高中数学例题：分类加法原理与分步乘法原理 (15)
分类计算原理与分步计算原理
次幂问题，区别是否可以重复选取
一个核糖核酸(RNA)分子是一个有着数百个甚至上千 个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱 基的化学成分所占据. 总共有4种不同的碱基A、C、G、 U. 在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现. 假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少 种不同的RNA分子？ 计算机用二进制对字符进行编码，每个字符可以用一 个或多个字节来表示. (1)一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ (2)计算机汉字国标（GB码）包含了6763个汉字，一个 汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字 至少要用多少个字节表示？ n元集合A的子集有多少个？真子集有多少个？
分类计算原理与分步计算原理
（加法原理与乘法原理）
问题：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车， 一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这 些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？
分析: 从甲地到乙地有2类方法, 第一类方法:乘火车，有3种方法; 第二类方法:乘汽车，有2种方法. 所以从甲地到乙地共有3+2=5种方法.
分类加法计数原理：完成一件事，有两类办法，在第 1 类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不 同的方法,那么完成这件事共有N＝m1+m2种不同的方法 . 若完成一件事情有n类不一件事，有n类办法,在第1类办 法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的 方法, …… 在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完 成这件事共有N＝m1+m2+…+mn种不同的方法. 注意：
分类加法原理与分步乘法原理的对比
相同点：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成 一件事的不同方法的种数的问题。 不同点： 分类加法计数原理与“分类”有关，各种方法相互 独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事； 分步乘法计数原理与“分步”有关，各个步骤相互 依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． 要求： 分类要做到“不重不漏” 分步要做到“步骤完整”
分类计数加法原理与分步计数乘法原理人教版高中数学
知识图谱-基本计数原理-基本计数原理综合分类（加法）计数原理分步（乘法）计数原理数字问题其它综合问题第01讲_分类计数加法原理与分步计数乘法原理错题回顾基本计数原理知识精讲一．分类加法计数原理1．原理内容做一件事情，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法……在第类办法中有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．2．关于分类加法计数原理，要注意以下几点：（1）分类加法计数原理中各类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，用任何一类方案中的任何一种方法都可以单独完成这件事；（2）要清楚“完成一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的是什么，怎么才算完成这件事；（3）分类时，要根据问题的特点确定一个分类标准，要求做到“不重不漏”．二．分步乘法计数原理1．原理内容做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同的方法……做第个步骤有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．2．关于分步乘法计数原理，要注意以下几点：（1）“完成一件事需要个步骤”是指完成这件事的任何一种方法都要分成个步骤，在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成所有这些步骤就能完成这件事；（2）分步计数原理中，各个步骤相互依存，完不成其中任何一步都不能完成这件事，只有当各个步骤都完成之后，才能完成这件事；（3）分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准，标准不同，分的步骤数也会不同．二．两个计数原理的区别两个计数原理的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，每次得到的是最后结果，分步乘法计数原理与分步有关，每次得到的是中间结果．如下表所示完成一件事，共有类方法，关键词是“分类”完成一件事，共有个步骤，关键词是“分步”三点剖析一．方法点拨1．分类如何做到不重不漏分类时，首先要根据问题的特点确定一个适当的分类标准，然后用这个标准进行分类，分类时，要注意：（1）完成这件事的任何一种方法必须分入相同的类；（2）不同类所使用的方法必须是不同的方法．只要满足这两条基本原则就可以使计数不重不漏；2．如何合理分步一个合理的分步应当满足：（1）完成这件事情必须且只需连续做完所分步骤，即分别从各个步骤中选一种完成该步骤的方法，将各步骤方法依次串联在一起就得到完成这件事的一种方法；（2）完成任何一个步骤可选用的方法数与完成其他步骤所选用的方法无关．简而言之，就是应用分步乘法计数原理时要做到“步骤完整”．题模精讲题模一分类（加法）计数原理例1.1、从甲地到乙地一天之中有三次航班，两趟火车，某人利用这两种交通工具在当天从甲地赶往乙地的方法有（）A、2种B、3种C、5种D、6种例1.2、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A、26B、24C、20D、19例1.3、如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”．例如，今年年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”．那么从2000年到2999年中“七巧年”共有（）A、24个B、21个C、19个D、18个题模二分步（乘法）计数原理例2.1、5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A、10种B、20种C、25种D、32种例2.2、5个人站成一列，甲不站在排头，则共有（）种不同的站法．A、120B、24C、96D、72例2.3、有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A、60种B、70种C、75种D、150种例2.4、回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如等．