使用导数解决最值问题
导数求函数最值
导数求函数最值导数是微积分中的重要概念，它能够帮助我们求解函数的最值。
函数的最值包括最大值和最小值，而导数可以告诉我们函数在某一点的斜率，通过斜率的正负性可以判断函数在该点是增函数还是减函数，从而找到函数的极值点。
下面将介绍如何利用导数来求解函数的最值。
我们需要找到函数的导数。
导数表示函数在某一点的变化率，可以通过求导数来找到函数的极值点。
一般来说，函数的极值点要么是导数为0的点，要么是导数不存在的点。
所以，我们首先需要求出函数的导数，并将导数等于0或不存在的点作为候选的极值点。
我们需要利用导数的正负性来判断极值点的类型。
如果在导数为0的点的左侧导数为正，右侧导数为负，那么这个点就是函数的局部最大值点；如果在导数为0的点的左侧导数为负，右侧导数为正，那么这个点就是函数的局部最小值点。
通过这种方法，我们可以找到函数的极值点。
除了求解函数的极值点，导数还可以帮助我们判断函数的凹凸性。
函数的凹凸性可以告诉我们函数的曲线是向上凸起还是向下凹陷。
具体来说，如果函数的二阶导数大于0，那么函数是向上凸起的；如果函数的二阶导数小于0，那么函数是向下凹陷的。
通过分析函数的凹凸性，我们可以更好地理解函数的形状。
导数还可以帮助我们求解函数的拐点。
拐点是函数曲线上的一个点，在这个点处函数的曲率发生突变。
通过求解函数的二阶导数，我们可以找到函数的拐点。
具体来说，如果函数的二阶导数在某一点发生了从正到负或从负到正的变化，那么这个点就是函数的拐点。
通过分析函数的拐点，我们可以更加全面地了解函数的性质。
总的来说，导数在求解函数的最值、凹凸性和拐点等方面起着重要作用。
通过对函数的导数进行分析，我们可以更好地理解函数的性质，并找到函数的极值点。
因此，在微积分中，导数是一个非常重要的概念，它帮助我们解决各种数学和物理问题，对于深入理解函数的行为规律起着至关重要的作用。
导数的七种应用
导数的七种应用导数是微积分里面非常重要的概念之一，它是求解函数的变化率的重要工具。
在现实世界中，各种科学领域和工程学都有着广泛的应用。
本文将介绍导数的七种应用，包括微积分学，物理学，经济学，机械工程，数学，生物学和计算机科学。
一、微积分学导数在微积分学中有各种广泛的应用，例如求解定积分以及求解复合函数的极值问题。
比如，我们可以使用梯度（即导数）来求解函数的最小值或最大值，这在实际工程中也经常用到。
二、物理学导数在物理学中也有广泛的应用，其中最重要的是用导数来求解动量。
根据动量定理，物体的动量是受速度函数的变化来决定的，而速度函数的变化正是由导数来求解的。
三、经济学导数在经济学中又有广泛的应用，例如用来求解经济的最优状态。
在经济学中，基本的决策问题都可以用导数来求解，从而找到满足所有参与者条件的最佳解决方案。
四、机械工程导数在机械工程中也有广泛的应用，最常用的就是热力学运用。
它可以用来表示流体在特定温度和压强条件下的特性，从而确定机械系统的传热量、流量及其他物理参数。
五、数学导数在数学中也有广泛的应用，例如用来求解方程组的最优解，以及线性规划问题、最小二乘问题和其他优化问题。
六、生物学导数在生物学中也有广泛的应用，主要用于研究植物的生长状况，以及植物体内及周围环境中生物活动的影响。
七、计算机科学导数在计算机科学中也发挥了重要作用，比如使用导数解决数值优化问题，以及机器学习中的梯度下降法，这都是实现机器智能的重要技术。
综上所述，导数在各种科学和工程领域有着广泛的应用。
它是一种重要的数学工具，在现实世界中有着各种各样的应用，从而改变了我们对函数变化和流体传热的认识，为探索现实世界科学规律，提供了重要依据。
使用导数求解最值问题练习题
使用导数求解最值问题练习题解析：在微积分中，使用导数来求解最值问题是一种常见的方法。
最值问题可以分为求解最大值和最小值两种情况。
下面，我们将通过一些练习题来进一步理解和掌握使用导数求解最值问题的方法。
练习题一：求函数f(x) = 3x^2 - 6x + 2的最小值。
解答：首先，我们可以计算出函数f(x)的导数。
对f(x)进行求导，得到f'(x) = 6x - 6。
接下来，我们需要解方程f'(x) = 0，来确定导数为0的横坐标。
将f'(x) = 6x - 6置为0，解得x = 1。
再进一步，我们需要判断x = 1是函数f(x)的极小值点还是极大值点。
为了确定，我们可以求取二阶导数f''(x)。
计算f''(x)，得到f''(x) = 6。
由于f''(x) > 0，说明x = 1处的二阶导数为正，即函数f(x)在x = 1处的二阶导数大于0。
