树与生成树全解
合集下载
5_3树的概念和算法
第10页
定理.1(证明(3)(4))
Ⅱ、增加任何新边，得到一个且仅有一个回路
若在连通图T中加入新的边(ui,uj)，则该边与T中ui到 uj的一条路构成一个回路，则该回路必是唯一的。 否则（即回路不唯一），若删去此新边，T中必有回 路，得出矛盾。
综述，T连通且e=v-1则T无回路但增加任何新边，得 到一个且仅有一个回路。
第 7页
定理.1(证明(2)(3))
(2) T无回路 且e=v-1 (3) T连通且e=v-1 证明(2)(3)： 证明T连通： (反证法） 假设T有s个连通分支, 则每个连通分支都是连通无 回路即树, 所以 e=e1+e2+…+ es=(v1-1)+(v2-1)+…+(vs-1) =v1+v2+…+vs-s=v-s=v-1, 所以s=1，与s>1矛盾， 所以T连通。
第 6页
定理.1(证明(1)(2))
(1) 无回路的连通图 (2) T无回路且e=v-1 证明(1)(2)： e=v-1(归纳法)：
v=1时,e=0（平凡树）。 设vk-1时成立,即ek-1=vk-1-1。 当v=k时, 要证ek=vk-1。 因为无回路且连通，故至少有一边其一个端点u的度数为 1,设该边为(u,u*）。删除结点u,得到一个k-1个结点的 连通图T’，T’的边数e’=v’-1=(k-1)-1=k-2,于是将结点u 与边(u,v)加入图T’得到原图T，此时T的边数为e=e’+1=k2+1=k-1， 结点数v=v’+1=(k-1)+1=k，故e=v-1。 综上所述， T无回路且e=v-1。
定理.1(证明(3)(4))
Ⅱ、增加任何新边，得到一个且仅有一个回路
若在连通图T中加入新的边(ui,uj)，则该边与T中ui到 uj的一条路构成一个回路，则该回路必是唯一的。 否则（即回路不唯一），若删去此新边，T中必有回 路，得出矛盾。
综述，T连通且e=v-1则T无回路但增加任何新边，得 到一个且仅有一个回路。
第 7页
定理.1(证明(2)(3))
(2) T无回路 且e=v-1 (3) T连通且e=v-1 证明(2)(3)： 证明T连通： (反证法） 假设T有s个连通分支, 则每个连通分支都是连通无 回路即树, 所以 e=e1+e2+…+ es=(v1-1)+(v2-1)+…+(vs-1) =v1+v2+…+vs-s=v-s=v-1, 所以s=1，与s>1矛盾， 所以T连通。
第 6页
定理.1(证明(1)(2))
(1) 无回路的连通图 (2) T无回路且e=v-1 证明(1)(2)： e=v-1(归纳法)：
v=1时,e=0（平凡树）。 设vk-1时成立,即ek-1=vk-1-1。 当v=k时, 要证ek=vk-1。 因为无回路且连通，故至少有一边其一个端点u的度数为 1,设该边为(u,u*）。删除结点u,得到一个k-1个结点的 连通图T’，T’的边数e’=v’-1=(k-1)-1=k-2,于是将结点u 与边(u,v)加入图T’得到原图T，此时T的边数为e=e’+1=k2+1=k-1， 结点数v=v’+1=(k-1)+1=k，故e=v-1。 综上所述， T无回路且e=v-1。
离散数学中的图的树与生成树的计数
在离散数学中，图是一个由点和边组成的抽象数学模型。
其中，树是一种特殊的图，它是一个无环连通图。
在图论中，树扮演了重要的角色，它具有许多有趣的性质和应用。
而生成树则是树的一个特殊子集，它由给定图中的所有顶点和部分边构成。
