最短距离问题
线外一点到直线的最短距离
线外一点到直线的最短距离全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在几何学中，我们经常会遇到这样一个问题：给定一个点和一条直线，求点到直线的最短距离。
这个问题在很多实际应用中都是非常常见的，比如在工程设计中需要确定某个点到直线的距离，或者在航海中需要确定飞行器到航线的距离。
要计算点到直线的最短距离，我们首先需要了解直线的方程以及点到直线的垂直距离的定义。
一条直线可以用方程Ax+By+C=0来表示，其中A、B、C是常数。
假设我们有一个点(x_0,y_0)，我们想计算这个点到直线Ax+By+C=0的最短距离。
为了计算这个最短距离，我们可以利用点到直线的垂直距离公式。
点(x_0,y_0)到直线Ax+By+C=0的垂直距离可以表示为：d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}这个公式的推导过程可以通过向量的方法来进行，但是为了简化，我们这里不展开具体的推导细节。
这个公式给出了点到直线的最短距离，我们可以通过这个公式来解决这个问题。
举例来说，假设我们有点(2,3)和直线2x+3y-6=0，我们想计算点(2,3)到直线2x+3y-6=0的最短距离。
根据上面的公式，我们可以将点的坐标和直线的系数代入公式中计算出最短距离d。
d = \frac{|2*2+3*3-6|}{\sqrt{2^2+3^2}} = \frac{1}{\sqrt{13}}通过上面的计算，我们可以得出点(2,3)到直线2x+3y-6=0的最短距离为\frac{1}{\sqrt{13}}。
这个计算过程可以很方便地通过计算机程序实现，从而解决大量点到直线距离计算的需求。
除了点到直线的最短距离，我们还可以考虑更一般的问题：线外一点到直线的最短距离。
这个问题稍微复杂一些，但是我们同样可以通过基本的几何知识和计算方法来解决。
我们可以通过直线的方程Ax+By+C=0计算直线的斜率k=-\frac{A}{B}。
然后，我们可以得到直线的法线方程y=kx+\frac{C}{B}，这个方程表示直线的法线的斜率为-\frac{1}{k}且经过点(x_0,y_0)。
最短距离专题(答案部分)
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基本应用
1．如图，∠AOB=30°，内有一点 P 且 OP=5，若 M、N 为边 OA、OB 上两动点， 那么△PMN 的周长最小为 5 ．
【分析】根据题意画出符合条件的图形，求出 OD=OE=OP，∠DOE=60°，得出等 边三角形 DOE，求出 DE=5，求出△PMN 的周长=DE，即可求出答案． 【解答】解：作 P 关于 OA 的对称点 D，作 P 关于 OB 的对称点 E，连接 DE 交 OA 于 M，交 OB 于 N，连接 PM，PN，则此时△PMN 的周长最小， 连接 OD，OE， ∵P、D 关于 OA 对称，∴OD=OP，PM=DM， 同理 OE=OP，PN=EN，∴OD=OE=OP=5， ∵P、D 关于 OA 对称，∴OA⊥PD， ∵OD=OP，∴∠DOA=∠POA， 同理∠POB=∠EOB，∴∠DOE=2∠AOB2×30°═60°， ∵OD=OE=5，∴△DOE 是等边三角形， ∴DE=5 即△PMN 的周长是 PM+MN+PN=DM+MN+EN=DE=5，
【分析】（1）首先作出∠AOB 角平分线，再作出 MN 的垂直平分线，交点即为 P； （2）先作出 M 点关于 AB 的对称点 G，连接 NG 交 AB 于 Q，则 Q 就是所求． 【解答】解：（1）如图所示：
∴点 P 是所求做的点； （2）由题意，得 ∴点 Q 是所求作的点． 【点评】本题考查了角平分线的性质的运用，线段的垂直平分线的性质的运用， 轴对称最短路径问题的运用，解答时熟练掌握基本作图的方法是关键．
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作 B 点关于 l 的对称点 B′，连接 AB′交E⊥AE，
有关最短距离问题
有关最短距离问题
例1.在河的同旁有A、B两个村庄，现在要在河边修一个供水站给A、B两村供水，问在那个位置修能使到A、B两村距离最短。
P B
A
这是课本中的一道题，做法相信大家都知道。
其实，这种方法还可以和其他知识合起来变形应用。
例2.要在一条河上修一座垂直于河岸的桥，河岸两旁有A、B两村，要使从A到B的距离最短，桥应该修在那个位置。
A
解：过点B做河岸的垂线,并截取BC,使BC等于河岸的宽度，连接AC交下边河岸于点P，则P点为所求的点。
做法如上图。
例3.在锐角三角形中求一点P，使P到此三角形三个顶点的距离和最短，求点P的位置。
E
D
P
C
B
A
解：假设P点在上图位置，连接PA、PB、PC,将⊿PAB逆时针方向旋转0
60.