根据二阶导数定理，这意味着x = 1处为函数f(x)的极小值点。
因此，最小值为f(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = -1。
练习题二：求函数g(x) = x^3 - 4x^2 + 5x的最大值。
解答：同样地，我们首先计算函数g(x)的导数。
对g(x)进行求导，得到g'(x) = 3x^2 - 8x + 5。
然后，我们需要解方程g'(x) = 0，来确定导数为0的横坐标。
将g'(x) = 3x^2 - 8x + 5置为0，由于该方程无实根，说明g(x)的导数没有为0的点。
由于g(x)是一个三次函数，它的图像是一个开口向上的抛物线。
根据函数的性质，我们可以知道，当x趋向于负无穷大或正无穷大时，g(x)将趋向于正无穷大。
因此，最大值不存在。
练习题三：求函数h(x) = x^4 - 6x^2的最小值。
解答：首先，计算函数h(x)的导数。
对h(x)进行求导，得到h'(x) = 4x^3 -12x。
导数极值最值问题
导数极值最值问题导数极值最值问题是高中数学中非常重要且常见的问题之一。
它是微积分中的一个重要内容，通过求函数的导数来研究函数在某些点上的极值和最值问题。
下面是一些相关的参考内容。
一、定义和概念1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数定义为f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h，它表示函数在该点的瞬时变化率。
2. 极值的定义：函数f(x)在某个区间的局部极大值或极小值称为极值。
3. 最值的定义：函数f(x)在某个区间的最大值或最小值称为最值。
二、求导法则1. 基本求导法则：如常数函数求导、幂函数求导、指数函数求导等。
2. 和差法则：导数的和、差等于导数的和、差。
3. 积法则：导数的积等于其中一个函数在点上的导数乘以另一个函数在点上的值，再加上其中一个函数在点上的值乘以另一个函数在点上的导数。
4. 商法则：导数的商等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子，再除以分母的平方。
三、求解极值问题的步骤1. 求导：先求函数的导数f'(x)。
2. 导数为0的点：解方程f'(x) = 0，求出所有导数为0的点。
3. 导数不存在的点：找出导数不存在的点，也就是函数不可导的点。
4. 极值点的判断：对于导数为0的点和导数不存在的点，判断它们是否是函数的极值点。
5. 极值点的分类：根据二阶导数f''(x)的符号来判断极值点的性质。
a. 若f''(x) > 0，表示f(x)在该点上有极小值。
b. 若f''(x) < 0，表示f(x)在该点上有极大值。
c. 若f''(x) = 0，表示f(x)在该点上无极值，需进一步判断。
6. 求最值：将极值点的函数值代入原函数，求出极值。
四、举例说明以函数f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x + 2为例，来说明如何求解其极值问题。
1. 求导：f'(x) = 3x^2 - 8x + 5。
高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结
高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结在高中数学中，求函数的最值问题是经常出现的一类问题，对于这类问题我们可以通过求导数的方法来解决。
下面是一些关于根据导数求函数最值问题的解题技巧的总结。
1. 确定函数的定义域在解决函数的最值问题之前，我们需要确定函数的定义域。
定义域是指函数在实数范围内的取值范围。
确定定义域的同时，我们也要考虑函数是否连续以及是否存在间断点等因素。
2. 求函数的一阶导数为了求函数的最值，我们需要先求出函数的一阶导数。
对于一元函数而言，我们可以使用导数的定义或者常见的求导法则来求出一阶导数。
一阶导数能够反映函数的变化趋势以及函数的增减性质。
3. 找出导数为零的点接下来，我们需要找出函数的一阶导数为零的点，即导数为零的临界点。
这些点也称为函数的驻点。
通过求解导数为零的方程，我们可以得到函数取得极值的可能点。
4. 判断临界点的性质在找出函数的驻点之后，我们需要进一步判断这些点的性质。
根据导数的符号变化，我们可以判断驻点是极大值点还是极小值点。
