2018年上海市虹口区高三二模数学卷(含答案)
1A虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试高三数学试卷（时间120分钟，满分150分）一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1．已知(,]A a=-∞，[1,2]B=，且A Bφ⋂≠，则实数a的范围是．2．直线(1)10ax a y+-+=与直线420x ay+-=互相平行，则实数a=．3．已知(0,)απ∈，3cos5α=-，则tan()4πα+=．4．长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α，β，γ，则222cos cos cosαβγ++=．5．已知函数20()210xx xf xx-⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则11[(9)]f f---=．6．从集合{}1,1,2,3-随机取一个为m，从集合{}2,1,1,2--随机取一个为n，则方程221x ym n+=表示双曲线的概率为．7．已知数列{}n a是公比为q的等比数列，且2a，4a，3a成等差数列，则q= _______．8．若将函数6()f x x=表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x=+-+-+-++-L则3a的值等于．9．如图，长方体1111ABCD A B CD-的边长11AB AA==，AD=，它的外接球是球O，则A，1A这两点的球面距离等于．10．椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______.11．[]x是不超过x的最大整数，则方程271(2)2044x x⎡⎤-⋅-=⎣⎦满足x<1的所有实数解是．12．函数()sinf x x=，对于123nx x x x<<<<L且[]12,,,0,8nx x xπ∈L（10n≥），记1223341()()()()()()()()n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-++-L ，则M 的最大值等于 ．二．选择题（每小题5分，满分20分） 13．下列函数是奇函数的是（ ）．.A ()1f x x =+ .B ()sin cos f x x x =⋅ .C ()arccos f x x = .D 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩14．在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅u u u v u u u v ，当PM PN ⋅u u u u v u u u v取得最小值时，实数k 的值为（ ）.A 12 .B 13 .C 14 .D 1815．直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A ，B 两点，且AB =过点A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M ，N ，则MN 等于（ ）.A.B 4 .C.D 816．已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n 项和，则以下结论正确的是（ ）.A 不存在．．．a 和n 使得2015n S = .B 不存在．．．a 和n 使得2016n S = .C 不存在．．．a 和n 使得2017n S = .D 不存在．．．a 和n 使得2018n S =三．解答题（本大题满分76分）17．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.） 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==,2BAC π∠=，高等于3，点1M ，2M ，1N ，2N 为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小．18．（本题满分14分.第（1）小题7分，第（2）小题7分.）已知ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是虚数单位）是方程P 2P 1C 1A N 2N 1210z z -+=的根，3a =.（1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.19．（本题满分14分.第（1）小题6分，第（2）小题8分.）平面内．．．的“向量列”{}n a u u r ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=u u u r u u r u r ，则称此“向量列”为“等差向量列”，d u r 称为“公差向量”.平面内的“向量列”{}n b u u r ，如果01ρρ≠b 且对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅u u u r u u r（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”. （1）如果“向量列”{}n a u u r 是“等差向量列”，用1a u r 和“公差向量”d u r 表示12n a a a +++u r u u r u u rL ；（2）已知{}n a u u r 是“等差向量列”，“公差向量”(3,0)d =u r ，1(1,1)a =u r ，(,)n n n a x y =u u r ；{}n b u u r是“等比向量列”，“公比”2q =，1(1,3)b =u r ，(,)n n n b m k =u u r .求1122n n a b a b a b ⋅+⋅++⋅u r u r u u r u u r u u r u u rL ．20．（本题满分16分.第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.）如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”.x（1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A ，B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA ，MB 分别交y 轴于点P ，Q ，过M 的椭圆C 的“切线”l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M m n 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线”l 与直线1MF ，2MF 所成夹角是否相等并说明理由．21．（本题满分18分.第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题8分.） 已知函数3()f x ax x a =+-（a R ∈，x R ∈），3()1xg x x=-（x R ∈）. （1）如果x =2是关于x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x 在-(1,]2和[,1)2的单调性，并说明理由； （3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q-=+++++L L 成立的充要条件是3a ≥．虹口区2017学年度第二学期高三年级数学学科期中教学质量监控测试题答案一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1、1a ≥；2、2；3、17-； 4、2； 5、2-； 6、12； 7、1或12-； 8、20； 9、3π； 10、12mn ； 11、1x =-或12x =； 12、16；二、选择题（每小题5分，满分20分）13、B ； 14、C ； 15、D ； 16、A ； 三、解答题（本大题满分76分）17、（14分）解:（1）Q 12ABC S ∆= ，∴ 11132ABC A B C V -= ……2分 1132AM A S ∆=，1C 到平面11ABB A 的距离等于1，即2N 到平面11ABB A 的距离等于1，∴ 112211131322A AM N N AM A V V --==⨯=∴ 三棱柱111ABC A B C - 的体积等于32（立方单位），三棱锥112A AM N -的体积等于12（立方单位）……………7分 （2）取线段1AA 的三等分点1P ，2P ，连12P M ，1PC . Q 12A N ∥1PC ，1AM ∥12P M ，∴ 21M PC∠的大小等于异面直线12A N ，1AM 所成的角或其补角的大小.…………9分Q121PM AM ==1PC =，2M C = . ∴211cos 2M PC ∠==-.∴ 异面直线12A N ，1AM 所成的角的大小等于3π.………………14分 18、（14分）解：（1）210z z -+=的两个根为122z i =±.…………2分 1cos 2A ∴=，sin A = ，3A π= .…………4分∴5sin sin12C π==，sin sin c a C A=，得c =7分 （2）Q 2222cos a b c bc A =+-.∴2292b c bc bc bc bc =+-≥-=，从而9bc ≤，等号当b c =时成立，此时max 1sin 2S bc A ==.∴ABC ∆.……………14分 19、（14分）解：（1）设(,)n n n a x y =u u r ，12(,)d d d =u r .由1n n a a d +-=u u u r u u r u r ，得1112n n n n x x d y y d ++-=⎧⎨-=⎩，所以数列{}n x 是以1x 为首项，公差为1d 的等差数列；数列{}n y P 2P 1C 1A N 2N 1是以1y 首项，公差为2d 的等差数列.……………………3分∴121212,)（n n n a a a x x x y y y +++=++++++u r u u r u u r L L L 11121112111((1),(1))(,)(1)(,)222nx n n d ny n n d n x y n n d d =+-+-=+-11(1)2na n n d =+-u v u v.………………6分（2）设(,)n n n a x y =u u r ，(,)n n n b m k =u u r.由11111(,)(,)(,)(3,0)n n n n n n n n n n a a x y x y x x y y +++++-=-=--=u u u r u u r，从而13n n x x +-=，10n n y y +-=.数列{}n x 是以1为首项，公差为3的等差数列，从而32n x n =-.数列{}n y 是常数列，1n y =.由12n n b b +=u u u r u u r得12n n m m +=，12n n k k +=，又11m =，13k =，∴数列{}n m 是以1为首项，公比为2的等比数列；数列{}n k 是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有12n n m -=，132n n k -=⋅.……10分112211221122n n n n n n a b a b a b x m x m x m y k y k y k ⋅+⋅++⋅=+++++++u r u r u u r u u r u u r u u rL L L令211122114272(32)2n n n n S x m x m x m n -=+++=⨯+⨯+⨯++-⨯L L ………①232124272(32)2n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯L …………②.①-②得，23113(2222)(32)2n n n S n --=+++++--⋅L ，得5(35)2nn S n =+-⨯令11223(12)3(21)12n n n n n T y k y k y k ⋅-=+++==⋅--L 从而1122(32)22n n n n n a b a b a b S T n ⋅+⋅++⋅=+=-⋅+u r u r u u r u u r u u r u u rL ………………14分20、（16分解：（1）由点(,)M m n 在椭圆C 上，有2212m n +=，∴(,)M m n 在直线12mx ny +=上 当0n =时，由2212m n +=，得22m =，直线方程为2x m=，代入椭圆方程得22220m y m -==，得一个交点2,0)（m，直线l 是椭圆C 切线. 当0n ≠时，有2212m n +=，直线为12m y x n n=-+代入椭圆方程得221102x mx n -+-=，有222214(1)2202m n m n ∆=-⨯-=+-=，直线是椭圆C 切线.…………………4分另解：不讨论将椭圆方程化为222222n x n y n +=，将直线方程12mxny =-代入消y ，得到x 的一元二次方程，然后证明0∆=（2）Q 点(,)M m n 不在坐标轴上，:AM y x =+，得(0,P.:BM y x =-，得(0,Q ……………………6分过点(,)M m n 的切线为:12mx l ny +=，得1(0,)D n .由2212m n +=，得2222m n -=-，从而有24222P Q D n y y y m n-+====-，∴点D 是线段PQ 的中点.…9分（3）(,)M m n ,:12mxl ny +=,l 的方向向量(2,)d n m =-u r ，2212m n +=.1(1,0）F -，2(1,0）F ，1(1,)MF m n =---u u u u r ，2(1,)MF m n =--u u u u r ，记d u r 与1MF u u u u r 的夹角α，d u r 与2MF u u u u r的夹角β.………12分11cos d MF d MF α⋅====u r u u u u r u r u u u u r22cos d MF d MF β⋅====u r u u u u r u r u u u u r ，所以cos cos αβ=，有αβ=，从而有l 与直线1MF ，2MF 所成的夹角相等.……16分21、（18分）解：(1)由3((022a a -+--≤，得3a ≥ ………………3分（2）设21x x > ，212112212133332121()[1()]()()11(1)(1)x x x x x x x x g x g x x x x x -++-=-=----当x x -<<121 时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->121x x <，122x x -<+ 有12122()1x x x x -<+<-，121211()0x x x x -<++<，∴ 21()()0g x g x -<.………………6分当1202x x ≤<≤ 时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，1202x x ≤<， 120x x +<，有12121()0x x x x -<+≤，121201()1x x x x <++≤，∴ 21()()0g x g x ->.当1201x x ≤<<时，210x x -> ，3210x -> ，3110x ->，x x x x ++>12121()0，∴ 21()()0g x g x ->.∴ ()g x 在(1,2-递减，在[0]2和[0,1)上递增，从而在[,1)2上递增.………10分(3) 充分性：当3a ≥-时，有3(022222a f a a -=---=--≤，又(1)10f =>，函数3()f x ax x a =+-在[内的图像连续不断，故在[内一定存在零点q 且1q < ，∴有30aq q a +-=，得31q a q=-，从而4732n a q q q q -=+++++L L .……14分 必要性：当0q =时，0a =. 当0q ≠时，由4732n a q q q q-=+++++L L 成立，可得311q -<<从而得11q -<<，31qa q=-，由（2）中的结论可知3()1xg x x =-在(1,]2-递减，在[,1)2递增，从而，1()32g x ≤<-或()3g x ≥.从而31qa q=-，11q -<<时，有3a ≥-.………………18分。
