湖北省荆州市高三数学上学期第九次周考试题 文
湖北省荆州市沙市2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题含答案
2024—2025学年度上学期2024级10月月考数学试卷（答案在最后）命题人：考试时间：2024年10月10日一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集{|18},(){1,3,5,7}U U A B x x A B =⋃=∈≤≤⋂=N ð，则集合B =（）A.{2,6,8}B.{4,6,8}C.{2,4,6,8}D.{1,2,4,6}【答案】C 【解析】【分析】利用Venn 图数形结合求解集合.【详解】由(){1357}U A B ⋂=,,,ð，如下图示，且{}{|18}1,2,3,4,5,6,7,8U A B x x =⋃=∈≤≤=N ，则(){}()2,4,6,8U UB A B =⋂=痧.故选：C.2.不等式()2102x x x -≤+的解集为（）A.{|20x x -<<或}01x <≤B.{}|21x x -≤≤C.{|20x x -≤<或}01x <≤ D.{}|21x x -<≤【答案】D 【解析】【分析】先分0x =和0x ≠两种情况讨论，当0x =时不等式显然成立，当0x ≠时转化为102x x -≤+，根据分式不等式的求解方法求解，最终得到结果.【详解】由()2102x x x -≤+，当0x =时，不等式显然成立；当0x ≠时，20x >，()()()211201002220x x x x x x x x -⎧-+≤-≤⇔≤⇔⎨+++≠⎩，解得：21x -<≤且0x ≠.综上，不等式()2102x x x -≤+的解集为{}|21x x -<≤.故选：D.3.由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（）个元素A.15B.16C.17D.18【答案】A 【解析】【分析】根据取出的数字个数进行分类，每一类中一一列举出来计数即可.【详解】只取一个元素组成的没有重复数字的自然数：共3个；只取两个元素组成的没有重复数字的自然数：有12，21，13，31，23，32共6个；取三个元素组成的没有重复数字的自然数：有123，132，213，231，312，321共6个；共有36615++=种方法，即由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有15个元素，故选：A.4.命题：0,x ∃>使2111x x -≥+的否定为（）A.0,x ∀≤不等式2111x x -<+恒成立B.0,x ∃≤不等式2111x x -<+成立C.0,x ">2111x x -<+恒成立或1x =-D.0,x ">不等式2111x x -<+恒成立【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词的命题的否定方法可得结论.【详解】命题：0,x ∃>使2111x x -≥+的否定为0,x ">2111x x -<+恒成立或1x =-.故选：C.5.设,,a b c ∈R ，则a b c ==是222a b c ab bc ac ++≥++的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A 【解析】【分析】由推出关系即可判断充分不必要条件.【详解】若a b c ==，则22223a b c a ++=，23ab bc ac a ++=，则222a b c ab bc ca ++=++，所以222a b c ab bc ac ++≥++成立.即222a b c a b c ab bc ca ==⇒++≥++；若222a b c ab bc ca ++≥++，当1,2,3a b c ===时，22214914,26311a b c ab bc ca ++=++=++=++=，也满足222a b c ab bc ca ++≥++，但,,a b c 并不相等.故222a b c ab bc ca ++≥++推不出a b c ==.则a b c ==是222a b c ab bc ac ++≥++的充分不必要条件.故选：A.6.已知2(1)g x x =-，1[()]x f g x x -=，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.15B.1C.3D.30【答案】C 【解析】【分析】令()12g x =，求x ，代入1[()]x f g x x -=可得结论.【详解】令()12g x =，可得1122x -=，所以14x =，故1142g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，将14x =，代入1[()]x f g x x -=，得11143144f g -⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.7.记不等式220x x +->､210(0)x ax a -+≤>解集分别为A 、B ，A B ⋂中有且只有两个正整数解，则a 的取值范围为（）A.1017,34⎛⎫⎪⎝⎭ B.1017,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.517,24⎛⎫⎪⎝⎭ D.517,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】求出集合A ，由分析知B ≠∅，求出集合B ，进而得出A B ⋂中有且只有两个正整数解的等价条件，列不等式组即可求解.【详解】由220x x +->可得：1x >或2x <-，所以{|2A x x =<-或>1，因为A B ⋂中有且只有两个正整数解，所以A B ≠∅ ，对于方程210(0)x ax a -+=>，判别式24a ∆=-，所以方程的两根分别为：12a x -=，22a x +=，所以|22a a B x x ⎧+⎪=≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若A B ⋂中有且只有两个正整数解，则12342a a ⎧-≤⎪⎪⎨+⎪≤<⎪⎩即268a a a ⎧-≤⎪⎨-≤<-⎪⎩，可得2103174a a a ⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎪⎪<⎪⎩，所以101734a ≤<，当112a x -=>时，解得02a <<，此时240a ∆=-<，B =∅不符合题意，综上所述：a 的取值范围为1017,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B.8.若存在11x -≤≤，使242(2)310x m x m --++>，则m 的取值集合是（）A.{|9}m m >- B.{|1}m m ≤C.{|91}m m -<<D.{|9}m m ≤-【答案】A 【解析】【分析】先求出命题的否定为真时，m 的范围，再求其补集即可.【详解】命题存在11x -≤≤，使242(2)310x m x m --++>的否定为11x ∀-≤≤，使242(2)310x m x m --++≤，若11x ∀-≤≤，使242(2)310x m x m --++≤为真，则()()422310422310m m m m ⎧+-++≤⎪⎨--++≤⎪⎩，所以9m ≤-，故若存在11x -≤≤，使242(2)310x m x m --++>则9m >-，所以m 的取值集合是{|9}m m >-.故选：A.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知集合2{1,2,}A a =，{1,2}B a =+，若A B A = ，则a 的取值可以是（）A.1-B.0C.2D.2-【答案】BC 【解析】【分析】由A B A = 可得B A ⊆，结合条件列方程求a ，结合元素互异性检验所得结果.【详解】因为A B A = ，所以B A ⊆，又2{1,2,}A a =，{1,2}B a =+，所以22a +=或22a a +=，解得0a =或2a =或1a =-，当0a =时，{1,2,0}A =，{1,2}B =，满足要求，当2a =时，{1,2,4}A =，{1,4}B =，满足要求，当1a =-时，212a a ==+，与元素互异性矛盾，故选：BC.10.已知关于x 的不等式(1)(3)20a x x -++>的解集是()12,x x ，其中12x x <，则下列结论中正确的是（）A.1220x x ++=B.1231x x -<<<C.124x x ->D.1230x x +<【答案】ACD 【解析】【分析】由一元二次不等式的解集可得12122230x x x x a +=-⎧⎪⎨=-<⎪⎩判断A 、D ，再将题设转化为()(1)(3)2f x a x x =-+>-，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B 、C.【详解】由题设，2(1)(3)22320a x x ax ax a -++=+-+>的解集为()12,x x ，∴0a <，则12122230x x x x a +=-⎧⎪⎨=-<⎪⎩，∴1220x x ++=，12230x x a+=<，则A 、D 正确；原不等式可化为()(1)(3)2f x a x x =-+>-的解集为()12,x x ，而()f x 的零点分别为3,1-且开口向下，又12x x <，如下图示，∴由图知：1231x x <-<<，124x x ->，故B 错误，C 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得12122230x x x x a +=-⎧⎪⎨=-<⎪⎩，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误.11.已知a b >，且220ax x b -+≥恒成立，又存在实数x ，使220ax x b ++=，则22a ba b+-的取值可能为（）A.3B.2C. D.1【答案】AC 【解析】【分析】根据二次函数的性质、一元二次方程的判别式，结合基本不等式进行求解即可.【详解】解：∵a b >，不等式220ax x b -+≥对于一切实数x 恒成立，∴>04−4a ≤0，即0a >，1≥ab ；①又存在R x ∈，使220ax x b ++=成立，则0∆≥，即440ab -≥，得1ab ≤，②由①②得1ab =，即1b a =；∵a b >，∴1a >，∴10a a->，∴222211211a a b a a a b a a a a a++⎛⎫==-+≥ ⎪-⎝⎭--，当且仅当212a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2a =时取等号．∴22a ba b+-的最小值为AC 正确，故选:AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{ |A x y ==，2{ |, }B y y x x A ==∈，则A B = _____【答案】{ |0 }x x ≥【解析】【分析】化简集合A ，B ，结合交集运算法则求结论.【详解】由y =有意义可得0x ≥，所以{ |0 }A x x =≥，当0x ≥时，20y x =≥，所以{ |0 }B y y =≥，所以{ |0 }x B x A =≥ .故答案为：{ |0 }x x ≥.13.已知关于x 的不等式2051x px ≤++≤恰有一个实数解，则p 的取值集合为_____【答案】{}4,4-【解析】【分析】结合二次函数图象可知与直线1y =有且仅有一个交点，利用方程240x px ++=判别式等于0可求.【详解】设2()5f x x px =++，则()f x 的图象开口向上，如图，要使关于x 的不等式2051x px ≤++≤恰有一个实数解，则函数2()5f x x px =++与直线1y =相切，即方程251x px ++=即240x px ++=有两个相等的实数根，则2160p ∆=-=，解得4p =±.则p 的取值集合为{}4,4-.故答案为：{}4,4-.14.已知,,R ,8a b c a b c +∈++=+的最小值为_______【答案】10【解析】的几何意义（代表直角三角形斜边），即可求解.可以理解为以,1a 为直角三角形的可以理解为以,2b 为直角三角形的斜边，可以理解为以,3c 为直角三角形的斜边，如图所示BD ≤,当三斜边与对角线BD 重合时，取到最小值.又,,R ,8a b c a b c +∈++=,所以10BD ==.故答案为：10四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.已知01,01a b <<<<，4443a b ab +=+.