本文将介绍图的树的基本概念，并探讨生成树的计数方法。
首先，让我们来看看图的树。
树是一种无环连通图，其中任意两个顶点之间存在唯一一条路径。
它具有以下性质：1.n个顶点的树有n-1条边。
这可以通过归纳法证明：当n=1时，结论成立；假设n=k时成立，那么n=k+1时，只需要添加一个顶点和一条边，即可构成n=k+1个顶点的树。
因此，结论成立。
2.连接树上任意两个顶点的边都是桥。
即如果一条边被删除，那么树就会变成两个或更多个不相连的子树。
3.树是一个高度平衡的结构。
对于一个n个顶点的树，任意两个叶子结点之间的路径长度至多相差1。
4.树的任意两个顶点之间有唯一一条路径，路径长度为顶点之间的边数。
接下来，让我们来讨论生成树的计数方法。
生成树是树的一个特殊子集，它是由给定图中的所有顶点和部分边构成。
生成树的计数在图论中具有重要的意义和应用。
对于一个具有n个顶点的连通图来说，其生成树的个数可以通过Cayley公式计算得到。
Cayley公式是由亚瑟·凯利于1889年提出的，它给出了完全图的生成树数目。
据此，我们可以得到生成树的计数公式为：T = n^(n-2)，其中T表示生成树的个数。
此外，还有一种常见的计数方法是基于度数矩阵和邻接矩阵的矩阵树定理。
矩阵树定理由高斯于1847年提出，它提供了一种计算图的生成树个数的方法。
根据矩阵树定理，一个无向图G的生成树数目等于该图度数矩阵的任意一个(n-1)阶主子式的行列式的值。
其中，度数矩阵是一个对角矩阵，它的对角线上的元素为各个顶点的度数。
邻接矩阵则是一个关于顶点间连接关系的矩阵，其中1表示相邻顶点之间存在边，0表示不存在边。
除了数学方法，还存在一种基于图的遍历的计数方法，称为Kirchhoff矩阵树定理。
离散数学
4)i← i+1,转到步骤2).
(注)以上算法需假定图中每条边的权都不 相同.但事实上对图中有若干条边的权相同的情 形,只要将它们的权作微小的变动,使之各不相同, 即可使用这个算法.
例：见书本图9.4
又有计算最小生成树的实例:
1 11
6
3 2
9
7 8
10
4 5
红绿粉红紫黄
另有“破圈法”：删除边破坏回路，同时保持图的连 通性，直到没有回路为止。 a
注意，具有 n 个结点和恰有 n-1 条边的图未 必是树，但连通或无回路的是。 连通无圈完全刻划了树，这是树的一个特
性；树还有另外一个重要性质是：它以最少的
边使结点连通。
定理9.2 给定树T=<V，E>，若|V|≥2，则T中至 少存在两个悬挂结点（树叶）。
证明: 1)设T=<V,E>是树,|V|=v.因为T是连通图,viT 有deg(vi)≥1且由定理5-1.1有∑deg(vi)=2(|V|-1)=2v-2.
例：下图为根树，右边是左图省掉方向的代替图。
v1
v2 v3 v4 v2
v1
v3 v4
v5
v6
v7
v8 v9
v5
v6
v7
v8 v9
v10 v11 v12
v10
v11 v12
为表示结点间的关系，有时借用家族中的
术语。一棵根树可以看成一棵家族树。令u是有
根树中的分枝结点，若从u到v有一条边或，则 结点v称为结点u的“儿子”，或称u是v的“父 亲”；若从u到w有一条路，称u是w的“祖先”， 或称w是u的“子孙”或“后代”，同一个分枝
第九章 树
9.1 无向树及生成树
9.2 根树及其应用
(注)以上算法需假定图中每条边的权都不 相同.但事实上对图中有若干条边的权相同的情 形,只要将它们的权作微小的变动,使之各不相同, 即可使用这个算法.
