《复变函数与积分变换》

《复变函数与积分变换》期末复习题

2009-6-22

一、判断题

1. 若{z n }收敛，则{Rez n }与{Imz n }都收敛. ( T )

2. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0

z f z z →一定不存在. ( F )

3. 若f (z)在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=?C

dz z f . ( F )

4．复数484z +=i 的模|z|＝8。 ( T ) 5．设100i)(1z +=，则Imz ＝0。 ( T ) 6．设z=i 2e +，则argz ＝1。 ( T ) 7．f （z ）的可导处为0。 ( T )

8．设C 为正向圆周|z|=1，则?+c )dz z z 1

(=4πi 。 ( T )

9．幂极数∑

∞

=1

n n

n z n n!的收敛半径为e 。 ( T ) 10．函数f(z)=]1)(z 1

1z 1[1z

15

+++++

在点z=0处的留数为6。

( T ) 11.cos z 与sin z 在复平面内有界。 ( F )

12.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。( T ) 13.若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件。 （ T ） 14.若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。 （ F ） 15.若f (z )在区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=?

C

dz z f 。

（ F ） 16.若)(lim 0

z f z

z →存在且有限，则z 0

是函数的可去奇点。 （ F ）

17.若函数f (z )在区域D 内解析且0)('=z f ，则f (z )在D 内恒为常数。 （ T ） 18.如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0

z f z

z →一定不存在。 （ F ）

19.非周期函数的频谱函数呈连续状态。 （ T ） 20.位移性质表明，一个函数乘以指数e at 后的拉氏变换等于其像函数作位移a 。（ T ）

21. 若f (z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f (z)在z 0解析。 ( F ) 22. 若f (z)在区域D 内解析，且f ’(z )≡0，则f (z) ≡C （常数）。 ( T ) 23. 若)(lim 0

z f z z →存在且有限，则z 0是函数f (z)的可去奇点。 ( F )

24. 若f (z)在区域D 内解析，则|f(z)|也在D 内解析。 （ F ） 25. 若()f z 在区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=?dz z f C

。

( T ) 26.

sin 1()

z z C ≤?∈。 （ F ）

27. 如果0z 是()f z 的本性奇点，则0

lim ()z z f z →一定不存在 。 ( T ) 28. 若函数()f z 在0z 处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数。( T )

29. 若函数()f z 在0z 满足Cauchy-Riemann 条件，则()f z 在0z 处解析。（ F ） 30. 如果函数()f z 为整函数，且存在实数M ，使得Re ()f z M <，则()f z 为一常数。（ F ） 二、单项选择题

1．方程1Rez 2=所表示的平面曲线为（ D ）

A ．圆

B ．直线

C ．椭圆

D ．双曲线 2．复数i 3e +对应的点在（ A ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 3．若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分?

+-c n a z z f 1

)()

(等于（ D ）

A ．)()!1(2)1(a f n i n ++π

B ．)(!

2a f n i π C ．)(2)(a if n π D ．)(!

2)

(a f n i n π

4．3z π

=是函数f(z)=

π

π

-3z )

3-sin(z 的（ B ） A ．一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点

5．下列映射中，把角形域4

argz 0π

<

<保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ C ）

A ．1-z 1z w 44+=

B ．1z 1z w 44＋－=

C ．i

z i z w 44＋－= D ．i -z i z w 44+=

6. 复数i 25

8-2516z =的辐角为（ B ）

A ．arctan 2

1 B ．-arctan 2

1 C ．π-arctan 2

1 D ．π+arctan 2

1

7. 设z=cosi ，则（ A ）

A ．Imz=0

B ．Rez=π

C ．|z|=0

D ．argz=π

8. 函数2z w =把Z 平面上的扇形区域：2||,03

argz 0<<

＜映射成W 平面上的区

域（ A ）

A ．4||,032argz 0<<<

w π＜ B ．4||,03argz 0<<

＜ C ． 2||,032argz 0<<

argz 0<<

＜

9. 设C 为正向圆周|z|=1，则积分?

c z dz

|

|等于（ A ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 10．映射2z z w 2+=下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（ A ） A ．2

1|1z |>+ B ．2

1|1z |<+ C ．2

1|z |> D ．2

1|z |<

11．设w=Ln(1-i),则Imw 等于（ B ）

A ．4

π

－ B ． 1,0,k ,4

2k ±=ππ－

C ．4

π

D ． 1,0,k ,4

2k ±=+ππ

12．设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分?