在⊿PBD 中PB=DB ,∠PBD=060.所以⊿PBD 为正三角形。
所以PB=BD=PD.
由旋转性质知：PA=DE 。
所以PA+PB+PC=PC+PD+DE
由两点之间线段最短知，当E 、D 、P 、C 在同一直线上时，PA 、PB 、PC 距离之和最短。
所以∠EDB=∠BPC=0120 即∠BPA=∠BPC=∠APC=0120
因此，点P 在使∠BPA=∠BPC=∠APC=0120的位置时，到三角形三顶点的距离之和最短。
点到直线的距离最短 生活例子
点到直线的距离最短生活例子一、引言生活中，我们经常会遇到一些与点到直线距离相关的问题，比如在找寻最短路径、设计建筑物或者进行测量时。
点到直线的距离是一种重要的数学概念，它在现实生活中有着广泛的应用。
本文将通过一些生活例子来解释点到直线的距离。
二、点到直线的定义点到直线的距离是指空间中一点到一条直线的距离。
在数学上，我们可以通过垂直距离或者投影距离来计算点到直线的距离。
三、生活例子一：最短路径在日常生活中，我们经常需要选择最短路径来节省时间和精力。
我们去某个地方旅行，需要选择一条最短的路线；在购物时，我们想要找到离家最近的商店等。
这些都涉及到点到直线的距离的概念。
通过计算点到直线的距离，我们可以找到一条最短路径，从而节省时间和成本。
四、生活例子二：建筑设计在建筑设计中，点到直线的距离也是一个重要的概念。
设计师需要考虑到建筑物与基准线之间的距离，以确保建筑物的稳定性和美观性。
通过计算点到直线的距离，设计师可以确定建筑物与基准线的最佳位置，从而确保建筑物的稳固性和美感。
五、生活例子三：测量在工程测量中，点到直线的距离也是一个重要的概念。
工程师需要通过测量来确定物体与基准线之间的距离，以便进行建筑、施工和维护工作。
通过计算点到直线的距离，工程师可以准确地测量物体与基准线之间的距离，从而确保工程的准确性和安全性。
六、结论点到直线的距禮是一个重要的数学概念，在生活中有着广泛的应用。
通过生活例子的解释，我们可以更加直观地理解点到直线的距离的概念，并了解它在日常生活中的实际应用。
希望大家能够通过本文的介绍，对点到直线的距离有一个更加深入的了解。
七、生活例子四：交通规划交通规划是现代城市发展中不可或缺的一部分。
在设计城市道路和交通系统时，需要考虑点到直线的距离来确定最佳的道路布局和交通流线。
通过计算点到直线的距离，交通规划师可以更好地规划交通设施的位置和道路的走向，以便提高交通效率和减少交通拥堵。
八、生活例子五：地图制作在制作地图的过程中，点到直线的距离也是一个重要的因素。
【初二】最短距离问题总结
【初二】最短距离问题总结在初二数学课程中，最短距离问题是一个常见的问题类型。
本文将对最短距离问题进行总结和简要解析。
最短距离问题定义最短距离问题是指在给定的条件下，求解两个点之间最短路径的问题。
该问题常见于几何、图论和最优化等领域，在实践中具有广泛的应用。
最短距离问题解决方法1. 直线距离计算最简单的情况是直线距离计算。
当两个点在平面直角坐标系中给出时，可以使用勾股定理（即直角三角形斜边长度公式）计算两点之间的直线距离。
2. 曼哈顿距离计算曼哈顿距离是指在矩形网格中，从一个点到达另一个点所需要的最小移动次数（只能上下左右移动，不能斜向移动）。
曼哈顿距离计算可以通过两点横纵坐标的差值相加得到。
3. 最短路径算法对于复杂的情况，如图论中求解两点之间的最短路径，可以使用最短路径算法。
常见的最短路径算法包括迪杰斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）和弗洛伊德算法（Floyd Algorithm）等。
这些算法可以在给定网络、权重或距离信息的情况下，计算出两点之间最短路径的长度和路径。
最短距离问题应用举例最短距离问题在实际生活中有广泛的应用，下面列举几个例子：1. 导航系统：导航系统通过计算起点和终点之间的最短路径，为驾驶员提供最优的导航路线。
2. 物流配送：物流公司需要计算货物从起点到终点的最短路径，以最大程度地减少运输成本和时间。
3. 网络通信：计算机网络中的路由算法使用最短路径算法来确定数据包传输的最佳路径。
4. 旅行规划：旅行者可以使用最短路径算法规划旅游路线，使得行程更加紧凑和高效。
总结最短距离问题是初二数学课程中的一个重要内容。
通过不同计算方法和最短路径算法，可以有效地解决两点之间最短路径的问题。
最短距离问题在实际中有许多应用场景，涉及导航、物流、网络通信和旅行规划等领域。
(完整版)勾股定理--最短距离问题
蚂蚁爬行的最短路径正方体4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）A ．A ⇒P ⇒B B ．A ⇒Q ⇒BC ．A ⇒R ⇒BD ．A ⇒S ⇒ B解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB=51222=+．8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .解：将正方体展开，连接M 、D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3，第6题第7题AB121MD 1=132322212=+=+DD MD ．5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）解：如图，AB= ()1012122=++．故选C ．9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB= = cm ；（2）展开底面右面由勾股定理得AB==5cm ；所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．长方体10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。
