时间序列分析-第三章 滑动平均模型和自回归滑动平均模型
滑动平均模型
k
rk r0
1k1 2 k2 p k p
AR(p)的自相关函数
k
rk r0
1k1 2 k2 p k p
k k , 0 1
耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程
1 1 2 1 p p1 2 11 2 p p2
rt,s rs,t
rt,t Var (xt )
时间序列的统计性质
• 自相关函数
t,s
rt , s rtt rss
t,s s,t
t,t 1
2. 平稳时间序列
• 所谓平稳时间序列是指时间序列
{xt, t=0,±1,±2,···}
对任意整数t， Ex2 ，且满足以下条件： t 1) 对任意t，均值恒为常数 Ext (与t无关的常数 )
p 1 p1 2 p2 p
对一个自回归序列求ˆ ，ˆ ，
1
2
假设p 1，得ˆ ˆ ，记ˆ
1
1
1
1
假设p 2，得ˆ ,ˆ，如果ˆ 不显著为零，记ˆ
12
2
2
2
序列 ， ， ，称为偏自相关函数
1
2
3
对于p阶自回归模型，当j p时，a 0 j
Ext (1xtk1 x2 tk2 xp tk p tk ) Ext1xtk1 Ext2 xtk2 Ext p xtk p 1 rk1 2rk2 prk p
两边同除以r0 • 自相关函数
举例
ρk 1
yt 2 0.9 yt1 t
k 0.9k
0
（转）滑动平均法、滑动平均模型算法（Movingaverage，MA）
（转）滑动平均法、滑动平均模型算法（Movingaverage，MA）原⽂链接：https:///qq_39521554/article/details/79028012什么是移动平均法? 移动平均法是⽤⼀组最近的实际数据值来预测未来⼀期或⼏期内公司产品的需求量、公司产能等的⼀种常⽤⽅法。
移动平均法适⽤于即期预测。
当产品需求既不快速增长也不快速下降，且不存在季节性因素时，移动平均法能有效地消除预测中的随机波动，是⾮常有⽤的。
移动平均法根据预测时使⽤的各元素的权重不同 移动平均法是⼀种简单平滑预测技术，它的基本思想是：根据时间序列资料、逐项推移，依次计算包含⼀定项数的序时平均值，以反映长期趋势的⽅法。
因此，当时间序列的数值由于受周期变动和随机波动的影响，起伏较⼤，不易显⽰出事件的发展趋势时，使⽤移动平均法可以消除这些因素的影响，显⽰出事件的发展⽅向与趋势（即趋势线），然后依趋势线分析预测序列的长期趋势。
移动平均法的种类 移动平均法可以分为：简单移动平均和加权移动平均。
⼀、简单移动平均法 简单移动平均的各元素的权重都相等。
简单的移动平均的计算公式如下： Ft＝（At-1＋At-2＋At-3＋…＋At-n）/n式中， ·Ft–对下⼀期的预测值； ·n–移动平均的时期个数； ·At-1–前期实际值； ·At-2，At-3和At-n分别表⽰前两期、前三期直⾄前n期的实际值。
⼆、加权移动平均法 加权移动平均给固定跨越期限内的每个变量值以不同的权重。
其原理是：历史各期产品需求的数据信息对预测未来期内的需求量的作⽤是不⼀样的。
除了以n为周期的周期性变化外，远离⽬标期的变量值的影响⼒相对较低，故应给予较低的权重。
加权移动平均法的计算公式如下： Ft＝w1At-1＋w2At-2＋w3At-3＋…＋wnAt-n式中， ·w1–第t-1期实际销售额的权重； ·w2–第t-2期实际销售额的权重； ·wn–第t-n期实际销售额的权 ·n–预测的时期数；w1＋ w2＋…＋ wn＝1 在运⽤加权平均法时，权重的选择是⼀个应该注意的问题。
自回归滑动平均模型法
自回归滑动平均模型法
第1页：
自回归滑动平均模型（ARIMA）是一种应用于时间序列预测的重要统计模型，它有三个维度：自回归（AR），差分（I）和移动平均（MA）。
ARIMA的主要目标是拟合一个模型，用来描述一个时间序列的趋势和周期性，并可以用来预测未来的数据。