显然2位回文数有9个：.3位回文数有90个：．则：（1）4位回文数有_______个；（2）位回文数有________个．例2.5、求的不同正约数的个数．随堂练习随练1.1、小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有（）A、4种B、5种C、6种D、9种随练1.2、若从这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有________．随练1.3、椭圆方程为，则焦点在轴上的不同椭圆有_______个随练1.4、将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有（）种．A、12B、36C、72D、108随练1.5、有六种不同颜色，给如图的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，不同的涂色方法共有（）A、4320B、2880C、1440D、720随练1.6、如图，9名战士站成3行3列，现从这9名战士中随机选出2名战士分别担任正、副组长，要求这2名战士来自不同行且不同列，共有多少种不同的选法（）A、18B、36C、72D、144基本计数原理综合知识精讲一．计数原理的综合运用解决计数原理的综合应用的题目时，很多都需要既分类又分步才能完成．解决时先根据问题分析是先分类还是先分步．对于先分类后分步的题目，应明确分类的标准，做到不重不漏；先分步后分类的题目中往往是一个元素的位置选择对另一个元素的位置选择有影响．二．应用计数原理解决实际应用题的常用方法1．枚举法将各种情况通过树形图、表格等方法一一列举出来，它适用于计数种数较少的情况，分类计数时将问题分类实际上就是将分类种数一一列举出来．枚举法是一种解决问题的基本方法，当计数的种数不是很多时，都可以用此方法解决．2．间接法（排除法）若计数时分类较多，或无法直接计算时，可用间接法，先求出没有限制条件的总数，再减去不满足条件的种数．3．字典排序法字典排序法就是把所有的字母分为前后，先排前面的字母，前面的字母排完后再依次排后面的字母，最后的字母排完，则排列结束．三点剖析一．方法点拨1．类中有步用流程图描述计数问题是，类中有步的情形如图具体意义如下：从到算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有三步，在第2类办法中有两步，每步的方法数如图所示，则完成这件事的方法数为．“`类”与“步”可进一步地理解为：“类”用“+”连接，“步”用“×”连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志着一件事的完成，“步”缺一不可．2．步中有类用流程图描述计数问题是，步中有类的情形如图从计数的角度看，由到算作完成一件事，可简单地记为．完成这件事，需要经历三步，即，，．其中这步又分为三类，这就是步中有类．其中表示相应步的方法数．完成这件事的方法数为题模精讲题模一数字问题例1.1、用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A、324B、328C、360D、648例1.2、一个五位的自然数称为“凸”数，当且仅当它满足（如等），则在所有的五位数中，比大的“凸”数的个数是________（用数字作答）题模二其它综合问题例2.1、现有高一年级四个班有学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法例2.2、两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A、10种B、15种C、20种D、30种例2.3、设集合I={1，2，3，4，5，6}，集合A，B是I的子集，若A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中所有数均不小于A中最大的数，则满足条件的集合A，B有____组．随堂练习随练2.1、若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（）A、120个B、80个C、40个D、20个随练2.2、各位数字之和等于6的三位数共有（）A、17个B、18个C、21个D、22个随练2.3、某银行储蓄卡的密码是一个位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选，并且千位、百位上都能取．这样设计出来的密码共有（）A、个B、个C、个D、个随练2.4、某农场有如图所示的2行3列共六块土地，现有萝卜、玉米、油菜三类蔬菜可种．要求每块土地种一类蔬菜，每类蔬菜种两块土地，每行的蔬菜种类各不相同，则恰有一类蔬菜种在同列的种植方法数为____．随练2.5、如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（）A、60B、48C、36D、24课后作业作业1、一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出一本，则不同的取法共有_______．作业2、已知函数，定义域是，值域是，则满足条件的整数对有_____对作业3、若y=f（x）是定义域为A={x|1≤x≤7，x∈N*}，值域为B={0，1}的函数，则这样的函数共有（）A、128个B、126个C、72个D、64个作业4、将5封信随意投入3个不同的邮箱里，每个邮箱中的信件不限，共有（）种不同的投法．A、5+3=8B、5×3=15C、53=125D、35=243将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）A、12种B、18种C、24种D、36种作业6、从0，1，2，3中选取三个不同的数字组成一个三位数，则不同的三位数有（）A、24个B、20个C、18个D、15个作业7、如果一个三位正整数如“”满足且，则称这样的三位数为凸数(如等)，那么所有凸数个数为（）A、240B、204C、729D、920作业8、在3000到8000之间有多少个无重复数字的奇数？作业9、在我校春季运动会上，有甲、乙、丙、丁四位同学进行4×100接力赛跑，要求甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则共有____种接力赛跑方式．（用数字作答）作业10、如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个作业11、现从黄瓜、白菜、油菜、土豆、萝卜中选出4种分别种植在一排土质不同的四块土地上，黄瓜必须种植，白菜与油菜不能相邻种植，则不同的种植方案的种数为（）A、24B、48C、72D、84。
1.1 分类计数原理和分步计数原理
（3）有不同颜色的5件上衣与3件不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配 成一套,则不同的配法有多少种？ 分步问题 （4）从一个装有4个不同白球的盒子里或装有3个不同黑球的盒子里取1个球， 共有多少种不同的取法？ 分类问题 （5）从一个装有4个不同白球的盒子里和装有3个不同黑球的盒子里各取1个 球，共有多少种不同的取法？ 分步问题 （6）某商场有6个门，某人从其中的任意一个门进入商场，再从其他的门出去， 共有多少种不同的进出商场的方式？ 分步问题
