2015-2016学年江苏省淮安市洪泽外国语中学九年级(上)数学期中试卷带解析答案

2015-2016学年江苏省淮安市洪泽外国语中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（每题3分，共24分）1．（3分）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定2．（3分）二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．63．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA=，则sinB的值是（）A．B．C．D．4．（3分）下列函数中，y随x增大而减小的是（）A．y= B．y=2x+5 C．y=x2（x＜﹣2）D．y=x2（x＞0）5．（3分）某人沿着坡度为1：的山坡前进了1000m，则这个人所在的位置升高了（）A．1000m B．500m C．500m D．m6．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=4时，y＞0D．方程ax2+bx+c=0的正根在2与3之间7．（3分）下列图形中阴影部分面积相等的是（）A．①②B．②③C．①④D．③④8．（3分）如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A．B．C． D．二、填空题：（每题3分，共30分）9．（3分）把二次函数y=﹣x2﹣x+3用配方法化成y=a（x﹣h）2+k的形式为．10．（3分）△ABC中，锐角∠A、∠B满足|tanB﹣|+（2sinA﹣）2=0，则∠C=．11．（3分）由y=x2的图象可以看出，当﹣2＜x＜1时，函数值y的范围是．12．（3分）如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则tan∠AED=．13．（3分）若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是．14．（3分）如图，秋千链子的长度为4m，当秋千向两边摆动时，两边的摆动角度均为30°．则它摆动至最高位置与最低位置的高度之差为（结果保留根号）．15．（3分）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．16．（3分）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=．17．（3分）若关于x的函数y=（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a的图象与坐标轴只有两个公共点，则a的值为．18．（3分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①abc＜0；②2b＜4a+c；③方程ax2+bx=2﹣c有两个相等的实数根；④a﹣b＞m（am+b）（m≠﹣1的实数）其中正确结论的是（写出序号）三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）计算：①（﹣1）0+2cos60°﹣（）﹣2②|tan60°﹣2|+（﹣sin60°）（﹣1）2015．20．（8分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．若AB=4，AD=5，tan∠DFE=，求sin∠FBE的值．21．（8分）如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm．要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在MN上，A、D落在抛物线上．建立如图所示的平面直角坐标系，（1）求抛物线的解析式；（2）当OC=1dm时，求截下的矩形铁皮周长．22．（8分）已知函数y=x2+2x﹣3的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）在平面直角坐标系中画出该函数图象；（2）若要无论x取何值，函数值都不可能为负数，则图象至少应向上平移个单位；（3）若将抛物线绕其与y轴的交点旋转180度，写出新的图象对应的函数关系式．23．（8分）已知在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=2，BD=2，CD=2，求∠BAC的度数．24．（8分）一种产品的进价为40元，某公司在销售这种产品时，每年总开支为100万元（不含进价）．经过若干年销售得知，年销售量y（万件）是销售单价x （元）的一次函数：y=﹣x+8．（1）写出该公司销售这种产品的年利润w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式；当销售单价x为何值时，年利润最大？（2）试通过（1）中的函数关系式及其大致图象帮助该公司确定产品的销售单价范围，使年利润不低于60万元．25．（10分）如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数，≈1.73，≈1.41）26．（10分）在数学活动课上，两位同学对抛物线在平面直角坐标系中的平移进行了研究，下面是他们的交流片段．小聪：我画了抛物线y=（x﹣a）2+（a为常数），当a=﹣1、a=0、a=1、a=2时二次函数的图象；当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．