全等三角形单元测试题(含答案)
最经典《全等三角形》单元测试题卷(含答案)
最经典《全等三角形》单元测试题卷(含答案)全等三角形单元测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列说法错误的是（）A。
全等三角形的对应边相等B。
全等三角形的对应角相等C。
全等三角形的周长相等D。
全等三角形的高相等2.如图，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是（）A。
∠1=∠2B。
AC=CAC。
AB=ADD。
∠B=∠D3.如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（）A。
AB=DEB。
∠B=∠EXXX=BCD。
EF∥BC4.长为3cm、4cm、6cm、8cm的木条各两根，XXX与XXX分别取了3cm和4cm的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为（）A。
一个人取6cm的木条，一个人取8cm的木条B。
两人都取6cm的木条C。
两人都取8cm的木条D。
B、C两种取法都可以5.△ABC中，AB=AC，三条高AD、BE、CF相交于O，那么图中全等的三角形有（）A。
5对B。
6对C。
7对D。
8对6.下列说法中，正确的有（）①三角对应相等的两个三角形全等；②三边对应相等的两个三角形全等；③两角、一边相等的两个三角形全等；④两边、一角对应相等的两个三角形全等。
A。
1个B。
2个C。
3个D。
4个7.如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）A。
B。
4C。
D。
58.如图，ABC中，AD是它的角平分线，AB=4，AC=3，那么△ABD与△ADC的面积比是（）A。
1:1B。
3:4C。
4:3D。
不能确定二、填空题（每小题3分，共24分）11.一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=7.12.如图，∠1=∠2，CD=BD，可证△ABD≌△ACD，则依据是SSS。
13.在四边形ABCD中，已知CB=CD，∠XXX∠ADC=90°，∠BAC=35°，求∠BCD的度数。
全等三角形》单元测试题(含答案)
全等三角形》单元测试题(含答案)全等三角形》单元测试题姓名。
班级：得分：一、填空题(4×10=40分)1、在△ABC中，AC>BC>AB，且△ABC≌△DEF，则在△DEF中，DE>EF>DF。
2、已知：△ABC≌△A′B′C′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=70°，AB=15cm，则∠C′=70°，A′B′=15cm。
3、如图1，△ABD≌△BAC，若AD=BC，则∠BAD的对应角是∠XXX。
4、如图2，在△ABC和△FED，AD=FC，AB=FE，当添加条件BD=CE时，就可得到△ABC≌△FED。
5、如图3，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，E、F分别为DB、DC的中点，则图中共有全等三角形4对。
6、如图4，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是BD=EC。
7、如图5，△ABC中，∠C=90°，CD⊥XXX于点D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF=6cm。
8、如图6，在△ABC中，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠CED=50°。
9、P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于F，并分别交OA、OB于C、D，则CD=PD，P点到∠AOB两边距离之和等于AO或BO。
10、AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则中线AD的取值范围是6≤AD≤8.二、选择题：(每小题5分，共30分)11、下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等。
其中真命题的个数有2个。
12、如图7，已知点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，则有△ABD≌△AFDB、△AFE≌△ADC。
13、下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是∠B=∠B′。
《第12章全等三角形》单元测试含答案解析
《第12章全等三角形》单元测试含答案解析一、选择题如图，5个全等的正六边形，A、B、C、D、E，请认真观看A、B、C、D四个答案，其中与右方图案完全相同的是（）A．B．C．D．2．下列说法不正确的是（）A．两个三角形全等，形状一定相同B．两个三角形全等，面积一定相等C．一个图形通过平移、旋转、翻折后，前后两个图形一定全等D．所有的正方形都全等3．若△ABC≌△DEF，△ABC的周长为15，且AB=6，BC=4，则DF的长为（）A．4 B．5 C．6 D．74．如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于（）A．60° B．90° C．120°D．150°5．如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=60°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（）A．120°B．70° C．60° D．50°6．如图，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB′=65°，∠A′CB=35°，则∠ACA′的度数（）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°7．如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B=∠C ，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD 的是（ ）A ．AD=AEB ．∠AEB=∠ADC C ．BE=CD D ．AB=AC8．长为3cm ，4cm ，6cm ，8cm 的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm 和4cm 的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为（ ）A ．一个人取6cm 的木条，一个人取8cm 的木条B ．两人都取6cm 的木条C ．两人都取8cm 的木条D ．C 两种取法都能够9．下列条件中，不能判定△ABC ≌△A 1B 1C 1的是（ ）A ．AB=A 1B 1，∠A=∠A 1，AC=A 1C 1 B ．AB=A 1B 1，BC=B 1C 1，AC=A 1C 1C ．AB=A 1B 1，∠B=∠B 1，∠C=∠C 1D ．AC=A 1C 1，AB=A 1B 1，∠B=∠B 110．如图，已知∠1=∠2，AC=AD ，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D ；④∠B=∠E ．其中能使△ABC ≌△AED 的条件有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．依照下列已知条件，能画出唯独△ABC 的是（ ）A ．AB=3，BC=4，AC=7B ．AB=4，BC=3，∠C=30°C．∠A=30°，AB=3，∠B=45° D．∠C=90°，AB=412．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=60°，∠C=25°，则∠BMD的度数为（）A．50° B．65° C．70° D．85°13．在△ABC中，O为∠CAB和∠CBA的角平分线的交点，若∠AOB=120°，则∠C的度数为（）A．120°B．60° C．50° D．3014．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边的F处，若∠BAF=60°，则∠DAE等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°15．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（）A．40° B．45° C．50° D．60°16．下列说法中：①角平分线的点到角的两边的距离相等；②一条射线上的点到角的两边的距离相等，则这条射线是角的平分线；③有一直角边和一锐角相等两个直角三角形全等；④有两边和一角对应相等的两个三角形全等；⑤对应角相等的两个三角形是全等的；⑥面积相等两个三角形全等．其中不正确的说法有（）A．2个B．3个C．4个D．5个17．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP 的依照是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS18．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去19．在△ABC中，∠B=90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，若AB=4cm，则AD+DE的值为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm20．如图是5×5的正方形网格中，以D、E为顶点作位置不同的格点的三角形与△ABC全等，如此格点三角形最多能够画出（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题：21．将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，则CF= ；若∠A=80°，∠B=60°，则∠F= ．22．假如两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形，它也能充分告诉我们：三角形具有．23．如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（填序号）．24．如图所示，△BDC′是将长方形纸牌ABCD沿着BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形对．25．已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，如此的三角形一共能作出个．26．如图，AB⊥AC，且AB=AC，BN⊥AN，CM⊥AN，若BN=3，CM=5，则MN= ．27．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于．28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB=10，BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，垂足为E，则△ADE的周长为．29．如下面三个图均有AB=AC，BD=CE，图②在图①的基础上连结了AO，图③在图②的基础上连结了BC，则图①、图②、图③的全等三角形的对数分别为对，对，对．30．△ABC中，AB=10，BC=16，D为AC的中点，则中线BD的取值范畴为．三、作图解答题：31．已知△ABC．（1）请用尺规作图的方法在△ABC内求作一点O，使点O到三边的距离相等．（不写作法，但要保留作图痕迹）（2）若△ABC的周长为60，面积为150，试求点O到三边AB、BC、AC的距离分别是多少？32．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的一直角顶点C恰好在坐标原点上，CA、CB分别落在坐标轴（见图示），AC=4，BC=3，AB=5；第一次以点B为定点翻转，边BA落在x轴上；第二次以点A为定点翻转，边AC落在x轴上；第三次以点C为定点翻转，边CB落在x轴上；…如此循环．（1）请在第2020次翻转处画出△ABC的形状示意图．（2）翻转后的图形和原三角形是否是全等三角形？什么缘故？（3）试求第10次翻转后△ABC三个顶点的坐标．（△ABC的三边长按照1：1的单位长度）四、解答题33．如图，已知AB∥CD，AE∥CF，BF=DE求证：AB=CD．34．如图，已知AB=AD，AC=AE，∠1=∠2求证：∠B=∠D．35．如图所示，在△ABC中，AB=AC，M为BC的中点，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E．求证：MD=ME．36．如图所示，E为AB延长线上的一点，AC⊥BC，AD⊥BD，AC=AD求证：∠CEA=∠DEA．37．如图，∠ABC=90°，AB=BC，D为AC上一点，分别过C、A作BD的垂线，垂足分别为E、F．求证：EF=CE﹣AF．五、解答题：38．如图：将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A= 度．39．如图，OP平分∠AOB，∠AOB=40°，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PC∥OB，交边OA于点C，E为边OB上的一点，且满足PC=PE．求∠EPN的度数？40．如图，BD平分∠ADC，∠A=∠B=90°，OA=OB．求证：CA平分∠DCB．41．在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD的中点．求证：S△AEB =SABCD．42．如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠D，AF=CE，AB∥CD．求证：AB=CD．43．如图，已知AB⊥AD，AC⊥AE，AB=AD，AC=AE，BC分别交AD、DE于点G、F，AC与DE交于点H．求证：（1）△ABC≌△ADE；（2）BC⊥DE．六、探究、开放题：44．如图，已知AF∥BE，且AF=BE，AC=BD．请指出图中有哪些全等三角形，并任选一对给予证明．45．已知命题：如图，点B、C、E、F在同一直线上，若AB=AF，∠1=∠2，则△ABE≌△AFC．请判定那个命题是真命题依旧假命题，假如是真命题，请给予证明；假如是假命题，请添加一个条件使它成为真命题，并加以证明．