}110,010,1n a q a q a ><<<>⇒或为递减数列； {}1n q a =⇒为常数列；{}0n q a <⇒为摆动数列；（3）若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-… 是等比数列.四、非等差、等比数列前n 项和公式的求法常见的拆项公式有： ①111(1)1n n n n =-++；②1111();(21)(21)22121n n n n =--+-+有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.一、 等差数列公式及其变形题型分析：1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若63S S ＝13，则126S S ＝( )．A ．310B ．13C ．18D ．192．在等差数列{a n }中，若a 1 003＋a 1 004＋a 1 005＋a 1 006＝18，则该数列的前2 008项的和为( )．A ．18 072B ．3 012C ．9 036D ．12 0483．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )． A ．15B ．30C ．31D ．644．在等差数列{a n }中，3(a 2＋a 6)＋2(a 5＋a 10＋a 15)＝24，则此数列前13项之和为( )．A ．26B ．13C ．52D ．1565．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( )．A ．160B ．180C ．200D ．220二、 等比数列公式及其变形题型分析：1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝41，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )． A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C ．332(1－4－n )D ．332(1－2－n ) 2．已知等比数列{a n }的前10项和为32，前20项和为56，则它的前30项和为 ． 3．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝8，a 4＋a 5＋a 6＝－4，则a 13＋a 14＋a 15＝ ，该数列的前15项的和S 15＝ .4．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ） A ．81 B ．120 C ．168 D ．1925．12+与12-，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．216．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113-是此数列的第（ ）项 A ．2 B ．4 C ．6 D ．87．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则10a =___________. 三、数列求和及正负项的解题思路 1．两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a=___________.2.求和：)0(),(...)2()1(2≠-++-+-a n a a a n3．求和：12...321-++++n nx x x4．已知数列{}n a 的通项公式112+-=n a n ，如果)(N n a b n n ∈=， 求数列{}n b 的前n 项和。
数列的概念与简单表示法
第六章 数 列§6.1 数列的概念与简单表示法考点梳理1．数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做__________)，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．所以，数列的一般形式可以写成__________，其中a n 是数列的第n 项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{a n }．(2)通项公式：如果数列{a n }的__________与序号__________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项__________与它的前一项__________ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．(5)数列的表示方法有__________、__________、__________、__________. 2．数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为__________、__________.(2)按项的增减规律分为__________、__________、__________和__________．递增数列⇔a n ＋1______a n ；递减数列⇔a n ＋1_____a n ；常数列⇔a n ＋1______a n .递增数列与递减数列统称为__________．3．数列前n 项和S n 与a n 的关系已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧（n ＝1）_________，（n ≥2）_________.自查自纠：1．(1)项 首项 a 1，a 2，a 3，…，a n ，… (2)第n 项 n (3)函数值 (4)a n a n －1(5)通项公式法(解析式法) 列表法 图象法 递推公式法 2．(1)有穷数列 无穷数列 (2)递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 ＞ ＜ ＝ 单调数列 3．S 1 S n －S n －1典型例题讲练类型一 数列的通项公式例题1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5 555，….解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(－1)n 调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故数列的一个通项公式为a n ＝2n（2n －1）（2n ＋1）.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，故数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1)．变式1 写出下列数列的一个通项公式：(1)－1，12，－13，14，－15，…；(2)3，5，9，17，33，…； (3)23，－1，107，－179，2611，…. (4)1，2，2，4，3，8，4，16，….解：(1)a n ＝(－1)n ·1n ；(2)a n ＝2n ＋1；(3)由于－1＝－55，故分母为3，5，7，9，11，…，即{2n ＋1}，分子为2，5，10，17，26，…，即{n 2＋1}．符号看作各项依次乘1，－1，1，－1，…，即{(－1)n ＋1}，故a n ＝(－1)n ＋1·n 2＋12n ＋1. (4)观察数列{a n }可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，∴a n ＝⎩⎨⎧n ＋12（n 为奇数），2n 2（n 为偶数）.类型二 由前n 项和公式求通项公式例题2 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n ，则此数列的通项公式为a n ＝______________．(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1，则此数列的通项公式为a n ＝ ．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－10＝－9； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11. 当n ＝1时，2×1－11＝－9＝a 1.∴a n ＝2n －11. 故填2n －11.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1)－(2n －1＋1) ＝2n －2n －1＝2n －1.综上有 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.故填⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.变式2 已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，分别求它们的通项公式a n . (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b.