全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题答案

全国高中数学联赛江苏赛区2005年初赛试题答案班级__________ 姓名__________一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数()y f x =的图像按向量(,2)4a π=r 平移后，得到的图像的解析式为：sin()24y x π=++，那么()y f x =的解析式为________A 、sin y x =B 、cos y x =C 、sin 2y x =+D 、cos 4y x =+ 解：按向量(,2)4a π=r 平移就是向右平移4π个单位且向上平移2个单位，由结果到条件可知：()sin[()]44y f x x ππ==++，即cos y x =；故选B ．2．如果二次方程20 (*)x px q p q N --=∈、的正根小于3，那么这样的二次方程有________A 、5个B 、6个C 、7个D 、8个 解：由240, 0p q q ∆=+>-<，可知方程的根为一正一负；设2()f x x px q =--，则2(3)330f p q =-->，即39p q +<； 由于,*p q N ∈，所以1, 5p q =≤或2, 2p q =≤； 于是共有7组(,)p q 符合题意．故选C ．3．设0a b >>，那么21()a b a b +-的最小值是________A 、2B 、3C 、4D 、5解：由0a b >>，可知：22210()()424a ab a b b a <-=--≤；所以，222144()a a b a b a+≥+≥-；故选C ．4．设四棱锥P ABCD -的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α________A 、不存在B 、只有1个C 、恰有4个D 、有无数多个 解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m 、n ，直线m 、n 确定了一个平面β，作与β平行的平面α， 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形； 而这样的平面α有无数多个．故选D ．5．设数列{}n a ：01212, 16, 1663n n n a a a a a ++===-，*n N ∈，则2005a 被64除的余数为________A 、0B 、2C 、16D 、48解：由012, 16a a ==，得2mod(64)1616632mod(64)02mod(64)2mod(64)a ≡⨯-⨯≡-≡-，于是可知数列{}n a 模64周期为4，循环数为：2，16，2-，16-； 又2005被4除余1，故选C ．6．一条走廊宽2 m ，长8 m ，用6种颜色的1⨯12m 的整块地砖来铺设（每块地砖都是单色的，每种颜色的地砖都足够多），要求相邻的两块地砖颜色不同，那么所有的不同拼色方法有________ A 、830个 B 、73025⨯个 C 、73020⨯个 D 、73021⨯个解：铺第一列（两块地砖）有2630A =种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了A 、B 两色（如图）， 那么，第二列的上格不能铺A 色；若铺B 色，则有(61)-即5种铺法；若不铺B 色，则有2(62)-即16种；于是第二列上共有21种铺法；同理，若前一列铺好，则其后一列都有21种铺法； 因此，共有73021⨯种铺法；故选D ． 二、填空题（本题满分36分，每小题6分）7．设向量OA u u u r 绕点O 逆时针旋转2π得向量OB u u u r ，且2(7,9)OA OB +=u u u r u u u r ，则向量OB =u u u r ________解：设(,)OA m n =u u u r ，则(,)OB n m =-u u u r ；所以2(2,2)(7,9)OA OB m n n m +=-+=u u u r u u u r；即2729m n m n -=⎧⎨+=⎩，解得：2311, 55m n ==；因此，1123(,)55OB =-u u u r ．8．设无穷数列{}n a 的各项都是正数，n S 是它的前n 项之和，对于任意正整数n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项，则该数列的通项公式为________解：由题意可知：22n a +=，即2(2)8n n a S +=，.…①； 由11a S =，可得：122a +=12a =； 又由①式得：211(2) (2)8n n a S n --+=≥，…②；于是有：1n n n a S S -=-221(2)(2) (2)88n n a a n -++=-≥， 整理得：11()(4)0n n n n a a a a --+--=；又因10, 0n n a a ->>，故114 (2), 2n n a a n a --=≥=，所以数列{}n a 是以2为首项，4为公差的等差数列；AB其通项公式为：24(1)n a n =+-，即42n a n =-；故填：4 2 (*)n a n n N =-∈． 9．函数|cos ||cos2|()y x x x R =+∈的最小值是________ 解：令|cos |[0, 1]t x =∈，则2|21|y t t =+-；21t ≤≤时，2219212()48y t t t =+-=+-22y ≤≤； 当20t ≤2219212()48y t t t =-++=--+298y ≤≤；y 取22，故填22． 10．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AA AD ===，点E 、F 、G 分别是棱1AA 、11C D 与BC的中点，那么四面体1B EFG -的体积是________ 解：在11D A 的延长线上取一点H ，使114A H =，易证，1HE B G ∥，HE ∥平面1B FG ； 所以1111B EFG E B FG H B FG G B FH V V V V ----===，而198B FH S ∆=，所以G 到平面1B FH 的距离为1；故填138B EFG V -=． 11．由三个数字1、2、3组成的5位数中，1、2、3都至少出现1次，这样的5位数共有________解：在5位数中，若1只出现1次，有11235444()70C C C C ++=个；若1只出现2次，有212533()60C C C +=个； 若1只出现3次，有315220C C =个；则这样的五位数共有150个；故填150个．12．