46．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD交BD的延长线于点E，则线段BD和CE具有什么数量关系，并证明你的结论．47．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l通过点A，且BD⊥l于的D，CE⊥l于的E．（1）求证：BD+CE=DE；（2）当变换到如图②所示的位置时，试探究BD、CE、DE的数量关系，请说明理由．《第12章全等三角形》参考答案与试题解析一、选择题如图，5个全等的正六边形，A、B、C、D、E，请认真观看A、B、C、D四个答案，其中与右方图案完全相同的是（）A．B．C．D．【考点】全等图形．【分析】将选项中的图形绕正六边形的中心旋转，与题干的图形完全相同的即为所求．【解答】解：观看图形可知，只有选项C中的图形旋转后与图中的正六边形完全相同．故选：C．【点评】此题考查了全等图形以及生活中的旋转现象，旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．2．下列说法不正确的是（）A．两个三角形全等，形状一定相同B．两个三角形全等，面积一定相等C．一个图形通过平移、旋转、翻折后，前后两个图形一定全等D．所有的正方形都全等【考点】全等图形．【分析】依照全等三角形的性质和全等图形的定义对各选项分析判定利用排除法求解．【解答】解：A、两个三角形全等，形状一定相同，正确，故本选项错误；B、两个三角形全等，面积一定相等，正确，故本选项错误；C、一个图形通过平移、旋转、翻折后，前后两个图形一定全等，正确，故本选项错误；D、只有边长相等的正方形才全等，因此所有的正方形都全等错误，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查了全等图形的定义，熟记全等三角形的性质以及全等图形的概念是解题的关键．3．若△ABC≌△DEF，△ABC的周长为15，且AB=6，BC=4，则DF的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】全等三角形的性质．【分析】先求出AC，依照全等三角形的性质得出DF=AC，即可得出选项．【解答】解：∵△ABC的周长为15，AB=6，BC=4，∴AC=15﹣6﹣4=5，∵△ABC≌△DEF，∴DF=AC=5，故选B．【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，解此题的关键是能依照全等三角形的性质得出AC=DF，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．4．如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于（）A．60° B．90° C．120°D．150°【考点】全等图形．【分析】标注字母，然后利用“边角边”求出△ABC和△DEA全等，依照全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，再依照直角三角形两锐角互余求解．【解答】解：如图，在△ABC和△DEA中，，∴△ABC≌△DEA（SAS），∴∠2=∠3，在Rt△ABC中，∠1+∠3=90°，∴∠1+∠2=90°．故选B．【点评】本题考查了全等图形，要紧利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键．5．如图，△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=60°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（）A．120°B．70° C．60° D．50°【考点】全等三角形的性质．【分析】依照三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAE，再依照全等三角形对应角相等可得∠DAC=∠BAE．【解答】解：∵∠B=60°，∠AEC=120°，∴∠BAE=∠AEC﹣∠B=120°﹣60°=60°，∵△ABE≌△ACD，∴∠DAC=∠BAE=60°．故选C．【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．6．如图，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB′=65°，∠A′CB=35°，则∠ACA′的度数（）A．20° B．30° C．35° D．40°【考点】全等三角形的性质．【分析】依照全等三角形的性质得出∠A′CB′=∠ACB，求出∠B′CB=∠ACA′，代入=∠BCB′=∠A′CB′﹣∠A′CB求出即可．【解答】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠A′CB′=∠ACB，∴∠A′CB′﹣∠A′CB=∠ACB﹣∠A′CB，∴∠B′CB=∠ACA′，∵∠A′CB′=65°，∠A′CB=35°，∴∠ACA′=∠BCB′=∠A′CB′﹣∠A′CB=65°﹣35°=30°，故选B．【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，解此题的关键是求出∠B′CB=∠ACA′，注意：全等三角形的对应角相等，难度适中．7．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD 的是（）A．AD=AE B．∠AEB=∠ADC C．BE=CD D．AB=AC【考点】全等三角形的判定．【专题】推理填空题．【分析】依照AAS即可判定A；依照三角对应相等的两三角形不一定全等即可判定B；依照AAS即可判定C；依照ASA即可判定D．【解答】解：A 、依照AAS （∠A=∠A ，∠C=∠B ，AD=AE ）能推出△ABE ≌△ACD ，正确，故本选项错误；B 、三角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确；C 、依照AAS （∠A=∠A ，∠B=∠C ，BE=CD ）能推出△ABE ≌△ACD ，正确，故本选项错误；D 、依照ASA （∠A=∠A ，AB=AC ，∠B=∠C ）能推出△ABE ≌△ACD ，正确，故本选项错误； 故选：B ．【点评】本题考查了对全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定方法只有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，共4种，要紧培养学生的辨析能力．8．长为3cm ，4cm ，6cm ，8cm 的木条各两根，小明与小刚分别取了3cm 和4cm 的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为（ ）A ．一个人取6cm 的木条，一个人取8cm 的木条B ．两人都取6cm 的木条C ．两人都取8cm 的木条D ．C 两种取法都能够【考点】全等三角形的应用；三角形三边关系．【分析】若两个三角形全等，那么它们的三边对应相等，因此第三边应该取同样长度的木条，且要符合三角形三边关系定理，可运用排除法进行求解．【解答】解：若两人所拿的三角形全等，那么两人所拿的第三根木条长度相同，故排除A ； 若取8cm 的木条，那么3+4＜8，不能构成三角形，因此只能取6cm 的木条，故排除C 、D ； 故选B ．【点评】此题要紧考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系的运用，难度不大．9．下列条件中，不能判定△ABC ≌△A 1B 1C 1的是（ ）A ．AB=A 1B 1，∠A=∠A 1，AC=A 1C 1 B ．AB=A 1B 1，BC=B 1C 1，AC=A 1C 1C ．AB=A 1B 1，∠B=∠B 1，∠C=∠C 1D ．AC=A 1C 1，AB=A 1B 1，∠B=∠B 1【考点】全等三角形的判定．【分析】全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，依照全等三角形的判定定理逐个判定即可．【解答】解：A 、符合全等三角形的判定定理：SAS 定理，即能判定△ABC ≌△A 1B 1C 1，故本选项错误；B 、符合全等三角形的判定定理：SSS 定理，即能判定△ABC ≌△A 1B 1C 1，故本选项错误；C 、符合全等三角形的判定定理：AAS 定理，即能判定△ABC ≌△A 1B 1C 1，故本选项错误；D 、不符合全等三角形的判定定理，即不能判定△ABC ≌△A 1B 1C 1，故本选项正确；故选D ．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，要紧考查学生对定理的明白得能力和辨析能力，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，难度适中．10．如图，已知∠1=∠2，AC=AD ，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D ；④∠B=∠E ．其中能使△ABC ≌△AED 的条件有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【考点】全等三角形的判定．【分析】∠1=∠2，∠BAC=∠EAD ，AC=AD ，依照三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边．【解答】解：已知∠1=∠2，AC=AD ，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD ，加①AB=AE，就能够用SAS 判定△ABC ≌△AED ；加③∠C=∠D ，就能够用ASA 判定△ABC ≌△AED ；加④∠B=∠E ，就能够用AAS 判定△ABC ≌△AED ；加②BC=ED 只是具备SSA ，不能判定三角形全等．其中能使△ABC ≌△AED 的条件有：①③④故选：B ．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一样方法有：SSS 、SAS 、SSA 、HL ．做题时要依照已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．11．依照下列已知条件，能画出唯独△ABC 的是（ ）A ．AB=3，BC=4，AC=7B ．AB=4，BC=3，∠C=30°C ．∠A=30°，AB=3，∠B=45°D ．∠C=90°，AB=4【考点】全等三角形的判定．【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判定得出即可．【解答】解：A、3+4=7，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项错误；B、依照AB=4，BC=3，∠A=30°不能画出唯独三角形，故本选项错误；C、∠A=30°，AB=3，∠B=45°，能画出唯独△ABC，故此选项正确；D、∠C=90°，AB=4，不能画出唯独三角形，故本选项错误；故选：C．【点评】此题要紧考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．12．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=60°，∠C=25°，则∠BMD的度数为（）A．50° B．65° C．70° D．85°【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】第一依照三角形外角的性质可得∠BDC=25°+60°=85°，然后再证明△AEB≌△ADC，依照全等三角形的性质可得∠B=∠C=25°，再利用三角形内角和定理运算出∠BMD的度数．【解答】证明：∵∠BAC=60°，∠C=25°，∴∠BDC=25°+60°=85°，在△AEB和△ADC中，，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴∠B=∠C=25°，∴∠DNB=180°﹣25°﹣85°=70°，故选：C．【点评】此题要紧考查了全等三角形的判定和性质，以及三角形外角的性质，关键是正确证明△AEB ≌△ADC．13．在△ABC中，O为∠CAB和∠CBA的角平分线的交点，若∠AOB=120°，则∠C的度数为（）A．120°B．60° C．50° D．30【考点】三角形内角和定理．【分析】依照三角形的内角和求得∠OAB+∠OBA，利用角平分线的定义求得∠CAB+∠CBA，利用三角形的内角和定理列式运算求得答案即可．【解答】解：∵∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点，∴∠OAB+∠OBA=（∠ABC+∠BAC）=180°﹣120°=60°，∴∠ABC+∠BAC=120°，∴∠C=180°﹣（∠ABC+∠BAC）=60°．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．14．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边的F处，若∠BAF=60°，则∠DAE等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°【考点】矩形的性质．【专题】运算题．【分析】本题要紧考查矩形的性质以及折叠，求解即可．【解答】解：因为∠EAF是△DAE沿AE折叠而得，因此∠EAF=∠DAE．又因为在矩形中∠DAB=90°，即∠EAF+∠DAE+∠BAF=90°，又∠BAF=60°，因此∠AED==15°．故选A．【点评】图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，因此折叠前后的两个图形是全等三角形，复合的部分确实是对应量．15．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（）A．40° B．45° C．50° D．60°【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；等腰直角三角形．【分析】先利用AAS判定△BDF≌△ADC，从而得出BD=DA，即△ABD为等腰直角三角形．因此得出∠ABC=45°．【解答】解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，∴∠BEA=∠ADC=90°．