Chapt_6 拉普拉斯变换.
第六章 拉普拉斯变换
记作： ( p) L (t ), 或
( p) (t )e dt (Re p s0 ) 0 称为 (t )的Laplace变换式； ( p ) 称为 (t ) 的变换像函数， (t ) 称为 ( p ) 的变换原函数.
pt
( p) (t )或 (t ) ( p)
(Rep 0)
1 n 1 n! p
(n 0,1,2 ; Rep 0)
第六章 10
5)延迟定理：若 (t ) ( p)，则 (t ) e p ( p) 由定义作换元 t 积分即得.
e p [例] H(t ) p (Re p 0)
第六章 17
（证明从略P98,99）
2015/11/18
3)展开定理:设像函数是单值的，而且在 0 arg p 2 上有
( p) 0 ( p ) ,则
(t )
全平面
pt Res [ ( p ) e ] (t 0)
2015/11/18
第六章
18
cosh[( l x) p ] (l,x都是常数，且0<x<l)的原函数. [例5]求 ( p ) p cosh( l p )
2015/11/18 第六章
( p)
(t ) 或 (t )
(t ) L1 ( p)
( p )
4
( p )存在、解析且 1.定理一:在Re p s0 的右半平面上，
1 (t 0) 2.阶梯(跃)(或亥维赛单位阶跃)函数 H(t ) 0 (t 0)
1 1 1 1 sin t (Rep 0) 2 2i p i p i p 1
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是一种在信号和系统分析中广泛应用的数学工具。
它将一个函数从时域转换到频率域，可以用于解决微分方程、计算系统的冲激响应和频率响应等问题。
拉普拉斯变换公式是拉普拉斯变换的基本公式之一，用于将函数从时域表示转换为频域表示。
F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞]e^(-st)f(t)dt其中，F(s)表示拉普拉斯变换后的函数，s是一个复数，而f(t)是原始函数。
在上述公式中，∫[0,∞]表示对t从0到正无穷之间的所有值进行积分。
e^(-st)是指数函数，s是一个复数参数，t是自变量。
f(t)是原始函数，也被称为拉普拉斯变换的原函数。
通过拉普拉斯变换公式，我们可以将一个函数从时域转换到频域。
这意味着我们将原始函数用复指数函数（e^(-st)）的积分来表示。
在复平面上，s可以表示为s = a + jb，其中a和b都是实数，a是实部，b是虚部。
拉普拉斯变换公式可以用于解决许多信号和系统分析的问题。
例如，我们可以使用拉普拉斯变换来解决线性微分方程。
通过将微分方程转换为拉普拉斯域，我们可以将微分方程转换为代数方程，从而更容易地解决。
此外，利用拉普拉斯变换可以方便地计算系统的冲激响应和频率响应。
在应用拉普拉斯变换时，有几点需要注意。
首先，原始函数f(t)必须满足一定的条件，如函数在一个有界的时间段内存在或函数在正向无穷大时的极限存在。
其次，拉普拉斯变换是线性的，即对于给定的常数a和b，拉普拉斯变换遵循以下性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)。
此外，拉普拉斯变换公式还有许多相关的性质和定理，如初始值定理、最终值定理、微分定理和频移定理等。
这些性质和定理为我们在实际应用中提供了方便和灵活性。
总结起来，拉普拉斯变换公式是将一个函数从时域表示转换到频域表示的基本公式之一、它在信号和系统分析中广泛应用，用于解决微分方程、计算系统的冲激响应和频率响应等问题。
拉普拉斯变换及其性质共35页
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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拉普拉斯变换及其性质
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6、黄金时代是在我圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
拉普拉斯变换-维基百科
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换(又名拉式转换)。
基本定义
如果定义：
∙是一个关于t的函数，使得当时候，；
∙是一个复变量；
∙是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分
；是的拉普拉斯变换结果。
则的拉普拉斯变换由下列式子给出：
拉普拉斯逆变换
拉普拉斯逆变换，是已知，求解的过程。
用符号表示。
拉普拉斯逆变换的公式是：
对于所有的；
是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有的个别点的实部值。
拉普拉斯变换的存在性
关于一个函数的拉普拉斯变换，只有在拉普拉斯积分是收敛的情况下才存在。
也就是说，必须是在对于的每一个有限区间内都是片断性连续的，且当趋于无穷大的时候，
是指数阶地变化。
拉普拉斯变换的基本性质
∙线性叠加
∙微分
∙时域
∙频域
∙积分
∙初始值定理
∙终值定理
, 所有极点都在左半复平面。
终值定理的实用性在于它能预见到系统的长期表现，且避免部分分式展开。
如果函数的极点在右半平面，那么系统的终值是
不定义的(例如：或)。
∙s移动
∙t移动
注: 表示阶跃函数.