上海市虹口区达标名校2018年高考二月适应性考试数学试题含解析
上海市虹口区达标名校2018年高考二月适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，圆锥底面半径为2，体积为22π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C 10D 5 2．命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为（ ） A ．20,(1)(1)∀>+>-x x x x B ．20,(1)(1)∀+>-x x x x C ．20,(1)(1)∃>+-x x x xD ．20,(1)(1)∃+>-x x x x3．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①命题“若1122a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0B ．1C ．2D ．34．数列{}n a 满足：21n n n a a a +++=，11a =，22a =，n S 为其前n 项和，则2019S =（ ） A ．0B ．1C ．3D ．45．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种6．已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=（ ） A ．－2B ．－4C ．3D ．－37．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若312S a S +=，46a =，则5S =（ ）A ．5B ．10C ．15D ．208．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．09．已知集合{}15{|},|2M xx N x x =-≤<=<，则M N =（ ）A ．{|12}x x -≤<B ．{}|25x x -<<C ．{|15}x x -≤<D ．{}|02x x <<10．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y =+（ ） A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．无最大值，无最小值11．函数()cos 2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1012．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ） A ．3B ．－3C ．2D ．－2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市虹口区2018届高三下学期教学质量监控(二模)数学试题 Word版含解析
虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试高三数学试卷一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分）1. 已知，，且，则实数的范围是___________．【答案】【解析】由题意，当时，，所以实数的范围是。
2. 直线与直线互相平行，则实数________．【答案】2【解析】，解得。
3. 已知，，则________．【答案】【解析】，所以。
4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为，，，则________．【答案】2【解析】设长方形的长、宽、高分别为，则对角线长，所以5. 已知函数，则_________．【答案】-2【解析】，则。
.......... .....【答案】【解析】由题意，，所以。
7. 已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则 _______．【答案】或【解析】解：因为数列是公比为的等比数列，且成等差数列，所以8. 若将函数表示成则的值等于___________．【答案】20【解析】令，则，所以，所以就是的系数，因为，所以当时，。
9. 如图，长方体的边长，，它的外接球是球，则，这两点的球面距离等于_________．【答案】【解析】由题意，，所以，所以。
10. 椭圆的长轴长等于，短轴长等于，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______.【答案】【解析】由题意，椭圆的标准方程为，矩形第一象限内的一点为，所以矩形面积，所以。
点睛：本题考查椭圆的应用。
本题中利用三角换元进行解题。
三角换元在圆锥曲线中是比较重要的技巧，在解决最值问题中，往往能起到很好的效果。
本题利用三角换元就得到，显然。
11. 是不超过的最大整数，则方程满足的所有实数解是___________．【答案】或【解析】时，，当时，，则，所以，所以；当时，，则，所以，所以；所以或。
点睛：本题考查高斯函数在函数中的应用。
时，，则本题应该分两类讨论，所以得到和的分类情况，解得答案。
虹口区高三二模数学word版
上海市虹口区2018 届高三二模数学试卷一.填空题（本大题共12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分，共 54分）1.已知 A(,a] ，B[1,2] ，且 A I B，则实数 a 的范围是2.直线 ax(a1)y10 与直线 4x ay 2 0 相互平行，则实数a3.已知(0,) ， cos3，则 tan()544.长方体的对角线与过同一个极点的三个表面所成的角分别为、、，则cos2cos2cos25.已知函数 f (x)x2x 0，则 f 1[ f 1 ( 9)]2 x1x06.从会合 {1,1,2,3}随机取一个为m，从会合 { 2,1,1,2}随机取一个为n，则方程x2y2 m 1表示双曲线的概率为n7.已知数列 { a n } 是公比为 q 的等比数列，且a2、 a4、 a3成等差数列，则q8.若将函数 f ( x) x6表示成f ( x)a0a1 ( x1)a2 ( x1)2a3 ( x1)3a6 ( x1)6，则a3的值等于9.如图，长方体 ABCD A1 B1C1 D1的边长 AB AA1 1 ，AD 2 ，它的外接球是球O ，则 A 、 A1这两点的球面距离等于10.椭圆的长轴长等于 m ，短轴长等于 n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为11.[ x] 是不超出x的最大整数，则方程(2 x )27[2 x ]10 知足 x 1 的全部实数解是函数 f (x)sin x ，对于 x14412.x2x3x n且 x1 , x2 ,, x n [0,8] （ n 10 ），记M| f (x1 ) f ( x2 ) | | f (x2 ) f (x3 ) | | f (x3 ) f ( x4 ) || f (x n 1 ) f ( x n ) | ，则 M 的最大值等于二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20分）13.以下函数是奇函数的是（）A. f (x)x 1B. f ( x) sin x cosxC. f (x)arccosxD.x x0 f ( x)x0x14. 在 Rt ABC 中， ABAC ，点 M 、 N 是线段 AC 的三平分点，点P 在线段 BC 上运uuuruuur uuuur uuur k 的值为（动且知足 PC kBC ，当 PM PN 获得最小值时，实数）A.1B. 1C.1 D.1234815. 直线 l : kx y k 10 与圆 x 2 y 28交于 A 、B 两点，且| AB|4 2 ，过点 A 、B分别作 l 的垂线与 y 轴交于点 M 、 N ，则 | MN | 等于（）A.22B. 4C.4 2D. 816. 已知数列 { a} 的首项 aa ，且 0 a4 ，a n 1a n 4a n4 ， S 是此数列的前n16 a na n4 nn项和，则以下结论正确的选项是（）A. 不存在 a 和 n 使得n2015SC. 不存在 a 和 n 使得 S n 2017B.不存在 a 和 n 使得 S n 2016 D.不存在 a 和 n 使得 S n2018三 . 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB AC1， BAC，高等于 3，2点 M 1 、 M 2 、 N 1 、 N 2 为所在线段的三平分点 . （1）求此三棱柱的体积和三棱锥A 1 AM 1 N 2 的体积；（2）求异面直线 A 1N 2 、 AM 1 所成的角的大小 .18. 已知ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对应的边分别为 a 、 b 、 c ， z cosA i sin A （ i 是虚数单位）是方程 z 2 z 10 的根， a 3 .（1）若 B，求边长 c 的值；4（2）求ABC 面积的最大值 .uuruuuruur ur19. 平面内的 “向量列” { a n} ，假如对于随意的正整数 n ，均有 aad ，则称此 “向n 1nur uur量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”，平面内的“向量列” { b n } ，假如对于 uuur uur随意的正整数 n ，均有 b n 1 q b n （ q 0 ），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比” .uur uur uruur uur uur （1）假如“向量列” { a n } 是“等差向量列” ，用 a 1 和“公差向量” d 表示 a 1 a 2 a n ；uur ur uuruur (x , y uur （2）已知 { a n } 是“等差向量列” ，“公差向量” d (3,0) ，a 1 (1,1) ，a n ) ，{ b n }n nur uur uur ur uur uur uur uur 是“等比向量列” ，“公比” q 2 ，b 1 (1,3) ，b n (m n ,k n ) ，求 a 1 b 1 a 2 b 2a nb n .20. 假如直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的 “切线” ，已知椭圆 C :x 2y 2 1，2点 M (m, n) 是椭圆 C 上的随意一点，直线 l 过点 M 且是椭圆 C 的“切线” . （1）证明：过椭圆 C 上的点 M (m,n) 的“切线”方程是mx 1；ny2（2）设 A 、 B 是椭圆 C 长轴上的两个端点，点 M ( m,n) 不在座标轴上，直线 MA 、 MB 分别交 y 轴于点 P 、 Q ，过 M 的椭圆 C 的“切线” l 交 y 轴于点 D ，证明：点 D 是线段 PQ 的中点；（3）点 M (m,n) 不在 x 轴上，记椭圆 C 的两个焦点分别为 F 1 和 F 2 ，判断过 M 的椭圆 C 的“切线” l 与直线 MF 1 、 MF 2 所成夹角能否相等？并说明原因 .21.已知函数 f ( x)ax3x a （a R，x R），g( x)x（ x R） .1x334是对于 x 的不等式 f ( x)0 的解，务实数a的取值范围；（1）假如x2（2）判断g( x)在(1,34] 和[ 3 4,1)的单一性，并说明原因；22（3）证明：函数 f (x) 存在零点 q ，使得a q q4q7q3 n 2建立的充要条件是a 34 3.上海市虹口区2018 届高三二模数学试卷一.填空题（本大题共12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分，共 54 分）1.已知 A(,a] ， B[1,2] ，且 A I B，则实数 a 的范围是【分析】画数轴， a12.直线 ax(a1)y 1 0 与直线4x ay20 相互平行，则实数a 【分析】由 a 24( a1)0a23.已知(0,) ， cos 3)，则 tan(4451【分析】 tan，∴ tan()3744.长方体的对角线与过同一个极点的三个表面所成的角分别为、、，则cos2cos2cos2【分析】设三边为、b 、c，对角线为，∴a2b2c2d2a dcos2a2b2， cos2b2c2， cos2c2a2，∴ cos2cos2cos22d 2 d 2 d 2也可取正方体的特别状况去求5.