时间序列分析-第三章-滑动平均模型和自回归滑动平均模型
（转）滑动平均法、滑动平均模型算法（Movingaverage，MA）
（转）滑动平均法、滑动平均模型算法（Movingaverage，MA）原⽂链接：https:///qq_39521554/article/details/79028012什么是移动平均法? 移动平均法是⽤⼀组最近的实际数据值来预测未来⼀期或⼏期内公司产品的需求量、公司产能等的⼀种常⽤⽅法。
移动平均法适⽤于即期预测。
当产品需求既不快速增长也不快速下降，且不存在季节性因素时，移动平均法能有效地消除预测中的随机波动，是⾮常有⽤的。
移动平均法根据预测时使⽤的各元素的权重不同 移动平均法是⼀种简单平滑预测技术，它的基本思想是：根据时间序列资料、逐项推移，依次计算包含⼀定项数的序时平均值，以反映长期趋势的⽅法。
因此，当时间序列的数值由于受周期变动和随机波动的影响，起伏较⼤，不易显⽰出事件的发展趋势时，使⽤移动平均法可以消除这些因素的影响，显⽰出事件的发展⽅向与趋势（即趋势线），然后依趋势线分析预测序列的长期趋势。
移动平均法的种类 移动平均法可以分为：简单移动平均和加权移动平均。
⼀、简单移动平均法 简单移动平均的各元素的权重都相等。
简单的移动平均的计算公式如下： Ft＝（At-1＋At-2＋At-3＋…＋At-n）/n式中， ·Ft–对下⼀期的预测值； ·n–移动平均的时期个数； ·At-1–前期实际值； ·At-2，At-3和At-n分别表⽰前两期、前三期直⾄前n期的实际值。
⼆、加权移动平均法 加权移动平均给固定跨越期限内的每个变量值以不同的权重。
其原理是：历史各期产品需求的数据信息对预测未来期内的需求量的作⽤是不⼀样的。
除了以n为周期的周期性变化外，远离⽬标期的变量值的影响⼒相对较低，故应给予较低的权重。
加权移动平均法的计算公式如下： Ft＝w1At-1＋w2At-2＋w3At-3＋…＋wnAt-n式中， ·w1–第t-1期实际销售额的权重； ·w2–第t-2期实际销售额的权重； ·wn–第t-n期实际销售额的权 ·n–预测的时期数；w1＋ w2＋…＋ wn＝1 在运⽤加权平均法时，权重的选择是⼀个应该注意的问题。
常见时间序列算法模型
常见时间序列算法模型
1. AR模型（自回归模型）：AR模型是一种基本的时间序列模型，它假设当前时刻的观测值与过去时刻的观测值之间存在线性关系。
AR模型根据过去的一系列观测值来预测未来的观测值。
2. MA模型（滑动平均模型）：MA模型也是一种基本的时间序列模型，它假设当前时刻的观测值与过去时刻的误差项之间存在线性关系。
MA模型根据过去的一系列误差项来预测未来的观测值。
3. ARMA模型（自回归滑动平均模型）：ARMA模型结合了AR模型和MA模型的特点，它假设当前时刻的观测值既与过去时刻的观测值有关，又与过去时刻的误差项有关。
ARMA 模型根据过去的观测值和误差项来预测未来的观测值。
4. ARIMA模型（自回归积分滑动平均模型）：ARIMA模型是对ARMA模型的扩展，它引入了差分操作，用来对非平稳时间序列进行平稳化处理。
ARIMA模型根据差分后的时间序列的观测值和误差项来预测未来的观测值。
5. SARIMA模型（季节性自回归积分滑动平均模型）：SARIMA模型是对ARIMA模型的扩展，用于处理具有季节性的时间序列。
SARIMA模型基于季节性差分后的观测值和误差项来预测未来的观测值。
6. LSTM模型（长短期记忆网络）：LSTM模型是一种递归神经网络模型，它通过学习时间序列中的长期依赖关系来进行预测。
LSTM模型能够捕捉到时间序列中的复杂模式，适用于处理非线性和非稳定的时间序列。
以上是几种常见的时间序列算法模型，可以根据具体问题选择合适的模型进行建模和预测。
时间序列分析与ARIMA模型
时间序列分析与ARIMA模型时间序列分析是一种研究时间上连续测量所构成的数据的方法。