通常我们可以通过求解导数的二阶导数，来判断驻点的性质。
5. 极值与最值的关系在有限闭区间上，函数的极大值和极小值统称为最值。
通过比较极值点的函数值，我们可以确定函数的最大值和最小值。
同时，我们还需要考虑函数在定义域的两端是否存在最值。
6. 综合应用求解问题除了在抽象的函数图像上求解最值问题，我们还可以将最值问题与实际问题相结合。
通过建立函数模型，并利用导数的知识来解决实际问题。
这样可以提升我们对于求解最值问题的能力和灵活性。
通过以上的技巧，我们能够更加高效地解决高中数学中根据导数求函数最值问题。
同时，在实际应用中，我们也需要不断的进行练习和思考，熟练掌握这些技巧，从而更好地应对各种求解最值问题的场景。
导数的应用于最优化问题
导数的应用于最优化问题导数是微积分中的一个重要概念，用来衡量函数在某个点的变化率。
在数学中，导数在求解最优化问题时起着至关重要的作用。
本文将介绍导数的应用于最优化问题，并详细解释其原理和算法。
一、最优化问题简介最优化问题是在给定的约束条件下，寻找使某个目标函数达到最小或最大值的解。
在实际生活中，最优化问题的应用非常广泛，如经济学中的成本最小化问题，物理学中的能量最小化问题等。
最优化问题可以分为线性和非线性两种情况，本文将重点介绍非线性最优化问题。
二、导数在最优化问题中的应用1. 最小值问题在计算目标函数的导数时，可以得到函数曲线的斜率。
根据导数的性质，当导数为零时，函数达到极值点，即局部最小值或最大值。
因此，最优化问题可以通过求解目标函数的导数为零的点来获得极值点的位置。
2. 梯度下降法梯度下降法是一种常用的最优化算法，它利用目标函数在当前点的导数方向来更新解的位置，从而逐步接近最小值点。
梯度下降法的思想是根据导数的方向选择合适的步长，以便使得目标函数在每一步的迭代过程中逐渐趋于最小值。
3. 牛顿法牛顿法是一种迭代求解最优化问题的方法，其基本思想是利用目标函数的导数和二阶导数来逼近函数的局部极小值点。
牛顿法的优势在于收敛速度较快，但同时也存在一些局限性，如对初始点的选择较为敏感。
4. 拟牛顿法拟牛顿法克服了牛顿法对初始点选择的敏感性，它通过近似目标函数的Hessian矩阵来逼近真实的二阶导数。
拟牛顿法的核心思想是利用历史的迭代信息来更新目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵，从而提高算法的效率和稳定性。
三、导数在最优化问题中的应用举例为了更好地理解导数在最优化问题中的应用，我们以求解一元二次函数的最小值为例进行说明。
假设有一元二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们希望找到使函数f(x)取得最小值的点。
首先，我们计算函数f(x)的一阶导数f'(x) = 2ax + b。
然后，令导数f'(x)为零，解得x = -b/(2a)。
高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结
高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结在高中数学中，根据导数求函数的最值是一个常见的考点。
这类问题要求我们通过求函数的导数，找到函数的极大值或极小值点，从而确定函数的最值。
下面我将总结一些解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地应对这类问题。
一、寻找函数的极值点在解决根据导数求函数最值问题时，首先需要找到函数的极值点。
一般来说，函数的极值点就是函数的导数等于零的点，即函数的驻点。
我们可以通过以下步骤来找到函数的极值点：1. 求函数的导数。
根据问题给出的函数，我们可以先对其求导数。
例如，对于函数f(x)，我们可以求得它的导函数f'(x)。
2. 解方程f'(x) = 0。
将求得的导函数f'(x)置零，解方程求得函数的驻点。
这些驻点就是函数的极值点。
需要注意的是，有时候函数的极值点可能还存在于函数的定义域的边界处，所以我们还需要将边界处的点也考虑进去。
二、判断极值点的性质找到函数的极值点后，我们需要进一步判断这些点的性质，即确定它们是极大值点还是极小值点。
这里有两种常见的方法：1. 使用导数的符号表。
我们可以通过绘制导数的符号表来判断极值点的性质。
具体做法是，在函数的定义域上选择几个代表性的点，代入导数f'(x)的值，然后根据导数的正负确定函数在这些点附近的增减性。
如果导数从正变负，那么这个点就是极大值点；如果导数从负变正，那么这个点就是极小值点。