解：将长方体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，AB==25．A B A 1B 1D CD 1C 121411. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .解：正面和上面沿A 1B 1展开如图，连接AC 1，△ABC 1是直角三角形， ∴AC 1=()5342142222212=+=++=+BC AB18．（2011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm ．解：∵PA=2×（4+2）=12，QA=5 ∴PQ=13．故答案为：13．19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm ，长ND=10cm ，CD 上的点B 距地面的高BD=8cm ，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB ， 则AB 的长即为A 处到B 处的最短路程．解：在Rt △ABD 中，因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8， 所以AB 2=AD 2+BD 2=152+82=289=172． 所以AB=17cm ．故蚂蚁爬行的最短路径为17cm ．49、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.(1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。
立体图形线路最短问题(最全)
立体图形最短距离问题1.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在C 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从圆柱侧面从A 处爬向B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？2.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在C 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从圆柱侧面从A 处爬向C 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？3.有一圆形油罐底面圆的周长为16m，高为7m，一只蚂蚁从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？4.圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面圆的周长为18cm,在杯子内壁离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，距离杯子上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少?C A ABBAB A CACA5.如图，在棱长为10厘米的正方体的一个顶点A 处有一只蚂蚁，现要向顶点B 处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A 爬到B？6.已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高AA′=4．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？7..如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是多少？8.有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60cm，水深为AE=40cm，在水面上紧贴内壁G 处有一鱼饵，G 在水面线EF 上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A 点沿壁爬进鱼缸内G 处吃鱼饵．（1）小动物应该走怎样的路线才使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．（2）求小动物爬行的最短路线长？AB。
点到线段最短距离公式
点到线段最短距离公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在几何学中，我们经常会遇到点到线段的最短距离问题。
这种问题在实际生活中也是非常常见的，比如我们在行驶时需要保持与前车的安全距离，或者在设计建筑物时需要计算两个设施之间的最短距离等等。
解决这类问题需要运用数学知识，特别是点到线段最短距离公式。
要计算点到线段的最短距离，我们首先需要了解什么是点、线段以及它们之间的关系。
点是空间中的一个位置，没有大小和形状；而线段是由两个端点确定的有限长度的线段。
点和线段之间的最短距离就是从点到线段上的某个点的距离，这个距离是垂直于线段的距离。
根据数学知识，我们可以得出点到线段最短距离的公式如下：设点P(x0, y0)到线段AB的端点A(x1, y1)和B(x2, y2)的距离公式为d，其计算步骤如下：1.计算线段AB的长度：AB=sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)3.如果d=0，则点P在线段AB上，距离为0；否则，计算点P到线段AB的最短距离：d = |(x2-x1)*(y1-y0)-(x1-x0)*(y2-y1)| / sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)4.点P到线段AB的最短距离即为d。
这个公式的推导过程可以通过几何方法或者向量方法来解释，但无论是哪种方法，最终的结果都是一样的。
这个公式在实际中的应用非常广泛，比如在计算机图形学中，就需要大量地使用到点到线段的最短距离公式来进行计算。
除了点到线段的最短距离公式，我们还可以推广到点到直线的最短距离问题。
点到直线的最短距离的计算方法与点到线段的方法很类似，只是直线是无限延伸的，所以我们只需要计算垂直于直线的距离即可。
点到线段的最短距离公式是一种非常重要的数学工具，在解决实际问题中有着广泛的应用。
通过掌握这个公式，我们可以更加准确地计算出点到线段的最短距离，从而更好地解决实际问题。
希望通过这篇文章的介绍，能够帮助大家更好地了解点到线段最短距离的计算方法，提高数学应用能力。
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N
30°
P
A
M
Q
M
E 30° P
2、如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向600 千米的B处，以40千米/时的速度向北偏西60°的BF方 向移动，距台风中心500千米范围内是受台风影响的 区域．（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结 论并给予说明；
（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时 间有多长？
中国古代人民 的聪明才智真 是令人赞叹 !