例：见书本图9.4
又有计算最小生成树的实例:
1 11
6
3 2
9
7 8
10
4 5
红绿粉红紫黄
另有“破圈法”：删除边破坏回路，同时保持图的连 通性，直到没有回路为止。 a
注意，具有 n 个结点和恰有 n-1 条边的图未 必是树，但连通或无回路的是。 连通无圈完全刻划了树，这是树的一个特
性；树还有另外一个重要性质是：它以最少的
边使结点连通。
定理9.2 给定树T=<V，E>，若|V|≥2，则T中至 少存在两个悬挂结点（树叶）。
证明: 1)设T=<V,E>是树,|V|=v.因为T是连通图,viT 有deg(vi)≥1且由定理5-1.1有∑deg(vi)=2(|V|-1)=2v-2.
例：下图为根树，右边是左图省掉方向的代替图。
v1
v2 v3 v4 v2
v1
v3 v4
v5
v6
v7
v8 v9
v5
v6
v7
v8 v9
v10 v11 v12
v10
v11 v12
为表示结点间的关系，有时借用家族中的
术语。一棵根树可以看成一棵家族树。令u是有
根树中的分枝结点，若从u到v有一条边或，则 结点v称为结点u的“儿子”，或称u是v的“父 亲”；若从u到w有一条路，称u是w的“祖先”， 或称w是u的“子孙”或“后代”，同一个分枝
第九章 树
9.1 无向树及生成树
9.2 根树及其应用
图论第一章课后习题解答
bi 个 (i = 1,2,…,s)，则有 列。 定理 7
bi = n。故非整数组(b ,b ,…, b )是 n 的一个划分，称为 G 的频序
1 2 s
s
i 1
一个 n 阶图 G 和它的补图 G 有相同的频序列。
§1.2 子图与图的运算
且 H 中边的重数不超过 G 中对应边的 定义 1 如果 V H V G ，E H E G ， 重数，则称 H 是 G 的子图，记为 H G 。有时又称 G 是 H 的母图。 当 H G ，但 H G 时，则记为 H G ，且称 H 为 G 的真子图。G 的生成子图是 指满足 V(H) = V(G)的子图 H。 假设 V 是 V 的一个非空子集。以 V 为顶点集，以两端点均在 V 中的边的全体为边集 所组成的子图，称为 G 的由 V 导出的子图，记为 G[ V ]；简称为 G 的导出子图，导出子图 G[V\ V ]记为 G V ； 它是 G 中删除 V 中的顶点以及与这些顶点相关联的边所得到的子图。 若 V = {v}, 则把 G-{v}简记为 G–v。 假设 E 是 E 的非空子集。以 E 为边集，以 E 中边的端点全体为顶点集所组成的子图 称为 G 的由 E 导出的子图，记为 G E ；简称为 G 的边导出子图，边集为 E \ E 的 G 的 导出子图简记为 G E 。若 E e ，则用 G–e 来代替 G-{e}。 定理 8 简单图 G 中所有不同的生成子图（包括 G 和空图）的个数是 2m 个。 定义 2 设 G1，G2 是 G 的子图。若 G1 和 G2 无公共顶点，则称它们是不相交的；若 G1 和 G2 无公共边，则称它们是边不重的。G1 和 G2 的并图 G1∪G2 是指 G 的一个子图，其顶点 集为 V(G1)∪V(G2)，其边集为 E(G1)∪E(G2)；如果 G1 和 G2 是不相交的，有时就记其并图为 G1+G2。类似地可定义 G1 和 G2 的交图 G1∩G2，但此时 G1 和 G2 至少要有一个公共顶点。
《离散数学》课件-第16章树
解：易见所求为该图的一棵最小生成树，如图所示 总造价为57
18
16.3 根树及其应用
19
定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
2
16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
8
平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
18
16.3 根树及其应用