+-c n i z dz

1

)(等于（ C ）

A ．1

B ．2πi

C ．0

D ．i

π21 13．z=-1是函数

4

1)

(z z

cot +π的（ C ） A ．3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点

14．下列积分中，积分值不为零的是（ D ）

A ．2|1-z C 3)dz,2z (z c

3=++?为正向圆周｜其中

B ．5|z

C dz,e c

z =?为正向圆周｜其中

C ．1|z C dz,sinz z

c =?

为正向圆周｜其中 D ．2|z C dz,1

-z cosz c =?为正向圆周｜其中

15．设 ()t t f sin =，则 ()t f 的Laplace 变换为 ( A )

A ．

112+s B. 2

1

s C ．

s

1

D. 0 三、填空题 1.=+z z 22

cos sin

__1_______.

2.幂级数∑∞

=0

n n nz 的收敛半径为_____1_____.

3.=)0,(Re n z z

e s ___ 1

(1)!n -_____，其中n 为自然数.

4．复数484z +=i 的模|z|＝______8_______________。 5．f （z ）的可导处为______________0_________________。

6．设C 为正向圆周|z －i|=2

1

,则积分

?c 2z

dz i)-z(z e π=______－2π(π

+i)_____________。 7．函数f(z)=]1)

(z 1

1z 1[1z 15

+++++ 在点z=0处的留数为______6__________。 8．=i 3 （ ),2,1,0(3

ln 2 ±±=+-k e

i k π ）.

9．幂级数∑∞

=+0

)1(n n n z i 的收敛半径为 （

2

2

）.

10. 设 (),0

0,

??

?<>=-t t e t f t 则()t f 的Fourier 变换为（

ωi +11

）. 11.

23456

i i i i i ????= ______1______________. 12.=-?=-1||00)(z z n z z dz __ 21

1

i n n π=??≠? ___.（n 为自然数） 13.设1

1)(2+=

z z f ，则)(z f 的孤立奇点有___ z i =±_______. 14.若n n n

i n n z )1

1(12++-+=

，则=∞→n z n lim ___1ei -+_______

15．若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0

=→z f z z .∞

16．设z=i 2e +，则argz ＝__________1__________________。

17．设C 为正向圆周|z|=1，则?+c )d z z z

1

(=________4πi ___________________。

18．幂极数∑

∞

=1n n

n

z n

n!的收敛半径为_______e_______________。 19. 函数f(z)=]1)

(z 1

1z 1[1z

15

+++++ 在点z=0处的留数为______6__________。 20. 函数1

w z

=将z 平面上的曲线22(1)1x y -+=变成w 平面上的曲线____1

2

u =

_____. 21.函数z sin 的周期为___2k π，()k z ∈________.

22. 设1-=z

e ，则___=z .(21)z k i π=+

23.

z

z

sin 的孤立奇点为______0__ . 24．设100i)(1z +=，则Imz ＝____0_________________。

25．方程Inz=i 3π

的解为_____),3i (12

1z +=或3i e π

____________________。

26．设C 为正向圆周|ζ |=2，?=c d z -3sin

f(z)ζζπ

，其中|z|<2，则f ′(1)=__i,3

3π或3

cos 3

i 2πππ?__。

27.若11

sin

(1)1n n z i n n

=++-，则lim n n z →∞=____ie_____.

28.设2()1

z

e f z z =-，求Re ((),)s f z ∞.=___________________。

29.]0,1sin [Re z

s =（ 1 ）.

30.设 (),0

00,

??

?<>=-t t e t f t 则()t f 的Fourier 变换为（

ωi +11

）. 四、计算题 1．计算积分?

+=c dz |

z |z

z I 的值，其中C 为正向圆周|z|=2。 解1：???+?==+c

- c )d isin 2i(cos 2cos 2Rezdz 21

dz |z |z z ππθθθθ i 4)d cos2(14i

πθθπ

=+=?

。

解2：??????

??+=???

? ??+c 20 i i -i d 2ie 22e 22e dz |z |z |z |z πθ

θθ

θ i 40)2i(2

ππ=+＝。

2.试将函数()

i z z z f +=

1

)(在10<+

解：因为10<+

())

(11

)(1111)(1

)(1)(i z i i z i i

i z i

i z i z z z f +++-

=+-

?-+=

+=

又因为当10<+

()()∑+∞

=+-=++0

)(11n n

n i z i i z i

所以有 ()

()∑∞

=--+-=0

11

)(n n n i z i z f

3.设y e v x cos =，求解析函数()f z u iv =+。

解一：因为

,s i n ,c o s y e y

v

y e x v

x x -=??=?? 由

y e y

v

x u x sin -=??=?? 得 ).(sin ]sin [y g y e dx y e u x

x +-=-=

?

