2017年定积分导学案
《定积分在物理中的应用》导学案2
1.7.2定积分在物理中的应用学习目标：体会定积分的基本思想，会用定积分解决变速直线运动的路程及变力所做的功等简单的物理问题。
自主学习过程：一、复习与思考：1、以速度v ＝v (t)作变速直线运动的物体，在a ≤t≤b 时段内行驶的路程s 等于什么？2、除了变速运动的路程问题之外，哪些物理问题还可以用定积分的知识解决？二、知识学习：（认真体会下列内容）1、位移路程的计算:路程是位移的绝对值之和，从时刻t =a 到时刻t =b 所经过的路程s 和位移's 分别为：（1）若)(t v ≥0，则⎰=b adt t v s )(；⎰=b a dt t v s )('。
（2）若)(t v ≤0，则⎰-=b adt t v s )(；⎰=b a dt t v s )('。
（3）若在区间[a ,c ]上)(t v ≥0，在区间[c ,b ]上)(t v <0，则⎰⎰-=b c c adt t v dt t v s )()(， '()ba s v t dt =⎰。
2、求变力作功的方法：（1）求变力作功时，要根据物理学的实际意义，求出变力)(x F 的表达式，这是求功的关键；（2）由功的物理意义知，物体在变力)(x F 的作用下，沿力)(x F 的方向做直线运动，使物体从a x =移到b x =(a <b )。
因此，求功之前还应该求出位移起始位置与终止位置。
（3）根据变力作功公式⎰=b ax x F w )(即可求出变力)(x F 所作的功。
三、例题分析例1：有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 的速度为228)(t t t v -=(速度的正方向与x 轴正方向一致)。
求：（1）P 从原点出发，当t =3时，P 离开原点的路程；（2）当t =5时，点P 的位置；（3）从t =0到t =5，点P 经过的路程；（4）P 从原点出发，经过时间t 后，又回到原点的t 值。
例2：如图所示，一物体沿斜面在拉力F 的作用下由A 经B 、C 运动到D ，其中AB=50m ，BC=40m ，CD=30m ，变力F =⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+)90(,20)900(,541x x x (其中x 为距离，单位：m ，变力F 单位：N)。
《1.5.3定积分的概念》导学案2
《1. 5. 2定积分的概念》导学案【学习目标】1 •理解曲边梯形面积的求解思想，掌握其方法步骤；2•了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件;3. 明确定积分的几何意义和物理意义；4•无限细分和无穷累积的思维方法.【学习过程】1、自我阅读：(课本第45页至第46页)完成知识点的提炼复习：回忆求曲边梯形面积、变速运动的路程的步骤探究问题1：下图的阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y二f(x)的一段，我们把直线x , x二b (a =b) , y =0和曲线y = f (x)所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积呢？y=f(x)研究特例：对于x=1 , y=0 , y=x2围成的图形(曲边三角形)的面积如何来求呢?新知：1.用流程图表示求曲边三角形面积的过程分割=近似代替=求和=取极限b n b _ a2. 定积分的定义：.a f(x)dx科叫、土一^-f ( 1) 3 43 定积分的几何意义：4 定积分的性质：(1) 『kf(x)dx= ( k 为常数);b t , t（3）a f（x）dx 二（其中—b）.问题2:根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积S吗？2、研究课本例题：（是对基本知识的体验）1例1利用定积分的定义，计算|0x3dx的值2 3变式：计算0x3dx的值，并从几何上解释这个值表示什么?例2试用定积分的几何意义说明-x2dx的大小.(2) 『[fdx) 士f2(x)]dx= ;【课堂自我检测】a 3.设f(x)是连续函数，且为偶函数，在对称区间 Ha,a ］上的定积分J. a 4. 计算下列定积分，并从几何上解释这些值分别表示什么(1) ：x 3dx ; ( 2)1 x 3dx ； ■-1 -4 【课后作业】JI1、由y=sinx , x=0, x= , y=0所围成图形的面积写成定积分的形式是2b2、定积分.f (x)dx 的大小() aA 、 与f (x)和积分区间a,b i 有关，与i 的取法无关B 、 与f (x )有关，与区间a,b 】及：的取法无关C 与f (x)和1的取法有关，与积分区间a,b ］无关 变式：计算定积分 2 1 (1 x)dx1. 设f(x)在［a,b ］上连续，且(F(x) +C)丄f(x) ,( C 为常数)，则 J 空 x ：) Fx() Ax A . F(x) B . f(x) C . 0 D . f(x)2. 设f (x)在［a,b ］上连续，则 f (x)在［a,b ］上的平均值为()A . f(a) f (b)2 bB . a f(x)dx1 b C . - a f(x)dx 1 b 「aba f(x)dxf (x)dx ，由定 积分的几何意义和性质 A . 0 0 C . ］f(x)dx af f(x)dx=() y. aB . 2 f(x)dx y. aaD . 0f(x)dx(3) 2x 3dx ；JD、与f(x)、区间a,b i和 \的取法都有关3. 下列等式成立的个数是()11 - n①］f (t)dt = ( f (x)dx ②『sin xdx + ^sin xdx = ［sin xdx2a a 2 ------------- 2③』xdx = 2o xdx ④ 0、4「x2dx ：：o 2dxA、1B、2C、3D、43 24. 画出［(2x—x)dx表示的图形5. 画出由曲线y=x3-6x和y=x2所围成的图形的面积.b .6. 利用定积分的定义，证明1dx = b - a，其中a,b均为常数且a ：：：b •L a。
定积分学案学生(1)
姓名与班级： 第 页 内容：定积分与微积分基本定理 主备人：孔凡瑜 2014.2. 形成天才的决定因素应该是勤奋- 1 -【学习目标】1.对通过自学课本小组合作几何实例的分析使学生理解定积分概念；2.通过一个题组能够较全面合理的求微积分3会用定积分表示简单图形的面积。
【学习重点】会用定积分表示简单图形的面积。
【学习过程】微积分基本定理：也可写成【典型例题1】计算下列定积分：（1）211dx x ⎰； （2）3211(2)x dx x-⎰。
练习：计算120x dx ⎰220(1)sin (2) sin (3) sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰。
【小结】可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:( l ）当对应的曲边形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取——，且等于曲边梯形的面积；（图1.6一3 ) （图 1 . 6- 4）（2）当对应的曲边形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取 ，且等于曲边形的面积的相反数；拓展：你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰badx x f )(的几何意义是什么?梯形的面积所围成的曲边和曲线，，是直线定积分)(0)()(x f y y b a b x a x dx x f ba==≠==⎰思考：试用定积分的几何意义说明 1.求⎰-2024dx x 的大小2和差的积分推广到有限个也成立 ⎰⎰⎰±=±babab adx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121区间和的积分等于各段积分和)()()()(b c a dx x f dx x f dx x f bccaba<<+=⎰⎰⎰其中【总结】求定积分的方法有：（1）（2） 【达标检测】1求微积分（1）∫10(e x ＋2x )d x (2)∫21(2x 2－1x)d x ；(3)∫21|3－2x |d x .2求曲线2sin [0,]3 y x x π=∈与直线20,3x x π==，x 轴所围成的图形面积。
定积分的概念导学案
a
④ C、3
2
0
4 x 2 dx 2dx
0
2
② sin xdx 0
A、1 (B 层) 4.计算
3 1
B、2
D、4
(2 x x )dx
2
2
【典例分析】
例 1 用图表示下列函数的定积分，并求出定积分
b
a
f ( x)dx 是一个常数， 只与积分上、 下限的大小有关， 与
（1）∫012dx
(2)∫12xdx
积分变量的字母无关，
b
a
f ( x)dx f (t )dt f ( y)dy
a a
b
b
1
例 2．计算定积分
2
1
( x 1)dx
性质 3 性质 4
1dx b a
a
b
D y f ( x) C 2 a b x O