（1）求ab 的取值范围；（2）求2+a b 的最大值.【答案】（1）10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦；（2）3.【解析】【分析】（1）利用基本不等式得到“和”与“积”的不等关系，求解关于“积”的不等式可得；（2）凑积为定值(1)(1)1a b --=的形式，将1,1a b --看成整体表示所求式，再利用基本不等式求最值可得；【小问1详解】因为01,01a b <<<<，所以4443a b ab +=+≥，当且仅当44a b =即12a b ==时等号成立.,01t t =<<，则24830t t -+≥，解得32t ≥（舍去）或12t ≤.所以102<≤，则104ab <≤.故ab 的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦.【小问2详解】由4443a b ab +=+，得444410ab a b --+-=，所以4(1)1ab a b --+=，即()11(1)4a b --=，其中10,10a b ->->，则[]2(1)2(1)3(1)2(1)3a b a b a b +=----+=--+-+33≤-=-.当且仅当12(1)a b -=-，即1214a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时等号成立.所以2+a b的最大值为3.16.根据气象部门的预报，在距离某码头O 处南偏东45︒方向60公里A 处的热带暴雨中心正以20公里每小时的速度向正北方向移动，若距暴雨中心45公里以内的地区都将受到影响，根据以上预报，从现在起多长时间后，该码头将会受到热带暴雨的影响？且影响的时间大约有多长？（精确到0.1）【答案】1.4h ，1.5h 【解析】【分析】设t 小时后热带暴雨中心移动到点B ,在AOB V 中，利用余弦定理得到t 的不等式，解不等式得到结果.【详解】如图，设t 小时后热带暴雨中心移动到点B ,则在AOB V 中，60OA =，20AB t =，45OAB ∠=︒，根据余弦定理，得()222602026020cos 4545t t +-⋅⋅⋅︒≤，整理得216630t -+≤，解得：3344t ≤≤，且()623 1.4h 4-≈，()623623 1.544h +-=.答：从现在起1.4h 后，该码头将会受到热带暴雨的影响.影响1.5h.17.已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}2|,C z z x x A ==∈，且C B ⊆,求a 的取值范围.【答案】()1,2,32⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】先分类讨论A 是否是空集，再当A 不是空集时，分-2≤a ＜0，0≤a≤2，a ＞2三种情况分析a 的取值范围，综合讨论结果，即可得到a 的取值范围【详解】若A=∅，则a ＜-2，故B=C=∅，满足C ⊆B ；若A ≠∅，即a ≥-2，由23y x =+在[]2,a -上是增函数，得123y a -≤≤+，即{}123B y y a =-≤≤+①当20a -≤≤时，函数2z x =在[]2,a -上单调递减，则24a z ≤≤，即{}24C z a z =≤≤，要使C B ⊆,必须且只需234a +≥，解得12a ≥，这与20a -≤<矛盾；②当02a ≤≤时，函数2z x =在[]2,0-上单调递减，在[]0,a 上单调递增，则04z ≤≤，即{}04C z z =≤≤，要使C B ⊆,必须且只需23402a a +≥⎧⎨≤≤⎩，解得122a ≤≤；③当2a >时，函数2z x =在[]2,0-上单调递减，在[]0,a 上单调递增，则20z a ≤≤，即{}20C z z a=≤≤，要使C B ⊆,必须且只需2232a a a ⎧≤+⎨>⎩，解得23a <≤；综上所述，a 的取值范围是()1,2,32⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了通过集合之间的关系求参数问题，考查了分类讨论的数学思想，要明确集合中的元素，对集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．18.已知函数()f x 的定义域为D ，若存在常数(0)k k >，12x x D ∀≠∈，都有1212|()()|||f x f x k x x -≤-，则称()f x 为D 上的“k -利普希茨”函数.（1）请写出一个“k -利普希茨”函数，并给出它的定义域D 和k 值（2）若()4)f x x =≤≤为“k -利普希茨”函数，试求常数k 的取值范围【答案】（1）()f x x =，定义域[]1,2D =，3k =等（答案不唯一）（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据“k -利普希兹条件函数”的定义求解；（2）根据“k -利普希兹条件函数”的定义，设12x x >，将问题转化为12k ≥=立求解；【小问1详解】()f x x =，定义域[]1,2D =，3k =等（答案不唯一）【小问2详解】若函数()(14)f x x =≤≤是“k -利普希兹条件函数”，则对于定义域[]1,4内的任意()1212,x x x x ≠，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，不妨设12x x >，则12k ≥=因为14x ≤≤，所以1142<<，所以12k ≥，所以k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；19.已知2(1)(1)y mx x nx =-+-（1）当0m =时，不等式0y ≥的解为122x -≤≤，试求n （2）若0m >，当0x >时，有0y ≥恒成立，试求2n m+的最小值（3）设m n =，当1132x ≤≤时，0y ≥恒成立，试求m 的取值范围【答案】（1）32n =（2）10x m <<时，2n m +无最小值；1x m >时，2n m+最小值为2，（3）[)3,3,2m ⎛⎤∈-∞+∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）由题设2(1)0y x nx =-+-≥的解集为122x -≤≤，列方程组求参数即可；（2）讨论1mx -与零的大小，结合不等式恒成立，分别得到R n ∈、1n x x ≥-在1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上恒成立、1n x x ≤-在10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，进而分别求出在对应情况下的最小值；（3）讨论m 与零的大小，问题转化为一元二次不等式恒成立，再分别求出对应的参数范围即可；【小问1详解】当0m =时，2(1)0y x nx =-+-≥的解集为122x -≤≤，所以()2421011110242y n y n ⎧-=-++=⎪⎨⎛⎫=--+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得32n =，【小问2详解】由0x >时，有0y ≥恒成立，且0m >，当10mx -=，则0y =恒成立，满足题意，此时R n ∈，2n m+无最小值；当10mx ->，即1x m>时，210x nx +-≥恒成立，即1n x x ≥-恒成立，又1y x x =-在1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上递减，则11y x m x m =-<-，故1n m m ≥-，所以，只需212n m m m +≥+≥=，当且仅当1,0==m n 时等号成立，此时2n m+的最小值为2；当10mx -<，即10x m<<时，210x nx +-≤恒成立，即1n x x ≤-恒成立，又1y x x =-在10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递减，则11y x m x m =->-，故1n m m ≤-，所以，只需21n m m m +≤+，同上分析可知，[)12,m m +∈+∞，故2n m+无最小值，综上，10x m <<时，2n m +无最小值；1x m >时，2n m+最小值为2.【小问3详解】由题设，2(1)(1)y mx x mx =-+-，当0m =时，21y x =-，对任意1132x ≤≤，304y ≥≥恒成立；当0m <时，对任意1132x ≤≤，10mx -<，即210x mx +-≤恒成立，所以111042111093m m ⎧+-≤⎪⎪⎨⎪+-≤⎪⎩，解得32m ≤，故0m <；当0m >时，若3m ≥，则11,32x ⎡⎤∈⎢⎣⎦∀，10mx -≥，则210x mx +-≥，即max 1m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥，因为1y x x =-在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以83m ≥，又3m ≥，所以3m ≥；若02m <≤，则11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀，10mx -≤，则210x mx +-≤，即min1m x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，因为1y x x =-在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以32m ≤，又02m <≤，所以302m <≤；若23m <<，则1x m =时，10mx -=，即1x m =时210x mx +-=，即210m=，无解；综上[)3,3,2m ⎛⎤∈-∞+∞ ⎥⎝⎦.。
2023-2024学年湖北省荆州市荆州中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖北省荆州市荆州中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．{﹣2，﹣1}B ．{﹣1，1}C ．{﹣2，0，1}D ．{﹣2，﹣1，1}2．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣3x +a ≠0，则（ ） A ．￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣3x +a ＝0B ．￢p ：∃x ∈R ，x 2﹣3x +a ＝0C ．￢p ：∃x ∈R ，x 2﹣3x +a ≠0D ．a ＝2时，p 为真命题3．3133)16√2+(0.001)−13+√√2=（ ）A ．2√3−1.9B ．12+√2−√3C ．12D ．2√3+84．函数y =|x|x 2−1的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5．若a =5√3，b ＝50.3，c ＝0.82，则（ ） A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c6．已知函数F （x ）＝x 3+2x ﹣2﹣x +5，若F （a ）＝7，则F （﹣a ）的值为（ ） A ．2B ．﹣7C ．3D ．﹣37．“a ∈(12，23]”是“f(x)={(13−a)x +1，(x ＜1)a x，(x ≥1)满足对任意x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知f （x ）是定义在实数集R 上的函数，在（0，+∞）内单调递增，f （2）＝0，且函数f （x +1）关于点（﹣1，0）对称，则不等式x •f （1﹣x ）＜0的解集是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C ．（﹣1，0）∪（1，3）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）∪（3，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＜0，则ac＞bcB ．若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a＜b+m a+mC ．对任意实数a ，b ，都有a 2+b 2﹣2|ab |≥0D ．若二次函数f （x ）＝x 2+ax +b ，实数x 1≠x 2，则f(x 1+x 22)＜f(x 1)+f(x 2)210．已知函数f(x)=2x2−4x+3，则（ ）A ．