问题剖析
小明要完成的一件事是什么
北京→重庆
完成这件事情要分几步
2步
每步中的任一方法能否独立完成这 件事
不能
每步方案中分别有几种不同的方法 4种 3种
完成这件事共有多少种不同的方法 4✕3=12种
想一想：
(1)用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以 A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座 位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ (2)从班上30名男生、25名女生中选男生、女生各1名 担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画
事件1：从中任选一幅画布置房间 事件2：从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间 事件3：从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间
问题2：以上三个事件各有多少种不同的选法
1.解决计数问题的基本方法：
列举法、两个计数原理
2.选择两个原理解题的关键是： 根据题目，弄清完成一件事的要求至关重要， 只有这样才能正确区分“分类”和“分步”．
数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，分类 要做到类类独立，不重不漏。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理【基础知识】1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事情，共有N ＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．[难点正本疑点清源]分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列、组合问题的基础并贯穿始终．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成”．而分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这件事的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，多步完成”．【题型讲解】题型一分类加法计数原理的应用分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．例1高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人．(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？思维启迪：用分类加法计数原理．解(1)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法，根据分类加法计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有50＋60＋55＝165种选法．(2)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法．综上知，共有30＋30＋20＝80种选法．例2 王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里任取一张英语单词卡片，有多少种不同的取法？[解析] 从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类：第一类：从左边口袋取一张英语单词卡片有30种不同的取法；第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片有20种不同的取法．根据分类加法计数原理，所以从口袋中任取一张英语单词卡片的方法种类为30＋20＝50(种). 例3 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？[分析] 该问题与计数有关，可考虑选用两个基本原理来计算，完成这件事，只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑按十位上的数字情况或按个位上的数字情况进行分类．[解析] 解法一：按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分为8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数的个数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)． 解法二：按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．例4 方程x 2m ＋y 2n＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，其中m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆有多少个？解 以m 的值为标准分类，分为五类．第一类：m ＝1时，使n >m ，n 有6种选择；第二类：m ＝2时，使n >m ，n 有5种选择；第三类：m ＝3时，使n >m ，n 有4种选择；第四类：m ＝4时，使n >m ，n 有3种选择；第五类：m＝5时，使n>m，n有2种选择．∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法，即有20个符合题意的椭圆．题型二分步乘法计数原理的应用探究提高利用分步乘法计数原理解决问题：①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．例1已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆的个数有多少个？[解析]圆方程由三个量a，b，r确定，a，b，r分别有3种，4种，2种选法，由分步乘法计数原理，表示不同的圆的个数为3×4×2＝24(个)．例1有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．思维启迪：可以根据报名过程，使用分步乘法计数原理．解(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729(种)．(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种)．例1已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图像开口向上的二次函数．解(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx ＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函数．