小明：我发现这些抛物线的顶点竟然在同一条直线上．问题解决：（1）试写出小明发现的“抛物线系”的顶点所在直线的函数解析式；（2）当a=0时，抛物线上有点P（2，m）．将此抛物线沿着（1）中的直线平移，记抛物线顶点O与点P平移后的对应点分别为O1、P1．若四边形POO1P1是菱形，求平移后二次函数的解析式．27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣2x﹣8分别与x轴，y轴相交于A，B两点．（1）若点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．当k=时，以⊙P与x轴的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？（2）若点P在原点，试探讨在以P为圆心，r为半径的圆上，到直线l：y=﹣2x ﹣8的距离为的点的个数与r的关系．28．（14分）如图，已知抛物线T：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线T 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：（1）写出A 、B 、C 三点的坐标；（2）若点D 的坐标为（m ，0），矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围；（3）当矩形DEFG 的面积S 取最大值m 时①抛物线T 上是否存在点P ，使S △PBC =m ？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．②连接DF 并延长至点M ，使FM=k•DF ，若点M 不在抛物线T 上，求k 的取值范围．2015-2016学年江苏省淮安市洪泽外国语中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分，共24分）1．（3分）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定【解答】解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．故选：A．2．（3分）二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：y=﹣（x﹣1）2+5，∵a=﹣1＜0，∴当x=1时，y有最大值，最大值为5．故选：C．3．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA=，则sinB的值是（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，则sinB=cosA=．故选：A．4．（3分）下列函数中，y随x增大而减小的是（）A．y= B．y=2x+5 C．y=x2（x＜﹣2）D．y=x2（x＞0）【解答】解：A、y=在每一个象限内y随x的增大而减小，故A错误；B、y=2x+5，y随X的增大而增大，故B错误；C、y=x2，x＜0时，y随x的增大而减小，故C正确；D、y=x2，x＞0时，y随x的增大而增大，故D错误；故选：C．5．（3分）某人沿着坡度为1：的山坡前进了1000m，则这个人所在的位置升高了（）A．1000m B．500m C．500m D．m【解答】解：如图所示：由题意得，AE=1000米，tanA=1：，∴∠A=30°．∴EF=AE•sinA=1000×sin30°=1000×=500（m）．故选：B．6．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=4时，y＞0D．方程ax2+bx+c=0的正根在2与3之间【解答】解：由题意可得，解得，故二次函数的解析式为y=﹣x2+3x+1．因为a=﹣1＜0，故抛物线开口向下；又∵c=1＞0，∴抛物线与y轴交于正半轴；当x=4时，y=﹣16+12+1=﹣3＜0；故A，B，C错误；方程ax2+bx+c=0可化为﹣x2+3x+1=0，△=32﹣4×（﹣1）×1=13，故方程的根为x===±，故其正根为+≈1.5+1.8=3.3，3＜3.3＜4，故选：D．7．（3分）下列图形中阴影部分面积相等的是（）A．①②B．②③C．①④D．③④【解答】解：①中直线y=x+2与坐标轴的交点为（0，2）、（2，0）．∴三角形的底边长和高都为2则三角形的面积为×2×2=2；②中三角形的底边长为1，当x=1时，y=3∴三角形的高为3则面积为×1×3=；③中三角形的高为1，底边长正好为抛物线与x轴两交点之间的距离∴底边长=|x1﹣x2|==2则面积为×2×1=1；④设A的坐标是（x，y），代入解析式得：xy=2，则面积为×2=1∴阴影部分面积相等的是③④．故选：D．8．（3分）如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A．B．C． D．【解答】解：（1）当0＜x≤1时，如图，在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；∵MN⊥AC，∴MN∥BD；∴△AMN∽△ABD，∴，即，，MN=x；∴y=AP×MN=x2（0＜x≤1），∵，∴函数图象开口向上；（2）当1＜x＜2，如图，同理证得，△CDB∽△CNM，，即，，MN=2﹣x；∴y=AP×MN=x×（2﹣x），y=﹣x2+x；∵﹣，∴函数图象开口向下；综上，答案C的图象大致符合；故选：C．