概率论答案 - 李贤平版 - 第三章

第三章 随机变量与分布函数

1、直线上有一质点，每经一个单位时间，它分别以概率p 或p -1向右或向左移动一格，若该质点在时刻

0从原点出发，而且每次移动是相互独立的，试用随机变量来描述这质点的运动（以n S 表示时间n 时质点的位置）。

2、设ξ为贝努里试验中第一个游程（连续的成功或失败）的长，试求ξ的概率分布。

3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布：（1）;

,,2,1,)(N k N

c

k f Λ==（2）,,2,1,!)(Λ==k k c k f k λ 0>λ。

4、证明函数)(2

1)(|

|∞<<-∞=

-x e x f x 是一个密度函数。 5、若ξ的分布函数为N （10，4），求ξ落在下列范围的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。 6、若ξ的分布函数为N （5，4），求a 使：（1）90.0}{=-a P ξ。 7、设}{)(x P x F ≤=ξ，试证)(x F 具有下列性质：（1）非降；（2）右连续；（3）,0)(=-∞F 1)(=+∞F 。 8、试证：若αξβξ-≥≥-≥≤1}{,1}{12x P x P ，则)(1}{21βαξ+-≥≤≤x x P 。

9、设随机变量ξ取值于[0，1]，若}{y x P <≤ξ只与长度x y -有关（对一切10≤≤≤y x ），试证ξ服

从[0，1]均匀分布。

10、若存在Θ上的实值函数)(θQ 及)(θD 以及)(x T 及)(x S ，使

)}()()()(ex p{)(x S D x T Q x f ++=θθθ，

则称},{Θ∈θθf 是一个单参数的指数族。证明（1）正态分布),(2

0σm N ，已知0m ，关于参数σ；

（2）正态分布),(2

00σm N ，已知0σ，关于参数m ；（3）普阿松分布),(λk p 关于λ都是一个单参数的指数族。

但],0[θ上的均匀分布，关于θ不是一个单参数的指数族。

11、试证)

2(22),(cy bxy ax ke y x f ++-=为密度函数的充要条件为,0,0,02

<->>ac b c a π

2

b a

c k -=

。

12、若)(),(21y f x f 为分布密度，求为使),()()(),(21y x h y f x f y x f +=成为密度函数，),(y x h 必须而且

只需满足什么条件。

13、若),(ηξ的密度函数为 ⎩⎨⎧>>=+-其它,

00,0,),()2(y x Ae y x f y x ，

试求：（1）常数A ；（2）}1,2{<<ηξP ；（3）ξ的边际分布；（4）}2{<+ηξP ； （5）)|(y x f ；（6）}1|2{<<ηξP 。 14、证明多项分布的边际分布仍是多项分布。 15、设二维随机变量),(ηξ的联合密度为

y k k e x y x k k y x p ----ΓΓ=

11

2121)()

()(1),(

∞<≤<>>y x k k 0,0,021，试求与ξ的η边际分布。

16、若)(),(),(321x f x f x f 是对应于分布函数)(),(),(321x F x F x F 的密度函数，证明对于一切

)11(<<-αα，下列函数是密度函数，且具有相同的边际密度函数)(),(),(321x f x f x f ：

)(),(),(321x f x f x f ]}1)(2[]1)(2[]1)(2[1){(),(),(332211332211-⨯-⨯-+=x F x F x F x f x f x f α。

17、设ξ与η是相互独立的随机变量，均服从几何分布Λ,2,1,),(1

==-k p q

p k g k 。令),max(ηξζ=，

试求（1）),(ξζ的联合分布；（2）ζ的分布；（3）ξ关于ζ的条件分布。

18、（1）若),(ηξ的联合密度函数为⎩

⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,0,4),(y y x xy y x f ，问ξ与η是否相互独立？

（2）若),(ηξ的联合密度函数为⎩⎨

⎧≤≤≤≤=其它,

01

0,0,8),(y y x xy y x f ，问ξ与η是否相互独立？

19、设),,(ζηξ的联合密度函数为 ⎪⎪

⎩⎪⎪⎨⎧

≤≤≤≤≤≤-=其它时

当,

0202020),sin sin sin 1(81),,(3ππππz y x z y x z y x p

试证：ζηξ,,两两独立，但不相互独立。

20、设),(ηξ具有联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,

01||,1||,41),(y x xy y x p ，试证ξ与η不独立，但2ξ与2

η是相

互独立的。

21、若1ξ与2ξ是独立随变量，均服从普要松分布，参数为1λ2λ及，试直接证明

（1）21ξξ+具有普承松分布，参数为21λλ+；

（2）k

n k

k n n k P -⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==+=21

2211211}|{λλλλλλξξξ。

22、若ηξ,相互独立，且皆以概率

2

1

取值+1及1-，令ξηζ=，试证ζηξ,,两两独立但不相互独立。 23、若ξ服从普阿松分布，参数为λ，试求（1）b a +=ξη；（2）2

ξη=的分布。

24、设ξ的密度函数为)(x p ，求下列随机变量的分布函数：（1）

1

-=ξη，这里0}0{==ξP ；（2）ξηtg =；

（3）||ξη=。

25、对圆的直径作近似度量，设其值均匀分布于)(b a +内，试求圆面积的分布密度。

26、若ηξ,为相互独立的分别服从[0，1]均匀分布的随机变量，试求ηξζ+=的分布密度函数。 27、设ηξ,相互独立，分别服从)1,0(N ，试求η

ξ

ζ=

的密度函数。 28、若ηξ,是独立随机变量，均服从)1,0(N ，试求ηξηξ-=+=V U ,的联合密度函数。

29、若n ξξξ,,,21Λ相互独立，且皆服从指数分布，参数分别为n λλλ,,,21Λ，试求)

,,,min(21n ξξξηΛ=的分布。

30、在),0(a 线段上随机投掷两点，试求两点间距离的分布函数。

31、若气体分子的速度是随机向量),,(z y x V =，各分量相互独立，且均服从),0(2

σ=N ，试证

222z y x S ++=斑点服从马克斯威尔分布。

32、设ηξ,是两个独立随机变量，ξ服从)1,0(N ，η服从自由度为n 的2

-x 分布(3.14),令n t //

ηξ=，

试证t 的密度函数为 )

1(212121)1(21)(+-⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+⎪⎭

⎫

⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ=n n n x n n n x P π 这分布称为具有自由度n 的-t 分布在数理统计中十分重要。

33、设ζηξ,,有联合密度函数⎩⎨⎧>>>+++=-其它时

当,

00,0,0,)1(6),,(4z y x z y x z y x f ，试求

ζηξ++=U 的密度函数。

34、若ηξ,独立，且均服从)1,0(N ，试证2

2

ηξ+=U 与η

ξ

=

V 是独立的。 35、求证，如果ξ与η独立，且分别服从-Γ分布),(1r G λ和),(2r G λ，则ηξ+与

η

ξ

也独立。 36、设独立随机变量ηξ,均服从⎩⎨⎧>=-其它

,00,)(x e x p x ，问ηξ+与()ηξξ

+是否独立？