∙n次幂移动
∙卷积
变换简表
原函数转换后函数
收敛区域
在工程学上的应用
应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是一种在信号处理和控制系统中常用的数学工具，广泛应用于电路分析、线性系统分析、图像处理等领域。
拉普拉斯变换将一个时间域函数转换为一个复频域函数，从而方便对信号进行分析和处理。
在数学上，拉普拉斯变换可以理解为傅里叶变换的一种推广形式。
设函数f(t)在t≥0上有定义且满足一些条件，拉普拉斯变换定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt,其中，s为复频域变量，F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的主要特点是将常微分方程和时间域中的卷积运算变换为代数运算和复频域中的乘法运算，从而简化了分析和求解的过程。
1. 线性性质：对于任意常数a和b，有L{af(t) + bg(t)} = aF(s)+ bG(s)；2. 平移性质：若F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，则e^(-at) f(t)的拉普拉斯变换为F(s+a)；3. 倍增性质：若F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，则f(at)的拉普拉斯变换为F(s/a)；4. 初值定理：若f(t)在t=0时有界且存在有限初值f(0)，则F(s)= lim(s→∞) sF(s) + f(0)；5. 终值定理：若f(t)在t→∞时有界，则lim(t→∞) f(t) =lim(s→0) sF(s)。
1.线性系统分析：通过拉普拉斯变换可以将微分方程转换成代数方程，从而便于对系统的稳定性、传递函数等进行分析；2.电路分析：拉普拉斯变换可以方便地求解电路的电压、电流等时间域特性，进一步可用于电路的设计和优化；3.信号处理：通过拉普拉斯变换，可以对信号的频域特性进行分析和滤波处理，如频率响应、系统传递函数等；4.控制系统设计：拉普拉斯变换可用于控制系统的传递函数分析、稳定性判断和控制器设计等方面；5.通信系统分析：拉普拉斯变换在调制、解调和信道等方面有广泛应用。
f(t) = L^(-1){F(s)} = (1/2πj) ∫[γ-j∞, γ+j∞] e^(st) F(s) ds,其中，γ为收敛路径，j为虚数单位。
第3章 拉普拉斯变换 128页 6.1M ppt版
6.3 拉氏变换的性质：
揭示信号时域特性与复频域描述的关系，主要讨论 ROC
1、 线性。
ax1(t) bx2 (t) aX1(s) bX 2 (s)
ROC:包括 R1 R2
若 R1 与R2 无公共部分，则表明ax1(t) bx2 (t) 的拉氏变换不存在。
当 aX1(s) bX 2 (s) 中有零极点抵消时，ROC 可能会扩大。
第三章 拉普拉斯变换
本章要点 拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉 氏变换 拉氏变换与傅氏变换的关系 拉氏变换的性质，收敛域 卷积定理(S域) 系统函数和单位冲激响应
1
第六章 拉普拉斯变换
6.0 引言
第四章已经讨论过复指数信号est 是 LTI 系统的特征函数 s j ，并对
s j 的情况进行了研究，即傅立叶分析。本章对更一般的情况（ s j ）
7
例三: x(t) ea t eatu(t) eatu(t)
j
X (s) 0 eatestdt eatestdt
0
1 1 sa sa
( a, a)
-a
a
当 a>0 时，这两部分地收敛域有共同部分
a a
此时
X (s)
1 sa
1 sa
2a s2 a2
存在
当 a<0 时这两个 ROC 无公共区域 x(s)不存在。
立叶变换地推广。
3
如果Xx(s) 在 s j 收敛，则 即 s 可以取j
X ( j) Xx(t))eejjtdt tdt
是x(t) 的拉付氏里变叶换变换
X ( j) X (s) 表明傅立叶变换氏是拉氏变换在j 轴上的特例 s j
由傅立叶反变换得到拉斯反变换
完整版拉普拉斯变换表
完整版拉普拉斯变换表拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它能将时间域上的函数转换为频率域上的函数，为信号处理、电路分析等领域的数学建模和分析提供了极大的便利。
下面是完整版的拉普拉斯变换表，列出了常用的函数及其对应的拉普拉斯变换公式。