∵∠FBD+∠BFD=90°，∠AFE+∠FAE=90°，∠BFD=∠AFE，∴∠FBD=∠FAE，在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（AAS），∴BD=AD，∴∠ABC=∠BAD=45°，故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一样方法有：SSS、SAS、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．16．下列说法中：①角平分线的点到角的两边的距离相等；②一条射线上的点到角的两边的距离相等，则这条射线是角的平分线；③有一直角边和一锐角相等两个直角三角形全等；④有两边和一角对应相等的两个三角形全等；⑤对应角相等的两个三角形是全等的；⑥面积相等两个三角形全等．其中不正确的说法有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】全等三角形的判定；角平分线的性质．【分析】依照角的平分线性质和判定即可判定①②；全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，依照判定定理判定③④⑤⑥即可．【解答】解：∵角平分线的点到角的两边的距离相等，∴①正确；∵在角的内部到角的两边的距离相等，则这条射线是角的平分线，∴②错误；如图：在Rt△ACB和Rt△DEF中，∠C=∠E=90°，∠A=∠D，AC=EF，则△ACB和△DEF就不全等，∴③错误；∵当符合SAS时两三角形全等，当符合SSA时，两三角形不全等，∴④错误；如图：DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，符合两三角形的对应角相等，然而两三角形不全等，∴⑤错误；∵当一个三角形的底为2，高为1，而另一个三角形的底为1，高为2，两三角形的面积相等，但这两个三角形不全等，∴⑥错误；即不正确的有5个，故选D．【点评】本题考查了角的平分线性质，全等三角形的判定定理的应用，能明白得定理和正确运用定理进行判定是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等，全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，HL，难度适中，然而比较容易出错．17．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP 的依照是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【考点】作图—差不多作图；全等三角形的判定．【分析】认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，因此两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．【解答】解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；在△OCP和△ODP中，，∴△OCP≌△ODP（SSS）．故选D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一样方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角18．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去【考点】全等三角形的应用．【专题】应用题．【分析】此题能够采纳全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案．【解答】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原先一样的三角形，故A选项错误；B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原先一样的三角形，故B选项错误；C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA判定，故C选项正确；D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原先一样的三角形，故D选项错误．故选：C．【点评】要紧考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练把握．19．在△ABC中，∠B=90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，若AB=4cm，则AD+DE的值为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【考点】角平分线的性质．【分析】先依照角平分线的性质得出BD=DE，进而可得出结论．【解答】解：∵在△ABC中，∠B=90°，CD平分∠ACB，DE⊥AC于点E，∴DE=BD．∵AB=4cm，∴AD+DE=AD+BD=AB=4cm．故选B．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．20．如图是5×5的正方形网格中，以D、E为顶点作位置不同的格点的三角形与△ABC全等，如此格点三角形最多能够画出（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】全等三角形的判定．【专题】网格型．【分析】依照三边对应相等的两个三角形全等画图即可．【解答】解：如图所示：，最多能够画出4个．故选：C．【点评】此题要紧考查了全等三角形的判定，关键是把握三条边分别对应相等的两个三角形全等．二、填空题：21．将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，则CF= 3cm ；若∠A=80°，∠B=60°，则∠F= 40°．【考点】平移的性质．【分析】依照平移的性质，结合图形可直截了当求解．【解答】解：观看图形可知，对应点连接的线段是AD、BE和CF．∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，∴BE=CF=3cm，∴∠F=∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=40°，故答案为：3cm，40°．【点评】本题考查平移的差不多性质：①平移不改变图形的形状和大小；②通过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．22．假如两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等，它也能充分告诉我们：三角形具有稳固性．【考点】全等三角形的判定．【分析】依照判定方法判定解答，三角形全等说明三边一定时可不能有其它形状显现，也就有稳固性．【解答】解：运用三角形全等的判定方法SSS可知，假如两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形全等，由此反映了三角形具有稳固性．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一样方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．23．如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有①②③（填序号）．【考点】全等三角形的判定．【专题】压轴题．【分析】由已知条件，可直截了当得到三角形全等，得到结论，采纳排除法，对各个选项进行验证从而确定正确的结论．【解答】解：∵∠B+∠BAE=90°，∠C+∠CAF=90°，∠B=∠C∴∠1=∠2（①正确）∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF∴△ABE≌△ACF（ASA）∴AB=AC，BE=CF（②正确）∵∠CAN=∠BAM，∠B=∠C，AB=AC∴△ACN≌△ABM（③正确）∴CN=BM（④不正确）．因此正确结论有①②③．故填①②③．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一样方法有：SSS、SAS、AAS、ASA．得到三角形全等是正确解决本题的关键．24．如图所示，△BDC′是将长方形纸牌ABCD沿着BD折叠得到的，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形 4 对．【考点】翻折变换（折叠问题）；直角三角形全等的判定．【分析】共有四对，分别是△ABD≌△CDB，△ABD≌△C′DB，△DCB≌△C′DB，△AOB≌△C′OD．【解答】∵四边形ABCD是长方形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AD=BC，∴△ABD≌△CDB．（HL）∵△BDC是将长方形纸牌ABCD沿着BD折叠得到的，∴BC′=A D，BD=BD，∠C′=∠A．∴△ABD≌△C′DB．（HL）同理△DCB≌△C′DB．∵∠A=∠C′，∠AOB=∠C′OD，AB=C′D，∴△AOB≌△C′OD．（AAS）因此共有四对全等三角形．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一样方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．25．已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，如此的三角形一共能作出7 个．【考点】全等三角形的判定．【专题】压轴题．【分析】只要满足三边对应相等就能保证作出的三角形与原三角形全等，以腰为公共边时有6个，以底为公共边时有一个，答案可得．【解答】解：以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一个，因此一共能作出7个．故答案为：7．【点评】本题考查了全等三角形的作法；做三角形时要依照全等的判定方法的要求，正确对每种情形进行讨论是解决本题的关键．26．如图，AB⊥AC，且AB=AC，BN⊥AN，CM⊥AN，若BN=3，CM=5，则MN= 2 ．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】如图，证明∠B=∠MAC；证明△ABN≌△CAM，得到AM=BN=3，AN=CM=5，即可解决问题．【解答】解：∵BN⊥AN，AB⊥AC，∴∠B+∠BAN=∠BAN+∠CAM，∴∠B=∠MAC；在△ABN与△CAM中，，∴△ABN≌△CAM（AAS），∴AM=BN=3，AN=CM=5，∴MN=5﹣3=2．故答案为2．【点评】该题要紧考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是牢固把握全等三角形的判定及其性质，并能灵活来解题．27．如图，AB∥CD，O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于 4 ．【考点】角平分线的性质；平行线之间的距离．【分析】过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，然后依照角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OE=OF=OG，再依照两直线平行，同旁内角互补求出∠BAC+∠ACD=180°，然后求出∠EOF+∠EOG=180°，从而判定出E、O、G三点共线，然后求解即可．【解答】解：过点O作OF⊥AB于F，作OG⊥CD于G，∵O为∠BAC、∠DCA的平分线的交点，OE⊥AC，∴OE=OF，OE=OG，∴OE=OF=OG=2，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴∠EOF+∠EOG=（180°﹣∠BAC）+（180°﹣∠ACD）=180°，∴E、O、G三点共线，∴AB与CD之间的距离=OF+OG=2+2=4．故答案为：4．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于作出辅助线并证明E、O、G三点共线．28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB=10，BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，垂足为E，则△ADE的周长为8 ．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】先依照角平分线的性质得出CD=DE，故可得出AD+CD=AD+DE=AC，再依照全等三角形的判定定理得出△BCD≌△BED，故BE=BC，由此可得出AE的长，由△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AC即可得出结论．【解答】解：∵BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，AC=6，∴DE=CD，∴AD+CD=AD+DE=AC=6，在Rt△BCD与RtBED中，，∴△BCD≌△BED（HL），∴BE=BC=8，∴AE=10﹣8=2，。
全等三角形》单元测试题(解析版)
《第12章全等三角形》单元测试题
一．选择题（共10小题）
1.下列说法正确的是（）
A.两个面积相等的图形一定是全等形B.两个长方形是全等图形
C.两个全等图形形状一定相同D.两个正方形一定是全等图形
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等图形的概念即可得出答案.
【详解】A、面积相等，但图形不一定完全重合，故错误，B、两个长方形，图形不一定完全重合，故错误；C、全等图形因为完全重合，所以形状一定相同，故正确，D、两个正方形，面积不相等，也不 全等图形，故答案选C.
【详解】因为△ABC≌△CDA，则∠ACD=∠BAC，所以AB∥CD,
故答案为AB∥CD.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质的应用.解题的关键是根据三角形全等推出平行四边形,要熟练掌握并会灵活运用.
13.如图，在 中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，点D在平面直角坐标系中且不与C点重合，若 与 全等，则点D的坐标是_________．
【点睛】本题主要考查了全等图形的概念，解本题的要点在于要知道全等图形是完全重合的图形，由此得到答案.