已知函数 f (x)x21x，则 f 1[ f1( 9)]2 x x0【分析】 f1 (x)x,x0， f 1 (9) 3 ， f1[ f 1 ( 9)] f1 (3)2log 2 ( x1),x06.从会合 {1,1,2,3}随机取一个为m，从会合 { 2,1,1,2}随机取一个为n，则方程x2y2 m 1表示双曲线的概率为n 【分析】321214427.已知数列 { a n }是公比为 q 的等比数列，且a2、 a4、 a3成等差数列，则q 【分析】 a2a32a42q2q10 ，∴q1或 q128.若将函数 f ( x)x6表示成f ( x) a0a1 ( x1)a2 ( x 1)2a3 ( x 1)3a6 ( x1)6，则a3的值等于【分析】 x6[( x1) 1]6，a3C63209.如图，长方体 ABCD A1 B1C1 D1的边长 AB AA1 1 ，AD 2 ，它的外接球是球O ，则 A 、 A1这两点的球面距离等于【分析】 外接球半径为 1，，球面距离为3310. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于 n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为【分析】 依据本民众号“上海初高中数学” 2018 年 3 月 28 日推文中的性质，最大值为mn211. [ x] 是不超出 x 的最大整数，则方程(2 x )2 7 [2 x ] 1 0 知足 x 1 的全部实数解是4 1 4 0 ， (2 x )2 1【分析】 当 0 x 1， [2 x ] 1 ，∴ (2x )2 2 x ；当 x 0 ， [2 x ]， 24 ∴ x 1 ，∴知足条件的全部实数解为 x 0.5 或 x 112. 函数 f (x) sin x ，对于 x 1 x 2 x 3 x n 且 x 1 , x 2 , , x n [0,8 ] （ n 10 ），记M | f (x 1 ) f ( x 2 ) | | f (x 2 )f (x 3 ) | | f (x 3 )f ( x 4 ) || f (x n 1 )f ( x n ) | ，则 M的最大值等于【分析】 在 [0,8 ] 有 4 个周期，最大值为 4 4 16二. 选择题（本大题共4 题，每题5 分，共 20 分）13. 以下函数是奇函数的是（）A. f (x) x 1B.C. f (x)arccosxD.【分析】 由 f ( x)f ( x) ，选 Bf ( x) sin x cosxx x 0f ( x)x 0x14. 在 Rt ABC 中， ABAC ，点 M 、 N 是线段 AC 的三平分点，点P 在线段 BC 上运uuur uuur uuuur uuur k 的值为（动且知足 PC k BC ，当 PM PN 获得最小值时，实数）A.1B.1 C.1D.1234uuur8【分析】 建系，设 P(x,3 x) ， M (1,0)uuuur 2x 2 9x 11， x [0,3] ，， N (2,0) ， PM PN∴ x9时取到最小值，此时kPC 1，选 C4BC415. 直线 l : kx y k 10 与圆 x 2 y 28交于 A 、B 两点，且| AB|4 2 ，过点 A 、B分别作 l 的垂线与 y 轴交于点 M 、 N ，则 | MN |等于（）A.22B. 4C.4 2D. 8【分析】 AB 长为直径，∴ l : kxy k 1 0经过原点， k1，MN2 AB 8，选 D16. 已知数列 { a n } 的首项 a 1 a ，且 0 a4 ， a n 1a n 4 a n 4 ， S n 是此数列的前6 a n a n4n项和，则以下结论正确的选项是（）A. 不存在 a 和 n 使得 S n 2015 C. 不存在 a 和 n 使得 S n2017B.不存在 a 和 n 使得 S n 2016 D. 不存在 a 和 n 使得 S n2018【分析】 令 a 1 1，则全部奇数项都为 1，偶数项都为 5，清除 B 、 C ；令 a 1 2，则全部奇数项都为 2，偶数项都为 4，清除 D ，应选 A.三 . 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，ABAC 1 ，BAC ，高等于 3，2点 M 1 、 M 2 、 N 1 、 N 2 为所在线段的三平分点 .（1）求此三棱柱的体积和三棱锥A 1 AM 1N 2 的体积；（2）求异面直线 A 1 N 2 、 AM 1 所成的角的大小 .【分析】 （1） V1 3 3； V AAM N2 V M1A AN21 3 112 2 1113 22（2）相当于正方体同一极点的面对角线所成的角，为318. 已知 ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对应的边分别为 a 、 b 、 c ， z cosA i sin A （ i 是 虚数单位）是方程z 2 z 1 0 的根， a 3 .（1）若 B，求边长 c 的值；4（2）求ABC 面积的最大值 .【分析】 （1）解为13i ，∴ A，由正弦定理 b6 ， c6 3 2 ； 2232（2）画出△ ABC 的外接圆可知， ABAC 3 时，面积最大，为9 3 .419. 平面内的 “向量列”uuruuuruur ur{ a n } ，假如对于随意的正整数n ，均有 aa d ，则称此 “向n 1nur uur量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”，平面内的“向量列” { b n } ，假如对于 uuur uur随意的正整数 n ，均有 b n 1 q b n （ q 0 ），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比” .uuruururuur uuruur（1）假如“向量列” { a n } 是“等差向量列” ，用 a 1 和“公差向量” d 表示 a 1 a 2 a n ；uur ur uuruur (x , uur （2）已知 { a n } 是“等差向量列” ，“公差向量” d (3,0) ，a 1 (1,1) ，a n y ) ，{ b n }n nur uur (m ,kuur ur uur uur uur uur 是“等比向量列” ，“公比” q 2 ，b 1 (1,3) ，b n) ，求 a b a b a n b .nn 1122nuur uur uur uur n(n 1) ur【分析】 （1） a 1 a 2 a n na 1 2 d ；uur ur2,1) (2n 1,3 2n 1 )1) 2n 1 ，错位相减乞降为 (3n 2) 2n2（2） a n b n (3n (3n20. 假如直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的 “切线” ，已知椭圆 C :x 2y 21，点 M (m, n) 是椭圆 C 上的随意一点，直线 l 过点 M 且是椭圆 C 的“切线” . 2（1）证明：过椭圆 C 上的点 M (m,n) 的“切线”方程是mxny 1；2（2）设 A 、 B 是椭圆 C 长轴上的两个端点，点 M ( m,n) 不在座标轴上，直线 MA 、MB 分别交 y 轴于点 P 、 Q ，过 M 的椭圆 C 的“切线” l 交 y 轴于点 D ，证明：点 D 是线段 PQ 的中点；（3）点 M (m,n) 不在 x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为 F 1 和 F 2 ，判断过 M 的椭圆 C 的“切线”l 与直线 MF 1 、 MF 2 所成夹角能否相等？并说明原因.【分析】 （1）设直线 y k( x m) n ，联立椭圆， 0，可证结论；（2） l MA : yn (x 2) ，m2∴ y P2n ，同理 y Q 2n ， y D 1 m 2m 2 n y P y Q 4n 22 y D ，即点 D 是线段 PQ 的中点m 22 n（3）相等， k MF 1n，kMF 2n ， k 切m，由夹角公式m 1m 1 2n kMF 1k 切1 ，tan2| k MF 2 k 切 1 ，因此所成夹角相等 . tan 1 |||n 1 k MF 1 k 切n1 k MF2 k 切21. 已知函数 f ( x)ax 3 x a （ aR ， x R ）， g( x)x （ x R ） .1 x 334是对于 x 的不等式 f ( x)0 的解，务实数 a 的取值范围；（1）假如 x2（2）判断 g( x) 在 (1, 3 4] 和[ 3 4 ,1)的单一性，并说明原因；2 2（3）证明：函数f (x) 存在零点 q ，使得 aq q 4q 7q 3 n 2建立的充要条件是a34.3【分析】（1）f (3 4 )0a34；23（2）依据单一性定义剖析，在(1,34] 上递减，在 [34,1)上递加；22（3）“函数f (x)存在零点q，使得a q q4q7q 3 n 2建立”说明aqq q4q7q3n2建立，依据无量等比数列有关性质，q( 1,1)，1 q3联合第（ 2）问，a1q在( 1,34]上递减，在 [34,1) 上递加，q322∴ a(q )min g(34 )34，反之亦然 .123 q。
2018年虹口区高三二模数学word版附解析
上海市虹口区2018届斋「模数学试卷•壇 -AO 12H1 V6 訓 4； M2M 8^. ft 541. 11知A ・(y 司• B ・[1・2]. H AQB »0 •则实故a 的范阿E ____________2. fiili ax -^(a -1)y 4-1 =0 4x*ay - 2«0 hJHth,a» ________3 x3. tiRI ot «(0.© . cosa .-5, M tanfa *-) ■ ________________ 4•长力•体的列角找与HM-个顶点的三个未闻所瞅的角分8!为 a ・B ・丫•则cos ，a *cos ? P +cos ，Y = ______v > n5•巳划丙藪f(X)・〈-,划(*(」(』)]■ ____________2 -1 x<06.从(-1.1.2.3)随机电m,从集合越机母-个为n.审方稈无不風角线的概甲为 ___________m n7•已知枚列(a.J 是公比为q 的等比II 兔、a 4-创成等利6钩.VJ q- ______________________ 8.和俯刍 f(x)=xF 示成 f (x)>a4x-1) + a,(x -I)2* • ■+a<l (x-1)<,*禺的值等于 ____________9 ， '； : ,' ABCD-A3C D, ' . _ I AB AA 1 AD -72 .它的外悄球是球 O t « A • A 这灣点紡障iffl距肩号十 __________10. «HWKMIK^+ m,如殆丘怨十 n. HfitWPltt内的面柢的Jft 大伯为 ______________ 仆.[x]昱不趙过X 的条丈软魏・剧方粋 ^)2 — [2']-1=0满是x<1的所划实ttWtt -441? f(w) =€inr ・ £tr x. <Xs <x, < —<XaH XuXa,< nS10)•记M ・「(时・“对|・|“冷)・“％)严|“％)・f(x4l*-4P(x<u)-t(MI. « M.，「••丄.4 ： 一.・：=5 . 20 .13 卞列Xlt 足HMtfift (A. f (X) «X*1 C. f (x) =arccosx201804B. f (x) =sinx -cosx14. 住Rt AABC p, AB = AC t 点M • N 定线股AC 的_給>九 点P £從段BC 上运动H 需定PC=k 8C, K? 扇収側2小值时，X«l k 的P 为（）1111A. —B. —C. —D.—2 3 4 815.l:kx-y *k *1 -O 1]^ x J *y a -=8交于 A ・ BMA, ll|AB|・4渥•过点 A 、B分别作I 的垂堆与y 埔交于点M ・N ■则| MN |等于（）A 2 农 8 4 C 4^5 D 816- eW 列｛d ｝的首项乂二彳・FlOva W4.第羊二!：-' "fl>*&列的币n顶和・则以卜結伦止堪的址（）A 不“在3和"便円S ・2015B E （£ a «l n 便得Su ・2016 C.不存存a 和n 便待S. =2017D.不存存a& = 2018二•初 < / 5 匕 14.14.14^1^18.76 “V. ■ i 的綫si 是導ahi [角一•角瞻.AB = AC =1W 、Ml N ・.N 丄加他线段的三等分点・<1）求北三梭住的体积和三枝腐 A体积.。
届上海市虹口区高三数学模拟试卷及答案
届上海市虹口区高三数学模拟试卷及答案2018届上海市虹口区高三数学模拟试卷及答案高考备考数学，多做高考数学模拟试卷是必须的，只有多做高考数学模拟试卷才能在高考中取得理想的，以下是店铺为你整理的2018届上海市虹口区高三数学模拟试卷，希望能帮到你。