它可以用来分析数据中的趋势、周期性和随机性，并预测未来的走势。
ARIMA（自回归滑动平均模型）是时间序列分析中常用的模型之一。
本文将介绍时间序列分析的基本概念以及ARIMA模型的原理和应用。
一、时间序列分析的基本概念时间序列是按照时间顺序排列的一组连续观测数据。
在时间序列分析中，我们常常关注序列中的趋势（trend）、季节性（seasonality）和周期性（cycle）等特征。
趋势是指长期上升或下降的走势；季节性是指数据在相同周期内波动的规律性；周期性是指超过一年的时间内出现的规律性波动。
二、ARIMA模型的原理ARIMA模型是由自回归（AR）和滑动平均（MA）模型组成的。
AR模型用过去的观测值来预测未来的值，滑动平均模型则用过去的噪声来预测未来的值。
ARIMA模型是将这两种模型结合起来，对时间序列进行建模和预测。
ARIMA模型包括三个主要部分：自回归阶数（p）、差分阶数（d）和滑动平均阶数（q）。
p表示模型中的自回归项数目，d表示需要进行的差分次数，q表示模型中的滑动平均项数目。
通过对时间序列的观测值进行差分，ARIMA模型可以将非平稳的序列转化为平稳的序列。
然后，可以通过对平稳序列的自回归和滑动平均建模，预测未来的值。
三、ARIMA模型的应用ARIMA模型在实际应用中被广泛使用。
它可以用于经济学、金融学、气象学等领域中的时间序列预测和分析。
以股票市场为例，投资者可以利用ARIMA模型对历史股价进行分析，预测未来股价的走势。
在气象学中，ARIMA模型可以用于预测未来的天气情况。
除了ARIMA模型，时间序列分析还包括其他模型，如季节性分解、移动平均、指数平滑等。
这些模型都有各自的优点和应用领域。
在实际应用中，根据不同的数据特点和研究目的，选择合适的模型进行分析和预测是十分重要的。
总结时间序列分析和ARIMA模型是研究时间数据的重要方法。
时间序列预测的常用方法与优缺点
时间序列预测的常用方法与优缺点时间序列预测是一种通过分析历史数据来预测未来时间点的方法。
以下是时间序列预测的常用方法及其优缺点：1. 简单移动平均法（Simple Moving Average，SMA）：优点：简单容易理解，适用于稳定的时间序列数据。
缺点：对于包含趋势和季节性的复杂时间序列预测效果不佳。
2. 加权移动平均法（Weighted Moving Average，WMA）：优点：能够适应不同时间点的权重，对周期性变动有较好的适应性。
缺点：需要事先确定权重，对于权重的选择敏感。
3. 简单指数平滑法（Simple Exponential Smoothing，SES）：优点：适用于稳定或平缓变化的时间序列，能够对近期数据产生较大影响。
缺点：对于具有较大的趋势和季节性的时间序列效果不佳。
4. 双指数平滑法（Double Exponential Smoothing，DES）：优点：适用于具有线性趋势的时间序列数据，能够较好地捕捉趋势。
缺点：对于具有季节性的时间序列数据效果不佳。
5. 三指数平滑法（Triple Exponential Smoothing，TES）：优点：适用于具有趋势和季节性的时间序列数据，能够较好地捕捉长期和短期的变化。
缺点：对于数据异常点的敏感度较高。
6. 自回归移动平均模型（Autoregressive Moving Average，ARMA）：优点：适用于具有较长历史数据的时间序列，能够捕捉趋势和周期性变动。
缺点：对于噪声较大的数据拟合效果不佳。
7. 自回归积分滑动平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average，ARIMA）：优点：适用于具有趋势和季节性的时间序列，能够捕捉数据的长期和短期变化。
缺点：对于非线性的时间序列预测效果不佳。