二、填空题：（每题3分，共30分）9．（3分）把二次函数y=﹣x2﹣x+3用配方法化成y=a（x﹣h）2+k的形式为y=﹣（x+2）2+4．【解答】解：y=﹣x2﹣x+3=﹣（x2+4x）+3=﹣（x+2）2+4，即y=﹣（x+2）2+4，∴顶点（﹣2，4）．故答案为：y=﹣（x+2）2+4．10．（3分）△ABC中，锐角∠A、∠B满足|tanB﹣|+（2sinA﹣）2=0，则∠C=60°．【解答】解：∵|tanB﹣|+（2sinA﹣）2=0，∴tanB﹣=0，2sinA﹣=0，即tanB=，sinA=，∴∠B=60°，∠A=60°，∴∠A=180°﹣60°﹣60°=60°．故答案为：60°．11．（3分）由y=x2的图象可以看出，当﹣2＜x＜1时，函数值y的范围是0＜y ＜4．【解答】解：∵抛物线y=x2的对称轴为x=0，开口向上，∴x=0时，最小值为0，∴x=﹣2时，函数值最大4故答案为0＜y＜4．12．（3分）如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则tan∠AED=．【解答】解：∵∠AED=∠ABD（同弧所对的圆周角相等），∴tan∠AED=tan∠B==．故答案为：．13．（3分）若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是y2＜y1＜y3．【解答】解：∵A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x﹣5的图象上的三点，∴y1=16﹣16﹣5=﹣5，即y1=﹣5，y2=1﹣4﹣5=﹣8，即y2=﹣8，y3=1+4﹣5=0，即y3=0，∵﹣8＜﹣5＜0，∴y2＜y1＜y3．故答案是：y2＜y1＜y3．14．（3分）如图，秋千链子的长度为4m，当秋千向两边摆动时，两边的摆动角度均为30°．则它摆动至最高位置与最低位置的高度之差为（4﹣2）m（结果保留根号）．【解答】解：如图，设秋千摆至最低点时的位置为C，连结AB，交OC于D．∵点C为弧AB的中点，O为圆心，∴AB⊥OC，AD=BD，弧AC=弧BC，∵∠AOB=60°，∴∠AOC=30°．∵OA=OB=OC=4，∴AD=OA=2，OD=AD=，∴DC=OC﹣OD=4﹣2，即它摆动至最高位置与最低位置的高度之差为（4﹣2）m．故答案为（4﹣2）m．15．（3分）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行600m才能停下来．【解答】解：∵a=﹣1.5＜0，∴函数有最大值．∴y最大值===600，即飞机着陆后滑行600米才能停止．故答案为：600．16．（3分）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=．【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，由勾股定理得AB=AC=2，BC=2，AD=3，可以得知△ABC是等腰三角形，由面积相等可得，BC•AD=AB•CE，即CE==，sinA===，故答案为：．17．（3分）若关于x的函数y=（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a的图象与坐标轴只有两个公共点，则a的值为2，0，．【解答】解：因为关于x的函数y=（a﹣2）x2﹣（2a﹣1）x+a的图象与坐标轴只有两个交点，若与x轴、y轴各有一个交点，∴此函数若为二次函数，则b2﹣4ac=[﹣（2a﹣1）]2﹣4（a﹣2）a=4a+1=0，解得：a=﹣，若a=0，二次函数图象过原点，满足题意，若此函数为一次函数，则a﹣2=0，所以a=2．所以若关于x的函数y=（a﹣2）x2﹣2（2a﹣1）x+a的图象与坐标轴只有两个交点，则a=2、0、﹣．故答案为：2，0，﹣．18．（3分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①abc＜0；②2b＜4a+c；③方程ax2+bx=2﹣c有两个相等的实数根；④a﹣b＞m（am+b）（m≠﹣1的实数）其中正确结论的是②③④（写出序号）【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴b＜0，∵对称轴为x=﹣1，抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴抛物线和y轴正半轴相交，∴c＞0，∴abc＞0，故①错误；∴当x=﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，∴2b＜4a+c，故②正确；∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，故③正确；∵当x=﹣1时，二次函数有最大值，∴a﹣b+c＞ma+mb+c，∴a﹣b＞m（a+b），故④正确．故答案为②③④．三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）计算：①（﹣1）0+2cos60°﹣（）﹣2②|tan60°﹣2|+（﹣sin60°）（﹣1）2015．【解答】解：①原式=1+2×﹣4=1+1﹣4=﹣2；②原式=2﹣﹣+=2﹣．20．（8分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．若AB=4，AD=5，tan∠DFE=，求sin∠FBE的值．