解：(1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.类型三 由递推公式求通项公式例题3 写出下面各数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1；(2)a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n；(3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.解：(1)由题意得，当n ≥2时，a n －a n －1＝n ， ∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝2＝1×（1＋1）2＋1，适合上式，因此a n ＝n （n ＋1）2＋1.(2)由题设知，a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1. ∴a na n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3.以上n －1个式子的等号两端分别相乘， 得到a n a 1＝n （n ＋1）2.又∵a 1＝1，∴a n ＝n （n ＋1）2.(3)解法一：(累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3. 将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n .∵a 1＝1，∴a n ＋1＋11＋1＝3n ，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)， ∴a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)， 又a 1＝1也适合上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1. 解法二：(迭代法) a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1)＝…＝3n (a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)， ∴a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.变式3 写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）；(2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.解：(1)∵当n ≥2时，a n －a n －1＝1n （n －1）＝1n －1－1n，∴当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1＋…＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫1－12＋2＝3－1n . 当n ＝1时，适合．故a n ＝3－1n .(2)∵a n ＋1a n ＝2n ，∴a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a na n －1＝2n －1， 将这n －1个等式叠乘， 得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2，∴a n ＝2n （n －1）2.当n ＝1时，适合．故a n ＝2n （n －1）2.(3)由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.类型四 数列通项的性质例题4 已知数列{a n }，且a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N *)．求数列{a n }的最大项．解：因为a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n 是积幂形式的式子且a n ＞0，所以可用作商法比较a n 与a n －1的大小．解：令a na n －1≥1(n ≥2)， 即（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011nn ·⎝⎛⎭⎫1011n －1≥1，整理得n ＋1n ≥1110，解得n ≤10.令a na n ＋1≥1，即（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011n （n ＋2）⎝⎛⎭⎫1011n ＋1≥1，整理得n ＋1n ＋2≥1011，解得n ≥9.∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减．故a 9＝a 10＝1010119最大．变式4 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119 D.1060解：易得a n ＝1n ＋90n ，运用基本不等式得，1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n＝9或10时，a n ＝119最大．故选C.方法规律总结1．已知数列的前几项，求数列的通项公式，应从以下几方面考虑：(1)如果符号正负相间，则符号可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调节．(2)分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助分子和分母的关系来解决． (3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．2．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2），注意a n ＝S n －S n －1的条件是n ≥2，还须验证a 1是否符合a n (n ≥2)，是则合并，否则写成分段形式．3．已知递推关系求通项掌握先由a 1和递推关系求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及“累加法”“累乘法”等．(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可以用“累加法”得： a n ＝a 1＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)＋f (n )．(2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可以用“累乘法”得：a n ＝a 1·f (2)·f (3)·…·f (n －1)·f (n )．注：以上两式均要求{f (n )}易求和或积． 4．数列的简单性质(1)单调性：若a n ＋1＞a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则{a n }为递减数列．(2)周期性：若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零正整数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期．(3)最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 则a n 最大；若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1， 则a n 最小．课后练习1．1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的( ) A ．第16项 B ．第24项 C ．第26项 D ．第28项解：观察a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，得n ＝26.故选C.2．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( )A ．2n －1B ．n 2C.（n ＋1）2n 2D.n 2（n －1）2解：设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2（n －1）2.故选D.3．数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4解：依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，∴a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4.故选D.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn ≤2的正整数n 的集合为( )A ．