高中数学不等式复习教案13
高中数学不等式的模型教案
高中数学不等式的模型教案
教学目标：
1. 理解不等式的概念及性质。
2. 掌握解不等式的方法。
3. 能够运用不等式解决实际问题。
教学重点：
1. 不等式的定义。
2. 不等式的性质。
3. 解不等式的方法。
教学难点：
1. 不等式组合的运算规则。
2. 不等式解答实际问题的能力。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引导学生讨论生活中的“不等式”，以引起学生的兴趣和思考。
二、讲解不等式的定义（15分钟）
1. 介绍不等式的定义和符号表示。
2. 讲解不等式的性质和性质与等号的关系。
三、解不等式的方法（20分钟）
1. 介绍解一元一次不等式的基本方法。
2. 演示解决不等式的过程，并指导学生做练习。
四、练习与讨论（15分钟）
1. 让学生做一些不等式的练习题，并讨论解题过程和答案。
2. 教师解答学生提出的问题，帮助学生理解不等式的知识点。
五、实际问题解决（15分钟）
1. 给学生提供一些实际问题，让学生运用不等式解决问题。
2. 学生自主讨论解决问题的方法，并展示解题过程。
六、总结（5分钟）
1. 教师对本节课进行总结，提出学生存在的问题和不足之处。
2. 提醒学生在日常生活中多加练习，提高不等式解决问题的能力。
作业布置：
* 完成课堂练习题目。
* 自编不等式实际问题，并解答。
教学反思：
* 对学生学习不等式过程中的困难加以理解和帮助。
* 注重学生实际问题解决能力的培养。
高中数学《不等式》教案
高中数学《不等式》教案教学内容：不等式
教学目标：
1. 理解不等式的概念和性质。
2. 掌握不等式的解法和解集表示法。
3. 能够根据不等式的性质解决实际问题。
教学重点：
1. 掌握不等式的基本概念和性质。
2. 能够利用不等式解决实际问题。
教学难点：
1. 熟练掌握各种不等式的解法。
2. 能够根据实际问题建立并解决不等式。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入不等式的概念，并和等式做比较，引发学生思考。
二、讲解不等式的性质和解法（15分钟）
1. 讲解不等式的符号表示及性质。
2. 讲解不等式的解法，包括加减法、乘法、除法等。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 练习不等式的基本运算和解法。
2. 让学生在小组讨论中解决不等式问题。
四、实际问题应用（10分钟）
1. 列举一些实际问题，让学生通过建立不等式解决。
五、总结与展望（5分钟）
1. 总结不等式的性质和解法。
2. 展望下节课内容，讲解高级不等式的解法。
六、作业布置（5分钟）
1. 布置练习题，巩固不等式的知识。
教学板书：
不等式
1. 定义：比较两个数的大小关系的代数式。
2. 符号表示：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。
3. 特性：加减法、乘除法性质。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对不等式的概念和性质有了初步了解，并能够熟练解决基本的不等式问题。
下一步可以引入更复杂的不等式，挑战学生的解题能力。
高中数学复习教案不等式与绝对值基本概念回顾
高中数学复习教案不等式与绝对值基本概念回顾高中数学复习教案：不等式与绝对值基本概念回顾在高中数学学习中，不等式和绝对值是重要的基本概念。
它们在数学中的应用广泛，不仅在数学本身有重要意义，还在其他学科和实际生活中有很多实用的应用。
接下来，我们将回顾不等式与绝对值的基本概念，以帮助你复习这一部分的知识。
一、不等式的基本概念不等式是数学中用符号<、>、≤、≥等表示大小关系的一种形式。
下面我们将回顾不等式的基本概念。
1.1 不等式的定义不等式是由等号（=）与大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）等符号组成的，用于表示两个数或量之间大小关系的数学式子。
其中，大于号表示大于的关系，小于号表示小于的关系，大于等于号表示大于或等于的关系，小于等于号表示小于或等于的关系。
例如，x > 2表示x大于2，x < 5表示x小于5，x ≥ 0表示x大于等于0，x ≤ 10表示x小于等于10。
1.2 不等式的性质不等式在运算中具有以下性质：（1）若a > b，且b > c，则a > c。
即不等式具有传递性。
（2）若a > b，则 -a < -b。
即不等式两边同时取相反数，不等号方向相反。
（3）若a > b，且c > 0，则ac > bc。
即不等式两边同时乘以正数，不等号方向不变。
（4）若a > b，且c < 0，则ac < bc。
即不等式两边同时乘以负数，不等号方向反转。
1.3 不等式的解集表示不等式的解集表示的形式有两种：写成集合形式或者写成区间形式。
（1）集合形式：{ x | 条件 } 表示满足条件的所有数的集合。
（2）区间形式：用∈表示“属于”，用∩表示“交集”，则(条件)∩(条件)表示满足两个条件的数的交集，即表示解集。
例如，不等式2x + 3 > 7可以解得x ∈ (2, +∞)。
二、绝对值的基本概念绝对值是数学中用符号| | 表示的一个数的非负值。
高中高三数学不等关系与不等式教案精选
高中高三数学不等关系与不等式教案精选整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.三维目标1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.教学难点：准确比较两个代数式的大小.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.推进新课新知探究提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系?4任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“b”“a教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.实例1：某天的天气预报报道，气温32 ℃，最低气温26 ℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4：两点之间线段最短.实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.