2.已知图中的两个三角形全等，则 的度数是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形对应角相等可知∠1是a、c边的夹角，然后对比第一个图写出∠1的值即可；
【详解】∵两个三角形全等，∠1是a、c边的夹角，
【详解】∵△ABO≌△ADO，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OB＝OD，
∴AC⊥BD，故①正确；
∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴∠COB＝∠COD＝90°，
在△ABC和△ADC中，
人教版八年级数学上：第12章《全等三角形》单元测试(含答案)(含答案)
第12章全等三角形一、选择题1．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm2．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（）A．（﹣，1） B．（﹣1，） C．（，1）D．（﹣，﹣1）3．在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A 地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（）A．B．C．D．4．如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB=BC=5．若A点的坐标为（﹣3，1），B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何？（）A．2 B．3 C．4 D．55．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为（）A．110°B．125°C．130°D．155°6．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF7．如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（）A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣D．y=﹣8．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（）A．B．C．D．﹣29．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A． a2B． a2C． a2D． a2二、解答题（共21小题）10．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°．（1）若∠ECF=30°，CF=8，求CE的长；（2）求证：△ABF≌△DEC；（3）求证：四边形BCEF是矩形．11．已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC，以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接AE、BF（1）如图1，若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？请直接写出结论（不需要证明）；（3）若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB 有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）12．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．14．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．15．已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB∥CD．求证：AB=CD．16．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB 边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．17．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．18．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．19．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．20．已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点P在BC边上（P不与B、C重合）或点P在△ABC 内部，连接CP、BP，将CP绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE；将BP绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD，连接ED交AB于点O．（1）如图a，当点P在BC边上时，求证：OA=OB；（2）如图b，当点P在△ABC内部时，①OA=OB是否成立？请说明理由；②直接写出∠BPC为多少度时，AB=DE．21．（1）如图1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且点B，C，E在一条直线上．求证：∠A=∠D．（2）如图2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的长．22．（1）如图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证：BC=BD；（2）列方程解应用题把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？23．已知：如图，D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．24．【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据______，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若______，则△ABC≌△DEF．25．问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是______；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．26．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．（1）证明：△CBF≌△CDF；（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．27．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF．求证：AE=CF．28．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．29．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：（1）AF=CG；（2）CF=2DE．30．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．第12章全等三角形参考答案一、选择题（共9小题）1．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm【解答】解：∵F是高AD和BE的交点，∴∠ADC=∠ADB=∠AEF=90°，∴∠CAD+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠CAD=∠FBD，∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABD，∴AD=BD，在△DBF和△DAC中∴△DBF≌△DAC（ASA），∴BF=AC=8cm，故选C．2．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（）A．（﹣，1） B．（﹣1，） C．（，1）D．（﹣，﹣1）【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE，在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS），∴OE=AD=，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣，1）．故选：A．3．（2014•湖州）在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（）A．B．C．D．【解答】解：A、延长AC、BE交于S，∵∠CAB=∠EDB=45°，∴AS∥ED，则SC∥DE．同理SE∥CD，∴四边形SCDE是平行四边形，∴SE=CD，DE=CS，即走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；B、延长AF、BH交于S1，作FK∥GH与BH的延长线交于点K，∵∠SAB=∠S1AB=45°，∠SBA=∠S1BA=70°，AB=AB，∴△SAB≌△S1AB，∴AS=AS1，BS=BS1，∵∠FGH=180°﹣70°﹣43°=67°=∠GHB，∴FG∥KH，∵FK∥GH，∴四边形FGHK是平行四边形，∴FK=GH，FG=KH，∴AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，∵FS1+S1K＞FK，∴AS+BS＞AF+FK+KH+HB，即AC+CD+DE+EB＞AF+FG+GH+HB，C、D、同理可证得AI+IK+KM+MB＜AS2+BS2＜AN+NQ+QP+PB．综上所述，D选项的所走的线路最长．故选：D．4．如图，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB=BC=5．若A点的坐标为（﹣3，1），B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何？（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P．∴∠DPF=∠AKC=∠CHA=90°．∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA．在△AKC和△CHA中，∴△AKC≌△CHA（ASA），∴KC=HA．∵B、C两点在方程式y=﹣3的图形上，且A点的坐标为（﹣3，1），∴AH=4．∴KC=4．∵△ABC≌△DEF，∴∠BAC=∠EDF，AC=DF．在△AKC和△DPF中，，∴△AKC≌△DPF（AAS），∴KC=PF=4．故选：C．5．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图．若AC=BC，AD=BE，CD=CE，∠ACE=55°，∠BCD=155°，则∠BPD的度数为（）A．110°B．125°C．130°D．155°【解答】解：在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A=∠B，∠BCE=∠ACD，∴∠BCA=∠ECD，∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，∴∠BCA+∠ECD=100°，∴∠BCA=∠ECD=50°，∵∠ACE=55°，∴∠ACD=105°∴∠A+∠D=75°，∴∠B+∠D=75°，∵∠BCD=155°，∴∠BPD=360°﹣75°﹣155°=130°，故选：C．6．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（）A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF【解答】解：在△ABC和△DEB中，，∴△ABC≌△DEB （SSS），∴∠ACB=∠DBE．∵∠AFB是△BFC的外角，∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，∠ACB=∠AFB，故选：C．7．如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（）A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣D．y=﹣【解答】解：作FG⊥BC于G，∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠BDE=90°；∴∠BDE=∠FEG，在△DBE与△EGF中∴△DBE≌△EGF，∴EG=DB，FG=BE=x，∴EG=DB=2BE=2x，∴GC=y﹣3x，∵FG⊥BC，AB⊥BC，∴FG∥AB，CG：BC=FG：AB，即=，∴y=﹣．故选：A．8．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（）A．B．C．D．﹣2【解答】解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，∴AM=AN=2，BM=DN=4，连接MN，连接AC，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°在Rt△ABC与Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）∴∠BAC=∠DAC=∠BAD=30°，MC=NC，∴BC=AC，∴AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2，∴BC=2，在Rt△BMC中，CM===2．∵AN=AM，∠MAN=60°，∴△MAN是等边三角形，∴MN=AM=AN=2，过M点作ME⊥CN于E，设NE=x，则CE=2﹣x，∴MN2﹣NE2=MC2﹣EC2，即4﹣x2=（2）2﹣（2﹣x）2，解得：x=，∴EC=2﹣=，∴ME==，∴tan∠MCN==故选：A．9．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A． a2B． a2C． a2D． a2【解答】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD=90°，又∵∠EPM=∠EQN=90°，∴∠PEQ=90°，∴∠PEM+∠MEQ=90°，∵三角形FEG 是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，∴∠PEM=∠NEQ ，∵AC 是∠BCD 的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°， ∴EP=EQ ，四边形PCQE 是正方形，在△EPM 和△EQN 中，，∴△EPM ≌△EQN （ASA ）∴S △EQN =S △EPM ，∴四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积， ∵正方形ABCD 的边长为a ，∴AC=a ，∵EC=2AE ，∴EC=a ，∴EP=PC=a ，∴正方形PCQE 的面积=a ×a=a 2， ∴四边形EMCN 的面积=a 2，故选：D．二、解答题（共21小题）10．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=CD，∠CEF=90°．（1）若∠ECF=30°，CF=8，求CE的长；（2）求证：△ABF≌△DEC；（3）求证：四边形BCEF是矩形．【解答】（1）解：∵∠CEF=90°．∴cos∠ECF=．∵∠E CF=30°，CF=8．∴CF=CF•cos30°=8×=4；（2）证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵在△ABF和△DEC中∴△ABF≌△DEC （SAS）；（3）证明：由（2）可知：△ABF≌△DEC，∴BF=CE，∠AFB=∠DCE，∵∠AFB+∠BFC=180°，∠DCE+∠ECF=180°，∴∠BFC=∠ECF，∴BF∥EC，∴四边形BCEF是平行四边形，∵∠CEF=90°，∴四边形BCEF是矩形．