f （x ）在[2，+∞）上单调递增B ．f （x ）的值域为（0，+∞）C ．不等式f （x ）＜256的解集为（﹣1，5）D ．若g （x ）＝2﹣ax•f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，则实数a 的取值范围为[﹣2，+∞）11．设函数f （x ）＝min {|x ﹣3|，3|x |﹣1，|x +3|}，则下列说法正确的是（ ） A ．f （f （3））＝1 B ．函数f （x ）为偶函数 C ．函数f （x ）的最小值为0D ．当x ∈[﹣3，3]时，f （x ）﹣1≤a ，则a 的取值范围为[2，+∞） 12．已知不等式x 2y−1+y 2x−1≥3m 2−1对x ＞1，y ＞1恒成立，则m 的值可以是（ ）A ．−√2B ．﹣1C ．√3D ．2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知x 12−x −12=2，则x 2+x﹣2的值为 ．14．已知幂函数f （x ）＝（m 2+4m +4）x m +2在（0，+∞）上单调递减，若（2a ﹣1）﹣m＜（a +3）﹣m，则a的取值范围为 ．15．已知函数f （x ）＝x 2﹣2kx +4在[1，3]上的最大值为﹣12，则实数k 的值为 ．16．已知图象连续不断的函数f （x ）是定义域为[﹣4，4]的偶函数，若对任意的x 1，x 2∈（0，4]，当x 1＜x 2时，总有f(x 1)x 2−f(x 2)x 1＞0，则满足不等式（a +2）f （a +2）＜（1﹣a ）f （1﹣a ）的a 的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0}，集合B ＝{x |{2x ≥41−13x ≥0}． （1）当a ＝1时，求A ∪B ；（2）设a ＞0，A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．18．（12分）若关于x 的不等式2x 2+ax ﹣（a +2）＜0的解集是{x|−32＜x ＜1}． （1）求实数a 的值； （2）当x ＞a 时，求y =x 2−2x+5x−a的最小值． 19．（12分）已知函数f （x ）＝（2k ﹣1）×3x +（k 2﹣8）是增函数，且f （1）＝5． （1）若a ＞0，b ＞0，[f （a ）+4]•[f （b ）+4]＝27，求9a+1b 的最小值；（2）是否存在实数m ，n （m ＜n ），使得当x ∈[m ，n ]时，函数y ＝f （x ）的最小值恰为−13m ，而最大值恰 为−13n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由； 20．（12分）已知函数f(x)=a x −ba x (a ＞0，且a ≠1)的图象过点（0，0）和(1，32)． （1）求证：f （x ）是奇函数，并判断f （x ）的单调性（不需要证明）；（2）若∀t ∈[13，3]，使得不等式f （t 2﹣kt +10）+f （a ）＞0都成立，求实数k 的取值范围． 21．（12分）先看下面的阅读材料：已知三次函数f （x ）＝ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0），称相应的二次函数f 1(x)=3ax 2+2bx +c 为f （x ）的“导函数”，研究发现，若导函数f 1（x ）＞0在区间D 上恒成立，则f （x ）在区间D 上单调递增；若导函数f 1（x ）＜0在区间D 上恒成立，则f （x ）在区间D 上单调递减．例如：函数f （x ）＝﹣2x 3+3x 2+12x +5，其导函数f 1(x)=−6x 2+6x +12=−6（x 2﹣x ﹣2） ＝﹣6（x ﹣2）（x +1），由f 1（x ）＞0，得﹣1＜x ＜2，由f 1（x ）＜0，得x ＜﹣1或x ＞2，所以三次函数f （x ）在区间（﹣1，2）上单调递增，在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递减． 结合阅读材料解答下面的问题：（1）求三次函数f(x)=−x 3+12x 2+4x 的单调区间；（2）某市政府欲在文旅区内如图所示的矩形ABCD 地块中规划出一个儿童乐园（如图中阴影部分），形状为直角梯形OPRE （线段EO 和RP 为两条底边，OP ⊥OE ），已知AB ＝2km ，BC ＝6km ，AE ＝BF ＝4km ，其中曲线AF 是以A 为顶点、AD 为对称轴的抛物线的一部分． ①设OP ＝xkm （0＜x ＜2），求出梯形OPRE 的面积S 与x 的解析式； ②求该公园的最大面积．22．（12分）已知函数f(x)={−x(x −2a)+a 2−4a(x ≤2a)x(x −2a)+a 2−4a(x ＞2a)，（a ∈R ）．（1）当a ＝2时，求f （x ）＝x |x ﹣2a |+a 2﹣4a （a ∈R ）的单调区间； （2）如果关于x 的方程f （x ）＝0有三个不相等的非零实数解x 1，x 2，x 3，求1x 1+1x 2+1x 3的取值范围．2023-2024学年湖北省荆州市荆州中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1}，B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．{﹣2，﹣1}B ．{﹣1，1}C ．{﹣2，0，1}D ．{﹣2，﹣1，1}解：B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，则∁R B ＝{x |x ≥1或x ≤﹣1}，集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1}，则A ∩（∁R B ）＝{﹣2，﹣1，1}． 故选：D ．2．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣3x +a ≠0，则（ ） A ．￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣3x +a ＝0B ．￢p ：∃x ∈R ，x 2﹣3x +a ＝0C ．￢p ：∃x ∈R ，x 2﹣3x +a ≠0D ．a ＝2时，p 为真命题解：命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣3x +a ≠0，则￢p ：∃x ∈R ，x 2﹣3x +a ＝0， 当a ＝2时，x ＝1或2时，x 2﹣3x +2＝0，故p 为假命题． 故选：B ．3．3133)16√2+(0.001)−13+√√2=（ ）A ．2√3−1.9B ．12+√2−√3C ．12D ．2√3+8解：原式=313×316×212212+(110)3×(−13)+2−√3=312+10+2−√3=12． 故选：C ． 4．函数y =|x|x 2−1的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．解：由函数 y =|x|x 2−1，可得x ≠±1，故函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞）， 又 f(−x)=|−x|(−x)2−1=x x 2−1=f(x)，所以y =|x|x 2−1是偶函数，其图象关于y 轴对称，因此 A ，D 错误； 当 0＜x ＜1时，x 2−1＜0，y =|x|x 2−1＜0，所以C 错误． 故选：B ．5．若a =5√3，b ＝50.3，c ＝0.82，则（ ） A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞c解：∵5√3＞50.3＞50=1，∴a ＞b ＞1， ∵0＜0.82＜0.80＝1，∴0＜c ＜1， ∴a ＞b ＞c ． 故选：D ．6．已知函数F （x ）＝x 3+2x ﹣2﹣x +5，若F （a ）＝7，则F （﹣a ）的值为（ ）A ．2B ．﹣7C ．3D ．﹣3解：函数F （x ）＝x 3+2x ﹣2﹣x +5，F （a ）＝7，F （a ）+F （﹣a ）＝a 3+2a ﹣2﹣a +5+（﹣a ）3+2﹣a ﹣2a +5＝10，所以F （﹣a ）＝10﹣F （a ）＝10﹣7＝3． 故选：C ．7．“a ∈(12，23]”是“f(x)={(13−a)x +1，(x ＜1)a x，(x ≥1)满足对任意x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由题意得f （x ）在R 上单调递减，故{ 13−a ＜00＜a ＜113−a +1≥a ，解得：13＜a ≤23，故“a ∈(12，23]”是“f(x)={(13−a)x +1，(x ＜1)a x，(x ≥1)满足对任意x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立”的充分不必要条件． 故选：A ．8．已知f （x ）是定义在实数集R 上的函数，在（0，+∞）内单调递增，f （2）＝0，且函数f （x +1）关于点（﹣1，0）对称，则不等式x •f （1﹣x ）＜0的解集是（ ）A ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C ．（﹣1，0）∪（1，3）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）∪（3，+∞） 解：因为函数f （x +1）关于点（﹣1，0）对称， 所以f （x ）的图象关于原点对称，即f （x ）为奇函数， 因为f （x ）在（0，+∞）内单调递增，f （2）＝0， 故f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，f （﹣2）＝0， 由x •f （1﹣x ）＜0可得xf （x ﹣1）＞0， 即{x ＞0f(x −1)＞0或{x ＜0f(x −1)＜0，即{x ＞0x −1＞2或−2＜x −1＜0或{x ＜00＜x −1＜2或x −1＜−2，解得x ＞3或0＜x ＜1或x ＜﹣1． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＜0，则ac＞bcB ．若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a＜b+m a+mC ．对任意实数a ，b ，都有a 2+b 2﹣2|ab |≥0D ．若二次函数f （x ）＝x 2+ax +b ，实数x 1≠x 2，则f(x 1+x 22)＜f(x 1)+f(x 2)2解：对于A ，由1c＜0，a ＞b ，可得a c＜b c，故A 错误； 对于B ，若a ＞b ＞0，m ＞0，则ba −b+m a+m=m(b−a)a(a+m)＜0，可得b a＜b+m a+m，B 正确；对于C ，a 2+b 2﹣2|ab |＝（|a |﹣|b |）2≥0，当且仅当|a |＝|b |时，等号成立，故a 2+b 2﹣2|ab |≥0，C 正确； 对于D ，二次函数f （x ）＝x 2+ax +b ，实数x 1≠x 2， 则f(x 1+x 22)=14(x 1+x 2)2+a 2(x 1+x 2)+b ，f(x 1)+f(x 2)2=12[(x 12+ax 1+b)+(x 22+ax 2+b)]， 可得f(x 1+x 22)−f(x 1)+f(x 2)2=14(x 12+x 22)−12(x 12+x 22)=−14(x 1−x 2)2≤0， 由x 1≠x 2可知等号不能成立，故f(x 1+x 22)＜f(x 1)+f(x 2)2，D 正确． 故选：BCD ．10．已知函数f(x)=2x2−4x+3，则（ ）A ．f （x ）在[2，+∞）上单调递增B ．f （x ）的值域为（0，+∞）C ．不等式f （x ）＜256的解集为（﹣1，5）D ．若g （x ）＝2﹣ax•f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，则实数a 的取值范围为[﹣2，+∞）解：根据题意，设t ＝x 2﹣4x +3，则y ＝2t ， 依次分析选项：对于A ，t ＝x 2﹣4x +3是对称轴为x ＝2的二次函数，开口向上，则t ＝x 2﹣4x +3在[2，+∞）上单调递增，y ＝2t 在R 上单调递增，故f （x ）在[2，+∞）上单调递增，A 正确；对于B ，t ＝x 2﹣4x +3≥﹣1，则y ＝2t ≥12，则f （x ）的值域为[12，+∞），B 错误；对于C ，不等式f （x ）＜256＝28，即x 2﹣4x +3＜8，解可得﹣1＜x ＜5，即不等式的解集为（﹣1，5），C 正确；对于D ，g （x ）＝2﹣ax•f （x ）=2x2−(4+a)x+3，设m ＝x 2﹣（4+a ）x +3，则y ＝2m ，若g （x ）＝2﹣ax•f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，则m ＝x 2﹣（4+a ）x +3在（﹣∞，1]上单调递减，必有12（4+a ）≥1，解可得a ≥﹣2，即实数a 的取值范围为[﹣2，+∞），D 正确． 