最短距离问题

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第三讲 最短距离问题 一．考情分析 中考分值 近五年杭州中考中,有一年考察此知识点,分值为６分,占全卷的5％ 考查方式 此知识点在各种题型中都可以进行考察,虽然杭州中考考察的不多，但在平时的月考、
期中考试中，考察次数很频繁,在浙江其它城市的中考中,考察的次数也很多。

相信在以后的杭州中考中，此知识点必将重点考察。

二.知识回顾
几何模型1
条件:如图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点.
问题:在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小．
方法：作点A 关于直线l 的对称点A ',连结A B '交l 于点P ,
则PA PB A B '+=的值最小
几何模型2
条件:如图，A 、B 是直线l 异侧的两个定点．且A 、B 到l 距
离不相等
问题:在直线l 上确定一点M ，使MA MB -的值最大
方法:作点B 关于直线l 的对称点B ',连结AB '交l 于点
0M ，则MA MB MA MB AB ''-=-=的值最小
三.重点突破
类型一：题中出现一个动点
(A ）【典型例题1】在正方形ＡBCD 中，点Ｅ为ＢC 上一定点，且BE=10,CE=1４,P 为BD 上一动点，求PE+PC 最小值。

(Ａ）【典型例题２】已知：直线112y x =+与y 轴交于A ,与x 轴交于Ｄ,抛物线212
y x bx c =++与直线交于A 、Ｅ两点，与x 轴交于Ｂ、C 两点,且B 点坐标为 （１，0)．
(1)求抛物线的解析式;
(２）在抛物线的对称轴上找一点M ,使||AM MC -的值最大，求出点Ｍ的坐标.
〖搭配练习〗
（A ）１．已知:抛物线的对称轴为x=-1与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，
其中()30A -，、()02C -，．
（1）求这条抛物线的函数表达式.
（2)已知在对称轴上存在一点Ｐ,使得PBC △的周长最小.请求出点P 的坐标
类型二:题中出现两个动点
(B ）【典型例题3】如图:
在△ＡB Ｃ中,20A ∠=,10AB AC ==,M 、N 分别AB,AC 上动点,求BN+ＭN+MC 最小
值
(B)【典型例题4】如图,矩形ABC Ｄ中,ＡＢ=20,BC=１0,若ＡC,A
Ｂ是各有一个动点M,N ，求BM+MN 最小值．
〖搭配练习〗
(B)1．恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧,50km AB A =，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ,向A 、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案,图8是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P )，P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+，图9是方案二的示意图(点A 关于直线X 的对称点是A '，连接BA '交直线X 于点P )，P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+.
(1）求1S 、2S ，并比较它们的大小;
(2)请你说明2S PA PB =+的值为最小;
(3)拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图1０所示的直角坐标系,B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
（B)2.如图,在锐角ABC △中,4245AB BAC =∠=，°，BAC ∠的平分线
交BC 于点D M N ，、分别是AD 和AB 上的动点,则BM MN +的最小值是
___＿____.
类型三：题中出现三个动点时
（B ）【典型例题5】如图，在菱形ABCD 中,A Ｂ=２,∠ＢA Ｄ=60°，Ｅ,Ｆ,
Ｐ分别为AB,ＢＣ,AC 上动点，求PE+ＰF 最小值
〖搭配练习〗
（B)如图,∠AOB=45°,角内有一动点P ，PO=１0,在AO ，BO 上有两动点Ｑ，
R ，求△PQ Ｒ周长的最小值
类型四：综合压轴
（C ）【典型例题6】如图,四边形ＡBCD 是正方形，△ＡBE 是等边三角形，M 为对角线BD(不含B 点）上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、C Ｍ.
⑴ 求证：△ＡＭＢ≌△E ＮB ；
⑵ ①当M 点在何处时，A Ｍ+CM 的值最小;
②当M 点在何处时，A Ｍ＋BM+CM 的值最小，并说明理由;
⑶ 当ＡＭ+BM+ＣＭ的最小值为13+时，求正方形的边长.
〖搭配练习〗
(C）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为
()
6,0
A-,()
6,0
B，()
0,43
C，延长AC到点D,使ＣD=1
2
AC,过点D作DE
∥ＡB交BC的延长线于点Ｅ.
（1)求Ｄ点的坐标；
(2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DＦ、ＥＦ，若过B点的直线
y kx b
=+将四边形ＣＤFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析
式;
（3）设G为ｙ轴上一点，点P从直线y kx b
=+与y轴的交点出发,先沿ｙ轴到达G点，再沿GＡ到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的２倍，试确定G点的位置,使Ｐ点按照上述要求到达A点所用的时间最短。