实例6：限速40 km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26 ℃≤t≤32 ℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.|AB|-|BC| 实例6，若用v表示速度，则v≤40 km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.讨论结果：(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.变式训练1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是( )A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)答案：A解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.例2比较下列各组数的大小(a≠b).(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);(2)a4-b4与4a3(a-b).活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b= a-b22a+b.∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b >0，即a+b2>21a+1b.(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2] ∴a4-b4 点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.变式训练已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小.活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.解：xy-1=x-yy.∵x>y，∴x-y>0.当y 当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了?请说明理由.活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法.解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a由于a+mb+m-ab=m b-a b b+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.点评：一般地，设a、b为正实数，且a变式训练已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则( )A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8与a4+a5大小不确定答案：A解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.课堂小结1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.作业习题3—1A组3;习题3—1B组2.设计感想1.本节设计关注了教学方法的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.。
高中数学代数不等式教案
高中数学代数不等式教案
一、教学目标：
1. 了解不等式的概念，掌握不等式的性质和解不等式的方法；
2. 能够解决简单的一元一次不等式；
3. 能够推导不等式，简单应用不等式解决实际问题。
二、教学重点和难点：
1. 不等式的性质和解不等式的方法；
2. 推导不等式和应用不等式解决实际问题。
三、教学内容：
1. 不等式的概念及性质；
2. 解一元一次不等式的方法；
3. 推导不等式；
4. 应用不等式解决实际问题。
四、教学过程：
1. 导入新课：通过提问引出学生对不等式的认识，引出不等式的概念和性质；
2. 学习不等式的性质和解不等式的方法，并讲解示例；
3. 学生练习解题；
4. 学习推导不等式的方法，并讲解示例；
5. 学生练习推导不等式；
6. 学习应用不等式解决实际问题，并讲解示例；
7. 学生练习应用不等式解决实际问题；
8. 总结本节课的内容，布置作业。
五、课后作业：
1. 练习册上的相关习题；
2. 思考如何应用不等式解决生活中的问题。
六、教学反思：
通过本节课的教学，学生对不等式的概念和性质有了更深入的理解，解不等式的方法也得到了初步掌握。
但是，需要鼓励学生多加练习，提高解题能力。
在教学中，要充分启发学生的思维，引导学生灵活运用不等式解决实际问题。
北师大版高中数学必修5《三章 不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》赛课导学案_13
3．2基本不等式与最大(小)值●三维目标1．知识与技能会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，会用基本不等式解决实际问题．通过探究实例过程，领悟利用不等式求简单的最大(小)值问题所满足的条件．3．情感、态度与价值观通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯，培养学生的探索精神．●重点难点重点：用基本不等式解决简单的最值问题．难点：用基本不等式求最值的使用条件．●教学建议在用基本不等式求最值时，要讲清楚使用条件：“一正、二定、三相等”．课本P91例2就是对这三个应用条件的很好的阐释．有些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式解决如例3中若x<0则需要变形方可利用基本不等式求最值．●教学流程创设问题情境，提出问题：如何通过基本不等式求f(x)＝x(1－x)(0<x<1)的最值？⇒引导学生回答问题，理解利用基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，掌握用基本不等式解决最值问题⇒通过例1及变式训练，使学生掌握基本不等式求最值⇒通过例2及互动探究，使学生掌握求有约束条件的最值⇒通过例3及变式训练，使学生掌握基本不等式解决实际问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第59页)已知函数f(x)＝x(1－x)(0<x<1)，该函数有最大值还是最小值？