故选：ACD ．11．设函数f （x ）＝min {|x ﹣3|，3|x |﹣1，|x +3|}，则下列说法正确的是（ ） A ．f （f （3））＝1 B ．函数f （x ）为偶函数 C ．函数f （x ）的最小值为0D ．当x ∈[﹣3，3]时，f （x ）﹣1≤a ，则a 的取值范围为[2，+∞）解：在同一坐标系作出 y ＝3|x |﹣1，y ＝|x ﹣3|和 y ＝|x +3|的图象，如图所示，则A （﹣1，2），B （1，2），所以f （x ）={|x +3|，x ≤−13|x|−1，−1≤x ≤1|x −3|，x ≥1，其图象是图中实线部分．则f （f （3））＝f （0）＝0，故A 错误；函数f （x ）为偶函数，函数f （x ）的最小值为0，无最大值，B ，C 正确； 当x ∈[﹣3，3]时，f （x ）max ＝2，所以a ≥2﹣1＝1，D 错误． 故选：BC ． 12．已知不等式x 2y−1+y 2x−1≥3m 2−1对x ＞1，y ＞1恒成立，则m 的值可以是（ ）A ．−√2B ．﹣1C ．√3D ．2解：由题意x 2y−1+y 2x−1=[(x−1)+1]2y−1+[(y−1)+1]2x−1=(x−1)2y−1+1y−1+(y−1)2x−1+1x−1+2(x−1)y−1+2(y−1)x−1≥2√(x−1)2y−1⋅1y−1+2√(y−1)2x−1⋅1x−1+2√2(x−1)y−1⋅2(y−1)x−1=2(y−1x−1+x−1y−1)+4≥2×2√y−1x−1⋅x−1y−1+4=8，第一个等号成立当且仅当x ＝y ＝2＞1，第二个等号成立当且仅当x ＝y ＞1， 综上，(x 2y−1+y 2x−1)min =8，当且仅当x ＝y ＝2＞1时成立； 又不等式x 2y−1+y 2x−1≥3m 2−1对x ＞1，y ＞1恒成立，等价于3m 2﹣1≤8，解得−√3≤m ≤√3， 对比选项可知，m 的值可以是−√2或﹣1或√3． 故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知x 12−x−12=2，则x 2+x﹣2的值为 34 ．解：∵x 12−x −12=2，∴(x 12−x−12)2=x +x ﹣1﹣2＝4，∴x +x ﹣1＝6，∴（x +x ﹣1）2＝x +x ﹣2+2＝36，∴x +x ﹣1＝34．故答案为：34．14．已知幂函数f （x ）＝（m 2+4m +4）x m +2在（0，+∞）上单调递减，若（2a ﹣1）﹣m＜（a +3）﹣m，则a的取值范围为 （﹣∞，4） ．解：由题意可知{m 2+4m +4=1m +2＜0，解得m ＝﹣3，∴不等式（2a ﹣1）﹣m＜（a +3）﹣m，可化为（2a ﹣1）3＜（a +3）3，又∵函数y ＝x 3在R 上单调递增， ∴2a ﹣1＜a +3，解得a ＜4． 故a 的取值范围为（﹣∞，4）． 故答案为：（﹣∞，4）．15．已知函数f （x ）＝x 2﹣2kx +4在[1，3]上的最大值为﹣12，则实数k 的值为 172．解：函数f （x ）＝x 2﹣2kx +4开口向上，对称轴x ＝k ， 区间[1，3]的中点x ＝2，当k ≤2时，|3﹣k |≥|1﹣k |，所以x ＝3离对称轴较远，所以f （x ）max ＝f （3）＝9﹣6k +4＝﹣12，解得k =256＞2，不符合k ≤2； 当k ＞2时，|3﹣k |＜|1﹣k |，所以x ＝1离对称轴较远， 所以f （x ）max ＝f （1）＝1﹣2k +4＝﹣12，解得k =172＞2，符合条件． 所以k 的值为172．故答案为：172．16．已知图象连续不断的函数f （x ）是定义域为[﹣4，4]的偶函数，若对任意的x 1，x 2∈（0，4]，当x 1＜x 2时， 总有f(x 1)x 2−f(x 2)x 1＞0，则满足不等式（a +2）f （a +2）＜（1﹣a ）f （1﹣a ）的a 的取值范围为 (−12，2] ．解：因为函数f （x ）是定义域为[﹣4，4]的偶函数， 若对任意的x 1，x 2∈（0，4]，当x 1＜x 2时，总有f(x 1)x 2−f(x 2)x 1＞0，即x 1f （x 1）＞x 2f （x 2），令g （x ）＝xf （x ），则g （x ）在（0，4]上单调递减， 因为f （x ）为偶函数，即f （﹣x ）＝f （x ）， 故g （﹣x ）＝﹣xf （﹣x ）＝﹣xf （x ）＝﹣g （x ）， 根据奇函数的对称性可知，g （x ）在R 上单调递减，由不等式（a +2）f （a +2）＜（1﹣a ）f （1﹣a ）可得g （a +2）＜g （1﹣a ）， 所以{−4≤a +2≤4−4≤1−a ≤4a +2＞1−a，解得−12＜a ≤2．故答案为：(−12，2]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣3a ）＜0}，集合B ＝{x |{2x ≥41−13x ≥0}． （1）当a ＝1时，求A ∪B ；（2）设a ＞0，A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：（1）B ={x|{2x ≥41−13x ≥0}={x|{x ≥2x ≤3}={x|2≤x ≤3}， 当a ＝1时，A ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣3）＜0}＝{x |1＜x ＜3}， ∴A ∪B ＝{x |1＜x ≤3}；（2）∵a ＞0，∴A ＝{x |a ＜x ＜3a }， 又A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ， ∴{a ＜23a ＞3，∴1＜a ＜2， ∴实数a 的取值范围为（1，2）．18．（12分）若关于x 的不等式2x 2+ax ﹣（a +2）＜0的解集是{x|−32＜x ＜1}． （1）求实数a 的值；（2）当x ＞a 时，求y =x 2−2x+5x−a的最小值．解：（1）因为不等式2x 2+ax ﹣（a +2）＜0的解集是{x|−32＜x ＜1}， 所以−32和1是方程2x 2+ax ﹣（a +2）＝0的两个根， 由根与系数的关系知，{−32+1=−a2−32×1=−a+22，解得a ＝1． （2）由（1）知，a ＝1，当x ＞a 时，x ﹣1＞0时，所以y =x 2−2x+5x−a =x 2−2x+5x−1=(x−1)2+4x−1=(x −1)+4x−1≥2√(x −1)4x−1=4， 当且仅当x ﹣1=4x−1，即x ＝3时取等号，所以y min ＝4．19．（12分）已知函数f （x ）＝（2k ﹣1）×3x +（k 2﹣8）是增函数，且f （1）＝5． （1）若a ＞0，b ＞0，[f （a ）+4]•[f （b ）+4]＝27，求9a+1b 的最小值；（2）是否存在实数m ，n （m ＜n ），使得当x ∈[m ，n ]时，函数y ＝f （x ）的最小值恰为−13m ，而最大值恰 为−13n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由； 解：∵f （x ）＝（2k ﹣1）×3x +（k 2﹣8），且f （1）＝5，∴3（2k ﹣1）+k 2﹣8＝5，即k 2+6k ﹣16＝0，解得k ＝2或k ＝﹣8，又函数f （x ）＝（2k ﹣1）×3x +（k 2﹣8）是增函数，∴2k ﹣1＞0，即k ＞12， ∴k ＝2，则f （x ）＝3×3x ﹣4．（1）由[f （a ）+4]•[f （b ）+4]＝27，得3a +b ＝3，∴a +b ＝1， 又a ＞0，b ＞0，∴9a+1b=(9a+1b)(a +b)=10+9b a+a b≥10+2√9b a⋅a b=16，当且仅当a b=9b a，即a =34，b =14时取等号，故9a+1b的最小值为16；（2）∵f （x ）＝3×3x ﹣4为增函数，∴当x ∈[m ，n ]时，函数y ＝f （x ）的最小值为f （m ），最大值为f （n ）， 由{f(m)=−13m f(n)=−13n ，得{3×3m −4=−13m3×3n−4=−13n，即{3×(3m )2−4×3m +1=03×(3n )2−4×3n +1=0， 可得3m ，3n 是方程3x 2﹣4x +1＝0的两个根， ∵m ＜n ，∴3m =13，3n ＝1，解得m ＝﹣1，n ＝0， ∴存在m ＝﹣1，n ＝0 满足要求．20．（12分）已知函数f(x)=a x −ba x (a ＞0，且a ≠1)的图象过点（0，0）和(1，32)． （1）求证：f （x ）是奇函数，并判断f （x ）的单调性（不需要证明）；（2）若∀t ∈[13，3]，使得不等式f （t 2﹣kt +10）+f （a ）＞0都成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）证明：函数f(x)=a x −ba x (a ＞0，a ≠1)的图象过点（0，0）和(1，32)， 则{f(0)=1−b =0f(1)=a −b a =32，解得{b =1a =2，所以f(x)=2x −12x ， 函数定义域为R ，f(−x)=2−x −12−x =12x −2x =−(2x−12x )=−f(x)， 所以函数f （x ）是奇函数． 由函数y ＝2x 和y =−12x 都是R 上的增函数，所以f(x)=2x−12x 在R 上单调递增． （2）f （x ）是奇函数，且在R 上单调递增，不等式f （t 2﹣kt +10）+f （a ）＞0等价f （t 2﹣kt +10）＞﹣f （2）＝f （﹣2）， 可得t 2﹣kt +10＞﹣2，若∀t ∈[13，3]，使得不等式f （t 2﹣kt +10）+f （a ）＞0都成立， 等价于∀t ∈[13，3]，t 2−kt +12＞0恒成立，即t 2+12＞kt ，k ＜t 2+12t =t +12t 在[13，3]上恒成立，设g(t)=t +12t (t ∈[13，3])，∀t 1，t 2∈[13，3]，且t 1＜t 2， 有g(t 1)−g(t 2)=(t 1+12t 1)−(t 2+12t 2)=(t 1−t 2)(t 1t 2−12t 1t 2)，由13≤t 1＜t 2≤3，可得t 1−t 2＜0，19＜t 1t 2＜9＜12，t 1t 2−12＜0，则g （t 1）﹣g （t 2）＞0，所以g （t 1）＞g （t 2）， 所以g （t ）在[13，3]上单调递减， 所以g （t ）min ＝g （3）＝7，所以k ＜7， 所以实数k 的取值范围为（﹣∞，7）． 21．（12分）先看下面的阅读材料：已知三次函数f （x ）＝ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0），称相应的二次函数f 1(x)=3ax 2+2bx +c 为f （x ）的“导函数”，研究发现，若导函数f 1（x ）＞0在区间D 上恒成立，则f （x ）在区间D 上单调递增；若导函数f 1（x ）＜0在区间D 上恒成立，则f （x ）在区间D 上单调递减．例如：函数f （x ）＝﹣2x 3+3x 2+12x +5，其导函数f 1(x)=−6x 2+6x +12=−6（x 2﹣x ﹣2） ＝﹣6（x ﹣2）（x +1），由f 1（x ）＞0，得﹣1＜x ＜2，由f 1（x ）＜0，得x ＜﹣1或x ＞2，所以三次函数f （x ）在区间（﹣1，2）上单调递增，在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递减． 结合阅读材料解答下面的问题：（1）求三次函数f(x)=−x 3+12x 2+4x 的单调区间；（2）某市政府欲在文旅区内如图所示的矩形ABCD 地块中规划出一个儿童乐园（如图中阴影部分）， 形状为直角梯形OPRE （线段EO 和RP 为两条底边，OP ⊥OE ），已知AB ＝2km ，BC ＝6km ，AE ＝BF ＝4km ，其中曲线AF 是以A 为顶点、AD 为对称轴的抛物线的一部分． ①设OP ＝xkm （0＜x ＜2），求出梯形OPRE 的面积S 与x 的解析式； ②求该公园的最大面积．