2018届上海市虹口区高三数学模拟试卷题目一、填空题(1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分)1、集合，，则 .2、复数所对应的点在复平面内位于第象限.3、已知首项为1公差为2的等差数列，其前项和为，则 .4、若方程组无解，则实数 .5、若的二项展开式中，含项的系数为，则实数 .6、已知双曲线 ,它的渐近线方程是 ,则的值为 .7、在中，三边长分别为，，，则 ___________.8、在平面直角坐标系中，已知点，对于任意不全为零的实数、，直线，若点到直线的距离为，则的取值范围是 .9、函数，如果方程有四个不同的实数解、、、，则 .10、三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为2的等腰三角形，则主视图的面积等于 .11、在直角中，，，，是内一点，且，若，则的最大值 .12、无穷数列的前项和为，若对任意的正整数都有，则的可能取值最多有个.二、选择题(每小题5分，满分20分)13、已知，，都是实数，则“ ，，成等比数列”是“ 的( )充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件14、、是空间两条直线，是平面，以下结论正确的是( ).如果∥ ，∥ ，则一定有∥ . 如果，，则一定有 .如果，，则一定有∥ . 如果，∥ ，则一定有 .15、已知函数，、、，且，，，则的值( )一定等于零. 一定大于零. 一定小于零. 正负都有可能.16、已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：① ;②当时，有最小值，无最大值;③ ;④当且时，的取值范围是 .正确的个数是( )1 2 3 4三、解答题(本大题满分76分)17、(本题满分14分.第(1)小题7分，第(2)小题7分.)如图是直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且，直三棱柱的高等于4，线段的中点为，线段的'中点为，线段的中点为 .(1)求异面直线、所成角的大小;(2)求三棱锥的体积.18、(本题满分14分.第(1)小题7分，第(2)小题7分.)已知定义在上的函数是奇函数，且当时， .(1)求在区间上的解析式;(2)当实数为何值时，的方程在有解.19、(本题满分14分.第(1)小题6分，第(2)小题8分.)已知数列是首项等于且公比不为1的等比数列，是它的前项和，满足 .(1)求数列的通项公式;(2)设且，求数列的前项和的最值.20、(本题满分16分.第(1)小题3分，第(2)小题5分，第(3)小题8分.)已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为 .(1)求椭圆上的点的“伴随点” 的轨迹方程;(2)如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点” ，求的取值范围;(3)当，时，直线交椭圆于，两点，若点，的“伴随点”分别是，，且以为直径的圆经过坐标原点，求的面积.21、(本题满分18分.第(1)小题3分，第(2)小题6分，第(3)小题9分.)对于定义域为的函数，部分与的对应关系如下表：1 2 3 4 50 22 00 2(1)求 ;(2)数列满足，且对任意，点都在函数的图像上，求 ;(3)若，其中，，，，求此函数的解析式，并求 ( ).2018届上海市虹口区高三数学模拟试卷答案一、填空题(1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分)1、 ;2、四;3、 ;4、 ;5、1;6、2 ;7、 ; 8、 ; 9、4; 10、 ; 11、 ; 12、91;二、选择题(每小题5分，满分20分)13、 ; 14、 ; 15、 ; 16、 ;三、解答题(本大题满分76分)17、(14分)解:(1)以A为坐标原点，、、分别为轴和轴建立直角坐标系.依题意有 (2，2，4)， (0，0，0)， (2，2，0)， (0，4，2)所以.……………………3分设异面直线、所成角为角，所以，所以异面直线、所成角的大小为…………7分(2) 线段的中点为，线段的中点为，由，高，得，，………………3分由为线段的中点，且 , ,由面 , ，得面 ,三棱锥的体积为体积单位.……………………7分18、(14分)解：(1)设，则，是奇函数，则有…………4分………………7分(2)设，令，则，而 .，得，从而，在的取值范围是.…………………………11分又设，则，由此函数是奇函数得，，从而.………………13分综上所述，的值域为，所以的取值范围是.…………14分19、(14分)解：(1) ，，.……2分整理得，解得或 (舍去).………………4分.………………6分(2) .………………8分1)当时，有数列是以为公差的等差数列，此数列是首项为负的递增的等差数列.由，得 .所以 . 的没有最大值.………11分2)当时，有，数列是以为公差的等差数列，此数列是首项为正的递减的等差数列.，得， . 的没有最小值.…………14分20、(16分)解：(1)解.设 ( )由题意则，又，从而得……………………3分(2)由，得 .又，得.…………5分点在椭圆上，，，且，，由于，的取值范围是……8分(3) 设 ,则 ;1)当直线的斜率存在时,设方程为 , 由得 ; 有① ……10分由以为直径的圆经过坐标原点O可得: ;整理得: ②将①式代入②式得: ,………………………… 12分又点到直线的距离所以……………………14分2) 当直线的斜率不存在时,设方程为联立椭圆方程得;代入得，解得,从而, 综上: 的面积是定值, ……………………16分21、(18分)解：(1) ……………………3分(2),周期为4 , 所以= .……………………9分(3)由题意得由又而…………11分从而有…………………………13分此函数的最小正周期为6,…………14分1)当时..……………………16分2)当时..………………18分【2018届上海市虹口区高三数学模拟试卷及答案】。
2018届高三虹口数学二模
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虹 口区高 三 数学 共4页 第 3页
20.(本 题满分 16分 。 ) 第 (1)小 题 4分 ,第 (2)小 题 5分 ,第 (3)小 题 7分 。
13.下 列函数是奇函数的是 (
/./° (豸 )==J十 1
)。
r -^
豸
B。
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(万 )==sinJ。
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C。
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(万 )==arccos石
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BC,当 nM· PⅣ 取得最小值 时 ,实 数 七的值为 运 动 且 满足 PC=乃 ·
虹 口区2017学 年度第 二 学期期 中教学质量监 控测试 高三数学 试 卷 201:4
(时 间 120分 钟 ,满 分 150分 )
一。填空题 (1~6题 每小题 4分 ,7~12题 每小题 5分 ,本 大题满分 54分 )
2018高三二模汇编(精)(带参考答案)
2018届高三数学二模典题库一、填空题1.集合1.设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= . 【答案】{}2 【来源】18届宝山二模1 【难度】集合、基础题2.集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=02x xxA ，{|}B x x Z =∈，则A B ⋂等于 ．【答案】{}1或{}1=x x 【来源】18届奉贤二模1 【难度】集合、基础题3. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠∅，则实数a 的范围是【答案】1a ≥ 【来源】18届虹口二模1 【难度】集合、基础题4．已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是 ．【答案】2 【来源】18届黄浦二模1 【难度】集合、基础题5．已知集合},2,1{m A =，}4,2{=B ，若}4,3,2,1{=B A ，则实数=m _______． 【答案】3【来源】18届长嘉二模1 【难度】集合、基础题6. 设集合1|,2xM y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，()()()1|1112,121N y y x m x x m ⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 .【答案】(1,0)- 【来源】18届普陀二模11 【难度】集合、中档题7．已知全集R U =，集合{}0322>--=x x x A ，则=A C U . 【答案】]3,1[- 【来源】18届徐汇二模1 【难度】集合、基础题8. 已知集合{|(1)(3)0}P x x x =+-<，{|||2}Q x x =>，则P Q =【答案】(2,3) 【来源】18届金山二模3 【难度】集合、基础题9.已知集合{1,0,1,2,3}U =-，{1,0,2}A =-，则U C A =【答案】{1,3} 【来源】18届崇明二模1 【难度】集合、基础题2.命题、不等式1．不等式|1|1x ->的解集是 ．【答案】(,0)(2,)-∞+∞【来源】18届黄浦二模2 【难度】不等式、基础题2．已知函数2()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式(1)(0)(1)f f f --的最小值是 ．【答案】3【来源】18届黄浦二模2 【难度】不等式、压轴题3．不等式|3|2x -<的解集为__________________． 【答案】{}15x x <<或()1,5 【来源】18届青浦二模1 【难度】不等式、基础题4．若为等比数列，0n a >，且2018a =，则2017201912a a +的最小值为 ．{}n a【答案】4【来源】18届杨浦二模10 【难度】不等式、中档题5. 函数9y x x=+，(0,)x ∈+∞的最小值是 【答案】6 【来源】18届金山二模4 【难度】不等式、基础题3.函数1.给出下列函数：①1y x x=+；②x x y +=2；③2x y =；④23y x =；⑤x y tan =；⑥()sin arccos y x =；⑦(lg lg 2y x =-．从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是 ． 【答案】37【来源】18届奉贤二模9 【难度】函数、中档题2.已知函数()()θ-=x x f 2sin 5，⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ，[]π5,0∈x ，若函数()()3-=x f x F 的所有零点依次记为n x x x x ,,,,321 ，且n n x x x x x <<<<<-1321 ，*N n ∈若π283222212321=++++++--n n n x x x x x x ，则=θ ． 【答案】9π【来源】18届奉贤二模12 【难度】函数、压轴题3.已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=【答案】-2【来源】18届虹口二模5 【难度】函数、基础题4.若函数()f x =是偶函数，则该函数的定义域是 ． 【答案】[2,2]- 【来源】18届黄浦二模3 【难度】函数、基础题5.已知函数)1lg()(2ax x x f ++=的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_________．【答案】]1,1[-【来源】18届长嘉二模10 【难度】函数、中档题6.若函数1()21f x x m =-+是奇函数，则实数m =________.【答案】12【来源】18届普陀二模2 【难度】函数、基础题7.若函数()f x =()g x ，则函数()g x 的零点为________.【答案】x =【来源】18届普陀二模3 【难度】函数、基础题8.已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数 2()2g x x x m =-+. 如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f xg x ≤，则实数m 的取值范围是 .【答案】5m ≥- 【来源】18届青浦二模10 【难度】函数、中档题9.若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1g x M m x M m x =+++-⎡⎤⎣⎦图像的一个对称中心是 ．【答案】114⎛⎫⎪⎝⎭，【来源】18届徐汇二模11 【难度】函数、中档题10.设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()log (1)f x x =+，则函数()f x 在[1,2]上的解析式是 【答案】2()log (3)f x x =- 【来源】18届崇明二模9 【难度】函数、中档题4.指数函数、对数函数1.方程33log (325)log (41)0x x ⋅+-+=的解x = ． 【答案】2【来源】18届黄浦二模6 【难度】对数函数、基础题2.[]x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是【答案】12x =或1x =- 【来源】18届虹口二模11 【难度】指数函数、中档题3.若实数x 、y 满足112244+++=+y x yx，则y x S 22+=的取值范围是____________．【答案】]4,2(【来源】18届长嘉二模12 【难度】指数函数、压轴题4.函数()lg(32)x xf x =-的定义域为_____________． 【答案】(0,)+∞ 【来源】18届徐汇二模3 【难度】对数函数、基础题5.定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -=【答案】2【来源】18届松江二模4 【难度】指数函数、基础题6.若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围 【答案】()[)0,12,+∞【来源】18届松江二模10 【难度】指数函数、中档题7.函数lg 1y x =-的零点是 ． 【答案】10x = 【来源】18届杨浦二模1 【难度】对数函数、基础题8.函数lg y x =的反函数是【答案】1()10xf x -=【来源】18届金山二模2 【难度】对数函数、基础题5. 三角函数1.已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为AB ∠∠，，C ∠所对的边．若222b c a +-=，则A ∠= ．【答案】4π或045 【来源】18届奉贤二模5 【难度】三角函数、基础题2.已知ABC ∆的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是 ． 【答案】4π【来源】18届黄浦二模4 【难度】三角函数、基础题3.若1sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________．【答案】13【来源】18届青浦二模3 【难度】三角函数、基础题4.在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()tan b c a A bc +-=，则角A 的大小为________.【答案】6π 【来源】18届普陀二模5 【难度】三角函数、基础题5..函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 . 