{1,2}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2,3}D ．{1,2,4}解：B5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 的值为( ) A ．2＋lg nB ．2＋(n －1)lg nC ．2＋n lg nD ．1＋n lg n解法一：∵a n ＋1－a n ＝lg n ＋1n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lgn n －1＋lg n －1n －2＋…＋lg 21＋2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·21＋2＝lg n ＋2. 解法二：a n ＋1＝a n ＋lg(n ＋1)－lg n ，a n ＋1－lg(n ＋1)＝a n －lg n ，所以数列{a n －lg n }是常数列，a n －lg n ＝a 1－lg1＝2，a n ＝2＋lg n.故选A.6．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＝a n －1，则a 2017的值为( )A ．－1 B.12C ．2D ．3解：根据题意，∵数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1a n ＝a n －1，∴a n ＋1＝1－1a n ，∴a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2，…，可知数列的周期为3，∵2017＝3×672＋1，∴a 2017＝a 1＝2.故选C.7．已知数列{a n }满足a s ·t ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________.解：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2， t ＝4，则a 8＝a 2×4＝a 2×a 4＝8.故填8. 8．下列关于星星图案的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是a n ＝________.解：从题图中可观察星星的个数构成规律，n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…，∴a n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）2.故填n（n＋1）2.9．若数列{a n}满足1a n＋1－pa n＝0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列{1b n}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99＝299，则b8＋b92的最小值是________．解：4依题意可得b n＋1＝pb n，则数列{b n}为等比数列．又b1b2b3…b99＝299＝b9950，则b50＝2. b8＋b92≥2b8·b92＝2b50＝4，当且仅当b8＝b92，即该数列为常数列时取等号．10．已知数列{a n}的前n项和为S n.(1)若S n＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及a n；(2)若S n＝3n＋2n＋1，求a n.解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1), a1适合此式，∴a n＝(－1)n＋1·(2n－1)．(2)当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n －1＋2，a 1不适合此式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.。
高考数学知识点：数列的概念与简单表示法
高考数学知识点：数列的概念与简单表示法1500字数列是指按照一定规律排列的数字集合。
在高考数学中，数列是一个重要的知识点，它不仅会在选择题和填空题中出现，还会涉及到解答题的证明和计算。
本文将从数列的概念、简单表示法、常见数列以及数列的应用等方面，详细介绍高考数学数列知识点。
一、数列的概念数列中的数字按照一定的顺序排列，每个数字依次被称为数列的项。
一般来说，数列用字母表示，如a₁, a₂, a₃, ...，其中a₁表示数列的第一项，a₂表示数列的第二项，以此类推。
数列中的项可以是整数、分数或者实数，也可以是变量。
数列可以分为等差数列和等比数列两种。
等差数列是指相邻的两项之差都是一常数的数列，等差数列的通项公式一般为an = a₁ + (n-1)d，其中a₁表示首项，d表示公差，n表示项数。
等比数列是指相邻的两项之比都是一常数的数列，等比数列的通项公式一般为an = a₁ * r^(n-1)，其中a₁表示首项，r表示公比，n表示项数。
二、数列的简单表示法在高考数学中，常见的数列表示法有两种：通项公式和递推公式。
通项公式是指通过数列的第n项表示数列的任意一项，递推公式是指通过数列的前一项表示数列的后一项。
以等差数列为例，该数列的递推公式为an = an-1 + d，表示每一项都是前一项与公差之和。
而通项公式为an = a₁ + (n-1)d，表示数列的任意一项可以通过项数和公差计算得出。
另外，数列也可以通过数列的前几项给出，例如{1, 2, 3, ...}表示自然数列，{2, 4, 6, ...}表示偶数列。
这种表示法在高考数学中较少使用，但在解答题时可能会用到。
三、常见数列在高考数学中，有一些常见的数列被广泛应用。
这些数列包括等差数列、等比数列、等差数列的前n项和、等比数列的前n项和、斐波那契数列等等。
1. 等差数列：等差数列是指相邻的两项之差都是一常数的数列。
例如{1, 3, 5, 7, ...}是一个公差为2的等差数列。
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§6.1 数列的概念及简单表示法1． 数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2． 数列的分类3． 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4． 数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1(n ≥2).1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个． ( √ ) (3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n ＝1＋(－1)n ＋12.( × )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n . ( √ ) (5)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ ) (6)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( √ ) 2． 设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64 答案 A解析 ∵S n ＝n 2，∴a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. ∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15.3． 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于 ( )A ．1B ．9C ．10D ．55 答案 A解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1. 可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1.4． (2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝_____.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. 当n ＝1时，也符合a n ＝(－2)n －1.综上，a n ＝(－2)n －1.5． (2013·)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n …分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．答案 a n ＝3n －2由相似三角形面积比是相似比的平方知OA 2n ＋OA 2n ＋2＝2OA 2n ＋1，即a 2n ＋a 2n ＋2＝2a 2n ＋1， 因此{a 2n }为等差数列且a 2n ＝a 21＋3(n －1)＝3n －2， 故a n ＝3n －2.