1. 常数函数：f(t) = 1，其拉普拉斯变换为：F(s) = 1/s2. 单位阶跃函数：f(t) = u(t)，其拉普拉斯变换为：F(s) = 1/s3. 指数函数：f(t) = e^-at，其拉普拉斯变换为：F(s) = 1/(s + a)4. 正弦函数：f(t) = sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = ω/(s^2 + ω^2)5. 余弦函数：f(t) = cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = s/(s^2 + ω^2)6. 指数衰减正弦函数：f(t) = e^-at sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = ω/( (s+a)^2 + ω^2 )7. 指数衰减余弦函数：f(t) = e^-at cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = (s+a)/( (s+a)^2 + ω^2 )8. 阻尼正弦函数：f(t) = e^-αt sin(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = ω/( (s+α)^2 + ω^2 )9. 阻尼余弦函数：f(t) = e^-αt cos(ωt)，其拉普拉斯变换为：F(s) = (s+α)/( (s+α)^2 + ω^2 )10. 给定函数f(t)的导数Laplace变换：f'(t) 的Laplace 变换 F(s) 为：F(s)= s*F(s) - f(0)11. 给定函数f(t)的不定积分Laplace变换：∫f(t)dt 的 Laplace 变换 F(s) 为：F(s)= 1/s*F(s)12. Laplace变换与乘法定理：L{f(t) g(t)} = F(s)G(s)13. Laplace变换与移位定理：L{f(t-a) u(t-a)} = e^-as F(s)14. Laplace变换与初值定理：f(0+) = lims→∞ sF(s)f'(0+) = lims→∞ s^2F(s) - sf(0+)f''(0+) = lims→∞ s^3F(s) - s^2f(0+) - sf'(0+)15. Laplace变换与终值定理：limt→∞ f(t) = lims→0 sF(s)limt→∞ f'(t) = lims→0 s^2F(s) - sf(0+)limt→∞ f''(t) = lims→0 s^3F(s) - s^2f(0+) -sf'(0+)这是完整版的拉普拉斯变换表，其中列出了常用的函数及其对应的拉普拉斯变换公式，以及常见的拉普拉斯变换定理和公式。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种在信号与系统领域中广泛应用的数学工具。
它将一个时间域函数转换为一个复频域函数，从而可以方便地进行信号的分析和处理。
拉普拉斯变换不仅在电子工程、通信工程领域得到广泛应用，还在物理学、控制论、图像处理等领域有重要应用。
一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义如下：对于给定函数f(t)，它的拉普拉斯变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫{0,∞} f(t)e^(-st)dt其中，s是复变量，表示变换域的频率。
f(t)是定义在非负实数轴上的函数。
拉普拉斯变换有一个重要的性质是可逆的，即给定F(s)，可以通过逆变换求得原函数f(t)。
二、拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换有一系列的性质，这些性质可以帮助我们简化计算或者分析信号的特性。
下面介绍几个常用的性质：1. 线性性质：对于任意常数a和b，以及两个函数f(t)和g(t)，有线性性质成立：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是函数f(t)和g(t)的拉普拉斯变换。
2. 积分性质：对于函数f(t)的积分，有以下性质成立：L{∫{0,t} f(τ)dτ} = 1/(s)F(s)其中，F(s)是函数f(t)的拉普拉斯变换。
3. 正比例性质：如果一个函数f(t)等于另一个函数g(t)乘以常数a，那么它们的拉普拉斯变换也有类似的关系：L{ag(t)} = aG(s)其中，G(s)是函数g(t)的拉普拉斯变换。
三、拉普拉斯变换的应用1. 信号系统分析：拉普拉斯变换广泛应用于信号与系统的分析。
通过将差分方程或微分方程转换成拉普拉斯域，可以简化对系统的分析和建模。
根据拉普拉斯变换的性质，可以求解系统的频域响应、稳定性、传输函数等重要特性。
2. 控制系统设计：在控制论中，拉普拉斯变换是设计和分析控制系统的重要工具。
通过将系统的传递函数转换成拉普拉斯域，可以方便地调整系统的稳定性、响应速度、抗干扰能力等参数，并进行频域设计和系统优化。
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12
注意： 一、初始条件进入Lapace 变换公式中，这一点在应用
中非常重要！ 二、原函数对 t 的求导，变成像函数 与p 相乘。
13