解：（1）f(x)=−x 3+12x 2+4x 的导函数为f 1(x)=−3x 2+x +4， 由f 1（x ）＞0，得−1＜x ＜43，由f 1（x ）＜0，得x ＜﹣1或x ＞43，所以三次函数f （x ）在区间(−1，43)上单调递增，在区间（﹣∞，﹣1）和(43，+∞)上单调递减． （2）①以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系， 设曲线AF 所在抛物线的方程为y ＝ax 2（a ＞0）， ∵抛物线过F （2，4），∴4＝a ×22，得a ＝1，∴AF 所在抛物线的方程为y ＝x 2，P （x ，x 2）（0＜x ＜2）， ∴又E （0，4），C （2，6），则EC 所在直线为y ＝x +4， 则OE ＝4﹣x 2，PR ＝4+x ﹣x 2，∴公园的面积S =12(4−x 2+4+x −x 2)⋅x =−x 3+12x 2+4x （0＜x ＜2）， ②由（1）知，S （x ）在(0，43)上单调递增，在(43，2)上单调递减， 当x =43时，S 取得最大值10427．故该公园的最大面积为10427km 2．22．（12分）已知函数f(x)={−x(x −2a)+a 2−4a(x ≤2a)x(x −2a)+a 2−4a(x ＞2a)，（a ∈R ）．（1）当a ＝2时，求f （x ）＝x |x ﹣2a |+a 2﹣4a （a ∈R ）的单调区间； （2）如果关于x 的方程f （x ）＝0有三个不相等的非零实数解x 1，x 2，x 3，求1x 1+1x 2+1x 3的取值范围．解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝x |x ﹣2a |+a 2﹣4a ＝x |x ﹣4|﹣4， 当x ＞4时，f （x ）＝x 2﹣4x ﹣4；当x ≤4时，f （x ）＝﹣x 2+4x ﹣4， 即有f(x)={−x 2+4x −4，x ≤4x 2−4x −4，x ＞4，据二次函数的性质可知，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，2]和[4，+∞），单调递减区间为[2，4]． （2）f(x)={−x(x −2a)+a 2−4a(x ≤2a)x(x −2a)+a 2−4a(x ＞2a)，当a ＝0时，f(x)={−x 2，x ≤0x 2，x ＞0，不符合题意；当a ＞0时，方程有3个不相等的实数根，且f （x ）在（2a ，+∞）上递增，所以x ≥2a 时，x 2﹣2ax +a 2﹣4a ＝0有1个根，且x ＜2a 时，﹣x 2+2ax +a 2﹣4a ＝0有2个根， 所以只需满足{Δ=4a 2+4(a 2−4a)＞0f(2a)=a 2−4a ＜0，解得2＜a ＜4；当a ＜0时，当x ＞2a 时，方程x 2﹣2ax +a 2﹣4a ＝0的判别式Δ＝4a 2﹣4（a 2﹣4a ）＝16a ＜0， 由二次方程的解的分布可得方程x 2﹣2ax +a 2﹣4a ＝0无解，所以此时不符合题意； 综上：a 的取值范围是（2，4）．不妨设x 1＜x 2＜x 3，则x 1+x 2=2a ，x 1x 2=−a 2+4a ，x 3=2a+√4a 2−4(a 2−4a)2=a +2√a ，所以1x 1+1x 2+1x 3=x 1+x 2x 1x 2+1x 3=2a −a 2+4a +a+2√a =2a a(4−a)+√a (a+2√a)(a−2√a)=2a a(4−a)−a−2√a a(4−a)=a+2√a (a+2√a)(a−2√a)=1a−2√a =−1(√a)2−2√a =−1(√a−1)2−1， 因为2＜a ＜4，则√2−1＜√a −1＜1，可得2−2√2＜(√a −1)2−1＜0， 所以1x 1+1x 2+1x 3=(√a−1)2−12√2−2=1+√22． 故1x 1+1x 2+1x 3的取值范围为(1+√22，+∞)．。
湖北省荆州市沙市中学2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学(含解析)
2024—2025学年度上学期2022级9月月考数学试卷考试时间：2024年9月25日一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．集合，若，则集合可以为（）A. B. C. D.2．若复数，则（ ）AB.C. 1D. 23．已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）A ．B ．C ．D ．4．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert 常数约为（参考数据：，）（ ）A ．1.12B ．1.13C．1.14D ．1.155．已知，且，，则（ ） A ． B ． C ． D ．6．已知函数恒成立，则实数的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数与函数的图象交点个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98．斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设为斐波拉契数列，，其通项公式为.{}215=∈<N M x x {}05⋃=≤<M N x x N {}4{}45≤<x x {}05<<x x {}5<x x 232022202320241i i i i +i i z =-+-++- z =2b a = a b 60︒2a b - b 12br 12b- 32b- 32b C t I C I t λ=λ7.5A 60h 25A 15h λlg 20.301≈lg 30.477≈,(0,π)αβ∈cos α=sin()αβ+=αβ-=4π34π4π-34π-2()()ln 0f x x ax b x =++≥a 2-1-12()ln 1f x x =-()πsin 2g x x ={}n a ()*12121,1,3,N n n n a a a a a n n --===+≥∈，设是的正整数解，则的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．给出下列命题，其中正确命题为（ ）A ．已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据的方差为168B ．随机变量服从正态分布，若，则C ．一组数据的线性回归方程为，若，则D ．对于独立性检验，随机变量的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小10．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A ．动点B ．与不可能垂直C ．三棱锥体积的最小值为D ．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为11．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A 在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ）A ．B ．是锐角三角形C ．四边形D ．三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12．若“使”为假命题，则实数的取值范围为___________.13．在中，，∠，D 为线段AB 靠近点的三等分点，E 为线段CD 的中点，若，则的最大值为________.14．将这七个数随机地排成一个数列，记第i 项为，若，n nn a ⎤⎥=-⎥⎦n 2log 1(14(x x x ⎡⎤⎣⎦-<+n 12310x x x x 、、、、()12210i i x x i --=≤≤110x x 、X ()21,,( 1.5)0.34N P x σ>=()0.34P x a <=0.5a =()(),1,2,3,4,5,6i i x y i = 23y x =+6130i i x ==∑6163i i y ==∑2χ1111ABCD A B C D -E 1DD F 11C CDD 1//B F 1A BE F 1B F 1A B 11B D EF -1311B D DF -25π22:2(0)C y px p =>F x D l F C ,A B AF M y N MN NF =l ABD △MNDF 22||BF FA FD ⋅>[]01,4x ∃∈20040x ax -+>a ABC ∆BC =3A π=A 14BF BC =AE AF ⋅ 1,2,3,4,5,6,7()1,2,,7i a i = 47a =，则这样的数列共有个．四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知的内角，，的对边分别为，，，若.（1）求的值；（2）若，求周长的取值范围.16．已知正项数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，若数列满足，且数列的前n 项和为，若恒成立，求的取值范围．17．如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，.(1)求证：；(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值；(3)求点到直线距离的最大值.123567a a a a a a ++<++ABC △A B C a b c ()4sin sin sin -=-A b B c A B a ABC△ABC △{}n a n n S 222n n n a a n S +-={}n a 21na nb =-{}nc 11n n n n b c b b ++=⋅{}n c n T ()12n T n λ-+≤λ1OO A BCDE -F BC ,B C FG A 122,OB OO AB AC ====CG BF ⊥//DF ABE FOD GOD G OD18．已知双曲线的中心为坐标原点，渐近线方程为，点在双曲线上. 互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点.(1)求的方程；(2)若直线交轴于点，设.①求；②记，，求.19．如果函数 F (x )的导数为，可记为 ，若 ，则表示曲线 y =f (x )，直线 以及轴围成的“曲边梯形”的面积. 如：，其中 为常数； ，则表及轴围成图形面积为4.(1)若 ，求 的表达式；(2)求曲线 与直线 所围成图形的面积；(3)若 ，其中 ，对 ，若，都满足，求 的取值范围.E y =(2,1)-E 12,l l ()(,0n n P p p )*n ∈N 1l E ,A B 2l E ,C D ,M N AB CD E MN x ()()*,0n Q t n ∈N 2nn p =n t n a PQ =()*21n b n n =-∈N 211(1)nkk k k k b b a +=⎡⎤--⎣⎦∑()()F x f x '=()()d f x x F x ⎰=()0f x ≥()()()baf x dx F b F a =-⎰x a x b ==，x 22d x x x C ⎰=+C ()()222204xdx C C =+-+=⎰0,1,2x x y x ===x ()()()e 1d 02xf x x f =⎰+=，()f x 2y x =6y x =-+()[)e 120,xf x mx x ∞=--∈+，R m ∈[)0,a b ∞∀∈+，a b >()()0d d a bf x x f x x >⎰⎰m()()32024+1232022022022024241i 1i ()1+1i 1i 1i 11i i iiiii z i =-+----⨯-+====--+-+++()0f x ≥2()g x x ax b =++1x >()0g x ≥01x <<()0g x <(1)0(0)0g g =⎧⎨≤1010a b a b b ++=⇒=--⎧⎨≤1a ≥-1．C2．C 【详解】6．B 【详解】∵恒成立，设，则当时，时，∴，即，∴4x ≥()()ln 1ln 31f x x g x =-≥>≥24x <<()ln 1ln10f x x g =-≥=>2x =()ln 1ln10sin πf x x =-===①当时，点，②当时，③当时，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭x 11,,0,242x y p M N ⎛⎫⎛+ ⎪ ⎝⎭⎝MNF V MN l 11．ABD 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为则可知为等边三角形，即且∥x 轴，可知直线[5,)+∞00040x ax -+>[]1,4x ∀∈240x ax -+≤4≥+a x x[]1,4()4f x x x=+[]1,2[]2,4()()145f f ==()max 5f x =5a ≥a [5,)+∞11812345621+++++=310S ≤333310360A A ⨯⨯=4=at ()0>t ABC △2sin =⋅a R A 2sinB =⋅b R 2sin =⋅c R C ()22sin sin sin sin -=-t A B C A B ABC △()sin sin =+C A B ()()22sin sin sin sin -=+-t A B A B A B ()()()221sin sin cos2cos2sin sin 2+-=--=-A B A B A B A B 2222sin sin sin sin -=-t A B A B 1=t 4=a 12． 【详解】因为“使”为假命题，所以“，”为真命题，其等价于在上恒成立，又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，而，所以，所以，即实数的取值范围为.13．14．360【解析】∵，∴，列举可知：①（1，2，3）……（1，2，6）有4个；②（1，3，4），……，（1，3，6）有3个；③（1，4，5）有1个；④（2，3，4），（2，3，5） 有2个；故共有10个组合，∴共计有个这样的数列。