2. 使用二阶导数。
二阶导数可以帮助我们更准确地判断极值点的性质。
具体做法是，求得函数的二阶导数f''(x)，然后将极值点代入二阶导数。
如果二阶导数大于零，那么这个点就是极小值点；如果二阶导数小于零，那么这个点就是极大值点。
三、举一反三根据导数求函数的最值问题不仅仅局限于求解极值点，还可以应用到其他类型的函数中。
下面举一个例子来说明。
例题：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的最大值和最小值。
求最值的方法
求最值的方法在数学和实际生活中，我们经常会遇到求最值的问题，比如求函数的最大值最小值，求某个物体的最佳尺寸，求最优的方案等等。
那么，如何有效地求出这些最值呢？本文将介绍几种常见的求最值的方法，希望能够帮助大家更好地解决这类问题。
一、导数法。
在数学中，我们经常使用导数来求函数的最值。
具体来说，对于函数f(x)，我们可以通过求解f'(x)=0的方程来找到函数的驻点，然后通过二阶导数的符号来判断这些驻点是极大值还是极小值，从而得到函数的最值点。
导数法的优点是在数学中应用广泛，可以求解各种类型的函数的最值问题。
但是，对于一些复杂的函数，求导的过程可能会比较繁琐，需要一定的数学功底和技巧。
二、拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法是一种用于求解带约束条件的最值问题的方法。
具体来说，对于函数f(x,y)在约束条件g(x,y)=c下的最值问题，我们可以构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(g(x,y)-c)，然后通过求解L对x、y和λ的偏导数为0的方程组来找到最值点。
拉格朗日乘数法的优点是可以很好地处理带约束条件的最值问题，适用范围广泛。
但是，对于多变量函数，求解偏导数为0的方程组可能比较复杂，需要一定的数学技巧和计算能力。
三、穷举法。
在实际生活中，有时候我们无法通过数学方法精确地求解最值问题，这时可以考虑使用穷举法。
具体来说，我们可以列举出所有可能的解，然后逐一计算它们的函数值，最终找到最大值或最小值。
穷举法的优点是简单直观，适用范围广泛。
但是，对于复杂的问题，穷举法可能会耗费大量的时间和精力，不适合大规模的最值求解问题。
四、优化算法。
除了上述方法外，还有一些专门用于求解最值问题的优化算法，比如梯度下降法、遗传算法、模拟退火算法等。
这些算法通常适用于复杂的非线性、非凸函数的最值求解问题，能够在较短的时间内找到较好的解。
优化算法的优点是适用范围广泛，可以处理各种类型的最值问题。
但是，对于一些特定的问题，算法的选择和参数调整可能会比较困难，需要一定的专业知识和经验。
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数学角度逐步解决实际问题，所求的结果应符合问题的实际
意义．
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第三章
导数及其应用
2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤： (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学 模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)； (2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和使 f′(x)＝0的点的数值的大小， 最大(小)者为最大(小)值； (4)写出答案
2
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第三章
导数及其应用
2．(1)由于 S 关于 x 的函数为无理函数，通过平方将其转化为 熟悉且容易解决的多项式函数，可减少繁琐计算，避免失分． 意实际问题中变量的取值范围，即函 数的定义域． ②处一般地， 通过函数的极值来求得函数的最值． 如果函数 f(x) 在给定区间内只有一个极值点或函数 f(x)在开区间上只有一个 点使 f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是 最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较.