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠C=90°，AD=BC=5，∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴∠BFE=∠C=90°，BF=BC=5，在Rt△ABF中，AF==3，∴DF=AD﹣AF=5﹣3=2，在Rt△FDE中，tan∠DFE==，即∴DE=，在Rt△FDE中，EF==，在Rt△BFE中，BE==．∴sin∠FBE===．21．（8分）如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm．要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在MN上，A、D落在抛物线上．建立如图所示的平面直角坐标系，（1）求抛物线的解析式；（2）当OC=1dm时，求截下的矩形铁皮周长．【解答】解：（1）∵MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm，∴N（4，0），P（2，4），设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）2+4，把N（4，0）代入得：0=a（4﹣2）2+4，解得：a=﹣1，∴抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣2）2+4，即：抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x；（2）∵OC=1dm，∴D的横坐标是1，∴y=3，∴D（1，3），∵A，D关于对称轴对称，∴AD=2，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=2，CD=AB=3，∴矩形ABCD的周长为10dm．22．（8分）已知函数y=x2+2x﹣3的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）在平面直角坐标系中画出该函数图象；（2）若要无论x取何值，函数值都不可能为负数，则图象至少应向上平移4个单位；（3）若将抛物线绕其与y轴的交点旋转180度，写出新的图象对应的函数关系式．【解答】（1）y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，即顶点为（﹣1，﹣4），列表得：描点；连线，函数图象如图：（2）∵抛物线的顶点为（﹣1，﹣4），∴若要无论x取何值，函数值都不可能为负数，则图象至少应向上平移4个单位；故答案为4；（3）∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴原抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），令x=0，则y=﹣3，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），∵抛物线绕与y轴的交点旋转180°，∴所得抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），∴所得抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2﹣2．23．（8分）已知在△ABC中，AD是BC边上的高，AD=2，BD=2，CD=2，求∠BAC的度数．【解答】解：如图．∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC于D．在直角△ABD中，∵∠ADB=90°，AD=2，BD=2，∴∠BAD=45°．在直角△ACD中，∵∠ADB=90°，AD=2，CD=2，∴tan∠CAD===，∴∠CAD=60°．当AD在△ABC内部时，∠BAC=∠CAD+∠BAD=60°+45°=105°；当AD在△ABC外部时，∠BAC=∠CAD﹣∠BAD=60°﹣45°=15°．故∠BAC的度数为105°或15°．24．（8分）一种产品的进价为40元，某公司在销售这种产品时，每年总开支为100万元（不含进价）．经过若干年销售得知，年销售量y（万件）是销售单价x （元）的一次函数：y=﹣x+8．（1）写出该公司销售这种产品的年利润w（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式；当销售单价x为何值时，年利润最大？（2）试通过（1）中的函数关系式及其大致图象帮助该公司确定产品的销售单价范围，使年利润不低于60万元．【解答】解：（1）该公司年利润w=（﹣x+8）（x﹣40）﹣100=﹣（x﹣100）2+80，当x=100时，该公司年利润最大值为80万元；（2）由题意得：﹣（x﹣100）2+80=60，解得：x1=80，x2=120，故该公司确定销售单价x的范围是：80≤x≤120．根据函数图象可得：当80≤x≤120时，该公司产品的利润不低于60万元．25．（10分）如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数，≈1.73，≈1.41）【解答】解：依题意可得：∠AEB=∠EAB=30°，∠ACE=15°，又∵∠AEB=∠ACE+∠CAE∴∠CAE=15°，即△ACE为等腰三角形，∴AE=CE=100m，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，∴EF=AEcos60°=50m，AF=AEsin60°=50m，在Rt△BEF中，∠BEF=30°，∴BF=EFtan30°=50×=m，∴AB=AF﹣BF=50﹣=≈58（米）．