2023-2024学年湖北省荆州市荆州中学高二上学期期末考试数学试卷+答案解析
FY2023-2024学年湖北省荆州市荆州中学高二上学期期末考试数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是()A. B. C. D.2.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则k等于()A.4B.C.5D.3.若双曲线离心率为2，过点，则该双曲线的方程为()A. B. C. D.4.已知公差小于0的等差数列的前n项和为，若，则当最大时的n值为()A.6或7B.7或8C.6或8D.8或95.如图，在四棱锥中，四边形ABCD是平行四边形，F是棱PD的中点，且，则()A. B.C. D.6.已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则()A. B. C. D.7.在圆内，过点有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项，最大弦长为，若公差，那么n的取值集合为()A. B. C. D.8.若数列对任意连续三项，，，均有，则称该数列为“跳跃数列”，下列说法中正确的是()A.存在等差数列是“跳跃数列”B.存在公比大于零的等比数列是“跳跃数列”C.若等比数列是“跳跃数列”，则公比D.若数列满足，则为“跳跃数列”二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法错误的是()A.若有空间向量，，则存在唯一的实数，使得B.A，B，C三点不共线，空间中任意点O，若，则P，A，B，C四点共面C.，，与夹角为直角，则x的取值是0D.若是空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面，但不共线10.已知圆，圆，则()A.圆与圆相切B.圆与圆公切线的长度为C.圆与圆公共弦所在直线的方程为D.圆与圆公共部分的面积为11.已知五个数1，p，m，q，16成等比数列，则曲线的离心率可以是A. B. C. D.12.对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，又称为函数，例如，与1，3，7，9均互质则()A. B.数列不是单调递增数列C.若p为质数，则数列为等比数列D.数列的前4项和等于三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省荆州中学高三第十二次周考数学(文)试题
荆州中学高三第十二次周考数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．若集合}{1M x x =≤，}{2,1N y y x x ==≤，则A ．M N =B ．M N ⊆C ．M N =∅D ．N M ⊆2．在复平面内，复数12i+(其中i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．设,R ∈θ则“1212ππθ<-”是“21sin <θ” 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知(,)42ππα∈，cos (cos )a αα=，cos (sin )b αα=， sin (cos )c αα=，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为 （参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305） A ．12 B ．20 C ．24 D ．486．已知实数,x y 满足约束条件220,220,20,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩若()0z x ay a =->的最大值为4，则a =A ．2B ．23C ．3D ．47．已知数列*},{},{N n b a n n ∈都是公差为1的等差数列，其首项分别为11,a b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈设),(*N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于A ．55B ．70C ．85D ．1008．若圆5:221=+y x O 与圆20)(:222=++y m x O 相交于,A B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 A ．3B ．4C ．32D ．89．若函数)2(-=x f y 的图象与函数2log 3+=x y 的图象关于直线x y =对称，则)(x f =A ．223-x B ．123-xC ．x23 D ．223+x10．已知函数()()0cos 3sin >-=ωωωx x x f ，若方程()1-=x f 在()π，0上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为 A ．]27,613(B ．]625,27( C ．]211,625(D ．]637,211( 11．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4s ．已知各观测点到该中心的距离都是1020m ．则该巨响发生在接报中心的( )处．（假定当时声音传播的速度为340m/s ，相关各点均在同一平面上）A ．西偏北45°方向，距离m 10680B ．东偏南45°方向，距离m 10680C ．西偏北45°方向，距离m 5680D ．东偏南45°方向，距离m 568012.已知函数()2x x f x e e -=+，若关于x 的不等式()()20f x af x -≤⎡⎤⎣⎦恰有3个整数解，则实数a 的最小值为（ ）A ．1B ．2eC ．21e +D ．331e e +二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省荆州市2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题(含答案)
2024～2025学年度上学期学情监测九年级数学试题（本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B 铅笔或黑色签字笔。
一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）A.B. C. D.2.一元二次方程根的情况是（ ）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.两根互为相反数3.如图，紫荆花绕它的旋转中心，按下列角度旋转，能与其自身重合的是（ ）A. 60°B. 120°C. 144°D. 180°4.如图，是的直径，，则的度数是（ ）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°5.若是方程的一个根，则的值为（ ）A. 2024B. C. D. 10156.用配方法解方程时，配方正确的是（）2210x x --=AB O e 30CDB ∠=︒ABC ∠x m =2210090x x --=2246m m -+2012-1003-2840x x --=A. B. C. D.7.函数和函数（a 是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A.B. C. D.8.小聪以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（ ）A. B. C. D.9.如图，小程爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则的长为（ ）A. 8m 或5mB. 4m 或2.5mC. 8mD. 5m 10.如图，开口向上的抛物线（）与x 轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，y 随x 的增大而减小；④当时，关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根.其中正确的结论是（ ）A.①③④ B.②③④ C.②③ D.①②④二、填空题（共5题，每题3分，共15分）11.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______.12.抛物线向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度后的图象解析式为______.13.如图，是的直径，弦于点E ，，，则的长为______cm.()2412x -=()2420x -=()2868x -=()2860x -=y ax a =+221y ax x =--+0a ≠()292616y x =-+8cm AB =4cm DE =CE 13cm 12cm 15cm 9cm12m 6m 220m 1m BC 2y ax bx c =++0a ≠()4,01x =a c b +>20a b +=0x <m a b c >++2ax bx c m ++=()2,3-()2234y x =-+AB O e CD AB ⊥16cm CD =4cm BE =OC14.已知关于x 的方程，若等腰三角形的一边长，另外两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，则这个三角形的周长为______.15.如图，的半径为2，圆心M 的坐标为，点P 是上的任意一点，，且，与x 轴分别交于A ，B 两点，若点A ，点B 关于原点O 对称，则的最小值为______.三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（6分）解方程：（1），（2）.17.（6分）已知二次函数.（1）写出该函数图象的开口方向；（2）求出该函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x 满足什么条件时，y 随x 增大而减小？18.（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，.（1）画出关于原点O 成中心对称的；（2）画出绕点逆时针旋转90°后得到的.19.（8分）已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m 的值.20.（8分）如图，已知抛物线和直线相交于点和.()23230x k x k -+++=4a =M e ()3,4M e PA PB ⊥PA PB AB 2240x x --=23100x x --=247y x x =-+-()2,0A ()1,1B ()4,2C ABC △111A B C △ABC △()0,1Q -222A B C △()222110x m x m -++-=1x 2x 22124x x +=21y x bx c =-++21522y x =+()1,A m -(),4B n（1）求m 和n 的值；（2）求抛物线的解析式；（3）结合图象直接写出满足的x 的取值范围.21.（8分）如图，为的直径，点C ，D 为直径同侧圆上的点，且点D 为的中点，过点D 作于点E ，交于点G ，延长，交于点F .图① 图②（1）如图①，若，求证：；（2）如图②，若，，求的半径.22.（10分）我市某镇是全国著名的蓝莓产地，某蓝莓基地近几年不断改良种植技术，产量明显增加，2022年的产量是5000千克，2024年的产量达到7200千克。
2025届湖北省荆州市重点中学高考数学押题试卷含解析