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第三章
导数及其应用
解] (1)依题意，以 AB 的中点 O 为原点，AB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
2 y 则点 C(x，y)满足方程 x2＋ ＝1，2 分 4
且 x＞0， y＞0， y＝2 1－x2(0＜x＜1)． ① 3分 1 ∴S＝ (2x＋2)· 2 1－x2＝2(x＋1) 1－x2(0＜x＜1).4 分 2
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第三章
导数及其应用
1 2 (2)由 y′＝5a(4－2x－12x2)＝0，得 x1＝ ，x2＝－ (舍去)，当 2 3 1 1 0<x< 时，y′>0；当 <x<1 时，y′<0， 2 2 1 ∴函数 y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0<x<1)在 x＝ 处取得最大值． 2 1 故改进工艺后，产品的销售价为 20(1＋ )＝30 元时，旅游部 2 门销售该纪念品的月平均利润最大．
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第三章
导数及其应用
[解] (1)改进工艺后，每件产品的销售价为 20(1＋x)，月平均 销售量为 a(1－x2)件，则月平均利润 y＝a(1－x2)· [20(1＋x)－ 15]( 元 ) ，∴ y 关于 x 的函数关系式为 y ＝ 5a(1 ＋ 4x － x2 － 4x3)(0<x<1)．
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第三章
导数及其应用
规范解答
导数在解决实际问题中的应用
(本题满分 12 分)如图，有一块半椭圆形钢板，其长 半轴长为 2，短半轴长为 1，计划将此钢板切割成等腰梯形 的形状，下底 AB 是半椭圆的短轴， 上底 CD 的端点在椭圆上，记 |CD| ＝2x，梯形的面积为 S. (1)求面积 S 以 x 为自变量的函数解 析式，并写出其定义域； (2)求面积 S 的最大值．
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第三章
导数及其应用
用料(费用)最省问题
某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下
部是边长分别是x、y(单位：m)的矩形,上部是等腰直角 三角形，要求框架图的总面积为8 m2，问x、y分别是多 少时用料最省？(精确到0.001 m)
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第三章
导数及其应用
1 x [解] 依题意，有 xy＋ · x· ＝8， 2 2 x2 8－ 4 8 x ∴y＝ ＝ － (0＜x＜4 2)， x x 4 于是框架用料长度为 16 2x 3 l＝2x＋2y＋2 ＝2＋ 2 x ＋ . x 2 3 16 令 l′＝ ＋ 2－ 2 ＝0， 2 x
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第三章
导数及其应用
3．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 x(吨)与每吨 1 产品的价格 p(元/吨)之间的关系式为 p＝24 200－ x2，且生产 5 x 吨产品的成本为 R＝50 000＋200x(元)． 问该工厂每月生产多 少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？ (利润＝收 入－成本)
栏目 导引
第三章
导数及其应用
注意：根据课程标准的规定，有关函数最大值、最小值的
实际问题一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中， 如果遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0，且该函数 在这个点有极大(小)值，那么不与端点值比较，就可以知 道这就是最大(小)值．
栏目 导引
第三章
导数及其应用
面积、容积最大问题 学校举行活动，要张贴海报进行宣传，现要设计一
第三章
导数及其应用
3．4 生活中的优化问题举例
第三章
导数及其应用
学习导航 1.了解利润最大、用料最省、效率最高等优化问 题． 学习 2．掌握由实际问题建立数学模型，并表示为适当 目标 的函数关系式．(重点、难点) 3．运用由导数求最值的方法解决生活中的优化问 题．(重点) 1.在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思 想． 学法 2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉 指导 形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分 析问题、解决问题的能力.
栏目 导引
第三章
导数及其应用
方法归纳 1．利用导数解决几何问题，往往是求体积、面积的最值，首 先看清题意，分析几何图形的特征，设出变量，列出目标函数 式，注明定义域，再转化为用导数求最值．若在定义域内只有 一个极值，则这个极值便为最值．
2．利用导数解决优化问题的基本思路
栏目 导引
第三章
导数及其应用
栏目 导引
第三章
导数及其应用
∵0＜x＜10 时，f′(x)＞0,10＜x＜36 时，f′(x)＜0，x＞ 36 时，f′(x)＞0， ∴当 x＝10 时，f(x)有极大值 f(10)＝19 600. 又∵0＜x＜24， ∴f(10)又是最大值． ∴当 x＝10 时，f(x)有最大值 f(10)＝19 600. 故当容器的高为 10 cm 时， 容器的容积最大， 最大容积是 19 600 cm3.
