平行四边形(一)

推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的 A 中线,底边上的高互相重合(三线合一).
如图,在△ABC中, ∵AB=AC, ∠1=∠2(已知). ∴BD=CD,AD⊥BC（三线合一）. 如图,在△ABC中, ∵AB=AC, BD=CD (已知). ∴∠1=∠2,AD⊥BC（三线合一）. 如图,在△ABC中, ∵AB=AC, AD⊥BC(已知). ∴BD=CD, ∠1=∠2 （三线合一）
5 回顾与思考
平行线的判定
c
1 2
几何命题的“三种语言”:
文字语言 公理:同位角相等,两直线平行. 符号语言 ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b. 判定定理1: 内错角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b. 判定定理2: 同旁内角互补,两直线平行. ∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b. a
证明(一),(二)回顾与思考
1.平行四边形(1)
回顾与思考1
直观是把“双刃 剑”
直观是重要的,但它有时也会骗人,你还能找到 这样的例子吗?
a b
驶向胜利 的彼岸
要判断一个数学结论是否正确,仅仅 依靠经验,观察,或实验是不够的,必需 一步一步,有根有据地进行推理.
回顾与思考 2
原名:某些数学名词称为原名.
b
c
a
b a b
图 形 语 言
c
1
2
1 2
眼睛看图形语言,口述文字语言,手写图形语言.
6 回顾与思考
平行线的性质
c a b a b a b
2 1 2 1
公理: 两直线平行,同位角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. 性质定理1: 两直线平行,内错角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. 性质定理2: 两直线平行,同旁内角互补. ∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 .
B a C c
b (1)
A
22 回顾与思考
命题与逆命题,定理与逆定理P17
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称 为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆 命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那 么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其 中一个定理称另一个定理的逆定理.
A E E D
2
1 3
A
D C
E B
D C
B
4
C
B
如图,在△ABC中 ∵AB=AC,∠1=∠2, ∠3=∠4, ∴BD=CE.
如图,在△ABC中 ∵AB=AC,AE=BE, AD=CD, ∴BD=CE.
如图,在△ABC中
∵AB=AC,BD⊥AC, CE⊥AB, ∴BD=CE.
14 回顾与思考
A
C
这里的结论,以后可以直接运用.
8 回顾与思考
三角形的外角
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和. 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不 相邻的内角. 推论3: 直角三角形的两锐角互余. △ABC中: ∠1=∠2+∠3; ∠1>∠2,∠1>∠3.
B
A
300
C
20 回顾与思考
勾股定理P15
定理: 如果直角三角形两直角边分别为a、b， 斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边 的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献 中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.
在△ABC中 ∵∠ACB=900(已知), ∴ a2+b2=c2(直角三角形两直 角边的平方和等于斜边的 平方).
c
2
c
1
这里的结论,以后可以直接运用.
回顾与思考 7
三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800. ∠A+∠B+∠C=1800的几种变形: ∠A=1800 –(∠B+∠C). ∠B=1800 –(∠A+∠C). ∠C=1800 –(∠A+∠B). ∠A+∠B=1800-∠C. B ∠B+∠C=1800-∠A. ∠A+∠C=1800-∠B.
角平分线的性质P31
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相 等的点,在这个角的平分线上.
如图, ∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别是D,E(已知), O ∴点P在∠AOB的平分线上 .(在一个角的内部,且到角 的两边距离相等的点,在这 个角的平分线上).
M
P
A N
C
B
26 回顾与思考
线段垂直平分线的性质P25
逆定理 到一条线段两个端点距离相等 的点,在这条线段的垂直平分线上.
如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线 上(到一条线段两个端点 距离相等的点,在这条线 段的垂直平分线上).
M
P
A
N
C
B
27 ABC中, ∵∠A=∠B=∠C(已知), ∴ AB=BC=AC(三个角都相等 的三角形是等边三角形).
A
600
B
600
600
C
18 回顾与思考
特殊的直角三角形的性质
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角 等于300,那么它所对的直角边等于斜边的 一半. B
在△ABC中, A 30 C ∵∠ACB=900,∠A=300. 1 ∴BC= 2 AB.(在直角三角形中, 300角 所对的直角边等于斜边的一半).
23 回顾与思考
直角三角形全等的判定定理P21

定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三 角形全等(斜边,直角边或HL).
B
如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知), ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL). C
a b 勾 c
弦
股
21 回顾与思考 定理: 如果三角形两边的平方和等于第三边平 方, 那么这个三角形是直角三角形.
在△ABC中 ∵AC2+BC2=AB2(已知), ∴△ABC是直角三角形(如 果三角形两边的平方和等 于第三边平方, 那么这个 三角形是直角三角形).

勾股定理的逆定理P16
B A 2
3
这个结论以后可以直接运用.
4 1 C
D
学好几何标志 是会“证明” 证明命题的一般步骤:
回顾与思考9
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求 证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导 “果”,执“果”索“因”.); 驶向胜利
本套教材选用如下命题作为公理 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相 :
等,那么这两条直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相 等; 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全 等; 5.三边对应相等的两个三角形全等; 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
(5)依据思路,运用数学符号和数学语 言条理清晰地写出证明过程;
(6)检查表达过程是否正确,完善.
的彼岸
10 回顾与思考
等腰三角形性质
定理:等腰三角形的两个底角相等(等边 对等角).
如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角).
B A
C
11 回顾与思考
等腰三角形性质
B
C
28 回顾与思考
角平分线的性质P31
定理 角平分线上的点到这个角的两边距 离相等.
如图, ∵OC是∠AOB的平分线,P是 OC上任意一点 O ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到 这个角的两边距离相等).
A D 1 2 P C
E
B
29 回顾与思考
等腰三角形的判定
定理：两个角相等的三角形是等腰三角形 （等角对等边）. 在△ABC中 ∵∠B＝∠C（已知）， ∴AB=AC（等角对等边）.
B
A
C
15 回顾与思考
反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推 导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛 盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种 证明方法称为反证法(reduction to absurdity) 用反证法证明的一般步骤: 1.假设:先假设命题的结论不成立; 2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方 法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件 相矛盾的结果; 3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而 肯定命题的结论正确. 反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某 些问题时常常会有出人意料的作用.
1 2
B
D
C
12 回顾与思考
等腰三角形性质
定理:等边三角形的三个角都相等并且每 个角都等于600.
如图,在△ABC中, ∵AB=AC=BC(已知). ∴∠A=∠B=∠C=600（等边 三角形的三个角都相等并 且每个角都等于600）.
A
B
C
13 回顾与思考
等腰三角形性质
结论:等腰三角形两底角的平分线相等,等腰三 角形两腰上的中线相等,等腰三角形两腰上的 高相等. A
B′
A
C′
A′
24 回顾与思考
直角三角形全等的判定方法(小结)

•
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等(斜边,直角边或HL). 公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）. 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）. 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全 等（AAS）. 综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为: 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两边对应相等的两个直角三角形全等; 的两个三角形不一定全等.