高中数学精讲教案-不等式的解法

高中数学-不等式的解法考点不等式的解法1不等式ax>b若a>0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x| x>ba；若a<0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x| x<ba；若a＝0，当b≥0时，解集为∅，当b<0时，解集为R.2一元二次不等式“三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集，可归纳为：判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有两相异实根x＝x1或x＝x2有两相同实根x＝x1＝x2无实根一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c>0(a>0){x|x<x1或x>x2}{ x∈R| x≠－⎭⎬⎫b2aRax2＋bx＋c<0(a>0){x|x1<x<x2}∅∅若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．3高次不等式的解法如果一元n次不等式a0x n＋a1x n－1＋…＋a n>0(a0≠0，n∈N*，n≥3)可以转化为a0(x－x1)(x－x2)…(x－x n)>0(其中x1<x2<…<x n)的形式，那么求解时，一般先在数轴上标区间(－∞，x1)、(x1，x2)、…、(x n，＋∞)，a0>0时，由于f(x)＝a0(x－x1)(x－x2)…(x－x n)的值的符号在上述区间自右至左依次为＋、－、＋、－、…，所以正值区间为f(x)>0的解集．4分式不等式的解法(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)；(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x)≥0(≤0)，g(x)≠0.5 绝对值不等式的解法 (1)|f (x )|>|g (x )|⇔[f (x )]2>[g (x )]2； (2)|f (x )|>g (x )⇔f (x )>g (x )或f (x )<－g (x )； (3)|f (x )|<g (x )⇔－g (x )<f (x )<g (x )；(4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区间的方法脱去绝对值符号求解，也可以用图象法去求解．注意点 求解不等式时需注意的问题(1)求解分式不等式，关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．解题时要注意含有等号的分式不等式在变形为整式不等式后，及时去掉分母等于0的情形．(2)在解决不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a 进行讨论，并研究当a ＝0时是否满足题意.1．思维辨析(1)若ax ＋b >0，则x >－ba.( )(2)不等式－x 2－5x ＋6<0的解集为{x |x <－6或x >1}．( ) (3)3x ＋2x ＋2≤0的解集是⎣⎡⎭⎫－2，－23.( ) (4)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(5)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( ) (6)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)×2．x 2－ax ＋b >0的解集为{x |x <2或x >3}，则a ＋b 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．11 D ．12答案 C解析 由题意可知x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3，故a ＝2＋3＝5，b ＝2×3＝6，故a ＋b ＝11. 3．函数y ＝x－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)B ．(－4,1)C ．(－4,0)∪(0,1)D ．(－1,4) 答案 B解析 依题意得－x 2－3x ＋4>0，即x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，故函数的定义域为(－4,1)．[考法综述] 不等式的解法是高考的一个基本考点，一般涉及一元二次不等式、高次不等式、分式不等式、指数与对数不等式等，主要依据不等式的性质进行求解．一般难度不大，容易得分．命题法 一元二次不等式的解法典例 解关于x 的不等式kx 2－2x ＋k <0(k ∈R )． [解] (1)当k ＝0时，不等式的解为x >0.(2)当k >0时，若Δ＝4－4k 2>0，即0<k <1时，不等式的解为1－1－k 2k <x <1＋1－k 2k；若Δ≤0，即k ≥1时，不等式无解．(3)当k <0时，若Δ＝4－4k 2>0，即－1<k <0时， x <1＋1－k 2k 或x >1－1－k 2k；若Δ<0，即k <－1时，不等式的解集为R ； 若Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解为x ≠－1. 综上所述，k ≥1时，不等式的解集为∅； 0<k <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪1－1－k 2k <x <1＋1－k 2k ； k ＝0时，不等式的解集为{x |x >0}； 当－1<k <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x <1＋1－k 2k 或x >1－1－k 2k ； k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}； k <－1时，不等式的解集为R . 【解题法】 一元二次不等式的解法 (1)解一元二次不等式的一般步骤①对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，ax 2＋bx ＋c <0(a >0)． ②计算相应的判别式．③当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． ④根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．1．设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}，集合N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫12x ≤4，则M ∪N ＝( )A ．{x |x ≥－2}B ．{x |x >－1}C ．{x |x <－1}D ．{x |x ≤－2}答案 A解析 因为M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}＝{x |－2<x <－1}，N ＝[－2，＋∞)，所以M ∪N ＝[－2，＋∞)，故选A.2.