已知平面上两个点集：22{(,)||1|2(),,}M x y x y x y x y R =++≥+∈，{(,)||||1|1,,}N x y x a y x y R =-+-≤∈，若M N ≠∅I ，则a 的取值范围是________解：由题意知M 是以原点为焦点、直线10x y ++=为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，N 是以(, 1)a 为中心的正方形及其内部的点集（如图）； 考察M N =∅I 时，a 的取值范围：令1y =，代入方程：22|1|2()x y x y ++=+ 得2420x x --=，解出得26x =；∴当26116a <=M N =∅I ，……③；令2y =，代入方程22|1|2()x y x y ++=+2610x x --=，解之可得：310x =∴当310a >M N =∅I ，………④；ABCDNM因此，综合③与④可知，当13a ≤≤[1 3a ∈时，M N =∅I ；故填[1 3．三、解答题（第一题、第二题各15分；第三题、第四题各24分）13．已知点M 是ABC ∆的中线AD 上的一点，直线BM 交边AC 于点N ，且AB 是NBC ∆的外接圆的切线，设BC BN λ=，试求BMMN（用λ表示）． 证明：在BCN ∆中，由Menelaus 定理得：1BM NA CDMN AC DB⋅⋅=； 因为BD DC =，所以BM ACMN AN=；………6分 由ABN ACB ∠=∠，知ABN ∆∽ACB ∆， 则AB AC CB AN AB BN==； 所以，2()AB AC CB AN AB BN ⋅=，即2()AC BC AN BN =．……12分 因此，2()BM BC MN BN=； 又BC BN λ=，故2BM MNλ=．………………15分 14．求所有使得下列命题成立的正整数(2)n n ≥：对于任意实数12, , , n x x x L ，当10ni i x ==∑时，总有110ni i i x x +=≤∑（其中11n x x +=）．解：当2n =时，由120x x +=，可得21221120x x x x x +=-≤；所以2n =时命题成立；…………………………………………………………………3分 当3n =时，由1230x x x ++=，可得：2222123123122331()()2x x x x x x x x x x x x ++-++++=222123()02x x x -++=≤；所以3n =时命题成立；…………………………………………………………………6分 当4n =时，由12340x x x x +++=，可得：212233441132424()()()0x x x x x x x x x x x x x x +++=++=-+≤；所以4n =时命题成立；…………………………………………………………………9分 当5n ≥时，令121x x ==，42x =-，350n x x x ====L ,则10ni i x ==∑；但是，1110ni i n x x +==>∑，故对于5n ≥命题不成立；综上可知，使命题成立的自然数是：2, 3, 4n =．.…………………………………15分15．设椭圆的方程为 22221(0)x y a b a b+=>>，线段PQ 是过左焦点F 且不与x 轴垂直的焦点弦；若在左准线上存在点R ，使PQR ∆为正三角形，求椭圆的离心率e 的取值范围，并用e 表示直线PQ 的斜率．解：如图，设线段PQ 的中点为M ；过点P M Q 、、分别作准线的垂线， 垂足分别为'''P M Q 、、； 则1|'|(|'||'|)2MM PP QQ =+ 1||||||()22PF QF PQ e e e=+=；………6分 假设存在点R ，则|||RM PQ =，且|'|||MM RM <，即||||2PQ PQ e <， 所以，e >． (12)分 于是，|'|||cos '||2MM PQ RMMRM e ∠===cot 'RMM ∠=；若||||PF QF <（如图），则tan tan 'cot 'PQ k QFx FMM RMM =∠=∠=∠……18分当e >时，过点FPQ ，它的中垂线交左准线于R ，由上述运算知，|||RM PQ ；故PQR ∆为正三角形；………………………………20分若||||PF QF >，则由对称性得PQ k =；…………………………………………22分又1e <，所以，椭圆2222 1 (0)x ya b a b+=>>的离心率e 的取值范围是e ∈，直线PQ 的斜率为………………………………………………………………24分16．（1）若(*)n n N ∈个棱长是正整数的正方体的体积之和为2005，求n 的最小值并说明理由．（2）若(*)n n N ∈个棱长是正整数的正方体的体积之和为20052002，求n 的最小值说明理由．Q ＇解：（1）因为3333101000,111331,121728,132197====，3312200513<<，故1n ≠；因为3333200517281251252712553=+++=+++，所以存在4n =，使min 4n ≤；…………………………………………………………6分 若2n =，因3310102005+<，则最大的正方体边长只能为11或12； 计算33200511674, 200512277-=-=，而674与277均不是完全立方数； 所以2n =不可能是n 的最小值；……………………………………………………9分 若3n =，设此三个正方体中最大一个的棱长为x ，由233200538x ≥>⨯； 知最大的正方体棱长只能为9、10、11、或12；由于3200539<⨯，3200529547-⨯=，3320059280--⨯>，所以9x ≠；由于320052105-⨯=，332005109276--=，332005108493--=，33200510270--⨯>， 所以10x ≠；由于332005118162--=，332005117331--=，33200511260--⨯>， 所以11x ≠；由于33200512661--=，33320051251525--=>，所以12x ≠； 因此3n =不可能是n 的最小值；综上所述，4n =才是n 的最小值．…………………………………………………12分 （2）设n 个正方体的棱长分别是12, , , n x x x L ，则3332005122002n x x x +++=L ；……………………⑤由20024(mod9)≡，341(m )od9≡，可得：20052005668313668200244(4)44(mod9)⨯+≡≡≡⨯≡；……⑥…………………15分 又当*x N ∈时，30, 1(mod9)x ≡±，所以31x ≡∕4(mod9)，3312x x +≡∕4(mod9)，333123x x x ++≡∕4(mod9)……⑦……………21分 ⑤式模9，由⑥、⑦可知：4n ≥；而33332002101011=+++， 则2005200433336683333320022002(101011)(2002)(101011)=⨯+++=⨯+++6683668366836683(200210)(200210)(2002)(2002)=⨯+⨯++；……………24分因此4n =为所求的最小值．。