传热学-第四章导热问题的数值解法
传热学导热问题的数值解法
导热问题的数值解法1 、重点内容：① 掌握导热问题数值解法的基本思路；② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。
2 、掌握内容：数值解法的实质。
3 、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。
由前述3 可知，求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。
但是，对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题，从数学上目前无法得出其分析解。
随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，并得到广泛应用，并形成为传热学的一个分支——计算传热学（数值传热学），这些数值解法主要有以下几种：（１）有限差分法（ 2 ）有限元方法（ 3 ）边界元方法数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题，特别是分析解方法无法解决的问题。
如：几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。
分析解法与数值解法的异同点：相同点：根本目的是相同的，即确定① t=f(x ，y ，z) ；②。
不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。
§4-1 导热问题数值求解的基本思想及内节点离散方程的建立实质对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。
该方法称为数值解法。
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。
2 、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1 表示。
由此可见：1 ）物理模型简化成数学模型是基础；2 ）建立节点离散方程是关键；3 ）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。
一数值求解的步骤如图4-2 （a ），二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下：1 建立控制方程及定解条件控制方程：是指描写物理问题的微分方程针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为：（a ）边界条件：x=0 时，x=H 时，当y=0 时，当y=W 时，区域离散化（确立节点）用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区域，用网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点( 结点) ，节点的位置用该节点在两个方向上的标号m ，n 表示。
四章节导热问题数值解法
O(h2)
(h)
由式(b)和式(d)消去f (x) 得：
f (x)
f (x)
f
(
x
2h) h2
2
f
(x
h)
O(h2
)
(i)
由式(a)和式(b)消去f (x) 得： f (x) f (x h) f (x h) 2 f (x) O(h3) (j) h2
由(e)式～(j)式分别略去 h 、h2 及 h3 以上各项得一阶、二阶
导数向前、向后及中心差分公式为：
、
一阶导数向前差分：
f (x) f (x h) f (x)
h
一阶导数向后差分： f (x) f (x) f (x h) h
一阶导数中心差分：
f (x) f (x h) f (x h) 2h
3 三种方法的特点 (1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供 比较依据；
b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。
(2) 数值法
在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于 复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。
(3) 实验法
f (x)
fi ,
f (x h)
f i 1 ,
f (x h)
fi
……
1
x