11．已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC，以DC为边在DC两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC左侧或下侧），连接AE、BF（1）如图1，若点D在AB边上，请你通过观察，测量，猜想线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，若点D在AB的延长线上，其他条件不变，线段AE、BF和AB有怎样的数量关系？请直接写出结论（不需要证明）；（3）若点D在AB的反向延长线上，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE、BF和AB 有怎样的数量关系，并直接写出结论（不需要证明）【解答】解：（1）AE+BF=AB，如图1，∵△ABC和△DCF是等边三角形，∴CA=CB，CD=CF，∠ACB=∠DCF=60°．∴∠ACD=∠BCF，在△ACD和△BCF中∴△ACD≌△BCF（SAS）∴AD=BF同理：△CBD≌△CAE（SAS）∴BD=AE∴AE+BF=BD+AD=AB；（2）BF﹣AE=AB，如图2，易证△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，∴AD=BF，BD=AE，∴BF﹣AE=AD﹣BD=AB；（3）AE﹣BF=AB，如图3，易证△CBF≌△CAD和△CBD≌△CAE，∴AD=BF，BD=AE，∴BF﹣AE=AD﹣BD=AB．12．（2013•舟山）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？【解答】（1）证明：∵在△ABE和△DCE中∴△ABE≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△DCE，∴BE=EC，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，∴∠EBC=25°．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．14．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD与△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE．15．已知：如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，AB∥CD．求证：AB=CD．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠B=∠C，∠A=∠D，∵在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（AAS），∴AB=CD．16．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB 边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG的度数．【解答】（1）证明：∵在△CBF和△DBG中，，∴△CBF≌△DBG（SAS），∴CF=DG；（2）解：∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG，又∵∠CFB=∠DFH，又∵△BCF中，∠CBF=180°﹣∠BCF﹣∠CFB，△DHF中，∠DHF=180°﹣∠BDG﹣∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°，∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．17．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，求证：AC=DF．【解答】证明：∵FB=CE，∴FB+FC=CE+FC，∴BC=EF，∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AC=DF．18．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD=CE．【解答】证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴AD=AE，AB=AC，又∵∠EAC=90°+∠CAD，∠DAB=90°+∠CAD，∴∠DAB=∠EAC，∵在△ADB和△AEC中∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE．19．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB∥DE，∠A=∠D．求证：AB=DE．【解答】证明：∵BE=CF，∴BC=EF．∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AB=DE．20．已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点P在BC边上（P不与B、C重合）或点P在△ABC 内部，连接CP、BP，将CP绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE；将BP绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD，连接ED交AB于点O．（1）如图a，当点P在BC边上时，求证：OA=OB；（2）如图b，当点P在△ABC内部时，①OA=OB是否成立？请说明理由；②直接写出∠BPC为多少度时，AB=DE．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∴CA=CB，∠A=∠ABC=45°，由旋转可知：CP=CE，BP=BD，∴CA﹣CE=CB﹣CP，即AE=BP，∴AE=BD．又∵∠CBD=90°，∴∠OBD=45°，在△AEO和△BDO中，，∴△AEO≌△BDO（AAS），∴OA=OB；（2）成立，理由如下：连接AE，则△AEC≌△BCP，∴AE=BP，∠CAE=∠BPC，∵BP=BD，∴BD=AE，∵∠OAE=45°+∠CAE，∠OBD=90°﹣∠OBP=90°﹣（45°﹣∠BPC）=45°+∠PBC，∴∠OAE=∠OBD，在△AEO和△BDO中，，∴△AEO≌△BDO（AAS），∴OA=OB，②当∠BPC=135°时，AB=DE．理由如下：解法一：当AB=DE时，由①知OA=OB，∴OA=OB=OE=OD．设∠PCB=α，由旋转可知，∠ACE=α．连接OC，则OC=OA=OB，∴OC=OE，∴∠DEC=∠OCE=45°+α．设∠PBC=β，则∠ABP=45°﹣β，∠OBD=90°﹣∠ABP=45°+β．∵OB=OD，∴∠D=∠OBD=45°+β．在四边形BCED中，∠DEC+∠D+∠DBC+∠BCE=360°，即：（45°+α）+（45°+β）+（90°+β）+（90°+α）=360°，解得：α+β=45°，∴∠BPC=180°﹣（α+β）=135°．解法二（本溪赵老师提供，更为简洁）：当AB=DE时，四边形AEBD为矩形则∠DBE=90°=∠DBP，∴点P落在线段BE上．∵△ECP为等腰直角三角形，∴∠EPC=45°，∴∠BPC=180°﹣∠EPC=135°．21．（1）如图1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且点B，C，E在一条直线上．求证：∠A=∠D．（2）如图2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的长．【解答】（1）证明：∵AB∥DC，∴∠B=∠DCE，在△ABC和△DCE中，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴∠A=∠D；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AO=AB=4，∴AC=2AO=8．22．（1）如图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证：BC=BD；（2）列方程解应用题把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？【解答】（1）证明：∵AB平分∠CAD，∴∠CAB=∠DAB，在△ABC和△ABD中∴△ABC≌△ABD（SAS），∴BC=BD．（2）解：设这个班有x名学生，根据题意得：3x+20=4x﹣25，解得：x=45，答：这个班有45名学生．23．已知：如图，D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠CAB=∠ADE，∵在△ABC和△DAE中，，∴△ABC≌△DAE（ASA），∴BC=AE．24．【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据HL ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若∠B≥∠A ，则△ABC≌△DEF．【解答】（1）解：HL；（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，即∠CBG=∠FEH，在△CBG和△FEH中，，∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG=FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）；（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．故答案为：（1）HL；（4）∠B≥∠A．25．（2014•德州）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF ；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【解答】解：问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立．证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．26．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．（1）证明：△CBF≌△CDF；（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．【解答】（1）证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BCA=∠DCA，在△CBF和△CDF中，，∴△CBF≌△CDF（SAS），（2）解：∵△ABC≌△ADC，∴△ABC和△ADC是轴对称图形，∴OB=OD，BD⊥AC，∵OA=OC，∴四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，∵AC=2，BD=2，∴OA=，OB=1，∴AB===2，∴四边形ABCD的周长=4AB=4×2=8．（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，∵△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，∴∠EFD=∠BAD．27．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一直线上，且BE=DF．求证：AE=CF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴180°﹣∠ABD=180°﹣∠CDB，即∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF．28．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG，AD=AB，在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∴∠EAG=90°，在△FAE和△GAF中，，∴△FAE≌△GAF（SAS），∴EF=FG；（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．在△ABM和△ACE中，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°．于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．在△MAN和△EAN中，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN=EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．∴MN2=BM2+NC2．∵BM=1，CN=3，∴MN2=12+32，∴MN=29．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：（1）AF=CG；（2）CF=2DE．【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，CG平分∠ACB，∴∠ACG=∠BCG=45°，又∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAF=∠CBF=45°，∴∠CAF=∠BCG，在△AFC与△CGB中，，∴△AFC≌△CBG（ASA），∴AF=CG；（2）延长CG交AB于H，∵CG平分∠ACB，AC=BC，∴CH⊥AB，CH平分AB，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，∴∠D=∠EGC，在△ADE与△CGE中，，∴△ADE≌△CGE（AAS），∴DE=GE，即DG=2DE，∵AD∥CG，CH平分AB，∴DG=BG，∵△AFC≌△CBG，∴CF=BG，∴CF=2DE．30．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．【解答】（1）证明：如图①，∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，∴∠DAC=90°，在△ABE与△ACD中∴△ABE≌△ACD（SAS），∴CD=BE，∵在Rt△ABE中，F为BE的中点，∴BE=2AF，∴CD=2AF．（2）成立，证明：如图②，延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，∵∠BAC+∠EAD=180°，∴∠EAB+∠DAC=180°，∵∠EAB+∠BAH=180°，∴∠DAC=∠BAH，在△ABH与△ACD中，∴△ABH≌△ACD（SAS）∴BH=DC，∵AD=AE，AH=AD，∴AE=AH，∵EF=FB，∴BH=2AF，∴CD=2AF．。
全等三角形单元测试题(含答案)