它是一种基于历史数据的建模方法，通过对时间序列进行分析并建立模型，以获得一个准确的预测。
自回归滑动平均模型的基本步骤如下：
（1）收集历史数据。
确定要预测的变量（即时间序列），并从每一个阶段收集足够的数据。
（2）检查时间序列数据的平稳性、趋势和季节性（如果存在）。
（3）确定ARIMA模型的参数。
（4）使用调整最小二乘法（OLS）或其他统计估计方法来估计ARIMA模型的参数。
（5）使用正态诊断检查拟合程度，确保拟合效果良好。
（6）通过模型预测未来时间序列的值，并评价预测精度。
（7）评估模型的有效性，加以改进，进行循环处理，以提高预测精度。
ARIMA模型的一个重要特点是，它是一个极具灵活性和适应性的模型，不仅可以用于单变量时间序列的预测，也可以用于多变量时间序列的预测。
因此，ARIMA模型在预测和分析给定数据的可能性方面拥有较强的威力。
常见时间序列算法模型
常见时间序列算法模型
1. AR模型（自回归模型）：AR模型是一种基本的时间序列模型，它假设当前时刻的观测值与过去时刻的观测值之间存在线性关系。
AR模型根据过去的一系列观测值来预测未来的观测值。
2. MA模型（滑动平均模型）：MA模型也是一种基本的时间序列模型，它假设当前时刻的观测值与过去时刻的误差项之间存在线性关系。
MA模型根据过去的一系列误差项来预测未来的观测值。
3. ARMA模型（自回归滑动平均模型）：ARMA模型结合了AR模型和MA模型的特点，它假设当前时刻的观测值既与过去时刻的观测值有关，又与过去时刻的误差项有关。
ARMA 模型根据过去的观测值和误差项来预测未来的观测值。
4. ARIMA模型（自回归积分滑动平均模型）：ARIMA模型是对ARMA模型的扩展，它引入了差分操作，用来对非平稳时间序列进行平稳化处理。
ARIMA模型根据差分后的时间序列的观测值和误差项来预测未来的观测值。
5. SARIMA模型（季节性自回归积分滑动平均模型）：SARIMA模型是对ARIMA模型的扩展，用于处理具有季节性的时间序列。
SARIMA模型基于季节性差分后的观测值和误差项来预测未来的观测值。
6. LSTM模型（长短期记忆网络）：LSTM模型是一种递归神经网络模型，它通过学习时间序列中的长期依赖关系来进行预测。
LSTM模型能够捕捉到时间序列中的复杂模式，适用于处理非线性和非稳定的时间序列。
以上是几种常见的时间序列算法模型，可以根据具体问题选择合适的模型进行建模和预测。
时间序列分析与ARIMA模型
时间序列分析与ARIMA模型时间序列分析是一种研究时间上连续测量所构成的数据的方法。
它可以用来分析数据中的趋势、周期性和随机性，并预测未来的走势。
ARIMA（自回归滑动平均模型）是时间序列分析中常用的模型之一。
本文将介绍时间序列分析的基本概念以及ARIMA模型的原理和应用。
一、时间序列分析的基本概念时间序列是按照时间顺序排列的一组连续观测数据。
在时间序列分析中，我们常常关注序列中的趋势（trend）、季节性（seasonality）和周期性（cycle）等特征。
趋势是指长期上升或下降的走势；季节性是指数据在相同周期内波动的规律性；周期性是指超过一年的时间内出现的规律性波动。
二、ARIMA模型的原理ARIMA模型是由自回归（AR）和滑动平均（MA）模型组成的。
AR模型用过去的观测值来预测未来的值，滑动平均模型则用过去的噪声来预测未来的值。
ARIMA模型是将这两种模型结合起来，对时间序列进行建模和预测。
ARIMA模型包括三个主要部分：自回归阶数（p）、差分阶数（d）和滑动平均阶数（q）。
p表示模型中的自回归项数目，d表示需要进行的差分次数，q表示模型中的滑动平均项数目。
通过对时间序列的观测值进行差分，ARIMA模型可以将非平稳的序列转化为平稳的序列。
然后，可以通过对平稳序列的自回归和滑动平均建模，预测未来的值。
三、ARIMA模型的应用ARIMA模型在实际应用中被广泛使用。