能否通过基本不等式求它的最值？【提示】最大值；能．∵0<x<1，∴1－x>0，又∵a＋b2≥ab，∴ab≤(a＋b2)2，∴x(1－x)≤(x＋1－x2)2＝14，当且仅当x＝1－x，即x＝12时，f(x)有最大值14.已知x、y都是正数(对应学生用书第59页)(1)已知x >0，求函数y ＝x x 的最小值；(2)已知0<x <13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．【思路探究】 (1)利用分式的性质拆开，构造ax ＋bx 形式，再利用基本不等式；(2)转化为括号内外x 的系数互为相反数即保证和为定值时，再使用基本不等式．【自主解答】 (1)∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x ＋5≥24＋5＝9， 当且仅当x ＝4x 即x ＝2时等号成立． 故y ＝x 2＋5x ＋4x (x >0)的最小值为9.(2)法一 ∵0<x <13，∴1－3x >0. ∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋（1－3x ）2]2＝112.当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立． ∴当x ＝16时，函数取得最大值112.法二∵0<x<13，∴13－x>0.∴y＝x(1－3x)＝3·x(13－x)≤3·(x＋13－x2)2＝1 12，当且仅当x＝13－x，即x＝16时，等号成立．∴当x＝16时，函数取得最大值112.1．应用基本不等式的条件：“一正、二定、三相等”，在求最值时必须同时具备，解答本题易漏掉等号成立的条件．2．此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一定的灵活性和技巧性．常用技巧有“拆项”、“添项”、“凑系数”、“常值代换”等．已知x＜54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值．【解】∵x＜54，∴5－4x＞0，∴y＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3＝－[(5－4x)＋15－4x]＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x即x＝1时等号成立，∴当x＝1时，y max＝1.已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求1a＋1b的最小值．【思路探究】思路一：利用“1”的整体代换求解：即把1a＋1b看作⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ×(a ＋2b )，化简后利用基本不等式求解． 思路二：将式子1a ＋1b 中的1用a ＋2b 代换后，利用基本不等式求解． 【自主解答】 法一 1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·(a ＋2b ) ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22b a ·ab＝3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝a b a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1b ＝1－22时等号成立．∴1a ＋1b 的最小值为3＋2 2.法二 1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝1＋2b a ＋ab ＋2 ＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝a b a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1b ＝1－22时，等号成立，∴1a ＋1b 的最小值为3＋2 2.1．本题在解答中要注意使1a ＋1b 取最小值所对应a 、b 的值也要一并解出来． 2．解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”、“凑”的方法，构选成基本不等式的形式，从而得出最值．本例中，如何求ab 的最大值？【解】 法一 ab ＝12a ·(2b )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝18，当且仅当⎩⎨⎧a ＋2b ＝1a ＝2b，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝14时，ab 取得最大值18.法二 ∵a ＋2b ＝1，∴1＝a ＋2b ≥2a ·（2b ）， 即ab ≤122，∴ab ≤18，当且仅当⎩⎨⎧a ＝2b a ＋2b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝14时，ab 取得最大值18.某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图3－3－3，设池塘所占总面积为S 平方米．图3－3－3(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．【思路探究】 根据题中变量，认真分析图形，构建函数关系式，利用基本不等式求最值．【自主解答】 (1)由图形知，3a ＋6＝x ， ∴a ＝x －63.S ＝(1 800x －4)·a ＋2a (1 800x －6) ＝a (5 400x －16) ＝x －63(5 400x －16)＝1 832－(10 800x ＋16x3)． 即S ＝1 832－(10 800x ＋16x3)(x >0)． (2)由S ＝1 832－(10 800x ＋16x 3)， 得S ≤1 832－210 800x ·16x 3＝1 832－2×240＝1 352， 当且仅当10 800x ＝16x3时等号成立，此时，x ＝45， 即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．1．根据已知，列出关系式是解答本题的关键．2．