8. 长短期记忆神经网络（Long Short-Term Memory，LSTM）：优点：适用于复杂的非线性时间序列预测，能够捕捉长期依赖关系。
Matlab中的时间序列分析方法介绍
Matlab中的时间序列分析方法介绍时间序列分析是一种重要的数据分析技术，它用于研究随时间变化的数据。
在众多数据分析工具中，Matlab是一个强大且广泛使用的软件包。
本文将介绍Matlab中的时间序列分析方法及其应用。
一、时间序列分析概述时间序列分析是研究随时间变化的现象，通过对过去的观测结果进行分析，以预测未来的变化趋势。
在金融、经济学、气象学等领域，时间序列分析都具有重要的应用价值。
Matlab提供了丰富的函数和工具箱，用于执行各种时间序列分析任务。
二、时间序列表示与可视化在进行时间序列分析之前，首先需要了解如何表示和可视化时间序列数据。
在Matlab中，时间序列数据可以是一个矢量、矩阵或表格。
常见的时间序列数据类型包括日期格式、时间戳和时间间隔。
1.日期格式：Matlab中使用datetime数据类型表示日期和时间。
可以使用datetime函数创建日期数组，通过设置日期格式可以灵活地处理不同的时间序列数据。
2.时间戳：时间戳是一种用于表示某个特定时间点的数字形式。
在Matlab中，可以使用datenum函数将日期、时间转换为时间戳，或者使用datestr函数将时间戳转换为可读的日期格式。
3.时间间隔：时间间隔表示两个时间点之间的距离。
在Matlab中，duration函数可以用于表示时间间隔，而days、hours、minutes、seconds等函数则用于执行时间单位之间的转换。
完成时间序列数据的表示之后，可以使用plot函数将数据可视化。
Matlab提供了丰富的绘图函数和选项，可以创建各种类型的图形，如折线图、散点图、柱状图等。
三、时间序列预处理在进行时间序列分析之前，通常需要对数据进行一些预处理操作，以去除噪声、平滑数据、填补缺失值等。
1.噪声去除：时间序列数据常常包含噪声成分，干扰了对数据真实趋势的分析。
Matlab提供了一系列滤波函数，如lowpass、highpass、bandpass等，可以用于去除数据中的噪声成分。
自回归移动平均模型
(1) 自回归模型及其性质
• 定义 • 平稳条件 • 自相关函数 • 偏自相关函数 • 滞后算子形式
① 自回归模型的定义
• 描述序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序列 值之间的相互关系 xt 1xt1 2 xt2 p xt p t 随机序列{εt}是白噪声且和前时刻序列xk （k<t ）不相关，称为p阶自回归模型， 记为AR(p)
3 t 3
• 均值
E(t ) 0 E(xt ) 0
成立
• 方差
Var
( xt
)
2
(1
2
4
6
)
(1)t充分大时Var (xt
)
2
1
2
，与t无关
满足这两个
(2) 1时，Var (xt )为有限常数 条件成立
AR(1)平稳的条件
• 自协方差
等,则称xt 为随机过程 当取T为离散集，如T ， 2，1，0，1，2，或 T 1，2，等，则称xt 为随机序列
随机序列的现实
• 对于一个随机序列，一般只能通过记录 或统计得到一个它的样本序列x1,x2,···, xn， 称它为随机序列{xt}的一个现实
• 随机序列的现实是一族非随机的普通数 列
0 1, k k , k 1
自相关函数的估计
T
ˆx
(xt x)(xtk x)
t 1 T
(xt x)2
rˆk rˆ0
t 1
x
1 T
T t 1
xt
平稳序列的判断
时间序列分析-第三章 滑动平均模型和自回归滑动平均模型
2
qk
j0bjbjk,0kq
E(XX ) k
t tk
0,kq
(5)
MA序列的谱密度
定理1.1 MA(q)序列{ X t } 的自协方差函数 是q步截尾的：
q2bq0,k0,|k|q.