19
定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
2
16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
8
平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
离散数学7-树
(b)
(a)
V5
2
1
V7
8
9
V2
V4
2
3
V8
5
V1
V1
V4
V5
1
3
V7
V6
8
V4
2
V8
5
6
V1
1
V5
6
V7
V6
8
3
V8
5
6
V7
9
V3
(e)
V3
(f)
(g)
22
V2
V3
(h)
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
23
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
成圈。
首先证明T无简单回路。对n作归纳证明。
(i) n=1时,m=n-1=0,显然无简单回路；
(ii)假设顶点数为n-1时无简单回路，现考察顶点数是n的情况：此时至少有一
个顶点v其次数d(v)=1。因为若n个顶点的次数都大于等于2，则不少于n条边，但这与
m=n-1矛盾。
删去v及其关联边得到新图T’，根据归纳假设T’无简单回路，再加回v及其关联
边又得到图T，则T也无简单回路。
再由图的连通性可知，加入任何一边后就会形成圈，且只有一个圈，否则原图
中会含圈。
9
二. 基本定理——证明
证明(4):(3)(4)，即证一个无圈图若加入任一边就形成圈，
则该图连通，且其任何一边都是桥。
若图不连通,则存在两个顶点vi和vj，在vi和vj之间没有路，若
加边(vi,vj)不会产生简单回路，但这与假设矛盾。由于T无简单回
二：平面图、对偶和作色、树和生成树
一个平面图，一定可以用四种颜色进行着色，
使得邻接的结点都有不同的颜色。
2、着色
图G的正常着色（简称着色）是指对它的每一个结点指定一 种颜色，使得没有两个邻接的结点有同一种颜色。如果图G在着 色时用了n种颜色，我们称G为n-色的。最小着色数用x(G)表示。 虽然目前还没有一个简单的方法，可以确定任一图G是n-色的。 但我们可以用韦尔奇鲍威尔(Welch Powell)对图G着色： a) 将图G中的结点按照度数的递减次序进行排列（这种排列可能 并不是唯一的，因为有些点有相同度数）；
3×5－6＝9＜10
K5
K3,3 推论： 如果图Ｇ＝<Ｖ,Ｅ>是连通的简单平面图，若v ≥ 3，
且每个区域至少由四条边围成，则有ｅ≤２v－４。
作业Ｐ317 (1) (2) (4)
7－6
对偶与着色
这个问题最早起源于地图着色，一个地图中相邻两个国家
以不同的颜色，那么最少需用多少种？
一百多年前，英国格色里(Guthrie)提出用四种猜想即可对地 图进行着色的猜想，1879年肯普(Kempe)给出该猜想的第一个证 明，但到了1890年希伍德(Hewood)发现肯普的证明是错误的，指
1 4
3
5
2 带权树 2
6
三、最小生成树
定义：在图G的所有生成树中，树权最小的那棵生成树， 称作最小生成树。 最小生成树的生成算法： (1)避回路法 (2)破圈法 作业Ｐ327 (3) (6)
deg(v ) 2e
i 1 i
v
故2e ≥6v，所以e ≥3v>3v-6，与ｅ≤3v-6矛盾。 定理3 任意平面图G最多是5-色的。
7-7
一、树
树与生成树
定义： 一个连通且无回路的无向图称为树。树中度数为1
第二章 生成树