利用基本不等式解决实际问题要遵循以下几点：①在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关系，初步确定用怎样的函数模型；②建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值；④回到实际问题中，检验并写出正确答案．北京市有关部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解】 (1)由题意 y ＝920v v 2＋3v ＋1 600＝920（v ＋1 600v ）＋3≤9202v ·1 600v ＋3＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时取等号． ∴y max ＝92083≈11.1(千辆/小时)， ∴当车速v ＝40千米/小时时， 车流量最大为11.1千辆/小时． (2)由题意：920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v－25)(v－64)＜0，解得25＜v＜64.∴当车辆平均速度大于25千米/小时且小于64千米/小时时，车流量超过10千辆/小时．(对应学生用书第61页)忽视基本不等式的条件致误求函数y＝1－2x－3x的值域．【错解】函数可化为y＝1－(2x＋3 x)．∵2x＋3x≥22x·3x＝2 6.当且仅当2x＝3x，即x＝±62时取等号．∴y＝1－(2x＋3x)≤1－2 6.∴函数的值域为(－∞，1－26]．【错因分析】利用基本不等式求最值时，忽视了各项为正的条件．【防范措施】利用基本不等式求最值时一定注意应用条件“一正、二定、三相等”．【正解】函数可化为y＝1－(2x＋3 x)．①当x>0时，2x＋3x≥22x·3x＝2 6.当且仅当2x＝3x，即x＝62或x＝－62(舍)时等号成立．∴y＝1－(2x＋3x)≤1－2 6.②当x<0时，y＝1＋(－2x)＋(－3 x)．∵－2x＋(－3x)≥2（－2x）·（－3x）＝26，y≥1＋2 6.当且仅当－2x＝－3x时，即x＝62(舍)．若x＝－62时等号成立．∴函数的值域为(－∞，1－26]∪[1＋26，＋∞)．1．利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到，若取不到，必须利用函数的单调性去求函数的最值．(对应学生用书第61页)1．下列函数中最小值为4的是()A．y＝x＋4 xB．y＝sin x＋4sin x(0＜x＜π)C．y＝3x＋4·3－xD．y＝lg x＋4log x10【解析】A不满足正数，B取不到等号成立，D不满足正数，C正确．【答案】C2．若实数a、b满足a＋b＝2，则2a＋2b的最小值为()A.2B．22C．2D．4【解析】由基本不等式得，2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝4.【答案】 D3．设x ，y ∈N ＋满足x ＋y ＝20，则lg x ＋lg y 的最大值为________． 【解析】 ∵x ，y ∈N ＋，∴20＝x ＋y ≥2xy ， ∴xy ≤100，∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2，当x ＝y ＝10时取“＝”． 【答案】 24．已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y ＝1.求x ＋2y 的最小值． 【解】 x ＞0，y ＞0，8x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝(8x ＋1y )(x ＋2y )＝10＋x y ＋16yx ≥10＋2x y ·16yx ＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x ，即⎩⎨⎧x ＝12y ＝3时，等号成立， 故当x ＝12，y ＝3时，(x ＋2y )min ＝18.(对应学生用书第113页)一、选择题 1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A ．2 B ．a C.2aa －1D ．3 【解析】 a ＞1，∴a －1＞0，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝3.【答案】 D2．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( ) A ．3 B ．－3 2 C ．3－2 3 D ．－1【解析】 ∵x ＞0，∴y ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x ＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，且x ＞0，即x ＝33时，等号成立．【答案】 C3．(2013·鹤岗高二检测)若x ＞0，y ＞0，且1x ＋4y ＝1，则x ＋y 的最小值是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12【解析】 x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y ＋4 ＝5＋y x ＋4xy ≥5＋2y x ·4xy ＝5＋4＝9.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋4y ＝1y x ＝4x y ，即⎩⎨⎧x ＝3y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.【答案】 C4．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( )A ．50B ．25 3C ．50 3D ．100【解析】 设矩形的长和宽分别为x 、y ，则x 2＋y 2＝100. 于是S ＝xy ≤x 2＋y 22＝50，当且仅当x ＝y 时等号成立． 【答案】 A5．(2013·宿州高二检测)若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b 的最小值是( ) A.14 B ．1 C ．4 D ．8【解析】由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0，得⎩⎨⎧a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．【答案】 C 二、填空题6．(2013·广州高二检测)若x >0，则x ＋2x 的最小值是________． 