(2)y＝ax2＋bx＋c图像的开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图像开口向上的二次函数．例1(1)有5本书全部借给3名学生，有多少种不同的借法？(2)有3名学生分配到某工厂的5个车间去参加社会实践，则有多少种不同分配方案？[解析](1)中要完成的事件是把5本书全部借给3名学生，可分5个步骤完成，每一步把一本书借出去，有3种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N＝3×3×3×3×3＝35＝243(种)不同的借法．(2)中要完成的事件是把3名学生分配到5个车间中，可分3个步骤完成，每一步分配一名学生，有5种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N＝5×5×5＝53＝125(种)不同的分配方案.题型三两个原理的综合应用例1一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书(1)从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？[解析](1)从书架上任取一本书，有三类方法：第一类方法：从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法；第二类方法：从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法；第三类方法：从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法．只要在书架上任意取出一本书，任务即完成，由分类加法计数原理知，不同的取法共有N＝5＋3＋2＝10(种)．(2)从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，可以分成三个步骤完成：第一步：从书架上层取一本数学书，有5种不同的方法；第二步：从书架中层取一本语文书，有3种不同的方法；第三步：从书架下层取一本英语书，有2种不同的方法．由分步乘法计数原理知，不同的取法共有N＝5×3×2＝30(种)．所以从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，共有30种不同的取法．例1一个科技小组中有4名女同学，5名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种．[答案]920[解析]由分类加法计数原理得从中任选一名同学参加学科竞赛共5＋4＝9种，由分步乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共5×4＝20种．例1现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？[解析](1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理共有5＋2＋7＝14种不同的选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法．第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法．第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法，所以有10＋35＋14＝59种不同的选法．例1有三只口袋装小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，一只装有7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有多少种不同的取法？[解析]分为三类：一类是取白球、黑球，有5×6＝30种取法；一类是取白球、红球，有5×7＝35种取法；一类是取黑球、红球，有6×7＝42种取法．∴共有取法：30＋35＋42＝107(种)．例1如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．思维启迪：染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题．解方法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论．由题设，四棱锥S—ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法．当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种)．方法二以S、A、B、C、D顺序分步染色．第一步，S点染色，有5种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C 是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)．方法三按所用颜色种数分类．第一类，5种颜色全用，共有A55种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色(A与C，或B与D)，共有2×A45种不同的方法；第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色，共有A35种不同的方法．由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A55＋2×A45＋A35＝420(种)．探究提高用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析．例1有一项活动，需在3名老师、8名男生和5名女生中选人参加．(1)若只需1人参加，有多少种不同选法？(2)若需老师、男生、女生各一人参加，有多少种不同的选法？(3)若需一名老师、一名学生参加，有多少种不同的选法？解(1)分三类：取老师有3种选法；取男生有8种选法；取女生有5种选法，故共有3＋8＋5＝16种选法．(2)分三步：第一步选老师，第二步选男生，第三步选女生，故共有3×8×5＝120种选法．(3)分两步：第一步选老师，第二步选学生．对第二步，又分为两类：第一类选男生，第二类选女生，故共有3×(8＋5)＝39种选法．对两个基本原理的特殊题型典例：(1)(5分)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有() A．24种B．4种C．43种D．34种(2)(5分)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4趟，轮船有3次，问此人的走法可有________种．易错分析解决计数问题的基本策略是合理分类和分步，然后应用加法原理和乘法原理来计算．解决本题易出现的问题是完成一件事情的标准不清楚导致计算出现错误，对于(1)，选择的标准不同，误认为每个信箱有三种选择，所以可能的投法有34种，没有注意．．．．到一封信只能投在一个信箱中．．．．．．．．．．．．．；对于(2)，易混淆“类”与“步”，误认为到达乙地先坐火车后坐轮船，使用乘法原理计算．解析(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法．只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法．