（3）原函数积分定理:
t
0
(
)d
1 [ (t)]
p
考虑 f (t)
t
( )d ;
0
对f(t)应用导数定理 [ f ' (t)] pf ( p) f (0)
g(t) G()eitd 1 f ( i)eitd
2
即
f (t) 1 f ( i)e( i)td
2
由 i p d 1 dp
i
f (t) 1 i f ( p)e ptdp
2i i
——黎曼-梅林反演公式
3
写作： f ( p) [ f (t)]; f (t) 1[ f ( p)]
= = 或 f ( p)
• •
f (t)
f (t) • f ( p)
•
f(t)：原函数; f ( p) ： 像函数
Laplace 变换存在的充分条件是：
（1）在 0 t < 的任一有限区间上，除了有限个第 一类间断点外，函数f(t)及其导数是处处连续的， （2） 存在常数 M>0 和 0，使对于任何t (0 t <
[est ] e( ps)tdt 1
0
ps
(Rep Re s)
7
例4 f (t) test
解： [test ]
te( ps)tdt
1
td e( ps)t
0
ps 0
1 ps
te( ps)t
g
(t
)
e t
f (t),
t
0
0,
t 0
g(t) et f (t)H (t)
1
足够大，以保证g(t)是绝对可积的。 由Fourier 变换可得：
G() 1 g(t)eitdt 1 f (t)e( i)tdt
2
2 0
令 p=+i, G() f ( p) / 2 ,则
f ( p) f (t)e ptdt, (6.2.3) 0
f (t)eptdt ——Laplace积分 0 f ( p) : f (t) 的Laplace 变换函数 2
(6.2.3)： f (t) f ( p) Laplace变换
e-pt ——Laplace变换核
由 Fourier 逆变换可推得 Laplace逆变换公式
1 1
2i p i
1
p i
p2 2
பைடு நூலகம்
,
(Rep
0)
[cost]
1 2
[eit ] [eit ]
p2
p
2
(Rep 0) 11
（2）原函数导数定理:
[ f '(t)]
e pt
0
f
' (t)dt
e pt
o
解
析
0•
区 域
且满足 lim f ( p) 0 p
10
Laplace 变换的重要性质： (1) 线性定理：与 Fourier 变换一样。
[c1 f1(t) c2 f2 (t)] c1 f1( p) c2 f2 ( p)
例6 [sint] 1 [eit ] [eit ] 2i
), 有 | f (t) | Me t
的下界称为收敛横标，以0 表示。大多数函数都 满足这个充分条件
4
p 平面
o
0+i
• 0
0-i
5
例1 Heaviside阶越 函数:
1, t 0
H
(t)
0,
t0
[ f (t)] 1 eptdt 1 ;
类推
[t n
f
(t)]
(1)n
dn f ( p) dpn
9
（二）Laplace 变换的基本性质
Laplace 变换 f ( p) 的特性：
（1） f ( p) 在 Re(p)>0 的半
平面代表一个解析函数。
（2）当 | p | ,
|Arg p|/2-ε (ε>0) 时：
p
f ( p) 存在，
0
p
(Rep 0)
例2 线性函数 f(t)=t (t>0):
[ f (t)] teptdt 1 td(ept )
0
p0
1 p
te pt
0
1 p
e ptdt 1
0
p
e ptdt
0
1 p2
(Rep 0)
6
例3 指数函数 est
第六章：拉普拉斯变换
§6.2 Laplace 变换
（一） Laplace 变换的定义
意义：Fourier 变换要求函数在(, ) 上绝对可积
| f (x) | dx
问题：许多函数不满足上述条件，如多项式、三角函数等。
引入Laplace 变换
应用一：定初的值微问分题方的程解]，：因已此知可f(假t)|t定=0=ff(0t,)|求t<0=t>00。时， f(t)的数值 [ f(t)满足 • 定义： 令
其中
f (0)
0
( )d 0;
0
1 [
p
(t)]
f
(t)
t
0
(
)d
即：
t
0
(
)d
1 [ (t)]
p
－原函数对 t 的积分 变成像函数与 p 相除
0
e( ps)tdt
0
(
p
1
s)2
.
(Rep Res)
同理
[t n e st
]
(
p
n! s)n1
.
(Re p Res)
8
例5 求[tf (t)]
解：
df ( p) e-pt (t) f (t)dt
dp 0
从而
[tf (t)] (1) df ( p) dp
f
(t) |0
p
e pt
0
f
(t)dt
取 Re p 0
有 lim e pt f (t) 0. t
于是
[ f ' (t)] pf ( p) f (0)
同样有：
[ f (n) (t)] pn f ( p) pn1 f (0) pn2 f ' (0) pf (n2) (0) f (n1) (0)