由

x

v y u ??-=??，得 .c o s )(c o s

y e y g y e x

x

-='+- 即 c c y g ,)(=是实数。

因此 有

.s i n

c y e u x

+-= 即 .c o s s i n

)(c ie y ie c y e z f z

x

x

+=++-=

解二：因为

,s i n ,c o s y e y

v

y e x v

x x -=??=?? 由

y e y

v

x u x sin -=??=?? 有 z x x ie y ie y e x

v

i x u z f =+-=??+??='cos sin )( 因此

c c ie dz ie z f z

z ,)(+==?

为实数。

4.求函数)]()([2

1

)(a t a t t f -++=

δδ的Fourier 变换。 解：由-δ函数的一般筛选性质

)()()(00

t f dt t f t

t =-?+∞

∞

-δ有：

5. 设)

2)(1(1

)(--=

z z z f ，求

)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.

解 因为01,z << 所以012

z

<

< 1

()(1)(2)

f z z z =

--

11

12(1)2

z z =

-

-- 0

01()22n

n

n n z z ∞

∞===-∑∑

6．求22y -2xy x u +=的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)＝1。

解1：2y -2x y

u

2y 2x x

u =??+=??， ，

由C －R 条件，有y

u

-x v ,x x y v ??=????=??， ??++=+=??=∴(x )y 2x y 2y )d y (2x dy x

v

v 2?。 再由

y

u -2y -2x (x)'2y x u ??=+=+=???， 得-2x (x)'=?，于是C -x (x)2+=?，

C x -y 2x y v 22++=∴。

).cos(][21)]()([21

)]([)()()(a e e dt e a t a t t f F F a i a i t i ωδδωωωω=+=-++==----+∞

∞

-?

由1,v(0,0)=得1C ＝。 故1x -y 2xy v 22++= 解2： C dy y

v dx x v y)v(x y)

(x,(0,0)

+??+??=?

?

+++=y)

(x,(0,0)

C

2y)dy (2x 2x)dx -(2y

C y 2xy -x 22+++= 以下同解1。

7．计算积分?+=c 2

2z

dz 3i)(z i)-(z e I π的值，其中C 为正向圆周|z-1|=3。

解：因在C 内2

2z

3i)

(z i)-(z e f(z)+=π有二阶级点z=I ，所以

???

?

???=

→c

2i z f (z )i)-(z dz d lim 1!i 2f(z)dz π ???

??

?++=→3z 2z i z 3i )(z 2e -3i)(z e lim i 2ππππ i)2(-116ππ

+=

。

8. 求函数的傅氏积分

?????><-=1,

01,1)(2

t t t t f

解：?+∞

∞

--dt e

t f t

i ω)(

?+∞∞

---=dt e

t t

i ω)1(2 2

3

cos 4sin 4ωω

ωω

-

=

9. .cos 1

2

||?=z dz z

解 因为

2

2

2

12Re ()lim

lim 1cos sin z z z z s f z z z

π

ππ

π

→

→=

+

===--,

2

2

2

12Re ()lim

lim 1cos sin z z z z s f z z z

πππ

π

→-

→-=-

-

===-. 所以

22

2

1

2(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-=

=+=?. 10. 设?-++=C d z

z f λλλλ1

73)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 解 令2()371?λλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()

()2()c f z dz i z z ?λπ?λ=

=-?.

所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i π?ππ=+''+==+=-+.

11．试求函数f(z)=ζζd e z

-2

?在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域。

解：因为∑∑∞=∞

=+∞<===0

n 2n

n 0n n 2z -)z (| z n!(-1)n!)(-z e

(z)' f 2

｜，

所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得

∑?∞

=++∞<+==0n 1

2n n z

)z (| 1

2n z n!(-1))d (' f (z) f ｜ζζ

12.求余弦函数x x f 0cos )(ω=的Fourier 变换。

解：由2cos 000x

i x i e e x ωωω-+=

及傅氏变换定义，有：

五. 综合题

1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在

D 内为常数，那么它在D 内为常数.

证明 设在D 内()f z C =.

)]()([)](2)(2[2

1

.

