第三章-货币的时间价值

货币的时间价值源于
– 现在持有的货币可以用于投资，获取相应 的投资收益
$100 today vs. $100 in 1 year
– is different! – money earns interest over time, – and we prefer consuming today
simple interest(单利） pound interest(复利）
年限 利率：r 1% 1.0100 1.0201 1.0303 1.0406 1.0510 1.0615 1.0721 1.0829 1.0937 1.1046 1.1157 1.1268 2% 1.0200 1.0404 1.0612 1.0824 1.1041 1.1262 1.1487 1.1717 1.1951 1.2190 1.2434 1.2682 4% 1.0400 1.0816 1.1249 1.1699 1.2167 1.2653 1.3159 1.3686 1.4233 1.4802 1.5395 1.6010 6% 1.0600 1.1236 1.1910 1.2625 1.3382 1.4185 1.5036 1.5938 1.6895 1.7908 1.8983 2.0122 8% 1.0800 1.1664 1.2597 1.3605 1.4693 1.5869 1.7138 1.8509 1.9990 2.1589 2.3316 2.5182 9% 1.0900 1.1881 1.2950 1.4116 1.5386 1.6771 1.8280 1.9926 2.1719 2.3674 2.5804 2.8127 12% 1.1200 1.2544 1.4049 1.5735 1.7623 1.9738 2.2107 2.4760 2.7730 3.1058 3.4785 3.8960 18% 1.1800 1.3924 1.6430 1.9388 2.2878 2.6996 3.1855 3.7589 4.4355 5.2338 6.1759 7.2876
月供额= 400000 1−(1+ 0⋅ 005) 0⋅ 005
−360
= 2398⋅ 2
年金现值与终值的结合： 年金现值与终值的结合：养老保险计划
有时候，在同一储蓄计划中，既要计算终值也 要计算现值，养老保险计划就是典型的例子。 假定你现在是30岁，只要你连续若干年（比方 说30年）在你的养老金账户上存入一定的金额， 你60岁退休后可以连续20年每月从该公司每月 领取1000元。假定利率为6%，那么，为了在 退休后每月领取1000元的养老金。你在这30年 中每月缴纳多少呢？
为了计算每月应该缴纳多少养老保险金，要分 两步。第一步，计算出在退休后每月1000元的 年金现值。这个年金现值实际上是你每月缴纳 的养老保险金的年金终值，因此，第二步是根 据这个终值计算你每月的缴款额。
第一步：
利用普通年金现值公式计算退休后每月 1000 元的年金的现值。由于是按月领取，所以要将 年利率换成月利率，月利率为 0.5%，同时还要将年换成月，共有 240 个月份。月利率 0.5%， 连续 240 个月份 1000 元的年金现值为：
年金终值的计算
设即时年金为PMT，利率为r，年限为n， 每年计息一次，则年金终值的计算公式 如下：
(1 + r )[1 − (1 + r ) ] FV = PM T 1 −1 + r ) − 1] = PM T ⋅ r
n
普通年金的终值计算
由于即时年金的每笔现金流比普通年金要多获 得1年的利息，所以，即时年金的终值为普通 年金的（1+r）倍。即时年金的终值除以（1+r） 就可以得到普通年金的终值。普通年金的终值 为：
– Calculating on principle basis – Calculating on both principle and interest basis
名义利率与实际利率
名义利率(nominal interest rate)就是 以名义货币表示的利率。 实际利率(real interest rate)为名义 利率与通货膨胀率之差，它是用你所能 够买到的真实物品或服务来衡量的。
根据题意知，这是一种普通年金。 i 设第 年末支取的 2000 元年金的现值为PVi ，根据终值公式，分别得到如下关系式：
PV1 ⋅ (1 + 6 %) = 2000
PV 2 ⋅ (1 + 6%) 2 = 2000 PV3 ⋅ (1 + 6%) 3 = 2000 PV 4 ⋅ (1 + 6%) 4 = 2000 PV5 ⋅ (1 + 6%) 5 = 2000