(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法可有4＋3＝7(种)．答案(1)C(2)7温馨提醒(1)每封信只能投到一个信箱里，而每个信箱可以装1封信，也可以装2封信，其选择不是唯一的，所以应注意由信来选择信箱，每封信有4种选择．(2)在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么．选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2000大的四位奇数？[解析] 方法一：按末位是1,3,5分三类计数：第一类：末位是1，共有4×4×3＝48个；第二类，末位是3的共有3×4×3＝36个；第三类末位是5的共有3×4×3＝36个，由分类加法计数原理知共有48＋36＋36＝120(个)．方法二：符合条件的数有3×4×4×3－2×4×3＝120(个)．3．从6人中选4人分别到巴黎，伦敦，悉尼，莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲，乙2个不去巴黎游览，则不同的选择方案共有()A．300种B．240种C．144种D．96种[答案] B[解析]能去巴黎的有4个人，依次去伦敦，悉尼，莫斯科的有5个人，4个人，3个人，故不同的选择方案为4×5×4×3＝240(种)．故选B.5．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有________种不同的播放方式．(结果用数值表示) [答案]48[解析]先安排首尾播放公益广告，共2种，再安排4种不同的商业广告共4×3×2×1＝24种，由分步乘法计数原理得24×2＝48种．方法与技巧1．分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2．混合问题一般是先分类再分步．3．分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．失误与防范1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．2．分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．3．确定题目中是否有特殊条件限制．1．(2011·大纲全国)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种答案 B解析依题意，就所剩余的一本画册进行分类计数：第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有C24＝6(种)．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10(种)，选B.2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有________种．答案32解析每位同学有两种不同的报名方法，而且只有这5位同学全部报名结束，才算事件完成．所以共有2×2×2×2×2＝32(种)．3．教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，由一层到4层共有走法种数为() A．6B．23 C．42 D．44答案 B解析由一层到二层有2种选择，二层到三层有2种选择，三层到四层有2种选择，∴23＝8.4．高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A．16种B．18种C．37种D．48种答案 C解析自由选择去四个工厂有43种方法，甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个工厂有33种方法，故不同的分配方案有43－33＝37(种)．5．有不同颜色的4件上衣与不同颜色的3件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是________．答案12解析由分步乘法计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4种选法，第二步选长裤有3种选法，所以有4×3＝12(种)选法．6．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有AB型时，子女的血型有可能是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有()A．6种B．9种C．10种D．12种答案 B解析找出其父母血型的所有情况分二步完成，第一步找父亲的血型，依题意有3种；第二步找母亲的血型也有3种，由分步乘法计数原理得：其父母血型的所有可能情况有3×3＝9种．7．现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值日，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值日表共有__________种不同的排法．答案 1 280解析完成一件事是安排值日表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行：第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排人的相同，所以有4种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1 280种不同的排法．8．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，则大师赛共有________场比赛．答案16解析小组赛共有2C24场比赛；半决赛和决赛共有2＋2＝4(场)比赛；根据分类加法计数原理共有2C24＋4＝16(场)比赛．9．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为 ()A．42 B．30 C．20 D．12答案 A解析将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6×7＝42(种)．10．已知I＝{1,2,3}，A、B是集合I的两个非空子集，且A中所有数的和大于B中所有数的和，则集合A、B共有()A．12对B．15对C．18对D．20对答案 D解析依题意，当A、B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A、B均有两个元素时，有3对；共20对，选择D.11．若从集合P到集合Q＝{a，b，c}所有的不同映射共有81个，则从集合Q到集合P所有的不同映射共有()A．32个B．27个C．81个D．64个答案 D解析可设P集合中元素的个数为x，由映射的定义以及分步乘法计数原理，可得P→Q 的映射种数为3x＝81，可得x＝4.反过来，可得Q→P的映射种数为43＝64.12．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选派方法有() A．6种B．5种C．4种D．