全等三角形单元测试题一、填空题（每小题4分,共32分）.1．已知：///≌，/ABC A B C∆∆∠=∠，70B B∠=∠，/A A=，则AB cmC∠=︒，15 /∠=_________，//CA B=__________．∆中，AB=AC，AD⊥BC于D点，E、F分别为DB、DC的中点，则图中共有全等三角2．如图1，在ABC形_______对．图1 图2 图33．已知△AB C≌△A′B′C′，若△ABC的面积为10 cm2，则△A′B′C′的面积为______ cm2，若△A′B′C′的周长为16 cm，则△AB C的周长为________cm．4．如图2所示，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACD，需添加的一个条件是________________(只添一个条件即可)．5．如图3所示，点F、C在线段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还需补充一个条件________，依据是________________．6．三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线_____一点，且该点在三角形______部．7．如图4，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO平行于β，入射到α上，经两次反射后的出射光线CB平行于α，则角θ等于________．图4 图5 图68．如图5，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE ＝4，BD ＝8，△ABD 的面积为16，则ACE △ 的面积为______．二、选择题（每小题4分,共24分）9．如图6，AE ＝AF ，AB ＝AC ，EC 与B F 交于点O ，∠A ＝600，∠B ＝250，则∠EOB 的度数为（ ）A 、600B 、700C 、750D 、85010．△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为100 cm ，A 、B 分别与D 、E 对应，且AB ＝35 cm ，DF =30 cm ，则EF 的长为( )A ．35 cmB ．30 cmC ．45 cmD ．55 cm11．图7是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在________两点上的木条．( )A ．A 、FB ．C 、E C ．C 、AD ．E 、F12．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD =•BC ，再定出BF的垂线DE ，使A 、C 、E 在一条直线上，可以证明△EDC ≌△ABC ，•得到ED =AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长（如图8），判定△EDC ≌△ABC 的理由是（ ）A ．边角边公理B ．角边角公理；C ．边边边公理D ．斜边直角边公理13．如图9，在△ABC 中，∠A :∠B :∠C =3:5:10，又△MNC ≌△ABC ，则∠BCM ：∠BCN 等于（ ）A ．1:2B ．1:3C ．2:3D ．1:414．如图10，P 是∠AOB 平分线上一点，CD ⊥OP 于F ，并分别交OA 、OB 于CD ，则CD _____P 点到∠AOB N A M C B 图7 图8 图9 图10两边距离之和．( )A．小于B．大于C．等于D．不能确定三、解答题（共46分）中，∠ACB=90°，延长BC至B'，使15．已知如图11，ABCC B'=BC，连结A B'．求证：△AB B'是等腰三角形．参考答案。
全等三角形单元测试(含答案)
全等三角形单元测试(时间：90分钟满分：120分)一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．下列作图属于尺规作图的是A．用量角器画出∠AOB，使∠AOB等于已知角αB．用圆规和直尺作线段AB，使AB等于已知线段αC．用刻度尺作出线段AB等于2倍的已知线段mD．用三角板作45°的角2．如图，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，现在要到玻璃店配一块与原来完全相同的玻璃，最省事的方法是A．带①和②去B．只带②去C．只带③去D．都带去3．山脚下有A、B两点，要测出A、B两点间的距离．在地上取一个可以直接到达A、B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA．连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE．可以证△ABC≌△DEC，得DE=AB，因此，测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△DEC的理由是A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS4．下列条件中，能判定△ABC≌△DEF的是A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠E B．∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠DC．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F D．∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF5．如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是A．∠A=∠C B．AB=AD C．AD∥BC D．AB∥CD6．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小是A．∠1=∠2 B．∠1>∠2 C．∠1<∠2 D．无法确定7．如图，AB∥CD，BC∥AD，AB=CD，AE=CF，其中全等三角形共有对A．5 B．3 C．6 D．48．如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF ≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是A．①B．②C．①②D．①②③9．如图，在等边△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠1+∠2的度数是A．45°B．55°C．60°D．75°10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE +AC =AB ，其中正确的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11．若△ABC ≌△A ′B ′C ′，AB =3，∠A ′=30°，则A ′B ′=__________，∠A =__________°．12．如图，OC 为AOB ∠的平分线，CM OB ⊥，3CM =，则点C 到射线OA 的距离为__________．13．已知△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的三边长分别为3，4，5，则△DEF 的周长为__________．14．如图，△ABC 的两条高AD ，BE 相交于点F ，请添加一个条件，使得△ADC ≌△BEC （不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是__________．15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =2 cm ，CD ⊥AB ，在AC 上取一点E ，使EC =BC ，过点E 作EF ⊥AC 交CD 的延长线于点F ．若EF =8 cm ，则AE =__________cm ．16．如图，△ABC 中，D 是AB 的中点，DE ⊥AB ，∠ACE +∠BCE =180°，EF ⊥AC 交AC 于F ，AC =12，BC =8，则AF =________．17．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BD 平分∠ABC 交边AC 于点D ，CD =4，△ABD 的面积为10，则AB 的长是__________．18．如图，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，点D 在线段BE 上．若∠1=25°，∠2=30°，则∠3=__________．19．如图，五边形ABCDE 中，∠B =∠E =90°，AB =CD =AE =BC +DE =2，则这个五边形ABCDE 的面积是__________．20．如图，Rt △ABC 中，9083C AC BC ∠=︒==，，，AE AC P Q ⊥，，分别是AC AE ，上的动点，且PQ AB =，当AP =__________时，才能使ABC △和PQA △全等．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．如图，已知∠1=∠2，∠B =∠D ，求证：CB =CD ．22．如图，点E ，F 在AB 上，CE 与DF 交于点G ，AD =BC ，∠A =∠B ，AE =BF ．求证：GE =GF ．23．如图，12AC AE AB AD =∠=∠=，，．求证：BC DE =．24．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°．作∠BAC 的平分线AP 交边BC 于点D ．（保留作图痕迹，不写作法）．若∠BAC =28°，求∠ADB 的度数．25．如图，AD 是BAC ∠的平分线，点E 在AB 上，且AE AC =，EF BC ∥交AC 于点F ．试说明：EC平分DEF ∠．26．如图，在△BCE 中，AC ⊥BE ，AB =AC ，点A 、点F 分别在BE 、CE 上，BE 、CF 相交于点D ，BD =CE ．求证：AD =AE ．27．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且AE=AD，∠EAD=∠BA C．（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度数．28．如图，△ABC是边长为5 cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿射线AB，BC运动，且它们的速度都为2 cm/s．设点P的运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，△ABQ≌△CBP；（2）连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．3．【答案】C【解析】因为CD=CA，CE=CB，ACB DCE∠=∠，所以△ABC≌△DEC（SAS）．故选C．4．【答案】D【解析】A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠E，SSA不能确定全等；B．∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D，AB和EF不是对应边，不能确定全等；C．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AAA不能确定全等；D．∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF，根据AAS，能判断△ABC≌△DEF．故选D．5．【答案】B【解析】∵在△ABD和△CDB中，AB CD AD CB BD BD=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△CDB，∴∠ADB=∠CBD，∠ABD=∠CDB，∠A=∠C，∴AD∥BC，AB∥CD，∴A、C、D选项正确．故选B．6．【答案】A【解析】∵AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，PA=PB，∠CPA=∠DPB，∴△CPA≌△∠DPB（AAS），∴PC=PD，∴∠1=∠2，故选A．7．【答案】B【解析】根据AB=CD，AE=CF，∠BAE=∠DCF可得：△ABE≌△CDF；根据CE=AF，∠DAF=∠BCE，∠DFA=∠BEC可得：△ADF≌△CBE；根据∠DAC=∠BCA，∠BAC=∠DCA，AC=CA可得：△ACD≌△CAB，共有3对全等三角形，故选B．8．【答案】D∵△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∵△BDF≌△CDE，∴DF=DE，∵在△AFD和△AED中，AF AE AD AD DF DE=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△AFD≌△AED（SSS），∴∠FAD=∠EAD，∴AD平分∠BAC，即点D在∠BAC的平分线上．综上所述，在本题给出的结论中，正确的是①②③．故选D．9．【答案】C【解析】∵在等边△ABC中，∠ABC=∠C=60°，AB=BC，BD=CE，∴△ABD≌△BCE，∴∠CBE=∠1，而∠CBE+∠2=60°，∴∠1+∠2=60°．故选C．10．【答案】B【解析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠C=∠E=90°，∵AD=AD，∴△DAC≌△DAE，∴∠CDA=∠EDA，∴①AD 平分∠CDE正确；无法证明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB错误；∵BE+AE=AB，AE=AC，∴BE+AC=AB，∴④BE+AC=AB正确；∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B，∴∠BDE=∠BAC，∴②∠BAC=∠BDE正确．故选B．11．【答案】3；30【解析】由对应角相等，对应边相等，A′B′=AB ，∠A =30°．故答案为：3；30． 12．【答案】3【解析】如图，过C 作CF ⊥AO ．∵OC 为∠AOB 的平分线，CM ⊥OB ，∴CM =CF ．∵CM =3，∴CF =3．故答案为：3．角的余角相等），在△FCE 和△ABC 中，90ECF BEC BC ACB FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABC ≌△FCE （ASA ），∴AC =EF ，∵AE =AC -CE ，BC =2 cm ，EF =8 cm ，∴AE =8-2=6 cm ，故答案为：6． 16．【答案】10【解析】如图，连接AE ，BE ，过E 作EG ⊥BC 于G ，∵D是AB的中点，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵∠ACE+∠BCE=180°，∠ECG+∠BCE=180°，∴∠ACE=∠ECG，又∵EF⊥AC，EG⊥BC，∴EF=EG，∠FEC=∠GEC，∵CF⊥EF，CG⊥EG，∴CF=CG，在Rt△AEF和Rt△BEG中，AE BEEF EG=⎧⎨=⎩，∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），∴AF=BG，设CF=CG=x，则AF=AC-CF=12-x，BG=BC+CG=8+x，∴12-x=8+x，解得x=2，∴AF=12-2=10．故答案为：10．17．【答案】5【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E．∵BD平分∠ABC．又∵DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE=DC=4．∵△ABD的面积=12·AB·DE=12×AB×4=10，∴AB=5．故答案为：5．20．【答案】3或8【解析】分为两种情况：①当AP=3时，∵BC=3，∴AP=BC，∵∠C=90°，AE⊥AC，∴∠C=∠QAP=90°，∴在Rt △ABC 和Rt △QAP 中，AB PQ BC AP =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABC ≌Rt △PQA （HL ）； ②当AP =8时，∵AC =8，∴AP =AC ，∵∠C =90°，AE ⊥AC ，∴∠C =∠QAP =90°，∴在Rt △ABC 和Rt △QAP中，AB PQ AC AP =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABC ≌Rt △QAP （HL ），故答案为：3或8．22．【解析】∵AE =BF ，∴AE +EF =BF +EF ，∴AF =BE ，在△ADF 与△BCE 中，=AD BC A B AF BE =⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠，∴△ADF ≌△BCE （SAS ），∴∠CEB =∠DFA ，∴GE =GF ．23．【解析】∵12∠=∠，∴12BAE BAE ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，在BAC △和DAE △中，AC AE BAC DAE AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BAC △≌DAE △（SAS ），∴BC DE =．24．【解析】（1）如下图所示，AD 为所求的角平分线：（2）∵∠BAC 的平分线AP ，∠BAC =28°， ∴∠CAD =BAD =14°，又∵∠C =90°，∠ADB =∠C +∠CAD ，∴∠ADB =90°+14°=104°．26．【解析】∵AC ⊥BE ，∴∠BAD =∠CAE =90°，在Rt △ABD 和Rt △ACE 中，BD CE AB AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABD ≌Rt △ACE （HL ），∴AD =AE ．27．【解析】（1）∵∠BAC =∠EAD ，∴∠BAC -∠EAC =∠EAD -∠EAC ，即：∠BAE=∠CAD，在△ABE和△ACD中，AB ACBAE CAD AE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，28．【解析】（1）∵△ABQ≌△CBP，∴BQ=BP，∴2t=5-2t，∴t=54，∴t=54s时，△ABQ≌△CBP，（2）结论：∠CMQ=60°不变，理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P，Q运动速度相同，∴AP=BQ，在△ABQ与△CAP中，AB CAABQ CAP AP BQ=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．。