答：塔高AB大约为58米．26．（10分）在数学活动课上，两位同学对抛物线在平面直角坐标系中的平移进行了研究，下面是他们的交流片段．小聪：我画了抛物线y=（x﹣a）2+（a为常数），当a=﹣1、a=0、a=1、a=2时二次函数的图象；当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．小明：我发现这些抛物线的顶点竟然在同一条直线上．问题解决：（1）试写出小明发现的“抛物线系”的顶点所在直线的函数解析式；（2）当a=0时，抛物线上有点P（2，m）．将此抛物线沿着（1）中的直线平移，记抛物线顶点O与点P平移后的对应点分别为O1、P1．若四边形POO1P1是菱形，求平移后二次函数的解析式．【解答】解：（1）当a=0时，顶点坐标为（0，0），当a=1时，顶点坐标为（1，），设顶点所在的直线为y=kx+b，将（0，0），（1，）代入，得，解得，“抛物线系”的顶点所在直线的函数解析式y=x；（2）如图，当a=0时，抛物线的解析式为y=x2，顶点坐标为O（0，0），当x=2时，m=22=4，即P（2，4）．平移后的解析式为y=（x﹣a）2+（a为常数），顶点坐标O1（a，）．由四边形POO1P1是菱形，得OP=OO1，即=，化简，得a2=18，解得a=3，或a=﹣3，当a=3时，平移后的解析式为y=（x﹣3）2+；当a=﹣3时，平移后的解析式为y=（x+3）2﹣．27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣2x﹣8分别与x轴，y轴相交于A，B两点．（1）若点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．当k=﹣时，以⊙P与x轴的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？（2）若点P在原点，试探讨在以P为圆心，r为半径的圆上，到直线l：y=﹣2x ﹣8的距离为的点的个数与r的关系．【解答】解：（1）如图1，⊙P与x轴的交于点C、D，△PCD为等边三角形，则DE=PE=3，∵OP⊥DE，∴OD=OE=DE=，∴OP==，∴P（0，﹣），即k=﹣；故答案为﹣；（2）作OH⊥AB于H，如图2，当y=0时，﹣2x﹣8=0，解得x=﹣4，则A（﹣4，0），当x=0时，y=﹣2x﹣8=﹣8，则B（0，﹣8），∴OA=4，OB=8，∴AB==4，∵OH•AB=OA•OB，∴OH==，以O为圆心，以r=﹣=为半径作圆，交OH于E；以O为圆心，以r=+=为半径作圆，交OH于F，则点E和点F到直线y=﹣2x﹣8的距离为，∴当0＜r＜时，⊙P上到直线l：y=﹣2x﹣8的距离为的点的个数为0个；当r=时，⊙P上到直线l：y=﹣2x﹣8的距离为的点的个数为1个；当＜r＜时，⊙P上到直线l：y=﹣2x﹣8的距离为的点的个数为2；当r=时，⊙P上到直线l：y=﹣2x﹣8的距离为的点的个数为3个；当r＞时，⊙P上到直线l：y=﹣2x﹣8的距离为的点的个数为4个．28．（14分）如图，已知抛物线T：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线T上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：（1）写出A、B、C三点的坐标；（2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；（3）当矩形DEFG的面积S取最大值m时=m？若存在，请求出P点坐标；若不存在，①抛物线T上是否存在点P，使S△PBC请说明理由．②连接DF并延长至点M，使FM=k•DF，若点M不在抛物线T上，求k的取值范围．【解答】解：（1）解法一：设y=ax2+bx+c（a≠0），任取x，y的三组值代入，求出解析式y=x2+x﹣4，令y=0，求出x1=﹣4，x2=2；令x=0，得y=﹣4，∴A、B、C三点的坐标分别是A（2，0），B（﹣4，0），C（0，﹣4）．解法二：由抛物线P过点（1，﹣），（﹣3，﹣）可知，抛物线P的对称轴方程为x=﹣1，又∵抛物线P过（2，0）、（﹣2，﹣4），∴由抛物线的对称性可知，点A、B、C的坐标分别为A（2，0），B（﹣4，0），C（0，﹣4）．（2）由题意，=，而AO=2，OC=4，AD=2﹣m，故DG=4﹣2m，又=，EF=DG，得BE=4﹣2m，∴DE=3m，∴S DEFG=DG•DE=（4﹣2m）3m=12m﹣6m2（0＜m＜2）．（3）∵S DEFG=12m﹣6m2（0＜m＜2），∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．=m=1，①S△PBCP到BC的距离为，则平行于BC且到BC的距离为的解析式为y=﹣x﹣或y=﹣x﹣，联立抛物线解析式得，解得，，或，解得，．故P点坐标为（﹣2﹣，﹣+）或（﹣2+，﹣﹣）或（﹣2﹣，﹣+）（﹣2+，﹣﹣）；②当矩形面积最大时，其顶点为D（1，0），G（1，﹣2），F（﹣2，﹣2），E（﹣2，0），设直线DF的解析式为y=kx+b，易知k=，b=﹣，∴y=x﹣，又可求得抛物线P的解析式为：y=x2+x﹣4，令x﹣=x2+x﹣4，可求出x=．如图，设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为，过N作x 轴的垂线交x轴于H，有===，点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是k≠且k＞0．。