【答案】4π 【来源】18届宝山二模4 【难度】三角函数、基础题6.已知22s 1(,,0)cos 1a a in M a a a a θθθ-+=∈≠-+R ，则M 的取值范围是 ．【答案】⎣⎦【来源】18届青浦二模12 【难度】三角函数、压轴题7. 函数3sin(2)3y x π=+的最小正周期T =【答案】π【来源】18届金山二模1 【难度】三角函数、基础题8.若53sin )cos(cos )sin(=---x y x x y x ，则y 2tan 的值为 【答案】2424.77-或 【来源】18届杨浦二模9 【难度】三角函数、中档题9.在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，2a =，2sin sin A C =． 若B 为钝角，412cos -=C ，则ABC ∆的面积为 ．【来源】18届杨浦二模11 【难度】三角函数、中档题 10. 若2018100922sin(2cos )(3cos cos )(1cos cos )αββαβα--≥---+，则sin()2βα+=【答案】-1或1【来源】18届金山二模12 【难度】三角函数、压轴题题6. 数列1.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q = 【答案】1或12-【来源】18届虹口二模7 【难度】数列、基础题2.已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n nna a n k a +-=-=-，若1224,51,0k a a a ===，则k = ．【答案】50【来源】18届黄浦二模11 【难度】数列、中档题3.设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠），若m 是等比数列{}n a （*N n ∈）的公比，且2462018()7f a a a a =，则22221232018()()()()f a f a f a f a ++++的值为_________.【答案】1990-【来源】18届普陀二模9 【难度】数列、中档题4.在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S = ． 【答案】33【来源】18届青浦二模5 【难度】数列、基础题7. 向量1.如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅的值为 .【答案】-4 【来源】18届宝山二模11 【难度】向量、中档题2.已知向量a 在向量b 方向上的投影为2-，且3b =，则a b ⋅= ．(结果用数值表示) 【答案】-6 【来源】18届黄浦二模5 【难度】向量、基础题3.在△ABC 中，M 是BC 的中点，︒=∠120A ，21-=⋅AC AB ，则线段AM 长的最小值为____________． 【答案】21 【来源】18届长嘉二模114.已知曲线29C y x =--：，直线2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是 ．11、 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【来源】18届青浦二模11 【难度】向量、中档题5.已知向量a 、b 的夹角为60°，||1a =，||2b =，若(2)()a b xa b +⊥-，则实数x 的值为 【答案】3【来源】18届松江二模7 【难度】向量、基础题6.点1F ，2F 分别是椭圆22:12x C y +=的左、右两焦点，点N 为椭圆C 的上顶点，若动点M 满足：2122MNMF MF =⋅，则122MF MF +的最大值为__________.【答案】6【来源】18届普陀二模12 【难度】向量、压轴题7.已知两个不同向量(1,)OA m =，(1,2)OB m =-，若OA AB ⊥，则实数m =____________． 【答案】1【来源】18届青浦二模48.已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++，定义点集{|}||||FP FM FQ FMA F FP FQ ⋅⋅==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式12||||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的最小值为 ． 【答案】34【来源】18届杨浦二模12 【难度】向量、压轴题9.已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足||a =、||b =，若对任意的{}(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ⋅的最小值为 . 【答案】815【来源】18届徐汇二模12 【难度】向量、压轴题10. 在平面四边形ABCD 中，已知1AB =，4BC =，2CD =，3DA =，则AC BD ⋅的值为 【答案】10【来源】18届崇明二模12 【难度】向量、压轴题8. 解析几何1.设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 . 【答案】24y x = 【来源】18届宝山二模2【难度】解析几何、基础题2.抛物线2y x =的焦点坐标是 ．【答案】（0，14） 【来源】18届奉贤二模3 【难度】解析几何、基础题3.椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为【答案】2mn【来源】18届虹口二模10 【难度】解析几何、中档题4.角的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线2522=+y x 的中心，角的终边与曲线2522=+y x 的交点A 的横坐标是3-，角的终边与曲线2522=+y x 的交点是B ，则过B 点的曲线2522=+y x 的切线方程是 ．（用一般式表示）11、 【答案】7241250x y ±+= 【来源】18届奉贤二模11 【难度】解析几何、压轴题5.直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 【答案】2 【来源】18届虹口二模2 【难度】解析几何、基础题ααα26.已知平面直角坐标系xOy 中动点),(y x P 到定点)0,1(的距离等于P 到定直线1-=x 的距离，则点P 的轨迹方程为______________． 【答案】x y 42= 【来源】18届长嘉二模4 【难度】解析几何、基础题7. 抛物线212x y =的准线方程为_______. 【答案】3y =- 【来源】18届普陀二模1 【难度】解析几何、基础题8.双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a =【答案】2a = 【来源】18届松江二模1 【难度】解析几何、基础题9.已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 . 【答案】2220x y x y +--= 【来源】18届徐汇二模10 【难度】解析几何、中档题10.已知抛物线2x ay =的准线方程是14y =-，则a = . 【答案】1【来源】18届徐汇二模4 【难度】解析几何、基础题11.若双曲线222161(0)3x y p p-=>的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p = ．【答案】4【来源】18届杨浦二模8 【难度】解析几何、中档题12.平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=，如果这三条直线将平面化分为六个部分，则实数k 的取值组成的集合A = 【答案】{2,1,0}-- 【来源】18届金山二模10 【难度】解析几何、中档题13.已知双曲线22:198x y C -=，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得190F PQ ∠=︒，则1F PQ ∆的内切圆的半径r = 【答案】2【来源】18届金山二模11 【难度】解析几何、中档题14.已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为 （结果保留π） 【答案】12π【来源】18届崇明二模6 【难度】解析几何、基础题15. 已知椭圆2221x y a +=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦点为F ，若123F F FF =，则a =【来源】18届崇明二模8 【难度】解析几何、中档题9. 复数1.设z 是复数，()a z 表示满足1nz =时的最小正整数n ，i 是虚数单位，则⎪⎭⎫⎝⎛-+i i a 11=______． 【答案】4【来源】18届奉贤二模7 【难度】复数、基础题2.已知α是实系数一元二次方程22(21)10x m x m --++=的一个虚数根，且||2α≤，则实数m 的取值范围是 ．【答案】3(4- 【来源】18届黄浦二模8 【难度】复数、中档题3.已知复数z 满足i 342+=z （i 为虚数单位），则=||z ____________． 【答案】5【来源】18届长嘉二模3 【难度】复数、基础题4.若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 【答案】512i -【来源】18届青浦二模2 【难度】复数、基础题5.设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = 【答案】-1【来源】18届松江二模3 【难度】复数、基础题6.若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是 ． 【答案】2【来源】18届杨浦二模6 【难度】复数、中档题7.i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 【答案】-2【来源】18届崇明二模3 【难度】复数、基础题10. 立体几何1.已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 . 【答案】4π 【来源】18届宝山 二模5 【难度】立体几何、基础题2.已知半径为2R 和R 的两个球，则大球和小球的体积比为 ．【答案】8或1:8 【来源】18届奉贤 二模2 【难度】立体几何、基础题3.长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++= 4.2【答案】2【来源】18届虹口 二模4 【难度】立体几何、中档题4.如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于【答案】3π 【来源】18届虹口 二模9 【难度】立体几何、中档题5.将圆心角为32π，面积为π3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___________．【答案】π322【来源】18届长嘉二模7【难度】立体几何、中档题6.三棱锥ABCP-及其三视图中的主视图和左视图如下图所示，则棱PB的长为________．【答案】24【来源】18届长嘉二模8【难度】立体几何、中档题7.如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________．【答案】4π【来源】18届青浦二模7【难度】立体几何、中档题8.若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．【答案】16π【来源】18届徐汇二模5【难度】立体几何、基础题9.若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .【答案】15π【来源】18届徐汇二模8【难度】立体几何、中档题10.若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为【答案】16π【来源】18届松江二模8 【难度】立体几何、中档题11.若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形， 则该圆锥的体积是 ．【来源】18届杨浦二模7 【难度】立体几何、中档题12.记球1O 和2O 的半径、体积分别为1r 、1V 和2r 、2V ，若12827V V =，则12r r = 【答案】23【来源】18届金山二模6 【难度】立体几何、中档题11. 排列组合、概率统计、二项式定理1.某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.【答案】1.72 【来源】18届宝山二模3 【难度】统计、基础题2.若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 【答案】310【来源】18届宝山二模9 【难度】概率、中档题3.在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示） 【答案】1688 【来源】18届宝山二模7 【难度】排列组合、中档题4.从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 【答案】12【来源】18届虹口二模6 【难度】概率、中档题5.若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于 【答案】20 【来源】18届虹口二模8 【难度】二项式、中档题6.已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是人．【答案】140【来源】18届黄浦二模9【难度】概率统计、中档题7.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，则恰好有3次出现正面向上的概率是．(结果用数值表示) 10．【答案】5 16【来源】18届黄浦二模10 【难度】概率统计、中档题8.nxx⎪⎭⎫⎝⎛+1的展开式中的第3项为常数项，则正整数=n___________．【答案】4【来源】18届长嘉二模2【难度】二项式、基础题9.