并且有谱密度
(1.6)
f() 2 2|B (ei)|22 1 k q qke ik, [ ,]. (1.7)
b1,b2 ,bq(bq0)使得
则称
q
B(z)1 bjzj 0,|z|1, j1
q
Xt t bj tj,tZ
(1.2)
j1
是q阶滑动平均模型，简称为MA(q)模型；
称由(1.2)决定的平均序列 { X t } 是滑动平 均模型，简称为MA(q)序列。
如果进一步要求多项式 B ( z ) 在单位圆周 上也没有零点：B z 0 , 当 | z | 1 ，则称(1.2) 是可逆的MA(q)模型，称相应的平稳时间 序列是可逆的MA(q)序列。
k
2
3
q q1
0 0
0
0
0
1
0
0 qq
k
k 1
,
qk 1
1
c
0
0 q1
1
q
2
q
(1.11)
则有：
其中 b q 1 2(qA C ),20C T C , (1.12)
kl im kk1Tk .
(1.13)
MA(1)序列
可逆MA(1)
X t t b t 1 ,t W N ( 0 ,2 ) ,|b | 1
本章结构
滑动平均模型 ARMA模型
§3.1 滑动平均模型
模型引入 MA(q)和MA(q)序列 最小序列 MA(q)系数的递推计算 MA(q)模型举例
时间序列分析模型
时间序列分析模型时间序列分析模型是一种通过对时间序列数据进行建模和分析的方法，旨在揭示数据中的趋势、季节性、周期和不规则波动等特征，并进行预测和决策。
时间序列分析模型在经济、金融、市场、气象、医学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的时间序列分析模型。
1. 移动平均模型（MA）移动平均模型是时间序列分析中最简单的模型之一。
它基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是对随机误差的线性组合。
该模型表示为：y_t = c + e_t + θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，q 是移动平均项的阶数。
2. 自回归模型（AR）自回归模型是基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是过去若干时间点的线性组合。
自回归模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，p 是自回归项的阶数。
3. 自回归移动平均模型（ARMA）自回归移动平均模型将自回归模型和移动平均模型结合在一起，用于处理同时具有自相关和移动平均性质的时间序列数据。
自回归移动平均模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t +θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，p 是自回归项的阶数，q 是移动平均项的阶数。
4. 季节性自回归移动平均模型（SARIMA）季节性自回归移动平均模型是自回归移动平均模型的扩展，用于处理具有季节性和趋势变化的时间序列数据。
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滑动平均模型与 自回归滑动平均模型
本章结构
滑动平均模型 ARMA模型
§3.1 滑动平均模型
模型引入 MA(q)和MA(q)序列 最小序列 MA(q)系数的递推计算 MA(q)模型举例
q步相关
平稳序列{Xt}的自协方差函数若满足 q 0， k 0, k q ，则称{Xt} 是q步相关的。
(1.5)
MA序列的谱密度
定理1.1 MA(q)序列{Xt}的自协方差函数 是q步截尾的：
q 2bq 0, k 0,| k | q.
并且有谱密度
(1.6)
(1.7) f
()
2 2
|
B(ei ) |2
1
2
q
keik , [ , ].
k q
MA(q)序列的充要条件
定理1.3 设零均值平稳序列{Xt} 有自协
0 2 (1 b12 b22 ) 7.4084 1 2 (b1 b1b2 ) 2.664 2 2b2 3.4 k 0, k 2
(1, 2 ) (0.3596, 0.4589).
§3.2自回归滑动平均模型
ARMA(p,q)模型及其平稳解 ARMA(p,q)序列的自协方差函数 ARMA(p,q)模型的可识别性 ARMA序列的谱密度和可逆性 例子
定义1.1 设{t }是 WN(0, 2) ，如果实数
b1, b2 , bq (bq 0) 使得
则称
q
B(z) 1 bj z j 0,| z | 1, j 1
q
X t t bjt j , t Z
(1.2)
j 1
是q阶滑动平均模型，简称为MA(q)模型；
称由(1.2)决定的平均序列 {Xt} 是滑动平 均模型，简称为MA(q)序列。
滑动平均模型的例子
每隔两小时记录的化学反应数据时间序 列{Xt ,t 1, 2, 197}。
一阶差分得
yt xt xt1,t 2, ,197
{yt}的样本自相关系数列呈现截尾性。
可以拟合
^
Yt t b t1, t Z
模型特点是k } 1步截尾
(1.1)
MA(q)模型和MA(q)序列
方差函数{ k} ，则{Xt} 是MA(q)序列的充 分必要是
q 0, k 0,| k | q.