《第十二章全等三角形》单元测试卷含答案（共6套）
《第⼗⼆章全等三⾓形》单元测试卷含答案（共6套）《第⼗⼆章全等三⾓形》单元测试卷（⼀）时间：120分钟满分：120分⼀、选择题(本⼤题共6⼩题，每⼩题3分，共18分．每⼩题只有⼀个正确选项) 1．若△MNP≌△MNQ，且MN＝8，NP＝7，PM＝6，则MQ的长为( )A．8 B．7 C．6 D．52．下列条件中，能判定△ABC≌△DEF的是( )A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠DB．∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EFC．∠B＝∠E，∠A＝∠D，AC＝EFD．∠B＝∠E，∠A＝∠D，AB＝DE3．如图，⼀块三⾓形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配⼀块与原来的三⾓形玻璃完全⼀样的玻璃，则最省事的办法是带( ) A．① B．② C．③ D．④第3题图第4题图4．如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD 等于( )A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm＝15，DE＝3，AB＝6，5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC则AC的长是( )A．7 B．6 C．5 D．4第5题图第6题图6．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，C是射线OA上不与点A重合的⼀点，D是射线OB上不与点B重合的⼀点，且AC＝BD，下列结论：①PA＝PB; ②PO平分∠APB；③OC＝OD; ④△PAC≌△PBD.其中成⽴的是( )A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④⼆、填空题(本⼤题共6⼩题，每⼩题3分，共18分)7．已知图中的两个三⾓形全等，则∠1的度数是________．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE、CF是△ABC的中线，则由________可得△AFC≌△AEB.第7题图第8题图第9题图9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D.若CD＝4，则点D到斜边AB的距离为________．10．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，则图中共有________对全等三⾓形．第10题图第11题图11．如图，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝42°，则∠AEB ＝________.12．在平⾯直⾓坐标系中，点A(1，0)，B(3，0)，C(4，2)，当△ABD和△ABC 全等时，则点D的坐标可以是________________．三、(本⼤题共5⼩题，每⼩题6分，共30分)13．如图所⽰，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AD＝6cm，BC ＝15cm，求△BDC的⾯积．14．如图，点B，D，C，F在⼀条直线上，BC＝FD，AB＝EF，且AB∥EF.求证：AC∥ED.15．如图，已知F是DE的中点，∠D＝∠E，∠DFN＝∠EFM.求证：DM＝EN.16．如图，点D在BC上，∠1＝∠2，AE＝AC，下⾯三个条件：①AB＝AD；②BC ＝DE；③∠E＝∠C，请你从所给条件①②③中选⼀个条件，使△ABC≌△ADE，并证明．17．如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM＝ON，OD＝OE，请⽤⽆刻度的直尺作出∠AOB的平分线．四、(本⼤题共3⼩题，每⼩题8分，共24分)18．如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆⼼，AB长为半径画弧；②以C为圆⼼，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD.(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)试猜想AC与BD的位置关系，并说明理由．19．如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F.求证：AE＋AF＝2AD.20．如图，点E，F分别在OA，OB上，DE＝DF，∠OED＋∠OFD＝180°.(1)请作出点D到OA，OB的距离，标明垂⾜；(2)求证：OD平分∠AOB.五、(本⼤题共2⼩题，每⼩题9分，共18分)21．如图，在△ABC中，BE，CF分别是边AC，AB上的⾼，在BE上截取BD＝AC，在CF的延长线上截取CG＝AB，连接AD，AG，则AG与AD有何关系？请说明理由．22．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，求点B的坐标．六、(本⼤题共12分)23．(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以⽤如下⽅法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE(或将△ACD 绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利⽤三⾓形三边的关系即可判断．中线AD的取值范围是____________；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF 交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF＞EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C 为顶点作⼀个70°⾓，⾓的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．参考答案与解析1．C 2.D 3.D 4.B 5.D6．C 解析：∵OP平分∠AOB，∴∠POA＝∠POB.∵PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.在△OPA 和△OPB 中，∠OAP＝∠OBP，∠POA＝∠POB，OP ＝OP ，∴△OPA≌△OPB(AAS)，∴AO ＝BO ，PA ＝PB ，∠OPA＝∠OPB，∴PO 平分∠APB，故①②正确；在△PAC 和△PBD中，PA ＝PB ，∠A＝∠PBD，AC ＝BD ，∴△PAC≌△PBD(SAS)，故④正确，由△PAC≌△PBD 得AC ＝BD ，∴OC＝OA －AC ＝OB －BD ＝OD －2BD ，∴OC≠OD，故③错误，故答案为C. 7．58° 8.SAS 9.4 10.311．132° 解析：∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACB－∠BCE＝∠ECD－∠BCE，即∠ACE＝∠BCD.在△ACE 和△BCD 中，AC ＝BC ，∠ACE＝∠BCD，EC ＝DC ，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，∴∠CAE＋∠CBE＝∠CBD＋∠CBE＝∠EBD＝42°.在△ABC 中，∠EAB＋∠EBA＝180°－(∠ACB＋∠CAE＋∠C BE)＝180°－(90°＋42°)＝48°，在△ABE 中，∠AEB＝180°－(∠EAB＋∠EBA)＝180°－48°＝132°. 12．(0，2)或(4，－2)或(0，－2)13．解：∵BD 平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，∴DE＝AD ＝6cm ，(3分)∴△BDC 的⾯积为12BC·DE＝12×15×6＝45(cm 2)．(6分)14．证明：∵AB∥EF，∴∠B＝∠F.(1分)在△ABC 和△EFD 中，AB ＝EF ，∠B＝∠F，BC ＝FD ，∴△ABC≌△EFD(SAS)，(4分)∴∠ACB＝∠EDF，∴AC∥DE.(6分)15．证明：∵点F 是DE 的中点，∴DF＝EF.(1分)∵∠DFN＝∠EFM，∴∠DFN＋∠MFN＝∠EFM＋∠MFN，即∠DFM＝∠EFN. (2分)在△DFM 和△EFN 中，∠D＝∠E，DF ＝EF ，∠DFM＝∠EFN，∴△DFM≌△EFN(ASA)，(4分)∴DM＝EN.(6分)16．解：选②BC＝DE.证明如下：如图，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠E＝∠C.(2分)在△ABC 和△ADE 中，AC ＝AE ，∠C＝∠E，BC ＝DE ，∴△ABC≌△ADE(SAS)．(6分)17．解：如图所⽰，OC 即为所求．(6分)18．(1)证明：在△ABC 与△ADC 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC≌△ADC(SSS)．(4分)(2)解：AC⊥DB.(5分)理由如下：由(1)知△ABC≌△ADC，∴∠BAE＝∠DAE.∵AB ＝AD ，∠BAE＝∠DAE，AE ＝AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴∠AEB＝∠AED.⼜∵∠AEB ＋∠AED＝180°，∴∠AEB＝∠AED＝90°，∴AC⊥BD.(8分) 19．证明：∵AD 是△ABC 的中线，∴BD＝CD.(2分)∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°.在△BDE 和△CDF 中，∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD ＝CD ，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.(6分)∵AE＝AD －DE ，AF ＝AD ＋DF ，∴AE＋AF ＝AD －DE ＋AD ＋DF ＝2AD.(8分)20．(1)解：如图，分别过点D 作DM⊥OA，DN⊥OB，则DM ，DN 分别为点D 到OA ，OB 的距离，垂⾜分别为M ，N.(3分) (2)证明：∵∠OED＋∠OFD＝180°，∠OED＋∠MED＝180°，∴∠MED＝∠NFD.∵DM⊥OA，DN⊥OB，∴∠DME＝∠DNF＝90°.在△DME 和△DNF 中，∠DME＝∠DNF，∠MED＝∠NFD，DE ＝DF ，∴△DME≌△DNF(AAS)，(6分)∴DM＝DN ，∴OD 平分∠AOB.(8分)21．解：AG ＝AD ，AG⊥AD.(2分)理由如下：设CG 分别交AD ，BE 于O ，P ，如图所⽰．∵在△ABC 中，BE ，CF 分别是边AC ，AB 上的⾼，∴∠BFP＝∠CEP＝∠AFO ＝90°，∴∠ABD＋∠FPB＝90°，∠ACG＋∠EPC＝90°.∵∠FPB＝∠EPC，∴∠ABD＝∠ACG.在△ABD 和△GCA 中，AB ＝GC ，∠ABD＝∠GCA，BD ＝CA ，∴△ABD≌△GCA(SAS)，∴AG＝AD ，∠AGC＝∠BAD.(6分)∵∠AFO＝90°，∴∠BAD＋∠AOF＝90°，∴∠AGC＋∠AOF＝90°，∴∠GAD＝180°－90°＝90°，∴AG⊥AD.(9分)22．解：如图，过点A 和B 分别作AD⊥x 轴于D ，BE⊥x 轴于E ，(1分)∴∠ADC ＝∠CEB＝90°，∴∠ACD＋∠CAD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE.在△ADC 和△CEB 中，∠ADC＝∠CEB，∠CAD＝∠BCE，AC ＝BC ，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴CD＝BE ，AD ＝CE.(5分)∵点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，∴OC＝2，CE ＝AD ＝3，OD ＝6，∴CD＝OD －OC ＝4，OE ＝CE －OC ＝3－2＝1，∴BE＝4，∴点B 的坐标是(1，4)．(9分)23．(1)解：2＜AD ＜8(3分)(2)证明：延长FD ⾄点M ，使DM ＝DF ，连接BM 、EM ，如图②所⽰．(4分)∵D 是BC 的中点，∴CD＝BD.在△BMD 和△CFD 中，BD ＝CD ，∠BDM＝∠CDF，DM ＝DF ，∴△BMD≌△CFD(SAS)，∴BM＝CF.(5分)∵DE＝DE ，∠EDF＝∠EDM ＝90°，DF ＝DM ，∴△DEF≌△DEM(SAS)，∴EM＝EF.在△BME 中，由三⾓形的三边关系得BE ＋BM ＞EM ，∴BE＋CF ＞EF.(7分)(3)解：BE ＋DF ＝EF.(8分)理由如下：延长AB ⾄点N ，使BN ＝DF ，连接CN ，如图③所⽰．∵∠ABC＋∠D＝180°，∠NBC＋∠ABC＝180°，∴∠NBC＝∠D.在△NBC和△FDC 中，BN ＝DF ，∠NBC＝∠D，BC ＝DC ，∴△NBC≌△FDC(SAS)，∴CN＝CF ，∠NCB＝∠FCD.∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠BCE＋∠FCD＝70°，∴∠ECN＝70°＝∠ECF.(10分)在△NCE 和△FCE 中，CN ＝CF ，∠ECN＝∠ECF，CE ＝CE ，∴△NCE≌△FCE(SAS)，∴EN＝EF.∵BE＋BN ＝EN ，∴BE＋DF ＝EF.(12分)《第⼗⼆章全等三⾓形》单元测试卷（⼆）时间：120分钟满分：120分⼀、选择题(每⼩题3分，共30分)1．在下列每组图形中，是全等形的是( )2．如图，△AOC≌△BOD，点A 与点B 是对应点，则下列结论中错误的是( ) A ．∠A＝∠B B．AO ＝BO C ．AB ＝CD D ．AC ＝BD3．如图，已知AB＝AC，BD＝CD，则可推出( )A．△ABD≌△BCD B．△ABD≌△ACDC．△ACD≌△BCD D．△ACE≌△BDE4．在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠A＝∠A′，若要证△ABC≌△A′B′C′，则还需从下列条件中补选⼀个，错误的选法是( ) A．