第二章树教学安排的说明章节题目：§2.1树的特性；§2.2割边与割点，§2.3生成树学时分配：共2课时本章教学目的与要求：会正确表述关于树的一些基本概念（如树、生成树、割边与割点），会用避圈法和破圈法找生成树，会用树的方法描述一些简单的实际问题．课 堂 教 学 方 案课程名称：§2.1树的特性；§2.2割边与割点；§2.3 生成树授课时数：2学时授课类型：理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：会正确表述关于树的一些基本概念（如树、生成树、割边与割点），会用避圈法和破圈法找生成树，会用树的方法描述一些简单的实际问题． 教学重点、难点：（1） 理解树的概念以及树的等价命题；（2） 掌握割边与割点的概念；（3） 理解生成树的定义；（4） 掌握找生成树的两种方法——避圈法和破圈法。
教学内容：树是图论中的一个重要概念。
树是一种极为简单而又非常重要的特殊图，它在计算机科学以及其它许多领域都有广泛的应用。
在1847年克希霍夫就用树的理论来研究电网络，1857年凯莱在计算有机化学中222n C H 的同分异构物数目时也用到了树的理论。
各类网络的主干网通常都是树的结构。
本节介绍树的基本知识，其中谈到的图都假定是简单图。
2.1 树的特性定义2.1.1 连通无圈的无向图称为无向树，简称为树（Undirected tree ）。
记作T ，树中的悬挂点（或称T 中度数为1的顶点）又称为树叶（leave ）（或叶顶点），其它顶点称为树枝（Branch Point 或内点(Inner Point)）。
诸连通分支均为树的图称为森林（forest ），树是森林。
例1 图1中（a ），（b ）为树，（c ）为森林。
图1由于树无环也无重边（否则它有圈）,因此树必定是简单图。
树还有等价命题：设T 是一个无向(,)n m 图，则以下关于T 的命题是等价的。
(1) T 是树；（2）T 无圈且1m n =-；(3) T 连通且1m n =-；（4）T 无圈，但增加任一新边，得到且仅得到一个圈。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定理7-7.4 一条回路和任意一棵生成树的 补至少有一条公共边。 证明 若有一条回路和一棵生成树的补没有 公共边，那么这回路包含在生成树之中， 然而这是不可能的，因为一棵生成树不 能包含回路。
定理7-7.5 一个边割集和任何生成树至少 有一条公共边。 证明 若有一条边割集和一棵生成树没有公 共边，那么删去这个边割集后，所得的 子图必然包含该生成树，这意味着删去 边割集后仍然连通，与边割集定义矛盾。
定理7-7.2 任一棵树至少有两片树叶。 证明 设树T=〈V，E〉，|V|=v， 则deg(vi)=2(v-1) 因为T是连通图，对于任意viT， 有deg(vi)≥1 若T中每一个结点的度数大于等于2， 则deg(vi) ≥2v，得出矛盾。 若T中只有一个结点度数为1，其它结点的度数 大于等于2，则 deg(vi) ≥2(v-1)+1=2v-1,得出矛盾。 故T至少有两个结点度数为1。
7-7 树与生成树
树是图论中最主要的概念之一，而且是最简单 的图之一。它在计算机科学中应用非常广泛。 我们从一个问题谈起，下图是通讯线路图 ( 图 7-7.1)。
图7-7.1 通讯线路图
其中 v1 ， v2,…,v10 是十个城市，线路只 能在这里相接。不难发现，只要破坏了几 条线路，立即使这个通讯系统分解成不相 连的两部分。但要问在什么情况下这十个 城市依然保持相通？不难知道，至少要有 九条线把这十个城市连接在一起，显然这 九条线是不存在任何回路的，因而九条线 少一条就会使系统失去连通性。
⑶⑷ 若T连通且有v-1条边。 当v=2时，e=v-1=1，故T必无回路。如增加一条边得 到且仅得到一个回路。 设v=k-1时命题成立。 考察v=k时的情况，因为T是连通的，e=v-1。故每个 结点 u有deg(u)≥1 ，可以证明至少有一结点 u0 ，使 deg(u0)=1，若不然，即所有结点 u有 deg(u) ≥2， 则2e≥2v，即e≥v与假设e=v-1矛盾。删去u0及其关 联的边，而得到图T’，由归纳假设得知T’无回路， 在T’中加入u0及其关联边又得到T，故T无回路的， 如在 T中增加一条边 (ui ,uj) ，则该边与 T中 ui到 uj的 路构成一个回路，则该回路必是唯一的，否则若删 除这条新边，T必有回路，得出矛盾。