2025届湖北省荆州市重点中学高考数学押题试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知(1)nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)nn a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( )A ．1B ．－1C ．8lD ．－812．已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ） A ．该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B ．该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低C ．该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益D ．该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元 3．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ） A ．32-B ．32C ．23-D ．234．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ） A ．45B ．60C ．75D ．1005．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为25，则m =（ ） A ．1B ．2C ．5D ．36．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =，BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．12-B ．-2C ．12D ．27．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（ ） A ．25B ．1325C ．35D ．19258．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 923449358200 3623486969387481A ．08B ．07C ．02D ．019．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ，则事件A发生的概率为 A ．14B ．58C ．38D ．1210．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D 21r r 11．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1112．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省荆州中学高三数学上学期第一次双周考试题文
荆州中学2019届高三年级第一次双周练文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若全集U R =，集合{}24M x x =>，301x N xx ⎧-⎫=>⎨⎬+⎩⎭，则()U MC N =（ ）A ．{2}x x <-B ．{2x x <-或3}x ≥C ．{3}x x ≥D ．{23}x x -≤< 2．若复数z 满足(12)5i z +=,i 为虚数单位,则z 的虚部为 （ ） A.2i - B.2- C.2 D.2i 3．与函数y x =相同的函数是（ ）A ．2y x =B ．2xy x= C ．()2y x =D ．log (01)x a y a a a =>≠且4．幂函数2231()(69)mm f x m m x -+=-+在(0+)∞，上单调递增，则m 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4 5．函数ln 1()1x f x x-=-的图象大致为（ ）6．下列关于命题的说法错误的是（ ）A. 命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”；B. “2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,+∞上为增函数”的充分不必要条件；C. 若命题:,21000np n N ∃∈>，则:,21000np n N ⌝∀∈>； D. 命题“(),0,23xxx ∃∈-∞<”是假命题.7．若方程111042x x a -⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有正数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．01a <<B ．30a -<<C ．03a <<D ．10a -<<8.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时 ()21xf x =-，则（ ）A. ()()11672f f f ⎛⎫<-<⎪⎝⎭ B. ()()11672f f f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭C. ()()11762f f f ⎛⎫-<<⎪⎝⎭ D. ()()11762f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭9．若函数,1()(4)2,12x a x f x ax x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩在其定义域上为增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()48，B. [)48， C. ()1+∞， D. ()18， 10．已知函数3log ,03,()4,3x x f x x x <≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，若函数()()2h x f x mx =-+有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭B. ()1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C. [)1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D. 1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦11．已知函数212()log 2(21)8,f x x a x a R ⎡⎤=--+∈⎣⎦，若()f x 在[),a +∞上为减函数，则a的取值范围为（ ）A ．(],2-∞B ．4,23⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．(],1-∞D ．4,13⎛⎤- ⎥⎝⎦12.在函数()xf x e x =--的图象上任意一点处的切线为1l ，若总存在函数()2g x ax cosx =+的图象上一点，使得在该点处的切线2l 满足12l l ⊥，则a 的取值范围是A. (],1-∞-B. ()2,+∞C. ()1,2-D. []1,2-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13．设函数23(1)()4(1)xx f x x x <⎧=⎨-≥⎩，则[])2(f f = ． 14．若函数()y f x ＝的定义域是1[,2]2，则函数()2log y f x ＝的定义域为________． 15．已知集合2{(,)2}A x y y x ==- , {(,)2}B x y y x m ==+.若A B 中仅有一个元素，则实数m 的取值范围是________.16．已知函数111+,0,22()12,22x x x f x x -⎧≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，若存在12,x x ，当1202x x ≤<<时，12()()f x f x =，则122()()x f x f x -的最小值为 ．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分 12分)已知函数2*()2,(,)f x ax x c a c N =++∈满足①(1)5f =；②6(2)11f <<。
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湖北省荆州市2018届高三数学上学期第九次周考试题 文第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合M={-4,-2,0,2,4,6},N={x|x 2-x-12≤0},则M ∩N= ( ) A.[-3,4] B.{-2,0,2,4} C.{0,1,2} D.{1,2,3} 2.设z= i+1i-1 ,则z 2+z+1= ( )A.-iB.iC.-1-iD.-1+i3.如图所示，在边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是( )A.23B.2C. 43D.34. 在等比数列{}n a 中15,a a 是函数321()51613=-++f x x x x 的极值点，则23log a =（ ）A ．2B ．4C ．24或D ．2或无意义 5. 已知函数()2sin()(0,||)2πωϕωϕ=+><f x x 的最小正周期是π，若将其图象向右平移3π个单位后得到的图象关于y 轴对称，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12π=x 对称 B ．关于直线512π=x 对称 C ．关于点(,0)12π对称 D ．关于点5(,0)12π对称 6. 在椭圆2212+=x y 中任取一点00(,)P x y ，则所取的点能使直线00()-=-y y k x x 与圆221+=x y 恒有公共点的概率为（ ）（注：椭圆22221(0)+=>>x y a b a b的面积公式为πab ）A ．12 BC．1- D7.已知实数,x y 满足约束条件222441+≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩x y x y x y ，若(),=r a x y ，()3,1=-r b ，设z 表示向量r a 在rb 方向上的投影，则z 的取值范围是（ ）A ．3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,6-C ．⎡⎢⎣D ．⎡⎢⎣8.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点F 的直线与双曲线相交于,A B 两点，当AB x ⊥轴时，称线段AB 为双曲线的通径．若AB 的最小值恰为通径长，则此双曲线的离心率的范围为（ ）A ．(B ．(C ．()1,+∞D ．)+∞9. 执行如下左图所示的程序框图，输出的=a （ ）A ．20B ．14C ．10D ．710. 如上右图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．34B ．38C ．312D ．31611. 已知偶函数()f x 满足(1)(1)-=+f x f x 且当[]20,1()=∈时x f x x ，则函数()()cos π=-g x f x x 在[],ππ∈-x 上的零点个为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．812.设()f x '是函数()()f x x R ∈的导数，且满足()3()0xf x f x '->，若△ABC 中，C 是钝角，则（ ）A.33(sin )sin (sin )sin f A B f B A ⋅>⋅ B. 33(sin )sin (sin )sin f A B f B A ⋅<⋅ C.33(cos )sin (sin )cos f A B f B A ⋅>⋅ D. 33(cos )sin (sin )cos f A B f B A ⋅<⋅第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.第17题图第18题图1A 13. 已知平面向量(2,1),(2,).λ==r r a b 且(2)μ-=+r r r ra b a b ，则λμ+= ．