引理1.2
引理1.2 设实常数{c j} 使得 cq 0和
g()
1
2
q
c jeij
jq
0, [ , ].
则有唯一的实系数多项式：
q
B(z) 1 bj z j 0,| z | 1, bq 0.
MA(2)序列
可逆MA(2)
X t t b1t1 b2t2 , t Z
B(z) 1 b1z b2z 0,| z | 1.
可逆域：
{(b1,b2 ) : B(z) 0,| z | 1} {(b1, b2 ) : b2 b1 1,| b2 | 1}
自协方差
0 2 (1 b12 b22 ), 2 2b2
B1(z) j z j ,| z | 1 ( 0) j0
所以 t B1() X t j X t j j0
(1.4)
MA序列的自协方差函数
记 b0 1 ，则对MA(q)序列有 EXt 0 ，
2
qk
j0 bjbjk ,0k q
E(X X ) k
t tk
0, k q
自协方差和自相关
0 1
2 (1 2b
b2
)
k 0, k 2
1
b 1 b2
k 0, k 2
谱密度
f () 2 |1 bei |2 2 (1 b2 2b cos ), [ , ]
2
2
偏相关系数不截尾：
逆表示
ak ,k
(b)k (1 b2 ) (1 b2k2 )
,k
1
t (b) j X t j j0
如果进一步要求多项式 B(z) 在单位圆周 上也没有零点：Bz 0, 当 | z |1 ，则称(1.2) 是可逆的MA(q)模型，称相应的平稳时间 序列是可逆的MA(q)序列。
MA的特征
用推移算子把模型写为
Xt B()t , t Z
(1.3)
对于可逆MA，B1(z) 有Taylor 展式
单位圆上可能有根的一般情况可以用 hilbert空间预测的方法证明。
MA(q)系数的计算
MA(q)序列的系数 (b1,b2, ,bq )及 2可以被
数 0 ,1, , q 唯一确定。 可以用文献 [5]方法计算模型参数。
MA(q)系数的计算
记
0 1 0
0
0
1
A
0Байду номын сангаас
0
0
0 0 0
1 2
ARMA模型
定义2.1 设{t}是WN (0, 2 ) 。实系数多项 式 A(z) 和B(z) 没有公共根。满足
b0 1, apbq 0
以及：
p
A(z) 1 a j z j 0,| z | 1, j 1
q
B(z) bj z j 0,| z | 1, j0
(2.1)
就称差分方程：
自相关系数
1 2 (b1 b1b2 ), k 0, k 2
1
1
b1 b12
b1b2 b22
, 2
1
b2 b12
b22
, k
0, k
2.
谱密度
f
()
2 2
|1 b1ei
b2ei2
|2
MA(2)序列的实际例子
MA(2)的实际例子：
Xt t 0.36t1 0.85t2
特征根为 1.084652ei1.374297 。
使得
j 1
g() 2 | B(ei ) |2 . 2
(1.8)
这里 2 为某个正常数。(注：cj c j )
定理1.3的证明
由自协方差绝对可和时谱密度公式得
f
()
1
2
q
k eik
k q
由引理，
f () 2 | B(ei ) |2 . 2
B(z) 单位圆内没有根
如果 B(z) 在单位圆上都没有根，则可定 义 t B1()X1 ，用线性滤波的谱密度公式 可得{t} 的谱密度是白噪声谱密度。
k
2
3
q q1
0 0
0
0
0 1
0
0
k
k 1
,
qk1
1
c
0
0 q1
1
q
2
q
(1.11)
则有：
其中
bq
1
2
(
q
AC), 2 0 CT C,
(1.12)
lim
k
k k1Tk
.
(1.13)
MA(1)序列
可逆MA(1)
X t t bt1,t WN (0, 2 ),| b | 1