复变函数积分

即复函数积分可表为两个实积分.
二. 复变函数积分的计算问题
设有向曲线C
z z(t) x(t) iy(t),( t )
f (z)沿C连续,则
C f (z)dz f [z(t)]z(t)dt
(3.2)
或
f (z)dz Re{ f [z(t)]z(t)}dt
C
i Im{ f [z(t)]z(t)}dt
解 (1) 积分路径的参数方程为
z(t) t it (0 t 1),
y
i
于是 Re z t, dz (1 i)dt,
Re zdz C
1
t(1
i )dt
1 (1
i );
0
2
o
1 i
x
1
(2) 积分路径的参数方程为
z(t) t it2 (0 t 1),
于是 Re z t, dz (1 2ti)dt,
1
C Re zdz 0 t(1 2it)dt
y
t2 2
2i 3
t
3
1 0
1 2
2 3
i;
i
o
1 i
y x2 x
1
(3) 积分路径由两段直线段构成
x轴上直线段的参数方程为 z(t) t (0 t 1), 于是 Re z t, dz dt,
1到1+i直线段的参数方程为 z(t) 1 it (0 t 1),
第三章 复变函数的积分
Department of Mathematics
第一节 复积分的概念及其简单性质 1、复变函数积分的的定义 2、积分的计算问题 3、基本性质
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一、复变函数积分的定义
1.有向曲线:
设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑) 曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向(或正向), 那么我们就把C理解为带 有方向的曲线, 称为有向曲线.
k 1
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
公式 C f (z)dz C udx vdy i C vdx udy
在形式上可以看成是 f (z) u iv 与 dz dx idy 相乘后求积分得到 :
C f (z)dz C (u iv)(dx idy) C udx ivdx iudy vdy C udx vdy iC vdx udy.
k 1
k 1
所以 C f (z)dz C f (z)ds ML.
[证毕]
例2
试证
1 C z2 dz 2,
积分路径 C 为连接i到点 2 i 的直线段.
证明 C 的参数方程为 z 2t i, (0 t 1)
因为在 C 上 1 连续,且
y
1 z2
1 z2
2t
1 i
z2 2
1 4t2 1
I : z t 2 t 1,
I
II
C1 : z ei (0 π),
2 1 o 1 2 x
II : z t 1 t 2, C2 : z 2ei (0 π),
z dz
z
I
z z
dz
C1
z dz z
II
z dz z
C2
z z
dz
1
dt
2
π ei 0 ei
iei d
2
dt 1
π 2ei 0 2ei
2iei d
1
dt
2
π ei 0 ei
iei d
2
dt
1
π 2ei 0 2ei
2iei d
1 i π ei3 d 1 2i π ei3 d
0
0
2 i π ei3 d 0
2 i{
cos 3 d
i
sin 3 d}
0
0
2 2 4. 33
R
2 eRsin Rd
0
0
0
Rx
由2 sin , (0 )
eiz dz
2
2R 2
2 e Rd
C
0
2R
e |02
(1 eR )
例4 计算 C Re zdz, 其中C 为 :
(1)从原点到点1 i 的直线段; (2) 抛物线 y x2 上从原点到点1 i 的弧段; (3) 从原点沿 x 轴到点1 再到1 i 的折线.
由于 u, v 都是连续函数, 根据线积分的存在定理,
当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,
不论对 C 的分法任何, 点 (k , k )的取法如何,
下式两端极限存在,
n
n
f ( k )zk [u(k ,k )xk v(k ,k )yk ]
k 1
k 1
n
i [v(k ,k )xk u(k ,k )yk ]
把曲线C分成若干弧段,
在每个弧段zk1zk 上任意 y
取一点 k (k 1, 2, , n),
作和式
n
Sn f ( k ) zk , k 1
a
1
2
z1
z2
o
b
C zn1
k zk zk 1
x
n
Sn f ( k ) zk , k 1
其中 zk zk zk1, 当分点无限增多, 而这些弧段 长度的最大值趋于零时, 如果和数Sn的极限存在且等于 J ,则称f (z)沿C(从a到b)可积,而称J为f (z)沿C(从a到b)
的积分,并记号C f (z)dz表示 :
J C f (z)dz.
y
C称为积分路径.
b
C zn1
C f (z)dz表示沿C正方向积分,
a
1
2
z1
z2
k zk zk 1
f (z)dz表示沿C负方向积分. C
o
x
关于定义的说明:
(1) 如果J存在, 一般不能把J写成 b f (z)dz,因为 a
J的值不仅和a, b有关, 而且和积分路径C有关.
估 值
不
等
式
证明
因为 zk 是 zk 与 zk1 两点之间的距离,
sk 为这两点之间弧段的长度,
n
n
n
所以 f ( k ) zk f ( k ) zk f ( k ) sk
k 1
k 1
k 1
两端取极限得 C f (z)dz C f (z)ds.
n
n
因为 f ( k ) sk M sk ML,
C
C1
C2
Cn
(5) C f (z)dz C f (z)dz C f (z) ds,
dz (dx)2 (dy)2 ds 弧 L, 函数f (z)在 C上连续且满足
f (z) M , 那末 C f (z)dz C f (z) ds ML.
如果A到B作为曲线C的正向, y
B
那么B到A就是曲线C的负向,
记为 C .
A
o
x
关于曲线方向的说明:
在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作 为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方 向总是指从起点到终点的方向.
简单闭曲线正向的定义:
简单闭曲线C(周线)的正向 y
是指当曲线上的点P顺此方
P
1
i
o
而C之长为2,根据估值不等式知
C
1 z2
dz
C
1 z2
ds
ds 2
C 2
2i
2x
例3 试证 eizdz , C
积分路径 C 为圆周 z R的上半圆周从R到 R.
y
证明 C : z Rei , (0 )
eizdz eiz dz
C
C
.
.
eRsin Rd 2
(3.3)
复积分的变量代换公式
证明
C f (z)dz
udx vdy i
C
vdx udy
C
{u[x(t), y(t)]x(t) v[x(t), y(t)]y(t)}dt
i {v[x(t), y(t)]x(t) u[x(t), y(t)]y(t)}dt
{u[
x(t
),
y(t
)]
iv[
(2) f (z)沿C可积的必要条件是, f (z)沿C有界.
n
(3)
C
f
( z )dz
lim
n
k 1
f
( k ) zk .
3. 定理3.1 若函数 f (z) u(x, y) iv(x, y)沿曲线C连续, 则f (z)沿 C可积,且
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
设 k k ik ,
因为 zk zk zk1 xk iyk ( xk1 iyk1 ) ( xk xk1 ) i( yk yk1 ) xk iyk ,
n
所以 Sn f ( k ) zk n k 1 [u(k ,k ) i v(k ,k )](xk iyk ) k 1 n [u(k ,k )xk v(k ,k )yk ] k 1 n i [v(k ,k )xk u(k ,k )yk ] k 1
C
C
(2) C kf (z)dz k C f (z)dz; (k为常数)
(3) C[ f (z) g(z)]dz C f (z)dz C g(z)dz;
(4) 如果 C 是由 C1, C2, , Cn 等光滑曲线依次
相互连接所组成的按段光滑曲线, 则
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz.
四、小结与思考
本课我们学习了积分的定义、存在条件以 及计算和性质. 应注意复变函数的积分有跟微 积分学中的线积分完全相似的性质. 本课中重 点掌握复积分的一般方法.