14.已知数列{}n a 为等差数列，D 为ABC ∆的边BC 上任意一点，且满足14034AD a AB a AC =+uuu r uu u r uu u r，则20172018a a ⋅的最大值为 ．15. 抛物线()220=>y px p 的焦点为,F M 为抛物线上一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线的准线相切(O 为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p = ．16.“求方程34155⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x 的解”有如下解题思路：设34()55⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x xf x ，则()f x 在R上单调递减，且(2)1=f ，所以原方程有唯一解2=x .类比上述解题思路，不等式632(2)(2)-+>+-x x x x 的解集是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在如图四边形DCAB 中，,,a b c 为的∆ABC 内角,,A B C 的对边，且满足sin sin cos cos 20sin cos ++-+=B C B C A A.(Ⅰ)证明：,,b a c 成等差数列；(Ⅱ)已知3,5=b c 1cos ,2, 4.4∠===CDB DC DB 求四边形DCAB 的面积.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111-ABC A B C 中，12,====AB BC AC AC ,M N 分别是AC 和1BB 的中点. (Ⅰ)求证：11P 平面MN A B C ； (Ⅱ)若AB 上一点P 满足116-=N B PM V ，求1B P 与MN 所成角的余弦值.第19题图3.2.2.1.1.0.19.（本小题满分12分）某保险公司有一款保险产品的历史户获益率（获益率=获益÷保费收入）的频率分布直方图如图所示： （Ⅰ）试估计平均获益率；（Ⅱ）根据经验若每份保单的保费在20元的基础上每增加x 元，对应的销量y （万份）与x （元）5组x 与y 的对应数据：（ⅰ）根据数据计算出销量y （万份）与x （元）的回归方程为∧∧=+y b x a ；（ⅱ）若把回归方程∧∧=+y b x a 当作y 与x 的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均获益率估计此产品的获益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大获益，并求出该最大获益.参考公示：1122211()(),()∧∧∧====-∑--===-∑--∑∑nni ii i i i nni ii i x y nx yx x y y b a y b x x x xnx20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b 的离心率为12，且椭圆C 过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l 过椭圆C 的右焦点F 且与椭圆C 交于,M N 两点.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)已知点()4,0P ，求证：若圆222:(0)Ω+=>x y r r 与直线PM 相切，则圆Ω与直线PN也相切.21.(本题满分12分)已知函数x a x a x x f ln 4)22(21)(2--+=. (1)讨论f(x)的单调性; (2)设1=a ,若存在),2(,21+∞∈x x , ,且21x x ≠,使不等式2121ln ln )()(x x k x f x f -≤-成立,求实数k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系在直角坐标系xoy 中，曲线1cos :sin αα=⎧⎨=⎩x t C y t （t 为参数且0≠t ），其中0απ≤≤，在以O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线23:2sin ,:ρθρθ==C C ． （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求当56πα=时AB 的值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知∃∈x R ，不等式12---≥x x t 成立. （Ⅰ）求实数t 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对于实数,m n 满足1,1>>m n 且不等式33log log ≥g m n t 恒成立，求+m n 的最小值.数学（文科）试题参考答案13. 1 14.415. 4 16. (),1(2,)-∞-⋃+∞ 17. 解析：(Ⅰ)由题设有sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin +=--B A C A A B A C A 即sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin +++=B A B A C A C A Asin()sin()2sin ∴+++=A B A C A由三角形内角和定理有sin sin 2sin +=B C A 由正弦定理有2+=b c a,,∴b a c 成等差数列(Ⅱ) 在∆BDC 中，由余弦定理有222=2cos 16+-∠=g gBC CD BD CD BD CDB 即4=BC 32,5+==Q b c a b c ,445∴==a c 即5=c 则3=b ∴∆ABC 为∆Rt .6∆∴=ABC S由于sin ∠==CDB 1sin 2∆∴=∠=g g CDB S CD BD CBD6∆∴=+=DCAB CDB ABC S S S18. 解析：（Ⅰ）证明：Q 直三棱柱111-ABC A B C 中，2,===AB BC AC222∴+=AB BC AC ∴⊥AB BC ,又=AC 12==A A ， 取1A C 的中点D ，连接1,MD B D ,,Q M D 为中点，1∴P MD AA 且112=MD AA 。
又N 为1B B 中点，11∴P B N AA 且1112=B N AA 1∴P DM B N 且1∴=DM B N ，故四边形1DMNB 为平行四边形，1∴P MN B D ，11111,⊄⊂Q 平面平面MN A B C B D A B C ，11∴P 平面MN A B C(Ⅱ)由等体积法1111111326--==⨯⨯⨯=N B PM M B NP V V PB 有1=PB ,则P 为AB 中点。
取PB 中点Q ,连,NQ MQ ,则1P NQ B P ,故1B P 与MN 所成角为∠QNM （或其补角）在∆QNM中，112======QN B P QM MN由余弦定理有222cos 25+-∠==g QN MN QM QNM QN MN 即为所求角的余弦值19. 解析：（Ⅰ）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05， 平均获益率为0.050.100.150.200.250.250.350.300.450.100.550.050.275⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（Ⅱ）（i ）1221500.10,0500∧∧∧==--∴===-=-=-∑∑ni ii nii x y nx yb a y b x xnx则 6.00.10(40)-=--y x 即0.1010.0=-+y x（ii ）设每份保单的保费为20+x 元，则销量为0.1010.0=-+y x ，则保费获益为()(20)(0.1010.0)=+-+f x x x 万元， 22()0.182000.1(40)360=-++=--+f x x x x当40=x 元时，保费收入最大为360万元，保险公司预计获益为3600.275=99⨯万元.20. 解析：（Ⅰ）设椭圆C 的焦距为2c (c >0)，依题意，222221,1,2,194c a a b c a b +=⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪⎪⎩解得2,a b ==，c=1，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=； （Ⅱ）证明：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，M ，N 两点关于x 轴对称，点P （4,0）在x 轴上，所以直线PM 与直线PN 关于x 轴对称，所以点O 到直线PM 与直线PN 的距离相等，故若圆()222:0x y rr Ω+=>与直线PM 相切，则也会与直线PN 相切；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，11()M x y ，，22()N x y ，，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得：2222(34)84120k x k x k +-+-=所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+， 1111(1)44PM y k x k x x -==--，2222(1)44PN y k x k x x -==--， 1212121212(1)(1)[25()8]44(4)(4)PM PN k x k x k x x x x k k x x x x --⋅-+++=+=----22221282440(8)34340(4)(4)k k k k k x x --+++==--，所以，MPO NPO ∠=∠，于是点O 到直线PM 与直线的距离PN 相等， 故若圆()222:0x y rr Ω+=>与直线PM 相切，则也会与直线PN 相切；综上所述，若圆()222:0x y rr Ω+=>与直线PM 相切，则圆Ω与直线PN 也相切.22.解:(1)∵f ′(x)=x+(2a-2)- 4a x = x 2+(2a-2)x-4a x = (x+2a)(x-2)x (x ＞0).令f ′(x)=0得x=2或x=-2a.∴①当-2a=2,即a=-1时, f ′(x)≥0在x ＞0时恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增.……(2分)②当-2a ＞2,即a ＜-1时,f(x)在(0,2)和(-2a,+∞)上单调递增,在(2,-2a)上单调递减.………(3分)③当0＜-2a ＜2,即-1＜a ＜0时,f(x)在(0,-2a)和(2,+∞)上单调递增,在(-2a,2)上单调递减.…(4分)④当-2a ≤0,即a ≥0时,f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增. ………(5分) (2)由(1)知,当a=1时,f(x)在(2,+∞)上单调递增,不妨设x 2＞x 1＞2,则不等式|f(x 1)-f(x 2)|≤k|lnx 1-lnx 2|可化为f(x 2)-f(x 1)≤klnx 2-klnx 1.…………(7分) f(x 1)-klnx 1≥f(x 2)-klnx 2,令g(x)=f(x)-klnx,则g(x)在(2,+∞)上存在单调递减区间. ……(9分)∴g ′(x)= f ′(x) - k x ＜0 在区间(2,+∞)有解,即(x+2)(x-2)x - kx ＜0在x ∈(2,+∞)上有解,…(10分)∴k ＞x 2-4, x ∈(2,+∞),故k ＞0. ……………(12分)22.解析：（Ⅰ）由题设有曲线2C 的直角坐标方程为2220+-=x y y ，曲线3C的直角坐标方程为220+-=x y，联立222220⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩x y y x y 解得00=⎧⎨=⎩x y或32⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ， 即2C 与3C 交点的直角坐标为()0,0和32⎫⎪⎪⎝⎭（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0),θαρρ=∈≠R 其中0απ≤<因此A 的极坐标为(2sin )αα，，B的极坐标为)αα，。