函数 f（x）在点 x 的一、二阶导数的有限差分表达式分别为：
一阶导数向前差分：fi '
fi1 h
fi
一阶导数向后差分：fi '
fi fi1 h
一阶导数中心差分：fi '
《传热学》第四章 导热数值解法基础
边界
2.第二类边界条件：
Байду номын сангаас
Δx＝Δy时简化为：
绝热边界：
3.第三类边界条件：
Δx＝Δy时简化为：
其他情况的节点方程 ——见教材表4－1
外拐角与内拐角节点
对流边界内部拐角节点热平衡：
节点方程式推导实例 ——对流边界外部拐角节点
Δx＝Δy时简化为：
数值导热离散方程组＝内节点离散方程＋边界节点离散方程
二、常用计算软件
1.MATLAB——矩阵计算软件
matlab软件主界面
2.FLUENT——流体流动通用数值计算软件
3. FLUENT AIRPAK ——人工环境系统分析软件，暖通空调专业和传热学领域必备软件
AIRPAK模拟温度场
第四章重点： 1.有限差分方程的建立 2.高斯－赛德尔迭代方法
谢谢观看
《传热学》
第四章 导热数值解法基础
本章研究的目的 ——利用计算机求解难以用 分析解求解的导热问题 基本思想 ——把原来在时间、空间坐 标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点的值的集合 来代替，通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的 代数方程，来获得离散点 上被求物理量的值。 研究手段——有限差分法
数值导热离散方程组内节点离散方程边界节点离散方程三节点离散方程组的求解迭代法迭代法的原理离散方程组的求解方法消元法方程过多时计算机内存不足迭代法假定初值根据假定的初值求新值并重复此步骤若干次两次计算值足够接近认为达到真实值简单迭代法每次迭代时使用上次迭代的结果允许误差简单迭代法的缺点由于每次迭代中使用与真实值偏差较大的上次迭代的旧值使运算过程接近真实值的时间增加高斯赛德尔迭代法将本次迭代的最新结果立刻代入本次迭代过程计算其他未知值高斯赛德尔迭代法的优点由于每次迭代中使用与真实值偏差较小的本次迭代的新值使运算过程接近真实值的时间缩短第三节非稳态导热的数值计算一显式差分格式研究对象一维非稳态导热问题一维非稳态导热内节点差分方程
第四章导热问题数值解法基础_传热学
∆x
(i, j) P (i,j-1) S ∆x
(i+1,j) E
x
QV为单位时间控制体内热源 的发热量； 的发热量；ΔΕ为控制体单
位时间内热能的增加量。 位时间内热能的增加量。
由导热傅立叶定律
QW = QE = QS = QN =
N (i,j+1) (i-1,j) W P (i,j-1) S ∆x ∆x (i, j)
∆x
S
建立离散方程的方法一 建立离散方程的方法一： 泰勒级数展开 方法一： 泰勒级数： 泰勒级数：
ti +1, j ( ∆x ) 2 ( ∆x ) 3 ∂t ∂ 2t ∂ 3t = t i , j + ( ) i , j ∆x + ( 2 ) i , j + ( 3 )i , j + ••• 2! 3! ∂x ∂x ∂x
近代发展（1985年-至今） 近代发展（1985年 至今） Singhal 在“Numerical Heat Transfer “撰文 指出了促使数值传热学应用于实际应解决的问 题 前后处理软件的快速发展 巨型计算机的发展促使了并行算法和紊流直接 数值模拟（DNS)和大涡模拟 LES)的发展 和大涡模拟（ 数值模拟（DNS)和大涡模拟（LES)的发展 大型商业软件投放市场 1993年 PHOENICS对中国的禁运被解除 对中国的禁运被解除， 1993年， PHOENICS对中国的禁运被解除，中国 科技大学火灾实验室首先买进了使用权
走向工业应用阶段（1975-1984年 走向工业应用阶段（1975-1984年） 1979年 国际杂志Numerical 1979年，国际杂志Numerical Heat Transfer 创刊，分为Application 创刊，分为Application 和 Fundamentals 1979年 1979年，大型通用软件 PHOENICS(Parabolic,Hyberbolic,Elliptic Series)问世 Numerical Integration Code Series)问世 1979年 Lconard创建了优于中心差分格式的 1979年，Lconard创建了优于中心差分格式的 QUICK格式 格式( QUICK格式(精度高和稳定性好 ） 1980年 Patanker教授的名著 教授的名著“ 1980年，Patanker教授的名著“Numerical Flow” Heat Transfer and Fluid Flow”出版 随后，许多商用软件如FLUENT,Star FLUENT,Star随后，许多商用软件如FLUENT,Star-CD, CFX 问世