某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0、1、2、3的四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球编号相加之和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖．则顾客抽奖中三等奖的概率为____________．9．【答案】167【难度】概率统计、中档题10.代数式2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ．（用数字作答） 【答案】3【来源】18届奉贤二模10 【难度】二项式、中档题11.书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为_______（结果用数值表示）. 【答案】24【来源】18届普陀二模4 【难度】二项式、基础题12.若321()nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_________.5 【答案】5【来源】18届普陀二模6 【难度】二项式、基础题13.某单位年初有两辆车参加某种事故保险，对在当年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔（假设每辆车最多只获一次赔偿）.设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和121，且各车是否发生事故相互独立，则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为_________（结果用最简分数表示）.【答案】221【难度】概率统计、中档题14.设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为【答案】45【来源】18届松江二模11 【难度】排列组合、压轴题15.设*n N ∈，n a 为(4)(1)n nx x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R1222[][][]555n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b c -++的最小值为【答案】25【来源】18届松江二模12 【难度】二项式、压轴题16.在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项是 .【答案】20【来源】18届徐汇二模2 【难度】二项式、基础题 17.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为______________．8、30【答案】30【来源】18届青浦二模8 【难度】二项式、中档题18.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78、34、512，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +的概率是 ．【答案】151192【来源】18届青浦二模9 【难度】概率统计、中档题19.将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是 . 【答案】16【来源】18届徐汇二模9 【难度】概率统计、中档题20.若的二项展开式中项的系数是，则n = ． 【答案】4【来源】18届杨浦二模3 【难度】概率统计、基础题21.掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 ．()13nx +2x 542【来源】18届杨浦二模4 【难度】概率统计、基础题22.若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是一个白球和一个黑球的概率是【答案】11322535C C C ⋅=【来源】18届金山二模8 【难度】概率统计、中档题23.(12)nx +的二项展开式中，含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍， 则正整数n = 【答案】5【来源】18届金山二模9 【难度】二项式、中档题24.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 石（精确到小数点后一位数字） 【答案】169.1【来源】18届崇明二模5 【难度】统计、基础题25. 若二项式7(2)ax x+的展开式中一次项的系数是70-，则23lim()n n a a a a →∞+++⋅⋅⋅+=3【来源】18届崇明二模7 【难度】二项式、基础题26.某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在 相邻车位的概率是【答案】47【来源】18届崇明二模10 【难度】概率、中档题12. 行列式、矩阵、程序框图1.若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ⎛⎫⎪⎝⎭，且此方程组有唯一一组解，则实数m的取值范围是 【答案】0D ≠，即2m ≠±【来源】18届金山二模7 【难度】矩阵、中档题2.三阶行列式13124765x -中元素5-的代数余子式为()x f ，则方程()0f x =的解为____． 【答案】2log 3x = 【来源】18届奉贤二模6 【难度】矩阵、中档题3.若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 【答案】 40【来源】18届松江二模2 【难度】矩阵、基础题4.函数()2sin cos 1()11x x f x +-=的最小正周期是___________．【答案】π【来源】18届徐汇二模7 【难度】矩阵、基础题5.若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 【答案】9【来源】18届宝山二模6 【难度】矩阵、基础题6.已知函数2sin cos 2()1cos x x f x x-=，则函数()f x 的单调递增区间是 ． 【答案】3[,],Z 88k k k ππππ-+∈【来源】18届黄浦二模7 【难度】矩阵、基础题7.已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y +=【答案】5【来源】18届崇明二模2【难度】矩阵、基础题8.若2log 1042x -=-，则x =【答案】4【来源】18届崇明二模4 【难度】行列式、基础题13. 数学归纳法、极限1.已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=⋅【答案】12【来源】18届松江二模6 【难度】极限、基础题2.计算：=+∞→142limn nn ．【答案】12【来源】18届杨浦二模2 【难度】极限、基础题14. 参数方程、线性规划1.已知实数,x y 满足20102x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2u x y =+的最大值是 ．【答案】4 【来源】18届奉贤二模4 【难度】线性规划、中档题2.设变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥,043,04,1y x y x x 则目标函数y x z -=3的最大值为_________．【答案】4 【来源】18届长嘉二模6 【难度】线性规划、基础题3.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），椭圆C的参数方程为cos 1sin 2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则直线l 与椭圆C 的公共点坐标为__________.【答案】(24-【来源】18届普陀二模8 【难度】参数方程、中档题4.设变量x 、y 满足条件0220x y x y y x y m-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，若该条件表示的平面区域是三角形，则实数m 的取值范围是__________. 【答案】4(0,1][,)3+∞ 【来源】18届普陀二模10 【难度】参数方程、中档题5.若,x y 满足2,10,20,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为____________．【答案】12-【来源】18届青浦二模6 【难度】参数方程、中档题6.已知实数x y ，满足001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，． 则目标函数z x y =-的最小值为___________．【答案】-1【来源】18届徐汇二模6 【难度】线性规划、基础题7.若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为 ．【答案】3【来源】18届杨浦二模5 【难度】线性规划、基础题8.直线l 的参数方程为112x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为【答案】()2,1- 【来源】18届松江二模5 【难度】线性规划、基础题9.若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-，则常数k = 【答案】5k =【来源】18届松江二模9 【难度】线性规划、中档题10.已知,x y ∈R，且满足00y y y +≤-≥≥⎪⎩，若存在θ∈R 使得cos sin 10x y θθ++=成立，则点(,)P x y 构成的区域面积为【答案】6π【来源】18届崇明二模11 【难度】线性规划、中档题15.其它1.函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于 【答案】16【来源】18届虹口二模12 【难度】其它、压轴题 二、选择题1.命题、不等式)(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．【答案】 B 【来源】18届宝山二模13 【难度】命题与条件、基础题2.在给出的下列命题中，是假命题的是 答( )． (A )设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈， 则点A B C 、、必共线(B )若向量a b 和是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的(C )已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|，且0OA OB OC ++=， 则ABC ∆是等边三角形(D )在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d 、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直【答案】D【来源】18届黄浦二模16 【难度】命题与条件、压轴题3.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。
2018年上海市虹口区高考二模文科数学试题及答案 精品
虹口区2018年数学学科高考练习题(文科)（时间120分钟，满分150分） 2018.4一、填空题（每小题4分，满分56分）1、函数1)12()(+-=x k x f 在R 上单调递减，则k 的取值范围是 ．2、已知复数ii z +-=1)1(3，则=z ．3、已知31cos sin sin cos =ββαα，则=+)(2cos βα ．4、设n x )21(+展开式中二项式系数之和为n a ，各项系数之和为n b ，则=+-∞→nn nn n b a b a lim．5、已知双曲线与椭圆161622=+y x 有相同的焦点，且渐近线方程为x y 21±=，则此双曲线方程为 ．6、如果14log -=b a ，则b a +的最小值为 ．7、数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=，前n 项和为n S ，则=13S ． 8、设1F 、2F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足221π=∠PF F ，则21PF F ∆的面积等于 ．9、从集合{}3,2,1的所有非空子集中，等可能地取出一个，所取出的子集中含数字1的概率是 ．10、对于R x ∈，不等式a a x x 2122-≥++-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．11、在ABC ∆中，1=AB ，2=AC ，2)(=⋅+AB AC AB ，则ABC ∆面积等于 ．12、将边长为2的正方形沿对角线AC 折起，以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积最大值等于 ．13、设)2(log 1+=+n a n n )(*∈N n ，称k a a a a 321为整数的k 为“希望数”，则在)2013,1(内所有“希望数”的个数为 ．14、已知函数aax x a x a x x f 2222)1()(22-++--+=的定义域是使得解析式有意义的x 的集合，如果对于定义域内的任意实数x ，函数值均为正，则实数a 的取值范围是 ．二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+015y y x y x ，则目标函数y x f 2+=的最大值是（ ）.A 1 .B 5 .C 7 .D 816、在正方体1111D C B A ABCD -中与异面直线AB ，1CC 均垂直的棱有（ ）条．.A 1． .B 2． .C 3． .D 4．17、已知函数)2cos()2sin(2ππ-+=x x y 与直线21=y 相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ，2M ，3M等于（ ）.A π6 .B π7 .C π12 .D π13 18、若22παπ≤≤-，22πβπ≤≤-，R m ∈，如果有0sin 3=++m αα，0sin 3=+--m ββ，则)cos(βα+值为（ ）． .A 1- .B 0 .C21.D 1三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ，矩形ABCD 的边长1=AB ，2=BC ，E为BC 的中点．