推荐2011年高考数学专题——指数函数、对数函数、幂函数(理科)

1．（2007北京文、理，5分）函数()3(02)xf x x =<≤的反函数的定义域为（ ）A ．(0)+∞，B ．(19]，C ．(01)，D ．[9)+∞，B ；[解析] 函数()3(02)xf x x =<≤的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(19]，。

[考点透析]根据指数函数在对应区间的值域问题，结合原函数与反函数的定义域与值域之间的关系处理对应反函数的定义域问题。

2．（2007山东文、理，5分）给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）A ．()3xf x = B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =B ；[解析] 依据指、对数函数的性质可以发现A 满足()()()f x y f x f y +=，C 满足()()()f xy f x f y =+，而D 满足()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-，B 不满足其中任何一个等式。

[考点透析]根据指数函数、对数函数，结合三角函数等其他相关函数讨论分析对应的性质是高考中比较常见的考题之一，关键是掌握对应函数的基本性质及其应用。

3．（2007全国2理，5分）以下四个数中的最大者是（ ）A ．（ln2）2B ．ln （ln2）C ．ln 2D ．ln2D ；[解析] ∵0ln 21<<，∴ln （ln2）<0，（ln2）2<ln2，而ln 2=21ln2<ln2，∴最大的数是ln2。

[考点透析]根据对数函数的基本性质判断对应函数值的大小关系，一般是通过介值（0，1等一些特殊值）结合对数函数的特殊值来加以判断。

4．（2007安徽理，5分）若A=}822|{2<≤∈-xZ x ，B=}1|log ||{2>∈x R x ，则)(C R B A 的元素个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 C ；[解析] 由于A=}822|{2<≤∈-xZ x =}321|{<-≤∈x Z x =}11|{≤<-∈x Z x =｛0，1｝，而B=}1|log ||{2>∈x R x =}2210|{><<∈x x R x 或，那么)(C R B A =｛0，1｝，则)(C R B A 的元素个数为2个。

[考点透析] 从指数函数与对数函数的单调性入手，解答相关的不等式，再根据集合的运算加以分析和判断，得出对应集合的元素个数问题。

5．（2007江苏，5分）设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞A ；[解析] 由10)0(-==a f 得，011lg )(<-+=x x x f ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>-+111011xx xx，01<<-∴x 。

[考点透析]根据对数函数中的奇偶性问题，结合对数函数的性质，求解相关的不等式问题，要注意首要条件是对数函数的真数必须大于零的前提条件。

6．（2007北京理，5分）对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）A ．①③B ．①②C ．③D ．②D ；[解析] 函数①()lg(21)f x x =-+，函数(2)f x +=lg(||1)x +是偶函数；且()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；但对命题丙：(2)()f x f x +-=||1lg(||1)lg(|2|1)lg|2|1x x x x ++--+=-+在x ∈(－∞,0)时，(||1)12lglg lg(1)(|2|1)213x x x x x +-+==+-+-+-为减函数，排除函数①，对于函数③，()cos(2)f x x =+函数(2)c o s (2f x x +=+不是偶函数，排除函数③，只有函数②2()(2)f x x =-符合要求。

[考点透析]根据对数函数、幂函数、三角函数的相关性质来分析判断相关的命题，也是高考中比较常见的问题之一，正确处理对应函数的单调性与奇偶性问题。

7．（2007天津理，5分）函数()2log 42(0)y x x =++>的反函数是（ ）A.142(2)x x y x +=->B.142(1)x x y x +=->C.242(2)x x y x +=->D.242(1)x x y x +=-> C ；[解析] 原函数过(4,1)-故反函数过(1,4)-从而排除A 、B 、D 。

[考点透析]根据对应对数函数型的函数的反函数的求解步骤加以分析求解对应的反函数，但通过原函数与反函数之间的特殊关系，利用排除法加以分析显得更加简单快捷。

8．（2007天津理，5分）设,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log ,22b caa b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b a c <<A ；[解析] 由122log a a =可知0a >21a ⇒>121l o g 102a a ⇒>⇒<<，由121l o g 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知0b >⇒120l o g 1b <<112b ⇒<<，由21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知0c >20log 112c c ⇒<<⇒<<，从而a b c <<。

[考点透析] 根据指、对数函数的性质及其相关的知识来处理一些数或式的大小关系是全面考察多个基本初等函数比较常用的方法之一。

关键是掌握对应函数的基本性质及其应用。

9．（2007广东理，5分）已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则M N （ ） A ．{}1>x x B ．{}1<x x C ．{}11<<-x x D ．∅C ；[解析] 依题意可得函数xx f -=11)(的定义域M=}01|{>-x x =}1|{<x x ， )1ln()(x x g +=的定义域N=}01|{>+x x =}1|{->x x ，所以M N=}1|{<x x }1|{->x x ={}11<<-x x 。

[考点透析] 本题以函数为载体，重点考查幂函数与对数函数的定义域，集合的交集的概念及其运算等基础知识，灵活而不难．10．（2007山东理，5分）设a ∈{－1，1，21，3}，则使函数y=x a的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A ．1，3 B ．－1，1 C ．－1，3 D ．－1，1，3 A ；[解析] 观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。

[考点透析] 根据幂函数的性质加以比较，从而得以判断．熟练掌握一些常用函数的图象与性质，可以比较快速地判断奇偶性问题．特别是指数函数、对数函数、幂函数及其一些简单函数的基本性质．11．（2007江苏，5分）设函数)(x f 定义在实数集上，它的图象关于直线x =1对称，且当1≥x 时，)(x f =13-x，则有（ ）A ．)31(f <)23(f <)32(fB ．)32(f <)23(f <)31(fC ．)32(f <)31(f <)23(fD ． )23(f <)32(f <)31(fB ；[解析] 当1≥x 时，)(x f =13-x，其图象是函数xy 3=向下平移一个单位而得到的1≥x 时图象部分，如图所示， 又函数)(x f 的图象关于直线x =1对称，那么函数)(x f 的图象如下图中的实线部分， 即函数)(x f 在区间)1,(-∞上是单调减少函数， 又)23(f =)21(f ，而322131<<，则有)32()21()31(f f f >>，即)32(f <)23(f <)31(f ．[考点透析] 利用指数函数的图象结合题目中相应的条件加以分析，通过图象可以非常直观地判断对应的性质关系． 12．（2007湖南文、理，5分）函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 B ；[解析] 函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象如下：根据以上图形，可以判断两函数的图象之间有三个交点。

[考点透析] 作出分段函数与对数函数的相应图象，根据对应的交点情况加以判断。

指数函数与对数函数的图象既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图象的工具作用。

特别注意指数函数与对数函数的图象关于直线x y =对称。

在求解过程中注意数形结合可以使解题过程更加简捷易懂。

13．（2007四川文、理，5分）函数)(x f =x 2log 1+与)(x g =12+-x 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）C ；[解析] 函数)(x f =x 2log 1+的图象是由函数x y 2log =的图象向上平移1个单位而得来的；又由于)(x g =12+-x =)1(2--x ，则函数)(x g =12+-x 的图象是由函数x y -=2的图象向右平移1个单位而得来的；故两函数在同一直角坐标系下的图象大致是：C 。

[考点透析] 根据函数表达式与基本初等函数之间的关系，结合函数图象的平移法则，得出相应的正确判断。

14．（2007全国Ⅰ文、理，5分）设1>a ，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为21，则a =（ ）A ．2B ．2C ．22D ．4D ；[解析] 由于1>a ，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为21， 那么a a a a log 2log -=21，即2log a =21，解得221=a ，即a =4。