题型一 由数列的前几项求数列的通项例1写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….思维启迪 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．解 (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋(－1)nn.也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…， 所以a n ＝13(10n－1)．思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．(1)数列－1,7，－13,19，…的一个通项公式是a n ＝________.(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________.答案 (1)(－1)n·(6n －5) (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)数列{a n}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n＝2n＋1n2＋1.题型二由数列的前n项和S n求数列的通项例2已知下面数列{a n}的前n项和S n，求{a n}的通项公式：(1)S n＝2n2－3n；(2)S n＝3n＋b.思维启迪当n＝1时，由a1＝S1，求a1；当n≥2时，由a n＝S n－S n－1消去S n，得a n＋1与a n的关系．转化成由递推关系求通项．解(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎨⎧3＋b ， n ＝1，2·3n －1， n ≥2.思维升华 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n＋1，则其通项公式为________________．答案 a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝16n －5，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式例3(1)设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________.(2)数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则它的一个通项公式为a n ＝________. (3)在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .则{a n }的通项公式为________．思维启迪 观察递推式的特点，可以利用累加(乘)或迭代法求通项公式． 答案 (1)n (n ＋1)2＋1 (2)2×3n －1－1 (3)a n ＝n (n ＋1)2解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)2＋1.又a 1＝2＝1×(1＋1)2＋1，符合上式，因此a n ＝n (n ＋1)2＋1.(2)方法一 (累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3， 所以a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3. 将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n. 因为a 1＝1，所以a n ＋1＋11＋1＝3n，即a n ＋1＝2×3n－1(n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.方法二 (迭代法)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1) ＝ (3)(a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.(3)由题设知，a 1＝1. 当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1.∴a n a n －1＝n ＋1n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53， a 3a 2＝42，a 2a 1＝3.以上n －1个式子的等号两端分别相乘，得到a n a 1＝n (n ＋1)2，又∵a 1＝1，∴a n ＝n (n ＋1)2.思维升华 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解． 当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解． (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)，则a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N ＋)，则a 5等于 ( ) A ．－16 B ．16 C ．31 D ．32 答案 (1)1n(2)B解析 (1)∵a n ＝n －1na n －1 (n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n.(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， ∴a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1.∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2， 故a 5＝a 1×q 4＝24＝16.数列问题中的函数思想典例：(12分)已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2－5n ＋4， ①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n .数k 的取值围．思维启迪 (1)求使a n <0的n 值；从二次函数看a n 的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f (n )＝n 2＋kn ＋4.f (n )在N ＋上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性． 规解答解 (1)①由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.[4分]②∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94的对称轴方程为n ＝52.又n ∈N ＋，∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.[8分](2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N ＋，所以－k 2<32，即得k >－3.[12分]温馨提醒 (1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N ＋上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k 的取值围，使问题得到解决．(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取． (3)易错分析：本题易错答案为k >－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数.方法与技巧1． 求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2． 强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎨⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1(n ≥2).3． 已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有二种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式． 失误与防1． 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )的单调性是不同的． 2． 数列的通项公式不一定唯一．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( )A.(－1)n＋12B ．cos n π2C ．cosn ＋12πD ．