(要求:简述确定G点位置的方法,但不要求证明)
课后作业
基础训练题（Ａ类）
１、如图，AC、BD为正方形ABCD对角线，相交于点O，点Ｅ为BC边的中点，正方形边长为２cm,在BD上找点P,使EＰ+CP之和最小，且最小值为__＿__＿__。

2、(１）如图17，等腰直角三角形ABＣ的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是ＡC边上的一动点,则PB＋ＰE的最小值为；
（2)几何拓展:如图18, △ABＣ中，ＡB=２,∠ＢAＣ=３00，若在AＣ、AB上各取一点M、Ｎ使BM＋ＭN的值最小，这个最小值为 ;
３、如图19所示,正方形ABCD 的面积为12,ABE △是等边三角形,点E 在正方形
ABCD 内,在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的值最小,则这个最小值为
（ ）
A ．23
B ．26 C.３ D.6
4、如图20，已知直角梯形ABCD 中,ＡD ∥BC ,AB ⊥BC ,AD =2,BC =ＤＣ=5,点P 在ＢC 上移
动,则当PA +PD 取最小值时,△AP Ｄ中边AP 上的高为（ )
A 、17172
B 、17174
C 、 17178
D 、３ 提高训练（B 类）
1、如图，在直角坐标系中,点Ａ的坐标为(-2，0）,连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转1２0°，得到线段OB.（1)求点B 的坐标；
(2）求经过A 、Ｏ、B 三点的抛物线的解析式;
（3)在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点Ｃ的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号)
２、如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点P 的坐标为4313⎛
⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，,交x 轴于A 、Ｂ两点，交ｙ轴于点(03)C -，
． （1）求抛物线的表达式.
（2）把△ＡBC 绕ＡB 的中点Ｅ旋转１80°,得到四边形ADBC ．判断四
边形ＡD ＢC 的形状,并说明理由．
（3）试问在线段ＡC 上是否存在一点F ,使得△FBD 的周长最小,若存在，请写出点F 的坐标；若不存在,请说明理由．
综合迁移（Ｃ类）
1、如图,已知点A （－4,8)和点B (2,n )在抛物线2y ax =上．
(1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标,并在x 轴上找一点Q ，使得AQ ＋Q Ｂ最短，求出点Q 的坐标；
（2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为Ａ′，点B 的对应点为B ′,点C (－2，0)和点D (－４,0)是x 轴上的两个定点．
① 当抛物线向左平移到某个位置时,A ′Ｃ+C Ｂ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；
② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′Ｂ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在,请说明理由．
ﻬ2、定义一种变换：平移抛物线1F 得到抛物线2F ，使2F 经过1F 的顶点
A ．设2F 的对称轴分别交12F F ，于点D
B ，,点
C 是点A 关于直线B
D 的对称点.
（1）如图２４，若1F :2
y x =,经过变换后,得到2F :2y x bx =+,点C 的坐标为(20)，，则 ①b 的值等于＿＿____＿_＿_____;②四边形ABCD 为( ）
A ．平行四边形
B ．矩形
C ．菱形
D ．正方形
(2)如图25,若1F ：2y ax c =+,经过变换后,点B 的坐标为(21)c -，，求ABD △的面积;
（3）如图26，若1F ：2127333
y x x =-+，经过变换后，23AC =，点P 是直线AC 上的动点，求点P 到点D 的距离和到直线AD 的距离之和的最小值.。