– Yield to maturity = interest rate that equates today’s value with present value of all future payments – P=PV of cash flows 当期收益率（Current Yield）
例：
假定在这三年中，你存够了购房的首付款 10万元，成功地从银行申请到了40万元的 抵押贷款，假定贷款年利率为6%，期限为 30年。那么，你的月供是多少呢？
– 由于是每月还款，要将年利率换算成月利率， 6% 月利率为： = 0 ⋅ 5% 12 – 偿还期30年，共有360个还款期。即 r=0.5%,n=360 – 因此，月供额为：
–实际利率≈名义利率-通货膨胀率
利息税对实际利率的影响
–实际利率=名义利率（1-税率）-通货膨胀率
3.2 终值与现值
终值(future value)：一定金额的初始投 资（现值）按一定的复利利率计息后， 在未来某一时期结束时它的本息总额。
– FV=PV×(1+r)^n
1元现值在不同利率及不同年限下的终值变化表（终值表） ：
– 零存整取、购买养老保险等都是即时年金。
普通年金(ordinary annuity)。如果是在现期的期末 普通年金(ordinary annuity) 才开始一系列均等的现金流，就是普通年金。
– 例如，假定今天是3月1日，你与某家银行签订了一份住宅抵 押贷款合同，银行要求你在以后每个月的25日偿还2000元的 贷款，这就是普通年金。
Simple loan of $1 at 10% interest Year 1 2 3 n $1.10 $1.21 $1.33 $1x(1 + i)n $1 PV of future $1 = (1 + i)n
例子
假定你打算在三年后通过抵押贷款购买 一套总价值为50万元的住宅，银行要求 的首付率为20%，即你必须支付10万元 的现款，只能从银行得到40万元的贷款。 设三年期存款利率为6%，为了满足三年 后你购房时的首付要求，你现在需要存 入多少钱呢？
计算年金现值的一般公式：
设普通年金为PMT，年利率为r，年限为n, 每年计息1次，则这一系列未来年金的现值 为：
1 1 2 1 3 1 n PV = PMT ⋅ [( )+( ) +( ) + ⋅⋅⋅ + ( ) ] 1+ r 1+ r 1+ r 1+ r
1 1 n [1 − ( ) ] 1+ r PV = PMT ⋅ 1 + r 1 1− 1+ r
计算过程如下：
设你现在应该存的金额为PV ，10 万元的首付款实际上就是你现在存入的这笔钱在三年后的 终值，因此，根据终值计算公式有：
PV ⋅ (1 + 6%) 3 = 100000
从而解得： PV = 83961.93 即你现在只需存入 83961.93 元就可以满足购房时的首付要求了。
计算现值的一般公式：
1 − (1 + 0.005) −240 PV = 1000× = 139581元 0.005
第二步：
为了计算30年后总供达到139581元，从 现在起每月应该存入多少。可以运用公 式：
(1 + r )[(1 + r )n − 1] FV = PMT ⋅ r
将年金总额、总的缴款月数、月利率代 入公式：
第三章 货币的时间价值
Time value of money
本章内容
3.1 货币的时间价值及其计量 3.2 终值与现值 3.3 年金 3.4 利率的计算
3.1 货币的时间价值
什么是货币的时间价值
–货币的时间价值就是指当前所持有的一定 量货币比未来持有的等量的货币具有更高 的价值。 –货币的价值会随着时间的推移而增长。
时的现在的价值。
3.3 年金（annuity）
什么是年金？一系列均等的现金流或付款 称为年金。例子： 零存整取 均等偿付的住宅抵押贷款(fixed payment loan) 养老保险金(Pension) 住房公积金
年金的类型
即时年金(先付年金,annuity due)。 即时年金(先付年金,annuity due)。所谓即时年金， 就是从即刻开始就发生一系列等额现金流.
永续年金(perpetual annuities 或 perpetuities)就 永续年金( perpetuities) 是永远持续下去没有最终日期的年金。我们无法计算 永续年金的终值，但是，却可以计算它的现值。
即时年金与普通年金
1 2 3 4 5
●
500
●
500 500
●
500 500
●
500 500
●
时间轴
即时年金 500 普通年金
年金终值的计算
年金终值就是一系列均等的现金流在未来一段时 期的本息总额。 以在银行的零存整取为例，假定你现在招商银 行开了一个零存整取的账户，存期5年，每年存 入10000元，每年计息一次，年利率为6%，那 么，到第五年结束时，你的这个账户上有多少 钱呢？ 这实际上就是求你的零存整取的年金终值，它 等于你各年存入的10000元的终值的和。