【解析】 x ＋2x ≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．【答案】 2 27．(2013·南京高二检测)若log m n ＝－1，则3n ＋m 的最小值是________． 【解析】 ∵log m n ＝－1， ∴mn ＝1且m >0，n >0，m ≠1. ∴3n ＋m ≥23mn ＝2 3.当且仅当3n ＝m 即n ＝33，m ＝3时等号成立． 【答案】 2 38．函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域是________． 【解析】 y ＝log 2x ＋log x 2＋1.由|log 2x ＋log x 2|＝|log 2x |＋|log x 2|≥2|log 2x |·|log x 2|＝2， 得log 2x ＋log x 2≥ 2或log 2x ＋log x 2≤ －2， ∴y ≥ 3或y ≤ －1.【答案】 (－∞ ，－1]∪ [3，＋∞ ) 三、解答题9．当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值．【解】 y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－(3－2x 2＋83－2x )＋32，∵当x <32时，3－2x >0， ∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2 ·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数有最大值－52.10．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是多少？ 【解】 法一 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8， ∴y ＝8－x 2x ＋2＞0，∴0＜x ＜8.∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2（x ＋1）·9x ＋1－2＝4.当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1.法二 ∵x ＞0，y ＞0，∴8＝x ＋2y ＋2xy ＝x ＋2y ＋x ·2y ≤x ＋2y ＋(x ＋2y 2)2， 即(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0， ∴[(x ＋2y )＋8][(x ＋2y )－4]≥0， ∴x ＋2y ≥4，当且仅当x ＝2y 时取等号．由x ＝2y 且x ＋2y ＋2xy ＝8，得x ＝2，y ＝1，此时x ＋2y 有最小值4. 11．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x ＋784x ＋3－118(千元)，其中x 表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)【解】 设城建公司获得的附加效益为y 千元，由题意得 y ＝2x －(6x ＋784x ＋3－118)＝118－(4x ＋784x ＋3) ＝118－[4(x ＋3)＋784x ＋3－12] ＝130－[4(x ＋3)＋784x ＋3] ≤130－24（x ＋3）·784x ＋3＝130－112＝18(千元)，当且仅当4(x ＋3)＝784x ＋3，即x ＝11时取等号． 所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．(教师用书独具)某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．【思路探究】 审题、理解题意―→ 建立相应的函数解析式，标出定义域―→ 在定义域内求出函数的最小值―→ 回到实际问题，检验作答【自主解答】 设该厂x (x ∈N ＋)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 1元．∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，∴x 天饲料的保管与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝3x 2－3x (元)． 从而有y 1＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8 ＝300x ＋3x ＋357≥417.当且仅当300x ＝3x ，即x ＝10时，y 1有最小值．即10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．利用基本不等式解决实际问题的一般思路如下：(1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量间的关系，初步确立用怎样的函数模型．(2)建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值．(4)回到实际问题中，检验并写出正确答案．从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．【解析】 设两个正方形边长分别为a ，b ，则由题可得a ＋b ＝1，且13≤a ，b ≤23，S ＝a 2＋b 2≥2×(a ＋b 2)2＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．【答案】 错误!。
高中数学5个不等式教案
高中数学5个不等式教案
课题：高中数学不等式
目标：学生能够理解和解决各种不等式问题，掌握不等式的基本性质和解法方法。
一、引入：
通过一个简单的问题引入不等式的概念，让学生明白不等式的意义和作用。
二、基本性质：
1. 不等式的基本性质：大小关系、加减乘除，等不等式的性质。
2. 不等式的转化：加减法转化、乘除法转化等。
3. 不等式的表示：解集表示法、图示法等。
三、解不等式：
1. 一元一次不等式：解一元不等式常用的方法和技巧。
2. 一元二次不等式：解一元二次不等式的方法和步骤。
3. 复合不等式：解复合不等式的方法和技巧。
四、不等式的应用：
1. 不等式在几何中的应用：三角形不等式等。
2. 不等式在实际问题中的应用：最大最小值问题、优化问题等。
五、综合练习：