它可以用于经济学、金融学、气象学等领域中的时间序列预测和分析。
以股票市场为例，投资者可以利用ARIMA模型对历史股价进行分析，预测未来股价的走势。
在气象学中，ARIMA模型可以用于预测未来的天气情况。
除了ARIMA模型，时间序列分析还包括其他模型，如季节性分解、移动平均、指数平滑等。
这些模型都有各自的优点和应用领域。
在实际应用中，根据不同的数据特点和研究目的，选择合适的模型进行分析和预测是十分重要的。
总结时间序列分析和ARIMA模型是研究时间数据的重要方法。
自回归移动平均模型课件
1）均值E(Xt )= 是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt )=2是与时间t 无关的常数； 3）协方差Cov(Xt , Xt +k)=k 是只与时期间隔k 有关，
第一节 随机时间序列的特征
第二节 随机时间序列分析模型
第三节 协整分析与误差修正模型
第四节 向量自回归模型
自回归移动平均模型
1
§4.1 随机时间序列的特征
一、随机时间序列模型简介 二、趋势平稳与差分平稳 三、时间序列平稳性的检验
自回归移动平均模型
2
一、随机时间序列模型简介
一个标有时间脚标的随机变量序列被称为时间序 列(time series)。
(**)
检验（*）式是否存在单位根=1，也可通 过（**）式判断是否有 =0。
自回归移动平均模型
20
一般地:
检验一个时间序列Yt的平稳性，可通过检验带 有截距项的一阶自回归模型
Yt = +Yt-1+ t 中的参数是否小于1。
（*）
或者：检验其等价变形式
Yt = +Yt-1+ t 中的参数是否小于0 。
中减去 a + t，结果是一个平稳过程。
自回归移动平均模型
13
一般时间序列可能存在一个非线性函数形式的 确定性时间趋势，例如可能存在多项式趋势：
Y t a 1 t2 t2 n tn u t (**)
t = 1, 2, , T
同样可以除去这种确定性趋势，然后分析和预 测去势后的时间序列。对于中长期预测而言，能 准确地给出确定性时间趋势的形式很重要。如果 Yt 能够通过去势方法排除确定性趋势，转化为平 稳序列，称为退势平稳过程。
时间序列分析-第三章 滑动平均模型和自回归滑动平均模型
2
qk
j0bjbjk,0kq
E(XX ) k
t tk
0,kq
(5)
MA序列的谱密度
定理1.1 MA(q)序列{ X t } 的自协方差函数 是q步截尾的：
q2bq0,k0,|k|q.
并且有谱密度
(1.6)
f() 2 2|B (ei)|22 1 k q qke ik, [ ,]. (1.7)
b1,b2 ,bq(bq0)使得
则称
q
B(z)1 bjzj 0,|z|1, j1
q
Xt t bj tj,tZ
(1.2)
j1
是q阶滑动平均模型，简称为MA(q)模型；
称由(1.2)决定的平均序列 { X t } 是滑动平 均模型，简称为MA(q)序列。
如果进一步要求多项式 B ( z ) 在单位圆周 上也没有零点：B z 0 , 当 | z | 1 ，则称(1.2) 是可逆的MA(q)模型，称相应的平稳时间 序列是可逆的MA(q)序列。
k
2
3
q q1
0 0
0
0
0
1
0
0 qq
k
k 1
,
qk 1
1
c
0
0 q1
1
q
2
q
(1.11)
则有：
其中 b q 1 2(qA C ),20C T C , (1.12)
kl im kk1Tk .
(1.13)
MA(1)序列
可逆MA(1)
X t t b t 1 ,t W N ( 0 ,2 ) ,|b | 1
本章结构
滑动平均模型 ARMA模型
§3.1 滑动平均模型
模型引入 MA(q)和MA(q)序列 最小序列 MA(q)系数的递推计算 MA(q)模型举例
应用时间序列分析-何书元
2.随机项的估计
Rˆt xt Tˆt Sˆt ,t 1,2,,24.