∠B＝∠B′ B．∠C＝∠C′C．BC＝B′C′ D．AC＝A′C′5．已知∠AOB的平分线上⼀点P到OA的距离为5，Q是OB上任意⼀点，则( ) A．PQ＞5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ≤5 6．如图，点A、D、C、E在同⼀条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝12，AC＝8，则CD的长为( )A．5.5 B．4 C．4.5 D．37．如图，MP⊥NP，MQ为∠PMN的平分线，MT＝MP，连接TQ，则下列结论中不正确的是( )A．TQ＝PQ B．∠MQT＝∠MQPC．∠QTN＝90° D．∠NQT＝∠MQT8．如图，BE⊥AC于点D，且AD＝CD，BD＝ED.若∠ABC＝54°，则∠E的度数为( ) A．25° B．27° C．30° D．45°9.如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD 于点F，则图中的全等三⾓形有( ) A．5对 B．6对 C．7对 D．8对10．如图，点P为定⾓∠AOB的平分线上的⼀个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN恒成⽴；②OM＋ON的值不变；③四边形PMON的⾯积不变；④MN 的长不变．其中正确的个数为( )A．4 B．3 C．2 D．1⼆、填空题(每⼩题3分，共24分)11．如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的⼀个条件可以是__________．12．如图，在直⾓△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D.若CD＝4，则点D到斜边AB的距离为________．13．如图，若△AOB≌△A′OB′，∠B＝30°，∠AOA′＝52°，OB与A′B′交于点C，则∠A′CO的度数是________．14．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，P F⊥ON于F，OA＝OB，则图中有________对全等三⾓形．15．如图，已知AB∥CF，E为AC的中点，若FC＝6cm，DB＝3cm，则AB＝________cm.16．如图，已知AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝110°，∠BAC＝80°，则∠CAE的度数是________．17．我们知道：“两边及其中⼀边的对⾓分别相等的两个三⾓形不⼀定全等”．但是，⼩亮发现：当这两个三⾓形都是锐⾓三⾓形时，它们会全等，除⼩亮的发现之外，当这两个三⾓形都是__________时，它们也会全等；当这两个三⾓形中的⼀个是锐⾓三⾓形，另⼀个是__________时，它们⼀定不全等．18．如图，在平⾯直⾓坐标系中，已知点A(0，3)，B(9，0)，且∠ACB＝90°，CA＝CB，则点C的坐标为________．三、解答题(共66分)19．(8分)如图，点C是AE的中点，∠A＝∠ECD，AB＝CD.求证：∠B＝∠D.20.(8分)如图，点D在BC上，∠1＝∠2，AE＝AC，下⾯有三个条件：①AB＝AD；②BC＝DE；③∠E＝∠C.请你从所给条件①②③中选⼀个条件，使△ABC≌△ADE，并证明两三⾓形全等．21．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上⼀点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等⽅法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并证明你的猜想．22．(10分)如图，在△ABC中，点O是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，AB＋BC ＋AC＝12，过O作OD⊥BC于D点，且OD＝2，求△ABC的⾯积．23．(10分)如图，B、C、E三点在同⼀条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B.(1)求证：BC＝DE；(2)若∠A＝40°，求∠BCD的度数．24.(10分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.(1)求证：BE＝CF；(2)若AB＝8，AC＝6，求AE，BE的长．25．(12分)在解决线段数量关系的问题时，如果条件中有⾓平分线，经常采⽤下⾯构造全等三⾓形的解题思路，如：在图①中，若C是∠MON的平分线OP上⼀点，点A在OM上，此时，在ON上截取OB＝OA，连接BC，根据三⾓形全等判定(SAS)，容易构造出全等三⾓形△OBC和△OAC，参考上⾯的⽅法，解答下列问题：如图②，在⾮等边△ABC 中，∠B＝60°，AD ，CE 分别是∠BAC，∠BCA 的平分线，且AD ，CE 交于点F.求证：AC ＝AE ＋CD.参考答案与解析1．C 2.C 3.B 4.C 5.B 6.B 7.D 8.B 9.C10．B 解析：如图，作PE⊥OA 于E ，PF⊥OB 于F ，则∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF ＋∠AOB＝180°.∵∠MPN＋∠AOB ＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN.∵OP 平分∠AOB，∴∠POE＝∠POF.在△POE 和△POF 中，∠POE＝∠POF，∠PEO＝∠PFO，PO ＝PO ，∴△POE≌△POF，∴PE＝PF ，OE ＝OF.在△PEM 和△PFN 中，∠MPE＝∠NPF ，PE ＝PF ，∠PEM＝∠PFN，∴△PEM≌△PFN，∴EM＝NF ，PM ＝PN ，故①正确．∴S △PEM＝S △PFN ，∴S 四边形PMON ＝S 四边形PEOF ＝定值，故③正确．∵OM＋ON ＝OE ＋ME ＋OF －NF ＝2OE ＝定值，故②正确．MN 的长度是变化的，故④错误．故选B.11．DC ＝BC(或∠DAC＝∠BAC) 12.4 13．82° 14.3 15.9 16.20°17．钝⾓三⾓形或直⾓三⾓形钝⾓三⾓形18．(6，6) 解析：如图，过点C 作CE⊥OA，CF⊥OB，垂⾜分别为E ，F.则∠OEC ＝∠OFC＝90°.∵∠AOB＝90°，∴∠ECF ＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCF.在△ACE 和△BCF 中，∠AEC＝∠BFC，∠ACE＝∠BCF，AC ＝BC ，∴△ACE≌△BCF(AAS)，∴AE＝BF ，CE ＝CF ，∴点C 的横、纵坐标相等，∴OE＝OF.∵AE＝OE －OA ＝OE －3，BF ＝OB －OF ＝9－OF ，∴OE＝OF ＝6，∴点C 的坐标为(6，6)．19．证明：∵点C 是AE 的中点，∴AC＝CE.(2分)在△ABC 和△CDE 中，AC ＝CE ，∠A＝∠ECD，AB ＝CD ，∴△ABC≌△CDE(SAS)，(7分)∴∠B＝∠D.(8分)20．解：选②BC＝DE.(1分)如图，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠E＝∠C.(3分)在△ADE 和△ABC 中，AE ＝AC ，∠E＝∠C，DE ＝BC ，∴△ADE≌△ABC(SAS)．(8分)21．解：猜想BF⊥AE.(2分)理由如下：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°.⼜BC ＝AC ，BD ＝AE，∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL)．∴∠CBD＝∠CAE.(5分)⼜∵∠CAE ＋∠E＝90°，∴∠EBF＋∠E＝90°.∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE.(8分)22．解：如图，过点O 作OE⊥AB 于E ，OF⊥AC 于F ，连接OA.(2分)∵点O 是∠ABC，∠ACB 的平分线的交点，∴OE＝OD ，OF ＝OD ，即OE ＝OF ＝OD ＝2.(5分)∴S △ABC ＝S △ABO ＋S △BCO ＋S △ACO ＝12AB·OE＋12BC·OD＋12AC·OF ＝12×2·(AB＋BC ＋AC)＝12×2×12＝12.(10分)23．(1)证明：∵AC∥DE，∴∠ACB＝∠E，∠ACD＝∠D.∵∠ACD＝∠B.∴∠D＝∠B.(2分)在△ABC 和△CDE 中，∠ACB＝∠E，∠B＝∠D，AC ＝CE ，∴△ABC≌△CDE(AAS)，∴BC＝DE.(5分)(2)解：由(1)知△ABC≌△CDE，∴∠DCE＝∠A＝40°，∴∠BCD＝180°－40°＝140°.(10分)24．(1)证明：如图，连接DB ，DC.∵DG⊥BC 且平分BC ，∴∠DGB＝∠DGC ＝90°，BG ＝CG.⼜DG ＝DG，∴△DGB≌△DGC，∴DB＝DC.∵AD 为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF ，∠DAE＝∠DAF，∠BED＝∠AED＝∠DFC＝90°.(3分)在Rt△DBE 和Rt△DCF 中，DB ＝DC ，DE ＝DF ，∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)，∴BE＝CF.(5分)(2)解：在△ADE 和△ADF 中，∠DAE＝∠DAF，∠AED＝∠AFD，AD ＝AD ，∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF.(7分)∵AC＋CF ＝AF ，AE ＝AB －BE ，∴AC＋CF ＝AB －BE ，即6＋BE ＝8－BE ，∴BE＝1，∴AE＝8－1＝7.(10分)25．证明：如图，在AC 上截取AG ＝AE ，连接FG.(1分)∵AD 是∠BAC 的平分线，CE 是∠BCA 的平分线，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.(2分)在△AEF 和△AGF 中，AE ＝AG ，∠1＝∠2，AF ＝AF ，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴∠AFE＝∠AFG.(6分)∵∠B＝60°，∴∠BAC＋∠ACB＝120°，∴∠2＋∠3＝12(∠BAC＋∠ACB)＝60°.∵∠AFE＝∠2＋∠3，∴∠AFE＝∠CFD＝∠AFG＝60°，∴∠CFG＝180°－∠CFD－∠AFG＝60°，∴∠CFD＝∠CFG.(9分)在△CFG 和△CFD 中，∠CFG＝∠CFD，FC ＝FC ，∠3＝∠4，∴△CFG≌△CFD(ASA)，∴CG＝CD.∴AC＝AG ＋CG ＝AE ＋CD.(12分)《第⼗⼆章全等三⾓形》单元测试卷（三）（考试时间为90分钟，满分100分）⼀.填空题：(每题3分,共30分)1.如图1，若△ABC ≌△ADE ，∠EAC=35°，则∠BAD=_________度.2.如图2，沿AM 折叠，使D 点落在BC 上的N 点处，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=300，则AN= cm ，NM= cm，∠NAM= .3.如图3，△ABC ≌△AED ，∠C=85°，∠B=30°，则∠EAD= .4.已知：如图4，∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝DE ，要说明△ABC ≌△DEF ，（1）若以“SAS ”为依据，还须添加的⼀个条件为________________. （2）若以“ASA ”为依据，还须添加的⼀个条件为________________.ABCDE图1ABCDMN 图2AB CEFA BCDFEO图 5（3）若以“AAS”为依据，还须添加的⼀个条件为________________.5.如图5，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则△______≌△_______. .8. 如图8,在中，AB=AC，BE、CF是中线，则由可得.F，若，EO=10，则∠DBC= ，FO= .10. 如图10，△DEF≌△ABC，且AC＞BC＞AB则在△DEF中，______＜ ______＜ _____.图 10=∠60ADBACDEF。
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全等三角形单元测试题
一、填空题（每小题4分,共32分）.
1．已知：///ABC A B C ∆∆≌，/A A ∠=∠，/B B ∠=∠，70C ∠=︒，15AB cm =，则/C ∠=_________，//A B =__________．
2．如图1，在ABC ∆中，AB =AC ，AD ⊥BC 于D 点，E 、F 分别为DB 、DC 的中点，则图中共有全等三角形_______对．
图1 图2 图3
3． 已知△A BC ≌△A ′B ′C ′，若△A BC 的面积为10 c m 2，则△A ′B ′C ′的面积为______ c m 2，若△A ′B ′C ′的周长为16 cm ，则△A B C 的周长为________cm ．
4． 如图2所示，∠1=∠2，要使△ABD ≌△ACD ，需添加的一个条件是________________(只添一个条件即可)．
5．如图3所示，点F 、C 在线段BE 上，且∠1=∠2，BC =EF ，若要使△ABC ≌△DEF ，则还需补充一个条件________，依据是________________．
6．三角形两外角平分线和第三个角的内角平分线_____一点，且该点在三角形______部．
7．如图4，两平面镜α、β的夹角 θ，入射光线AO 平行于β，入射到α上，经两 次反射后的出射光线CB 平行于α，则角θ等于________．
图4 图5 图6
8．如图5，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE ＝4，BD ＝8，△ABD 的面积为16，则ACE △ 的面积为______．
二、选择题（每小题4分,共24分）
9．如图6，A E ＝AF ，A B ＝A C ，EC 与B F 交于点O ，∠A ＝600，∠B ＝250，则∠E OB 的度数为（ ）
A 、600
B 、700
C 、750
D 、850
图11
10．△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为100 cm ，A 、B 分别与D 、E 对应，且AB ＝35 cm ，DF =30 cm ，则EF 的长为( )
A ．35 cm
B ．30 cm
C ．45 cm
D ．55 cm
11．图7是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在________两点上的木条．( )
A ．A 、F
B ．
C 、E C ．C 、A
D ．
E 、F
12．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD =•BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在一条直线上，可以证明△EDC •≌△ABC ，•得到ED =AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长（如图8），判定△EDC ≌△ABC 的理由是（ ）
A ．边角边公理
B ．角边角公理；
C ．边边边公理
D ．斜边直角边公理
13．如图9，在△ABC 中，∠A :∠B :∠C =3:5:10，又△MNC ≌△ABC ，则∠BCM ：∠BCN 等于（ ）
A ．1:2
B ．1:3
C ．2:3
D ．1:4
14．如图10，P 是∠AOB 平分线上一点，CD ⊥OP 于F ，并分别交OA 、OB 于CD ，则CD _____P 点到∠AOB 两边距离之和．( )
A ．小于
B ．大于
C ．等于
D ．不能确定
三、解答题（共46分）
15．已知如图11，ABC 中，∠ACB =90°，延长BC 至B '，使
C B '=BC ，连结A B '．求证：△AB B '是等腰三角形．
N A M C B 图7 图8 图9 图10
参考答案。