][21

2)(0000)()(0000ωωδωωδπωωπδωωπδωωωωωωωω++-=++-=+=+=??∞

+∞-----+∞

∞

--dx e e dx

e e e F x i x i x

i x i x i

令2

222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.

两边分别对,x y 求偏导数, 得 0

(1)0

(2)

x x y y uu vv uu vv +=??

+=? 因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为

x x x x uu vv vu uv +=??

-=?. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.

2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).

所以12()f z c ic =+为常数.

2．设Z 平面上的区域为2|i -z |,2|i z |D <>+：，试求下列保角映射

（1）(z)f w 11=把D 映射成W 1平面上的角形域ππ4

3

argw 4D 11<＜：；

（2）)(w f w 121=把D1映射成W 2平面上的第一象限2

argw 0D 22π

<＜：;

（3）w=f 3(w 2)把D 2映射成W 平面的上半平面：Imw>0; （4）w=f(z)把D 映射成G 。 解：（1）由

{

2

i|z |2

i|z |=+=－解得交点z 1+1,z 2=-1。

设1z 1-z w 1+=

，则它把D 映射成W 1平面上的ππ4

3

argw 4D 11<<： （2）设14

i

-2

w e

w π

=，则它把D 1映射成

W 2平面上的第一象限2

argw 0D 22π

<

<：。

（3）设22w w =，则它把D 2映射成W 平面的上半平面G ：Imw>0。 （4）2

24

i

-)1

z 1-z i(1z 1-z (e w ++?

=＝－）π

。

1

1

1+-=z z w

2

2

w w =

3．积分变换

利用拉氏变换解常微分方程的解：{

1,

y ''y'0(0)'y'(0)y'y(0)'=+===

解：因为s

s sY s Y s 1

)()(3=+ 从中解得 )

1(1

)(22+=

s s s Y 。

再求拉氏逆变换，得

=y (t )

t-sint

4. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在

D 内解析.

1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-,

因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以

,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.

比较等式两边得

0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数. 5．利用留数求积分dx 9

10x x cosx

I 2

40

++?

∞+＝的值。 解：在上半平面内，9)

1))(z (z e f(z)22iz

++=有一阶极点z=i 和z=3i 。

??∞+∞∞+∞++=++= -22ix

- 22dx 9)

1)(x (x e Re 219)dx 1)(x (x cosx 21I [][]{}f (z ),3i i R e s 2i f (z ),i R e s 2Re 2

1

ππ+=

， []16e i

1

i f (z ),R e s =，

[]i

48e 1

-f (z),3i Res 3=， 1)-(3e 48e I 23

π

=

∴　。

6．积分变换

利用拉氏变换解常微分方程的解：{

t

e y y'y(0)t +=-=20

解：因为21

21)()(s

s s Y s sY +-=+ 从中解得

)

1(1

1)1(1)1(1)2(1)1(1)2)(1(1)(2

222+---+---=++--=

s s s s s s s s s s Y 再求拉氏逆变换，得

=y (t ))(2t u t e t

--

7．利用留数求积分dx 9

10x x cosx

I 2

40

++?

∞

+＝的值。 解：在上半平面内，9)

1))(z (z e f(z)22iz

++=有一阶极点z=i 和z=3i 。

??∞+∞∞+∞++=++= -22ix

- 22dx 9)

1)(x (x e Re 219)dx 1)(x (x cosx 21I ） [][]{}f (z ),3i i R e s 2i f (z ),i R e s 2Re 2

1

ππ+=

， []16e i

1

i f (z ),R e s =，

[]i

48e 1

-f (z),3i Res 3

=， 1)-(3e 48e I 23

π

=

∴　。

8. 求把上半平面保形映照为单位圆内地分式线性函数)(z f w =，使0)(=i f ，

2

)(arg 'π

=

i f 。

解：设所求分式线性函数为i

z i

z e z f w i +-==θ)( 则2

2')

(2)()()()(i z i e i z i z i z e z f i i +=+--+=θ

θ

从而)

2('

2

142)(π

θθ

-=-=i i e i e i f ，2)(arg 'πθ-=i f

令2

)(arg 'π

=

i f ，得πθ=，于是所求分式线性函数为

i

z i

z w +--

= 9. 利用拉氏变换解常微分方程的解：{

t

e y y y ''y'0(0)'y'(0)y'y(0)-=+++===633'''

解：因为1

6

)()(3)(3)(23+=+++s s Y s sY s Y s s Y s 从中解得 4

)

1(6

)(+=

s s Y 。 再求拉氏逆变换，得

=y (t )t

e t -3