当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B. ⎣⎡⎦⎤－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3] 答案 C解析 ∵当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，即当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3≥x 2－4x －3(*)恒成立．(1)当x ＝0时，a ∈R .(2)当0<x ≤1时，由(*)得a ≥x 2－4x －3x 3＝1x －4x 2－3x3恒成立．设f (x )＝1x －4x 2－3x 3，则f ′(x )＝－1x 2＋8x 3＋9x 4＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4.当0<x ≤1时，x－9<0，x ＋1>0，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(0,1]上单调递增．当0<x ≤1时，可知a ≥f (x )max ＝f (1)＝－6. (3)当－2≤x <0时，由(*)得a ≤1x －4x 2－3x 3.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝9(舍)．当－2≤x <－1时，f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0， ∴f (x )在[－2，－1)上递减，在(－1,0)上递增． ∴x ∈[－2,0)时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－4＋3＝－2. ∴可知a ≤f (x )min ＝－2.综上所述，当x ∈[－2,1]时，实数a 的取值范围为－6≤a ≤－2.故选C.3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是( )A ．{x |x <－ln 2或x >ln 3}B ．{x |ln 2<x <ln 3}C ．{x |x <ln 3}D ．{x |－ln 2<x <ln 3} 答案 D解析 解法一：依题意可得f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)>0可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3，选D. 解法二：由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫12<x <3，令12<e x <3，得－ln 2<x <ln 3，故选D. 4．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－22，0解析 要满足f (x )＝x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0.不等式x 2＋7>ax －a 对一切3≤x ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________． [错解][错因分析] 条件并没有进行等价转化，f (x )>0可能在除3、4的其他范围(3,4)不成立． [正解] 由题意知a <x 2＋7x －1对3≤x ≤4恒成立．令g (x )＝x 2＋7x －1，x ∈[3,4]，则a <g (x )min且g (x )＝x 2＋7x －1＝x －1＋8x －1＋2≥42＋2.当且仅当x －1＝8x －1即x ＝22＋1时取等号． ∴a <42＋2，即a 的取值范围是(－∞，42＋2)． [答案] (－∞，42＋2) [心得体会]………………………………………………时间：45分钟基础组1.不等式x －2x 2－1<0的解集为( ) A ．{x |1<x <2}B ．{x |x <2且x ≠1}C ．{x |－1<x <2且x ≠1}D ．{x |x <－1或1<x <2}答案 D 解析x －2x 2－1<0⇔(x －1)(x ＋1)(x －2)<0⇔x <－1或1<x <2，故选D. 2．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3答案 A解析 由题意，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，则不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}．由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3，故选A.3若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，1－32 B.⎣⎡⎭⎫1＋32，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，1－32∪⎣⎡⎭⎫1＋32，＋∞D.⎣⎡⎦⎤1－32，1＋32答案 C解析 ∵x ∈(0,2]，∴a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x .要使a 2－a ≥1x ＋1x在x ∈(0,2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x max ＝12.故a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32，故选C. 4．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( ) A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[)1，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 答案 A 解析 不等式x －12x ＋1≤0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2x ＋1)≤0，2x ＋1≠0⇔－12<x ≤1，∴不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－12，1.故选A. 5．不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,4] B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D ．[－2,5] 答案 A解析 x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.6．若函数f (x )＝x 2＋ax －3a －9对任意x ∈R 恒有f (x )≥0，则f (1)等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 C解析 由题意可得，Δ＝a 2－4(－3a －9)≤0， 即(a ＋6)2≤0，又(a ＋6)2≥0，∴a ＋6＝0， ∴a ＝－6， ∴f (x )＝x 2－6x ＋9， ∴f (1)＝1－6＋9＝4.故选C. 7．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1,2] B ．[－1,2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D ．(－1,2] 答案 D 解析x －2x ＋1≤0⇔(x ＋1)(x －2)≤0，且x ≠－1，即x ∈(－1,2]，故选D. 8.