《传热学》第4章-导热问题的数值解法
3
4-2. 节点温度差分方程组的求解方法
导热物体所有内部节点和边界节点温度的差分方程都是线性代 数方程。 n个未知节点温度，n个代数方程式：
a11t1 + a12t2 + L + a1 jt j + L + a1ntn = b1
a21t1 + a22t2 + L + a2 jt j + L + t2ntn = b2
空间步长
4
2) 节点温度差分方程的建立
控制 容积
（1）内部节点温度差分方程
对于常物性、无内热源的无限大平壁 的一维非稳态导热问题
热平衡：在k时刻，单位时间内从相邻控制
容积i-1与i+1分别导入的热流量与之和等于该 控制容积热力学能的增加
Φλ′ + Φλ′′ = dU
节点i 的温度对时间的变化率采用向前差分
≤ε
k及k+1表示迭代次数；
t
(k) max
—第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t时，第三个较好
有时还要同时考虑热流密度收敛
4-3. 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热与稳态导热的主要区别：控制方程中多一个非稳 态项；温度随空间和时间变化
∂t ∂τ
=
a(
∂2t ∂x 2
+
∂2t ∂y 2
)
能量平衡关系：网格单元不仅与相邻的网格单元之间有热量的 导入或导出，网格单元本身的热力学能也随时间发生变化
t t 在用第二个方程计算节M点温度
1 2 时，直接将
依a此n1类t1 推+ an2t2 + L + anjt j + L + anntn = bn
传热学—第4章 热传导问题的数值解法
⎧a11t1 + a12 t2 + a13t3 = b1 ⎪ ⎨a21t1 + a22 t2 + a23t3 = b2 ⎪a t + a t + a t = b 33 3 3 ⎩ 31 1 32 2
假定初场
⎧ (1) ⎪t1 = ⎪ ⎪ Jacobi ⎨t(1) = 2 ⎪ ⎪ (1) ⎪t3 = ⎩
4.1.1 4 1 1 基本思想 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按 定方 建 起来 关 值 代数方程 来获 一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获 得离散点上被求物理量的值。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量 的数值解。
4.1.1 基本思想
λ Δy
Δx = Δy 时： tm −1,n
+ tm+1,n + tm,n+1 + tm,n−1 − 4tm,n = 0
tm ,n
1 = ( tm−1,n + tm+1,n + tm,n+1 + tm ,n−1 ) 4
与Taylor级数法相比，热平衡法物理意义明显。
4.3.1 边界节点离散方程的建立
4-2 内部节点离散方程的建立
4.2.1 4 2 1 Taylor级数展开法
4-2 内部节点离散方程的建立 内部节点离散方程的建
∂ 2t ∂x 2
=
m ,n
tm+1 n − 2tm ,n + tm −1 n 1, 1, Δx 2
控制方程
∂ 2t ∂ 2t + =0 ∂x 2 ∂y 2
∂ 2t ∂y 2
传热学课件第四章 导热问题数值解法基础
i , j
t x
t i 1 , j t i , j x
0 x
2.一阶导级的向后差分表达式：舍去<2>式△x2后各项，则有：
i , j
t x
t i , j t i 1 , j x
0 x
第一节 建立离散方程的方法
二、泰勒级数展开法（有限差分法）
k 2 k 1
对 流 h t f t1 A
k k
显式
△x
C.内能增量△u：
u c
x 2
A t1
k
k 1
t1 /
k
△x/2
k hx
据热平衡A+B=C并整理得：
k f
t 2 t1
k
t
t1
k
1 2
c
x
2
t1
k 1
LP
△y
t i 1 , j t i , j x
t i , j 1 t i , j y
y 2
x 2
1
BP
1
x 2
y 2
EP h t f t i , j
△x
1
FP h t f t i , j
t x
t
2
2
x i , j 2!
2
t x
3
x i , j 3!