cosn ＋22π答案 D解析 令n ＝1,2,3，…逐一验证四个选项，易得D 正确．2． 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于 ( )A ．3×44B ．3×44＋1 C ．45D ．45＋1答案 A解析 当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1， ∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎨⎧1(n ＝1)，3×4n －2(n ≥2). ∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.3． 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15答案 A解析 由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)] ＝3×5＝15.4． 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(49)n －1－(23)n －1，则数列{a n }( )A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项 答案 C解析 ∵数列{a n }的通项公式为a n ＝(49)n －1－(23)n －1，令t ＝(23)n －1，t ∈(0,1]，t 是减函数，则a n ＝t 2－t ＝(t －12)2－14，由复合函数单调性知a n 先递增后递减． 故有最大项和最小项，选C. 5． 若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝nn ＋1，则1a 5等于 ( )A.56 B.65 C.130 D ．30答案 D解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，所以1a 5＝5×6＝30.二、填空题 6． 已知数列{n 2n 2＋1}，则0.98是它的第________项．答案 7解析n 2n 2＋1＝0.98＝4950，∴n ＝7. 7． 数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N ＋，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝_____.答案6116解析 由题意知：a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2， ∴a n ＝(nn －1)2(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝(32)2＋(54)2＝6116.8． 已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N ＋，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值围是________． 答案 (－3，＋∞) 解析 方法一 (定义法)因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n ， 即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得 2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 方法二 (函数法)设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为直线n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f (n )为增函数， 故只需满足f (1)<f (2)，即λ>－3. 三、解答题9． 数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)． 故数列从第7项起各项都是正数．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n(n ＋1)10n，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由． 解 a n ＋1－a n ＝9n ＋1(n ＋2)10n ＋1－9n (n ＋1)10n＝9n10n ·8－n10， 当n <8时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝8时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >8时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 则a 1<a 2<a 3<…<a 8＝a 9>a 10>a 11>…， 故数列{a n }有最大项，为第8项和第9项， 且a 8＝a 9＝98×9108＝99108.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1． 跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为( )A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种 答案 C解析 设跳到第n 个格子的方法种数有a n ，则到达第n 个格子的方法有两类： ①向前跳1格到达第n 个格子，方法种数为a n －1；②向前跳2格到达第n 个格子，方法种数为a n －2，则a n ＝a n －1＋a n －2， 由数列的递推关系得到数列的前8项分别是1,1,2,3,5,8,13,21. ∴跳到第8个格子的方法种数是21.故选C.2． 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92 D.132答案 B解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，∴a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…，故a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2.∴S 21＝10×12＋a 1＝5＋12－2＝72.3． 若数列{n (n ＋4)(23)n}中的最大项是第k 项，则k ＝________.答案 4解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k (k ＋4)(23)k ≥(k ＋1)(k ＋5)(23)k ＋1k (k ＋4)(23)k≥(k －1)(k ＋3)(23)k －1，所以⎩⎨⎧k 2≥10k 2－2k －9≤0，由k ∈N ＋可得k ＝4.4． 已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23(n ＝1)1n (n ≥2).(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1，∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1(2n ＋3)(2n ＋2)<0， ∴{c n }是递减数列．5． 设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a ，a n ＋1＝S n ＋3n，n ∈N ＋.(1)设b n ＝S n －3n，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N ＋，求a 的取值围． 解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n， 即S n ＋1＝2S n ＋3n，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n)．即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3， 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n＝(a －3)2n －1，n ∈N ＋.(2)由(1)知S n ＝3n＋(a －3)2n －1，n ∈N ＋，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2[12(32)n －2＋a －3]，当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12(32)n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9.又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求的a 的取值围是[－9，＋∞)．。