证明 ⑴⑵ 设在图T中，当v=2时，连通无向图，T中的边数 e=1，因此e=v-1成立。 设 v=k-1 时命题成立，当 v=k 时，因无向图且连 通，故至少有一条边其一个端点u的度数为1。 设该边为 (u,w) ，删去结点 u ，便得到一个 k-1 个结点的连通无向图T’，由归纳假设，图T’的 边数 e’=v’-1=(k-1)-1=k-2 ，于是再将结点 u 和 关联边 (u,w) 加到图 T’ 中得到原图 T ，此时图 T 的 边 数 为 e=e’+1=(k-2)+1=k-1 ， 结 点 数 v=v’+1=(k-1)+1=k，故e=v-1成立。
例如图 7-7.4(a) 中，相继删去边 2 、 3 和 5 ，就得到 生成树 T1 ，如图 7-7.4(b) ，若相继删去 2 、 4 和 6 ， 可得生成树T2，如图7-7.4 (c)。
图7-7.4 生成树
假定G是一个有n个结点和m条边的连通图， 则 G 的生成树正好有 n-1条边。因此要确 定 G 的一棵生成树，必须删去 G 中的 m(n-1)=m-n+1条边。该数m-n+1称为连通 图G的秩。
⑷⑸ 若图T不连通，则存在结点ui与uj，ui与uj之间没有 路，显然若加边{ ui，uj }不会产生回路，与假设 矛盾。又由于 T无回路，故删去任一边，图就不 连通。 ⑸⑹ 由连通性可知，任两个结点间有一条路，若存在两 点，在它们之间有多于一条的路，则 T中必有回 路，删去该回路上任一条边，图仍是连通的，与 ⑸矛盾。 ⑹⑴ 任意两点间必有唯一一条路，则 T必连通，若有回 路，则回路上任两点间有两条路，与⑹矛盾。
图7-7.3 生成树
定理7-7.3 连通图至少有一棵生成树。 证明 设连通图 G没有回路，则它本身就是一棵 生成树。若 G至少有一个回路，我们删去回路 上的一条边，得到G1，它仍然是连通的，并与 G有相同的结点集。若G1没有回路，则G1就是 G的生成树。若G1仍然有回路，再删去G1回路 上的一条边，重复上面的步骤，直到得到一个 连通图 H ，它没有回路，但与 G 有相同的结点 集，因此H为G的生成树。 由定理 7-7.3 的证明过程中可以看出，一个连通 图有许多生成树。因为取定一个回路后，就可 以从中去掉任何一条边，去掉的边不一样，故 可以得到不同的生成树。
定义7-7.1 树、森林 一个连通且无回路的无向图称为树。在树 中度数为1的结点称为树叶，度数大于1 的结点称为分枝点或内点。如果一个无 回路的无向图的每一个连通分图是树， 称为森林。
定理7-7.1 给定图T，以下关于树的定义是等价 的： ⑴无回路的连通图； ⑵无回路且e=v-1，其中e为边数，v为结点数； ⑶连通且e=v-1； ⑷无回路且增加一条新边，得到一个且仅一个回 路； ⑸连通且删去任何一个边后不连通； ⑹每一对结点之间有一条且仅一条路。
Байду номын сангаас
定义7-7.2 生成树、树枝 若图G的生成子图是一棵树，则该树称为G 的生成树。 设图G有一棵生成树T，则T中的边称作树枝。 图 G 中不在生成树上的边称为弦。所有弦的 集合称为生成树T相对于G的补。 图 7-7.3中，可以看出该图的生成树 T为粗线 所表达。其中e1,e7,e5,e8,e3都是T的树枝， e2,e4,e6是 T的弦， { e2,e4,e6} 是生成树 T的 补。
⑵ ⑶ 若T不连通，并且有k(k≥2)个连通分支T1， T2 ， … ， Tk ，因为每个分图是连通无回 路，则我们可证：如 Ti 有 vi 个结点 vi ＜ v 时，Ti有vi-1条边，而 v=v1+v2+…+vk e=(v1-1)+(v2-1)+…+(vk-1)=v-k 但 e=v-1 ，故 k=1 ，这与假设 G 是不连通即 k≥2相矛盾。