（1）求异面直线PE 与AB 所成的角的大小； （2）求四棱锥ABED P -的侧面积．20、（本题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，向量)cos 2,sin 2(B B m =，)cos ,cos 3(B B n -=，且1=⋅n m ．（1）求角B ；（2）若a ，b ，c 成等差数列，且2=b ，求ABC ∆的面积．21、（本题满分14分）已知复数i b a z n n n ⋅+=，其中R a n ∈，R b n ∈，*∈N n ，i 是虚数单位，且i z z z n n n 221++=+，i z +=11．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；D（2）求和：①n z z z +++ 21；②n n b a b a b a +++ 2211．22、（本题满分16分）已知抛物线C ：px y 22=)0(>p ，直线l 交此抛物线于不同的两个点),(11y x A 、),(22y x B ．（1）当直线l 过点)0,(p M -时，证明21y y ⋅为定值；（2）当p y y -=21时，直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）记)0,(p N ，如果直线l 过点)0,(p M -，设线段AB 的中点为P ，线段PN 的中点为Q ．问是否存在一条直线和一个定点，使得点Q 到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．23、（本题满分18分）定义域为D 的函数)(x f ，如果对于区间I 内)(D I ⊆的任意两个数1x 、2x 都有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，则称此函数在区间I 上是“凸函数”．（1）判断函数2)(x x f -=在R 上是否是“凸函数”，并证明你的结论； （2）如果函数xa x x f +=2)(在区间]2,1[上是“凸函数”，求实数a 的取值范围；（3）对于区间],[d c 上的“凸函数”)(x f ，在],[d c 上的任取1x ，2x ，3x ，……，n x 2，证明：)]()()([21)2(221221n nx f x f x f x x x f nn+++≥+++ ．虹口区2018年数学学科高考练习题答案（文）一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、)21,(∞-； 2、2； 3、97-； 4、1-； 5、12822=-y x ； 6、1； 7、7； 8、1； 9、74； 10、]3,1[-； 11、23； 12、322； 13、9； 14、07≤<-a 或2=a ； 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、C ； 16、D ； 17、A ； 18、D ； 三、解答题（满分74分）19、(12分) 解：（1）取AD 的中点F ，连EF 、PF ．AB EF //，∴PEF ∠的大小等于异面直线PE 与AB 所成的角或其补角的大小．……2分D由1=PA ，1==BE AB ，⊥PA 平面ABCD ，ABCD 是矩形，得1=EF ，2=AE ，2=PF ，3=PE ，∴3332213cos =-+=∠PEF ．………………5分∴异面直线PE 与AB 所成的角的大小等于33arccos．………………6分 （2） ⊥PA 平面ABCD ，1=PA ，1=AB ，1=AD ，21=∆PAB S ，1=∆PAD S ．BE PA ⊥，AB BE ⊥，∴⊥BE 平面PAB ，∴⊥BE PB ，2=PB ，22=∆PBE S ． …………………………9分连AE ，由1==BE AB ，得2=AE ，同理2=DE ，322=+=AE PA PE ，又522=+=AD PA PD ∴222PD DE PE =+，由勾股定理逆定理得︒=∠90AED ，∴26=∆PED S .∴四棱锥ABED P -的侧面积为2623++．………………12分20、（14分）解：（1） 1=⋅，∴1cos 2cos 3sin 22=-⋅B B B ，22cos 2sin 3=-B B ，1)62sin(=-πB ，……………………5分又π<<B 0，∴611626πππ<-<-B ，∴262ππ=-B ，∴3π=B (7)分（2） 2=b ，c a b +=2，∴4=+c a ． 又B ac c a b cos 2222⋅-+=，∴3cos2422π⋅-+=ac c a ，即ac c a -+=224……10分将4=+c a 代入得0442=+-a a ，得2=a ，从而2=c ，三角形为等边三角形．……12分∴3sin 21==∆B ac S ．………………14分21、（14分）解：（1） i i b a z +=⋅+=1111，∴11=a ，11=b ． 由iz z z n n n 221++=+得ib a i i b a i b a i b a n n n n n n n n ⋅++=+⋅-+⋅+=⋅+++)2(32)()(211，∴⎩⎨⎧+==++2311n n nn b b a a ………………3分 ∴数列{}n a 是以1为首项公比为3的等比数列，数列{}n b 是以1为首项公差为2的等差数列，∴13-=n n a ，12-=n b n ．……………………6分 （2）由（1）知13-=n n a ，12-=n b n ．①i n i b b b a a a z z z n n n n ⋅+-=⋅+++++++=+++2212121)13(21)()( ．……10分②令n n n b a b a b a S +++= 2211，)12(35333112-⋅++⋅+⋅+=-n S n n （Ⅰ） 将（Ⅰ）式两边乘以3得)12(3533313332-⋅++⋅+⋅+⋅=n S n n （Ⅱ） 将（Ⅰ）减（Ⅱ）得)12(33232323212132-⋅-⋅++⋅+⋅+⋅+=--n S n n n ．)22(322+-+-=-n S n n ，13)1(+⋅-=n n n S .……………………14分22、（16分）解：（1）l 过点)0,(p M -与抛物线有两个交点，可知其斜率一定存在，设)(:p x k y l +=，其中0≠k （若0=k 时不合题意），由⎩⎨⎧=+=pxy p x k y 2)(2得02222=+-⋅k p py y k ，∴2212p y y =⋅．………………4分 注：本题可设p my x l -=:，以下同．（2）当直线l 的斜率存在时，设b kx y l +=:，其中0≠k （若0=k 时不合题意）．由⎩⎨⎧=+=px y b kx y 22得0222=+-pb py ky ． p k pb y y -==∴221，从而2kb -=．………………6分 假设直线l 过定点),(00y x ，则b kx y +=00，从而200kkx y -=，得0)21(00=--y k x ，即⎪⎩⎪⎨⎧==02100y x ，即过定点)0,21(．………………8分当直线l 的斜率不存在，设0:x x l =，代入px y 22=得022px y =，02px y ±=，p px px px y y -=-=-⋅=∴000212)2(2，从而210=x ，即21:=x l ，也过)0,21(．综上所述，当p y y -=21时，直线l 过定点)0,21(．………………10分 （3）依题意直线l 的斜率存在且不为零，由（1）得点P 的纵坐标为k py y y P =+=)(2121，代入)(:p x k y l +=得p kp x P -=2，即),(2k p p k p P -．…………12分设),(y x Q ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅=+-=k py p p kp x 21)(212消k 得x p y 22=…………14分由抛物线的定义知存在直线8p x -=，点)0,8(p，点Q 到它们的距离相等．…………16分23、（18分）解：（1）设1x ，2x 是任意两个实数，则有)]()([21)(21)2(41)2()2(21222122212122121x f x f x x x x x x x x x x f +≥--≥---=+-=+． ∴函数2)(x x f -=在R 是“凸函数”．………………4分 （2）若对于]2,1[上的任意两个数1x ，2x ，均有)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，即)]()[(212)2(22212121221x a x x a x x x a x x +++≥+++，整理得)()(21)(2121221221x x x x x x a x x +--≤-……………………7分 若21x x =，a 可以取任意值．若21x x ≠，得)(212121x x x x a +-≤， 1)(2182121-<+-<-x x x x ，∴8-≤a ． 综上所述得8-≤a ．………………10分 （3）当1=k 时由已知得)]()([21)2(2121x f x f x x f +≥+成立． 假设当mk =)(*∈N m 时，不等式成立即)]()()([21)2(2211221m kx f x f x f x x x f m m +++≥++++ 成立． 那么，由d x x x c mm≤+++≤2221 ，d x x x c mmm m m ≤+++≤+++2222212得]}22[21{)2(22221222112211mm m mm m m m m x x x x x x f x x x f +++++++++++=++++)]2()2([21222212221mm m m m m m x x x f x x x f ++++++++++≥ )]}()()([21)]()()([21{21122212221++++++++≥++m m m m x f x f x f x f x f x f m m )]()()([2112211++++=+m x f x f x f m ． 即1+=m k 时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．………………18分。
2018年上海市虹口区高三二模数学卷含答案
虹口区2017学年度第二学期期中教学质吊监控测试高三数学试卷（时间120分伸，満分150分）罚（4 7 12 r * 5 I，、:K稱分54 : i1. U知A »(-«c t a] • B =[1.2J . 11 AcB农©・曲实数a的范也是_______________________2. Att ax *<a -1)y >1 ・0 与去线4x *ay-2.0 OTW, IM实ST a- ________________4.长方体的对侑找与过同一个頂点的三个农面所成并角分别为a . B. 丫 .対co® + c6i ♦知_____________________25匚知函ftt f(Q=八•则f」["(〜)]= ____________________________________ ・2 -1 x <06从累合(-1, 1, 2, 3施片山? -个为m・从兔合(-2, -1, 1. 3随HUI?个为n.朝方程X=1表用双曲找的概半为_______________m n7. Cffltt列UiU公比为q的寺比牧刊，且a2, a«.為成寻荒数X, M q-小轨f (x) = J g I：；. f (x) p炖(x-1)令q(x-M ♦务(x-1)?♦川♦比“-卄則觅的值尊于____________ ・9.勿国•长方休 ABCD - A B C 0K边长AB= AA=1AD =逅.EfFJ讣佞球毘琢 O・噂A . A席冋点旳球庶比円寻于__________ ・10. ■（!的整林尊于m ■翩（帐尊于n ■则JRM曲内接魁形的■枫的■大值为笛・（X】是不世过x的处大则方岂（2¥・2・[2T」M ONA1 X<1的所右实教能12・两数f （x） =$in x .对T Xg<冷卅I qxfl斷，&・川.忌色（0. &】（n^10）,兄M 咐(为)T(创H『g)T(冷)|r(4)-“xj4l)l牛(Xnj)T()q|・ MM 0»大偵第干-----------------------ai)K«-tt? 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上海市虹口区2018届高考二模数学试题含答案