3种答案 C解析若选甲、乙二人，包括甲操作A车床，乙操作B车床，或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙二人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这一种选派方法；若选乙、丙二人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这一种选派方法．故共2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法．故应选C.13．由1到200的自然数中，各数位上都不含8的有______个．答案162个解析一位数8个，两位数8×9＝72个．3位数有9×9＝81个，另外1个(即200)，共有8＋72＋81＋1＝162个．14．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有________个．答案32解析和为11的数共有5组：1与10,2与9,3与8,4与7,5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两个数，即子集中的元素取自5个组中的一个数．而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2＝25＝32.15．从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法．答案12解析分两步完成这件事，第一步取两个平行平面，有3种取法；第二步再取另外一个平面，有4种取法，由分步计数原理共有3×4＝12种取法．16. 如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A．288种B．264种C．240种D．168种答案 B解析分两类：第一类，涂三种颜色，先涂点A，D，E有A34种方法，再涂点B，C，F 有2种方法，故有A34×2＝48(种)方法；第二类，涂四种颜色，先涂点A，D，E有A34种方法，再涂点B，C，F有3C13种方法，故共有A34·3C13＝216(种)方法．由分类加法计数原理，共有48＋216＝264(种)不同的涂法.17．标号为A、B、C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．(1)若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？(2)若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？解析(1)若两个球颜色不同，则应在A、B袋中各取一个或A、C袋中各取一个，或B、C袋中各取一个．∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11种．(2)若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个．∴应有1＋3＝4种．18．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7个，B型血的共有9个，AB型血的有3个．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1个去献血，有多少种不同的选法？解析从O型血的人中选1个有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1个人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情已完成，所以由分类计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步计数原理，共有28×7×9×3＝5 292种不同的选法．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为() A．3 B．4 C．6 D．8答案 D解析以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9；以2为首项的等比数列为2,4,8；以4为首项的等比数列为4,6,9，共4个．把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列，故所求数列有8个．2．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有() A．238个B．232个C．174个D．168个答案 C解析由0,1,2,3可组成的四位数共有3×43＝192(个)，其中无重复数字的四位数共有3A33＝18(个)，故共有192－18＝174(个)．3．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为() A．10 B．11 C．12 D．15答案 B解析方法一分0个相同、1个相同、2个相同讨论．(1)若0个相同，则信息为：1001.共1个．。
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
完成一件事有三类不同方案，在第1类方案 中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不 同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法。 那么完成这件事共有 m1+m2+m3 种方法.
做一件事情，完成它可以有n类方案,在第 一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案 中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有 mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+„+mn ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿种不同的方法
分析2: 按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在 每一类中满足条件的两位数分别是: 8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个. 根据加法原理共有 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 (个)
练习2 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的 密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的 密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?
1.1分类加法计数原 理 与分步乘法计数 原理
问题1：用一个大写的英文字母或一个阿 拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够 编出多少种不同的号码？
分析: 给座位编号有2类方法, 第一类方法, 用英文字母，有26种号码; 第二类方法, 用阿拉伯数字，有10种号码; 所以 有 26 + 10 = 36 种不同号码.