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，x 2－6x ＋2，x >0，则关于x 的不等式f (3－x 2)<f (2x )的解集为( )A ．(－3，－3)B ．(－3,1)C ．(－∞，2－3)∪(2＋3，＋∞)D ．(－3,1)∪(2＋3，＋∞) 答案 D解析 画出函数f (x )的图象如图所示，可知函数f (x )在(－∞，3)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．∵3－x 2≤3，故分以下几种情形：(1)若3－x 2≤0且2x ≤0，即x ≤－3，则2－(3－x 2)<2－2x ，∴－3<x <1. ∴－3<x ≤－3；(2)若－3<x ≤0，则0<3－x 2≤3,2x ≤0，观察图象知f (3－x 2)<f (2x )恒成立；(3)若0<x ≤3，则2x <3－x 2或3－(3－x 2)<2x －3(3－x 2离对称轴x ＝3比2x 离对称轴近)，解得0<x <1；(4)若x >3，则3－x 2<0,2x >0，要求2－(3－x 2)<(2x )2－6×2x ＋2，解得x >2＋ 3. 综上，得关于x 的不等式f (3－x 2)<f (2x )的解集为(－3,1)∪(2＋3，＋∞)．9若不等式x 2－(2＋m )x ＋m －1>0对任意m ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 把不等式化为(1－x )m ＋x 2－2x －1>0.设f (m )＝(1－x )m ＋x 2－2x －1，则问题转化为关于m 的一次函数．f (m )在区间[－1,1]上大于0恒成立，只需⎩⎨⎧ f (－1)>0，f (1)>0即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2>0，x 2－3x >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >2，x <0或x >3，解得x <－1或x >3，故x 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．10．若关于x 的不等式ax －b >0的解集为(－∞，1)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)>0的解集为________．答案 (－1,2)解析 由题意可得a ＝b <0，故(ax ＋b )(x －2)>0等价于(x ＋1)(x －2)<0，解得－1<x <2，故所求不等式的解集为(－1,2)．11．二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试解不等式f (x )>－1. 解 由于f (2)＝f (－1)＝－1，根据二次函数的对称性，则对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，又知最大值为8.可设f (x )＝a (x －12)2＋8，将f (2)＝－1代入得，a ＝－4. ∴f (x )＝－4(x －12)2＋8.由f (x )>－1，－4x 2＋4x ＋7>－1， 即x 2－x －2<0，∴解集为{x |－1<x <2}．12．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)原不等式化为：x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }； ②当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}； ③当c ＝2时，不等式的解集为∅.能力组13.在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <12答案 C解析 根据题意有(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )， ∵不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立， 则(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 成立， 即使x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 成立， 所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0， 解得－12<a <32，故选C.14．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－2或x >－12，则ax 2－bx ＋c >0的解集为________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，2解析 由题意知，－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，且a <0，故⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝0，14a －12b ＋c ＝0，解得a ＝c ，b ＝52c ，所以不等式ax 2－bx ＋c >0即为2x 2－5x ＋2<0，故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2. 15．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p 元/件之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C ＝500＋30x 元，则该厂日产量为________时，日获利不少于1300元．答案 20件至45件解析 由题意，得(160－2x )x －(500＋30x )≥1300，化简得x 2－65x ＋900≤0，解之得20≤x ≤45.因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元．故填20件至45件．16已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值；(2)若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，求k 的值； (3)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围； (4)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．解 (1)由不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}可知k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)由不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠1k 可知⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66. (3)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66. (4)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66.。