3
3.一阶导级的中心差分表达式：<1>-<2>式且忽略后项，则有：
i , j
t x
传热学 第4章-导热问题的数值解法
第四章 导热问题的数值解法1、重点内容： ① 掌握导热问题数值解法的基本思路；② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。
2、掌握内容：数值解法的实质。
3、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。
由前述3可知，求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。
但是，对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题，从数学上目前无法得出其分析解。
随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，并得到广泛应用，并形成为传热学的一个分支——计算传热学（数值传热学），这些数值解法主要有以下几种：（1） 有限差分法 （2）有限元方法 （3）边界元方法数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题，特别是分析解方法无法解决的问题。
如：几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。
分析解法与数值解法的异同点：1、 相同点：根本目的是相同的，即确定① t=f(x ，y ，z)；② ),,,(τz y x g Q =。
2、 不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。
§4—1 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立一、 解法的基本概念1、 实质对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。
该方法称为数值解法。
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。
2、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1表示。
由此可见：1）物理模型简化成数学模型是基础； 2）建立节点离散方程是关键；3）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。
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x
∆x
m
M
第四章 导热问题的数值解法
7
4 建立离散方程的常用方法： 建立离散方程的常用方法： (1) Taylor（泰勒）级数展开法； （泰勒）级数展开法； (2) 多项式拟合法； 多项式拟合法； (3) 控制容积积分法； 控制容积积分法； (4) 控制容积平衡法 也称为热平衡法 控制容积平衡法(也称为热平衡法 也称为热平衡法)
∂ 2t ∂x 2
m ,n
t m +1,n − 2 t m ,n + t m −1,n = + o(∆x 2 ) ∆x 2
同样可得： 同样可得： 截断误差
∂t tm,n+1 − 2tm,n + tm,n−1 = + o(∆y 2 ) ∂y 2 m,n ∆y 2
2
未明确写出的级数余项 的最低阶数为2 中的ΔX的最低阶数为2
第四章 导热问题的数值解法
3
(2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点， 强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 特别对于复杂问题更显其优越性； 验法相比成本低 (3) 实验法 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； 实验法: 是传热学的基本研究方法， 适应性不好； b 费用昂贵 数值解法：有限差分法（ 数值解法：有限差分法（finite-difference）、 ）、 有限元法（ 有限元法（finite-element） 、 ） 边界元法（ 边界元法（boundary- element）、 ）、 分子动力学模拟（ 分子动力学模拟（MD） ）
第四章 导热问题的数值解法 2
(3) 实验法 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所 就是在传热学基本理论的指导下， 研究对象的传热过程所求量的方法
3 三种方法的特点 (1) 分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算 能获得所研究问题的精确解， 提供比较依据； 提供比较依据； b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见 分析解具有普遍性，
第四章
导热问题的数值解法
§4-0 引言
1 求解导热问题的三种基本方法：(1) 理论分析法；(2) 数 求解导热问题的三种基本方法： 理论分析法； 值计算 法；(3) 实验法 2 三种方法的基本求解过程 (1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上， 对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解 对微分方程在给定的定解条件下进行积分， 称之为分析解，或叫理论解； 称之为分析解，或叫理论解； (2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场， 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场， 用有限个离散点上的值的集合来代替， 用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方 法建立起来的关于这些值的代数方程， 法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上 被求物理量的值；并称之为数值解； 被求物理量的值；并称之为数值解；
第四章 导热问Leabharlann 的数值解法4§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立
1 物 理 问 题 的 数 值 求 解 过 程
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
否 是否收敛 是 解的分析
第四章 导热问题的数值解法 5
2 例题条件
y
h3 t f
二维矩形域内 稳态无内热源， 稳态无内热源， 常物性的导热 问题
t0
h2 t f
h1t f
x
第四章 导热问题的数值解法 6
3 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长 基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、
N
(m,n)
n
∆y
y
二维矩形 域内稳态 无内热源， 无内热源， 常物性的 导热问题
m ,n
m ,n
(i-1,j)的 用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i-1,j)的
温度ti-1,j
t m −1,n = t m ,n
∂t ∂ 2t − ∆x + 2 ∂x m ,n ∂x
m ,n
∆ x 2 ∂ 3t − 3 2! ∂x
m ,n
∆x 3 +L 3!
9
第四章 导热问题的数值解法
若取上面式右边的前三项，并将式①和式③ 若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分： 移项整理即得二阶导数的中心差分：
第四章 导热问题的数值解法
10
第四章 导热问题的数值解法
8
(1) 泰勒级数展开法 根据泰勒级数展开式，用节点( 根据泰勒级数展开式，用节点(i,j)的温度ti,j 来表示节点( 来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j
t m +1,n = t m ,n ∂t ∂ 2t + ∆x + 2 ∂ x m ,n ∂x ∆ x 2 ∂ 3t + 3 2! ∂ x ∆x 3 +L 3!