解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙 上，可以分两个步骤完成： 第一步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3 种选法； 丙 甲 乙 第二步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上， 有2种选法。
根据分步计数原理，不同挂法的种数是： N=3×2=6.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
开始
子模块1 18条执行路径
子模块2 45条执行路径
子模块3 28条执行路径
A
子模块4 38条执行路径 子模块5 43条执行路径
结束
例7 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅 速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种 汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的 英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合 成一组出现，3 个数字也必须合成一组出现。那么这种办法 共能给多少辆汽车上牌照？
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
层放有 3 本不同的文艺书，第 3 层放有 2 本不同的体 育书． （1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（ 2）从书架的第 1、 2、 3层各取 1本书，有多少种不同 的取法？
例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2
解：（1）从书架上任取1本书，有3类办法：第1类办法是从第 1层取1本计算机书，有4种方法；第2类是从第2层取1本文艺书， 有3种方法；第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种方法。根 据分类计数原理，不同取法的种数是4+3+2=9种， 所以，从书架上任取1本书，有9种不同的取法； （2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成： 第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本 艺术书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法。 根据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法 的种数是4×3×2=24种， 所以，从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法。
练习
1. 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共 有多少个？ 2. 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同 颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须 涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 3. 5张1元币、4张1角币、1张5 分币，2张2分币，可组成多少种不 同的币值（一张不取，即0元0角0分 不计在内）？
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
自然数2520有多少个约数？ 有多少个约数？ 例3.自然数 自然数 有多少个约数 解：2520＝23×32×5×7 ＝ × 分四步完成： 分四步完成： 第一步： 第一步：取20，21，22，23，24有4种; 种 第二步： 第二步：取30，31，32有3种； 种 第三步：取50，51有2种； 第三步： 种 第四步： 第四步：取70，71有2种。 种 由分步计数原理，共有4× × × ＝ 种 由分步计数原理，共有 ×3×2×2＝48种 练习： 张 元币 元币， 张 角币 角币， 张 分币 分币， 张 分币 分币， 练习：5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成 多少种不同的币值？（ 张不取， ？（1张不取 角不计在内） 多少种不同的币值？（ 张不取，即0元0分0角不计在内） 元 分 角不计在内 元：0，1，2，3，4，5 ， ， ， ， ， 角：0，1，2，3，4 ， ， ， ， 分：0，2，4，5，7，9 ， ， ， ， ， 6×5×6－1＝179 × × － ＝
பைடு நூலகம்
（染色问题） 染色问题）
1.如图 要给地图 、B、C、D四个区域分别涂上 种 如图,要给地图 四个区域分别涂上3种 如图 要给地图A、 、 、 四个区域分别涂上 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次 允许同一种颜色使用多次,但相 不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相 邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种 不同的涂色方案有多少种？ 邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种？
深化理解 4. 何时用分类计数原理、分步计数原理呢 何时用分类计数原理、分步计数原理呢? 完成一件事情有n类方法 答:完成一件事情有 类方法 若每一类方法中的任 完成一件事情有 类方法,若每一类方法中的任 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 则计算完 成这件事情的方法总数用分类计数原理. 成这件事情的方法总数用分类计数原理 完成一件事情有n个步骤 若每一步的任何一种 完成一件事情有 个步骤,若每一步的任何一种 个步骤 方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成 方法只能完成这件事的一部分 并且必须且只需完成 互相独立的这n步后 才能完成这件事,则计算完成这 步后,才能完成这件事 互相独立的这 步后 才能完成这件事 则计算完成这 件事的方法总数用分步计数原理. 件事的方法总数用分步计数原理
分类加法和分步乘法计数原理
如果完成一件事需要有n个步骤,做每一 步中都有若干种不同方法,那么应当如何 计数呢?
6.分步乘法计数原理一般结论：
如果完成一件事需要n个步骤，做第1步 有m1种不同的方法，做第2步有m2种不 同的方法，…,做第n步有mn种不同的方 法,那么完成这件事的方法总数如何计 算？
N＝m1×m2×…×mn
2思考:用前6个大写英文字母和1～9这9个阿 拉伯数字，以A1，A2，···，B1， B2,···的方式给教室里的座位编号,总共能 编出多少个不同的号码？
在这个问题中,号码必须由一个英文字母和 一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一 个号码要经过先确定一个英文字母，后确定 一个阿拉伯数字这样两个步骤用下图可以列 出所有可能的号码.
22464000
计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举法 一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数 量很大，列举的效率不高，能否设计巧妙的“数法” 以提高效率呢？
二、探究新知
1.问题1:用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数 字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同 的号码？
因为英文字母共有26个,阿拉伯数字0~9共有10个,所以 总共可以编出26+10=36种不同的号码.
3.分步乘法计数原理
完成一件事，需要两个步骤: 做第1步 有m种不同的方法，做第2步有n种不同的 方法，则完成这件事共有:
N= m×n种不同的方法
巩固新知
4.例2.设某班有男生30名，女生24名。现要从 中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共 有多少种不同的选法？
分析:选出一组参赛代表，可分两步： 第一步, 选男生；第二步,选女生
N＝m1＋m2＋m3
如果完成一件事有n类不同方案,在每一 类中都有若干种不同方法,那么应当如 何计数呢?