举一反三
练习1 练习2
解：设水池的水深AC为x尺，则 这根芦苇长为
AD=AB=（x+1）尺， 在直角三角形ABC中，BC=5尺 由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即 52+ x2= (x+1)2 25+ x2= x2+2 x+1， 2 x=24，
∴ x=12， x+1=13
回顾与思考
1.∆ABC的三边长为AB＝26，AC＝10，BC＝24， 则∆ABC最长边上的高为 120/13 。
如何判断一个三角形为直角三角形的方法 是： 较短的两边平方和等于最长边的平方。
2.两点之间 线段 最短。 3、从直线外一点向已知直线做线段， ___垂__线__段__最短。
如图，长方体的长、宽、高分别为8cm， 4cm，5cm。一只蚂蚁沿着长方体的表面从 点A爬到点B。则蚂蚁爬行的最短路径的长 是 cm。
AD2 AB2 302 402 2500 BD2 2500
AD2 AB2 BD2
∴AD和AB垂直
李叔叔想要检测雕塑底座正 面的AD边和BC边是否分别垂直于 底边AB，但他随身只带了卷尺， （1）你能替他想办法完成任务 吗？ （2）李叔叔量得AD长是30厘米， AB长是40厘米，BD长是50厘米， AD边垂直于AB边吗？为什么？
（3）小明随身只有一个长度为 20厘米的刻度尺，他能有办法 检验AD边是否垂直于AB边吗？ BC边与AB边呢？
小试牛刀
练习1 练习2 练习3
北 C
A
1．甲、乙两位探险者到沙漠 进行探险，某日早晨8：00甲先 出发，他以6km/h的速度向正东 行走，1小时后乙出发，他以 5km/h的速度向正北行走。上午 10：00，甲、乙两人相距多远？
如图，长方体的长、宽、高分别为8cm， 4cm，5cm。一只蚂蚁沿着长方体的表面从 点A爬到点B。则蚂蚁爬行的最短路径的长 是 cm。
李叔叔想要检测雕塑底座正 面的AD边和BC边是否分别垂直于 底边AB，但他随身只带了卷尺， （1）你能替他想办法完成任务 吗？ （2）李叔叔量得AD长是30厘米， AB长是40厘米，BD长是50厘米， AD边垂直于AB边吗？为什么？
解:如图:已知A是甲、乙的出发点， 10:00甲到达B点,乙到达C点.则:
AB=2×6=12(千米)
B东
AC=1×5=5(千米)
在Rt△ABC中 BC2 AC2 AB2
∴BC=13(千米)
52 122 169 132
即甲乙两人相距13千 米
举一反三
练习1 练习2
2．在我国古代数学著作 《九章算术》中记载了一道有趣 的问题，这个问题的意思是：有 一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，在水池的中央有一 根新生的芦苇，它高出水面1尺， 如果把这根芦苇垂直拉向岸边， 它的顶端恰好到达岸边的水面， 请问这个水池的深度和这根芦苇 的长度各是多少？
3、某隧道的截面是一个半径为4.2米的半圆形，一 辆高3.6米，宽3米的卡车能通过隧道吗？
D
C
3.6m
O 1.5m A 3m B
解：在Rt△OBC中，根据勾股定理得：
OC2=OB2 + BC2 = 1.52 +3.62 = 15.21
R2 = 4.22 = 17.64 ＞ 15.21
所以卡车能通过隧道。
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺。
1、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且 ∠QPN=30° ，点A处有一所学校，AP=160m，假设 拖拉机行驶时，周围100m内会受到噪声影响，那么 拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会
受到噪声影响？说明理由，若受影响，已知拖拉机 速度为18km/h，那么学校受影响时间为多长？