上海市虹口区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且AB ≠∅，则实数a 的范围是2. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a =3. 已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+=4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=5. 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=6. 从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 7. 已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q = 8. 若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于9. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于10. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的 内接矩形的面积的最大值为11. []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是 12. 函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数是奇函数的是（ ）A. ()1f x x =+B. ()sin cos f x x x =⋅C. ()arccos f x x =D. 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩14. 在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运 动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（ ） A.12 B. 13 C. 14D. 1815. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B 两点，且||AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（ ）A.16. 已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（ ）A. 不存在a 和n 使得2015n S =B. 不存在a 和n 使得2016n S =C. 不存在a 和n 使得2017n S =D. 不存在a 和n 使得2018n S =三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==，2BAC π∠=，高等于3，点1M 、2M 、1N 、2N 为所在线段的三等分点. （1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N 、1AM 所成的角的大小.18. 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是 虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =. （1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.19. 平面内的“向量列” {}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”， d 称为“公差向量”，平面内的“向量列” {}n b ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）如果“向量列” {}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量” d 表示12n a a a ++⋅⋅⋅+； （2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量” (3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =，{}n b 是“等比向量列”，“公比” 2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =，求1122n n a b a b a b ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅.20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”. （1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA 、MB 分别交y 轴于点P 、Q ，过M 的椭圆C 的“切线” l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M mn 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线” l 与直线1MF 、2MF 所成夹角是否相等？并说明理由.21. 已知函数3()f x ax x a =+-（a ∈R ，x ∈R ），3()1xg x x=-（x ∈R ）.（1）如果2x =x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x 在(-和的单调性，并说明理由； （3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q -=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立的充要条件是3a ≥.上海市虹口区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知(,]A a =-∞，[1,2]B =，且A B ≠∅，则实数a 的范围是【解析】画数轴，1a ≥2. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 【解析】由24(1)02a a a --=⇒=3. 已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+=【解析】4tan 3α=-，∴1tan()47πα+=- 4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α、β、γ，则222cos cos cos αβγ++=【解析】设三边为a 、b 、c ，对角线为d ，∴2222a b c d ++=2222cos a b d α+=，2222cos b c d β+=，2222cos c a dγ+=，∴222cos cos cos 2αβγ++= 也可取正方体的特殊情况去求5. 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=【解析】120()log (1),0x f x x x -≤=-+>⎪⎩，1(9)3f --=，111[(9)](3)2f f f ----==-6. 从集合{1,1,2,3}-随机取一个为m ，从集合{2,1,1,2}--随机取一个为n ，则方程221x y m n+=表示双曲线的概率为 【解析】32121442⨯+⨯=⨯7. 已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a 、4a 、3a 成等差数列，则q = 【解析】22342210a a a q q +=⇒--=，∴1q =或12q =-8. 若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则3a 的值等于【解析】66[(1)1]x x =-+，33620a C == 9. 如图，长方体1111ABCD A B C D -的边长11AB AA ==，AD =O ，则A 、1A 这两点的球面距离等于【解析】外接球半径为1，3πα=，球面距离为3π10. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 【解析】根据本公众号“上海初高中数学”2018年3月28日推文中的性质，最大值为2mn11. []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是 【解析】当01x ≤<，[2]1x =，∴21(2)22x x =⇒=；当0x <，[2]0x =，21(2)4x =， ∴1x =-，∴满足条件的所有实数解为0.5x =或1x =-12. 函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<⋅⋅⋅<且12,,,[0,8]n x x x π⋅⋅⋅∈（10n ≥），记1223341|()()||()()||()()||()()|n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-+⋅⋅⋅+-，则M的最大值等于【解析】在[0,8]π有4个周期，最大值为4416⨯=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数是奇函数的是（ ）A. ()1f x x =+B. ()sin cos f x x x =⋅C. ()arccos f x x =D. 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩【解析】由()()f x f x -=-，选B14. 在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运 动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（ ） A.12 B. 13 C. 14D. 18【解析】建系，设(,3)P x x -，(1,0)M ，(2,0)N ，22911PM PN x x ⋅=-+，[0,3]x ∈，∴94x =时取到最小值，此时14PC k BC ==，选C15. 直线:10l kx y k -++=与圆228x y +=交于A 、B 两点，且||AB =，过点A 、B 分别作l 的垂线与y 轴交于点M 、N ，则||MN 等于（ ）A.【解析】AB 长为直径，∴:10l kx y k -++=经过原点，1k =-，8MN ==，选D 16. 已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（ ）A. 不存在a 和n 使得2015n S =B. 不存在a 和n 使得2016n S =C. 不存在a 和n 使得2017n S =D. 不存在a 和n 使得2018n S =【解析】令11a =，则所有奇数项都为1，偶数项都为5，排除B 、C ；令12a =，则所有奇数项都为2，偶数项都为4，排除D ，故选A.三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1AB AC ==，2BAC π∠=，高等于3，点1M 、2M 、1N 、2N 为所在线段的三等分点. （1）求此三棱柱的体积和三棱锥112A AM N -的体积； （2）求异面直线12A N 、1AM 所成的角的大小. 【解析】（1）13322V =⨯=；1121121311322A AM N M A AN V V --==⨯⨯=（2）相当于正方体同一顶点的面对角线所成的角，为3π18. 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，cos sin z A i A =+⋅（i 是 虚数单位）是方程210z z -+=的根，3a =. （1）若4B π=，求边长c 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值.【解析】（1）解为12，∴3A π=，由正弦定理b =c =（2）画出△ABC 的外接圆可知，3AB AC ==.19. 平面内的“向量列” {}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”， d 称为“公差向量”，平面内的“向量列” {}n b ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）如果“向量列” {}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量” d 表示12n a a a ++⋅⋅⋅+； （2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量” (3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =，{}n b 是“等比向量列”，“公比” 2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =，求1122n n a b a b a b ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅. 【解析】（1）121(1)2n n n a a a na d -++⋅⋅⋅+=+； （2）111(32,1)(2,32)(31)2n n n n n a b n n ---⋅=-⋅⋅=+⋅u u r u r，错位相减求和为(32)22n n -⋅+20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆22:12x C y +=，点(,)M m n 是椭圆C 上的任意一点，直线l 过点M 且是椭圆C 的“切线”. （1）证明：过椭圆C 上的点(,)M m n 的“切线”方程是12mxny +=； （2）设A 、B 是椭圆C 长轴上的两个端点，点(,)M m n 不在坐标轴上，直线MA 、MB 分别交y 轴于点P 、Q ，过M 的椭圆C 的“切线” l 交y 轴于点D ，证明：点D 是线段PQ 的中点；（3）点(,)M mn 不在x 轴上，记椭圆C 的两个焦点分别为1F 和2F ，判断过M 的椭圆C 的“切线” l 与直线1MF 、2MF 所成夹角是否相等？并说明理由. 【解析】（1）设直线()y k x m n =-+， 联立椭圆，0∆=，可证结论； （2）:MA l y x =+，∴P y =，同理Q y =，1D y n =24222P Q D n y y y m n-+===-，即点D 是线段PQ 的中点（3）相等，11MF n k m =+，21MF n k m =-，2mk n-=切，由夹角公式 1111tan ||1MF MF k k k k n θ-==+切切，2221tan ||1MF MF k k k k nθ-==+切切，所以所成夹角相等.21. 已知函数3()f x ax x a =+-（a ∈R ，x ∈R ），3()1xg x x=-（x ∈R ）. （1）如果2x =x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x在(1,2-和[2的单调性，并说明理由； （3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q -=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立的充要条件是3a ≥.【解析】（1）(023f a ≤⇒≥； （2）根据单调性定义分析，在(1,2-上递减，在[2上递增； （3）“函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q-=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立”说明 473231n qa q q q q q-==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-成立，根据无穷等比数列相关性质，(1,1)q ∈-， 结合第（2）问，31qa q =-在(-上递减，在上递增，∴min 3()1q a g q ≥==-，反之亦然.。