安排一些综合性的练习题，让学生运用所学知识解决问题。
六、总结：
对本节课所学的内容进行总结，强化学生对不等式知识的理解和掌握。
七、作业：
布置适量的作业，巩固所学内容。
以上是一份高中数学不等式教案范本，教师可根据实际情况和教学需要进行具体调整和安排。
高中数学基本不等式教案设计(优秀3篇)
高中数学基本不等式教案设计（优秀3篇）篇一：高中数学教学设计篇一教学目标1、明确等差数列的定义。
2、掌握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题3、培养学生观察、归纳能力。
教学重点1、等差数列的概念；2、等差数列的通项公式教学难点等差数列“等差”特点的理解、把握和应用教具准备投影片1张教学过程（I）复习回顾师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。
这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。
（放投影片）（Ⅱ）讲授新课师：看这些数列有什么共同的特点？1，2，3，4，5，6；①10，8，6，4，2，…；②生：积极思考，找上述数列共同特点。
对于数列①（1≤n≤6）；（2≤n≤6）对于数列②—2n（n≥1）（n≥2）对于数列③（n≥1）（n≥2）共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。
师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。
具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。
一、定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，—2……二、等差数列的通项公式师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。
若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：若将这n—1个等式相加，则可得：即：即：即：……由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。
如数列①（1≤n≤6）数列②：（n≥1）数列③：（n≥1）由上述关系还可得：即：则：=如：三、例题讲解例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？解：（1）由n=20，得（2）由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—5—4（n—1）成立解之得n=100，即—401是这个数列的第100项。
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第十三教时
教材：复习一元一次不等式
目的：通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论。
过程：
一、提出课题：不等式的解法（复习）：一元一次与一元二次不等式
板演：1．解不等式：12
732)1(2->-++x x x )2(<x 2．解不等式组：⎩⎨⎧-≤-+≤+1435311210x x x x （11121<≤-⇒⎪⎩
⎪⎨⎧<≤-≥x x x x ）
3．解不等式：652>+-x x )32(<<x
4．解不等式：0442>+-x x )2,(≠∈x R x
5．解不等式：0322<++x x ),08(φ∈<-=∆x
二、含有参数的不等式
例一、解关于x 的不等式)()(ab x b ab x a +>-
解：将原不等式展开，整理得：)()(b a ab x b a +>-
讨论：当b a >时，b
a b a ab x -+>)( 当b a =时，若b a =≥0时φ∈x ；若b a =<0时R x ∈
当b a <时，b
a b a ab x -+<)( 例二、解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x
解：原不等式可以化为：0))(1(>--+a x a x
若)1(-->a a 即2
1>
a 则a x >或a x -<1 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x R x x ∈≠,2
1 若)1(--<a a 即21<a 则a x <或a x ->1 例三、关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}2
12|{->-<x x x 或
求关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集． 解：由题设0<a 且25-=-a b ， 1=a
c 从而 02>+-c bx ax 可以变形为02<+-
a c x a
b x 即：01252<+-x x ∴22
1<<x 例四、关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，
求a 的取值范围．s
解：当a >0时不合 a =0也不合
∴必有：⎩
⎨⎧>--<⇒⎩⎨⎧<---=∆<012300)1(4)1(022a a a a a a a 310
)1)(13(0-<⇒⎩⎨⎧>-+<⇒a a a a 例五、若函数)8(6)(2++-=k kx kx x f 的定义域为R ，求实数k 的 取值范围
解：显然k =0时满足 而k <0时不满足 102)8(43602≤<⇒⎩
⎨⎧≤+-=∆>k k k k k ∴k 的取值范围是[0,1]
三、简单绝对不等式
解不等式1|55|2<+-x x
解集为：}4321|{<<<<x x x 或
四、小结
补充：1．解关于x 的不等式：
1︒ 2312k
x k x -+>+ 2︒ 0222>++ax x 2．不等式022>++bx ax 的解集为}3121|{<<-x x ，求a , b (⎩
⎨⎧-=-=212b a ) 3．不等式342>++a x ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值 (a >4)
4．已知}02|{2≥--=x x x A , }04|{<+=p x x B 且B ⊆A , 求p 的取值范围 (p ≥4)
5．已知12++=a ax y 当-1≤x ≤1时y 有正有负，求a 的取值范围
)2
11(<<-a。