栏目 导引
第三章
导数及其应用
方法归纳 (1)经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢， 以产 量或单价为自变量很容易建立函数关系， 从而可以利用导数来 分析、研究、指导生产活动． (2)关于利润问题常用的两个等量关系 ①利润＝收入－成本； ②利润＝每件产品的利润×销售件数．
栏目 导引
第三章
导数及其应用
[规范与警示] 1.(1)利用点 C 在椭圆上，用 x 表示 y 即梯形的 高是本题难点，也是一失分点． (2)解答本题易误点(失分点)：一是语言叙述不规范，二是用 x 1 表示出 S 后忽视定义域，三是由 f′(x)＝0 求出 x＝ ，不说明 2 1 函数单调性，直接利用 S ＝f( )得分，步骤缺失． 2
栏目 导引
第三章
导数及其应用
解得 x1＝8－4 2，x2＝4 2－8(舍去)． 当 0＜x＜8－4 2时，l′＜0； 当 8－4 2＜x＜4 2时， l′＞0， ∴当 x＝8－4 2时，l 取得最小值． 此时，x＝8－4 2≈2.343(m)，y≈2.828 m. 即当 x 为 2.343 m，y 为 2.828 m 时，用料最省．
栏目 导引
第三章
导数及其应用
方法归纳 注意利用导数的方法解决实际问题时， 如果在定义区间内只有 一个点使 f′(x)＝0，且函数在这点有极大(小)值，那么不与端 点值比较，也可以知道该点的函数值就是最大(小)值．
栏目 导引
第三章
导数及其应用
2．甲、乙两地相距 400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地， 速度不得超过 100 千米/时， 已知该汽车每小时的运输成本 P(元) 1 1 3 4 关于速度 v(千米/时)的函数关系是 P＝ v － v ＋15v. 19 200 160 (1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v 的函数关系式； (2)为使全程运输成本最少， 汽车应以多大速度行驶？并求此时 运输成本的最小值．
张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128 dm2，
上、下两边各空2 dm,左、右两边各空1 dm.如何设计海报 的尺寸，才能使四周空白面积最小？ (链接教材P101例1)
栏目 导引
第三章
导数及其应用
128 [解] 设版心的高为 x dm，则版心的宽为 x dm，此时四周 空白面积为 128 S(x)＝(x＋4)( ＋2)－128 x 512 ＝2x＋ x ＋8，x＞0. 求导数，得 S′(x)＝2－ 512 ， x2
栏目 导引
第三章
导数及其应用
解：每月生产 x 吨时的利润为 1 2 f(x)＝24 200－5x x－(50 000＋200x) 1 3 ＝－ x ＋24 000x－50 000(x≥0)． 5 3 2 由 f′(x)＝－ x ＋24 000＝0 5
栏目 导引
第三章
导数及其应用
解得 x1＝200，x2＝－200(舍去)． 因为 f(x)在[0，＋∞)内只有一个点 x＝200 使 f′(x)＝0， 故它就是最大值点，且最大值为 1 f(200)＝－ ×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)． 5 所以每月生产 200 吨产品时利润达到最大， 最大利润为 315 万 元．
512 令 S′(x)＝2－ 2 ＝0，解得 x＝16(x＝－16 舍去)． x
栏目 导引
第三章
导数及其应用
128 128 于是宽为 x ＝ ＝8. 16 当 x∈(0,16)时，S′(x)＜0；当 x∈(16，＋∞)时，S′(x)＞0. 因此，x＝16 是函数 S(x)的极小值点，也是最小值点．所以， 当版心高为 16 dm，宽为 8 dm 时，能使海报四周空白面积最 小．
栏目 导引
第三章
导数及其应用
(2)令 f(x)＝S2＝4(x＋1)2(1－x2)(0＜x＜1)，①6 分 则 f′(x)＝8(x＋1)2(1－2x)． 1 令 f′(x)＝0，解得 x＝ 或 x＝－1(舍去).8 分 2 1 1 当 0＜x＜ 时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；当 ＜x＜1 时，f′(x) 2 2 ＜0，f(x)为减函数.10 分 1 ∴f2是 f(x)在区间(0,1)上的极大值，也是最大值，② 1 27 3 3 1 3 3 且 f2＝ ，此时 S＝ .故当 x＝ 时，S 取得最大值 .12 4 2 2 2 分