1
-125
119
-64 61.9
14.7
-223.3 209.5 52.1 -136.8
-34.6 60
146.5 4.8
-121.1
87.6 -14.7
-38.3
4.8 -12.8 48 24.6
-30.5 -34.4
方法二：回归直线法
1790-1980年间每10年的美国人口总数
例4
1985至2000年广州月平均气温
例5
北京地区洪涝灾害数据
例5 虚线是成灾面积
图
一、时间序列的定义
时间序列:按时间次序排列的随机变量序列
X1, X 2,
(1.1)
n 个观测样本:随机序列的 n个有序观测值
x1, x2 ,, xn
(1.2)
《应用时间序列分析》
何书元 编著 北京大学出版社
广泛的应用领域：
金融经济 气象水文 信号处理 机械振动
………… 目的：描述、解释、预测、控制 本书主要介绍时间序列的基本知识、常用的建模和预测 方法
Wolfer记录的300年的太阳黑子数
光大证券2009.09.18-
《应用时间序列分析》
目录
第一章 时间序列 第二章 自回归模型 第三章 滑动平均模型与自回归滑动平均模型 第四章 均值和自协方差函数的估计 第五章 时间序列的预报 第六章 ARMA模型的参数估计
3. 随机项估计即为 {Xt Tˆt Sˆt}
方法一：分段趋势法
一、分段趋势图(年平均)
趋势项估计为
Tˆ1 Tˆ2 Tˆ3 Tˆ4 5873.0 Tˆ5 Tˆ6 Tˆ7 Tˆ8 5875.0 Tˆ9 Tˆ10 Tˆ11 Tˆ12 5853.0 Tˆ13 Tˆ14 Tˆ15 Tˆ16 6073.7 Tˆ17 Tˆ18 Tˆ19 Tˆ20 6262.6 Tˆ21 Tˆ22 Tˆ23 Tˆ24 6384.5
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X t a j X t j b j t j , t Z .
p
q
ARMA模型平稳解
模型写成 A() X t B()t , t Z (2.3) A1 ( z) B( z) 在 | z | 解析( 1 min{z j },{z j } 为 A( z ) 的所有根)，可以Taylor展开 ( z ) A1 ( z ) B( z ) j z j ,| z | (2.4) j 0 易见 o( ), A () B() () 是线性平 稳列。
( 1 , 2 ) (0.3596,0.4589).
§3.2自回归滑动平均模型
ARMA(p,q)模型及其平稳解 ARMA(p,q)序列的自协方差函数 ARMA(p,q)模型的可识别性 ARMA序列的谱密度和可逆性 例子
ARMA模型
2 { } WN (0, ) 。实系数多项 定义2.1 设 t 是
^
(1.1)
模型特点是 k } 1步截尾
MA(q)模型和MA(q)序列
定义1.1 设{t }是 WN (0, 2 ) ，如果实数 b1, b2 , bq (bq 0) 使得
B( z ) 1 b j z j 0,| z | 1,
q j 1
则称
q
(1.2) j 1 是q阶滑动平均模型，简称为MA(q)模型；
MA的特征
用推移算子把模型写为
X t B() t , t Z
1
(1.3) B1 ( z ) 有Taylor 展式 对于可逆MA，
B ( z ) j z j ,| z | 1 ( 0)
j 0
所以
t B () X t j X t j
1 j 0
(1.4)
MA序列的自协方差函数
记 b0 1 ，则对MA(q)序列有 EX t 0 ，
2 b j b j k ,0 k q j 0 k E ( X t X t k ) 0, k q
q k
(1.5)
MA序列的谱密度
定理1.1 MA(q)序列{ X t }的自协方差函数 是q步截尾的： q 2bq 0, k 0,| k | q. (1.6) 并且有谱密度
谱密度
2 2 f ( ) |1 bei |2 (1 b2 2b cos ), [ , ] 2 2
偏相关系数不截尾：
ak ,k (b)k (1 b2 ) ,k 1 2k 2 (1 b )
逆表示
t (b) j X t j
2 1 i 2 f ( ) | B(e ) | 2 2
k q
ik e k , [ , ].
q
(1.7)
MA(q)序列的充要条件
定理1.3 设零均值平稳序列{ X t } 有自协 k { 方差函数 } ，则 {X t } 是MA(q)序列的充 分必要是
自协方差
1 2 (b1 b1b2 ), k 0, k 2
2 0 2 (1 b12 b2 ), 2 2b2
自相关系数
b1 b1b2 b2 1 , 2 , k 0, k 2. 2 2 2 2 1 b1 b2 1 b1 b2
B( z )
单位圆内没有根
如果 B( z ) 在单位圆上都没有根，则可定 1 B () X1 ，用线性滤波的谱密度公式 义 t 可得{ t } 的谱密度是白噪声谱密度。 单位圆上可能有根的一般情况可以用 hilbert空间预测的方法证明。
MA(q)系数的计算
MA(q)序列的系数 (b1, b2 ,, bq )及 2可以被 数 0 , 1,, q 唯一确定。 可以用文献 [5] 方法计算模型参数。
q k 1
k k 1
,
1 2 q q
(1.11)
则有：
bq 1 ( q AC ), 2 0 C T C ,
其中
2
(1.12)
lim k
ARMA模型方程的通解
模型(2.2)的任意解可写成 Y X V t cos( t ), z Z (2.7) 其中 {X t } 为平稳解(2.6). z1 , z2 ,, zk 为 A( z ) i z e 的全体互不相同的零点。 j 有重数 r ( j ) j 随机变量Vl , j ,l , j由Y0 X 0 , Y1 X1,, Yp1 X p1唯一 决定。
j 1 j t t j 0 j t j
两边用 A() 作用 1 A()()t A() A ()t B()t 即 ()t 是ARMA(p,q)模型(2.2)的解。
惟一平稳解
反之，若{Yt }是(2.2)的一个平稳解，在 (2.2)两边用 A1 () 既得
式 A( z ) 和 B( z ) 没有公共根。满足
b0 1, apbq 0
以及：
q
A( z ) 1 a j z j 0,| z | 1,
j 1
p
B( z ) b j z 0,| z | 1,
j j 0
(2.1)
就称差分方程：
(2.2) 是一个自回归滑动平均模型，简称 ARMA(p,q)模型。称满足(2.2)的平稳序 列 { X t }为平稳解或ARMA(p,q)序列。
X t t bj t j , t Z
称由(1.2)决定的平均序列 { X t } 是滑动平 均模型，简称为MA(q)序列。 如果进一步要求多项式 B( z ) 在单位圆周 Bz 0, 当 | z | 1 ，则称(1.2) 上也没有零点： 是可逆的MA(q)模型，称相应的平稳时间 序列是可逆的MA(q)序列。
记 bj 0, j 0 或 j q, b 1; 0, j 0. 由参数 a (a a ) .b (b b ) 计算 { j }时 可以递推
0 j
T
T
p
1
p
p
1
q
1, j 0, j p b a , j 1, 2 j j 1 k j k
MA(q)系数的计算
记
0 0 A 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 q q 1 0 0 0
1 0 c 0 q1
1 2 2 3 k q 1 q
| Yt X t |
l j 1 l 0 l, j t j
p q t j 1 j t j j 0 j t j
k r ( j ) 1
当m较大时取后一段 Yt , t m 1, m 2,, m n 作为ARMA(p,q)模型的模拟数据。 当 A( z ) 有靠近单位圆的根时m要取得较大
k r ( j ) 1 l t t j 1 l 0 l, j t j j l, j
j
ARMA序列的模拟生成
(2.8) |V | t ,t 可以据此模拟ARMA模型：取初值 Y( p1) Y1 Y0 0, 递推的 Y a Y b , t 1, 2,, m n
k
1 k
T k
.
(1.13)
MA(1)序列
可逆MA(1) X t t bt 1, t WN (0, 2 ),| b | 1 自协方差和自相关
0 2 (1 b 2 ) 2 b k 0, k 2
q 0, k 0,| k | q.
引理1.2
引理1.2 设实常数{c j } 使得 cq 0和
1 g ( ) 2
j q ij c e j 0, [ , ]. q
则有唯一的实系数多项式：
B( z ) 1 b j z j 0,| z | 1, bq 0.
q
(1.8)
使得
j 1
2 g ( ) | B(ei ) |2 . 2
c j c j ) 这里 2 为某个正常数。(注：
定理1.3的证明
由自协方差绝对可和时谱密度公式得
1 f ( ) 2
k q ik e k q
由引理，
2 f ( ) | B(ei ) |2 . 2
谱密度
2 f ( ) |1 b1ei b2ei 2 |2 2
MA(2)序列的实际例子
MA(2)的实际例子：
X t t 0.36 t 1 0.85 t 2
特征根为 1.084652e
i1.374297
。
0 2 (1 b12 b22 ) 7.4084 1 2 (b1 b1b2 ) 2.664 2 2b2 3.4 k 0, k 2
(2.11)
Wold递推公式的证明
记
A( z ) 1 j 1 a j z j j 0 j z j
p p
。注意
A( z ) ( z ) k z k j z j
ARMA序列的自协方差函数
k { }可由wold系数表示：
k
2
j 0 j
j k
, k 0,1, 2,