间。在每个小区间 xi 1 , xi 上任取一点 i (i 1, 2,
_______________________
，当 n 时，上述和式无限趋近某个常数，
这个常数叫做函数 f ( x) 在区间[a,b]上的________。记作:________ 即
【自主探究
合作交流】
探究一：讨论定积分的几何意义是什么？
如果在区间 [ a , b] 上函数连续且恒有 f ( x) 0 ， 那么定积分
b
b
a
f ( x)dx 表示：
如果在区间 [ a , b] 上函数连续且恒有 f(x)≤0， 那么定积分
a
f ( x)dx 表示：
高中数学《定积分的概念》导学案
第三章 导数及其应用§1.5.3定积分的概念一、学习目标 【重点、难点】1．理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤；2．了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件； 3．明确定积分的几何意义和物理意义； 4．无限细分和无穷累积的思维方法. 二、学习过程 【情景创设】 复习：1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近） 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 【导入新课】1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()n nn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：a b dx ba-=⎰1⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数）1212[()()]()()bb baaaf x f x dx f x dx f x dx±=±⎰⎰⎰()()()()bc baacf x dx f x dx f x dxa cb =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性） 说明：①推广：1212[()()()]()()()bb bbm m aaaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰②推广:121()()()()kbc c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰【典型例题】例1．计算定积分21(1)x dx +⎰分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。
定积分的简单应用导学案
定积分的简单应用导学案【学习要求】会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【学法指导】本小节主要解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题．在这部分的学习中，应特别注意利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题.【知识要点】1．当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝________.2．当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝_________.3．当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0时，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝______________.(如图)【问题探究】探究点一求不分割型图形的面积问题怎样利用定积分求不分割型图形的面积？例1计算由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S.跟踪训练1求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．探究点二分割型图形面积的求解问题由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？例1计算由直线y＝x－4，曲线y＝2x以及x轴所围图形的面积S.跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 探究点三 定积分的综合应用例3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：切点A 的坐标以及在切点A 的切线方程．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．【当堂检测】1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝ʃa b [f (x )－g (x )]d x S ＝ʃ80(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝ʃ41f (x )d x －ʃ74f (x )d x S ＝ʃa 0 [g (x )－f (x )]d x ＋ʃb a[f (x )－g (x )]d x ③ ④A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④ 2．曲线y ＝cos x (0≤x ≤32π)与坐标轴所围图形的面积是 ( ) A ．2 B ．3 C ．52D ．4 3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为_______4．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________【课堂小结】对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时（1）确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．（2）确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.【教学反思】。
人教新课标版数学高二-2-2导学案 定积分在几何中的应用
1．7.1 定积分在几何中的应用（结合配套课件、作业使用，效果更佳） 周；使用时间17 年 月 日 ；使用班级 ；姓名【学习目标】会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．重点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．难点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【检查预习】预习课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.【自主学习】知识点 定积分在几何中的应用思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？1．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝ʃb a f (x )d x .2．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )<0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积S ＝－ʃb a f (x )d x .3．当x ∈[a ，b ]时，若f (x )>g (x )>0，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的平面图形的面积S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x .(如图)【合作探究】 类型一 求不分割型图形的面积例1 试求曲线y ＝x 2－2x ＋3与y ＝x ＋3所围成的图形的面积．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．类型二 分割型图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 跟踪训练2 (1)如图，阴影部分由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0所围成，则其面积为________．(2)求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积．类型三定积分的综合应用例3在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为112，试求：切点A的坐标以及在切点A处的切线方程．跟踪训练3如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题【当堂检测】1.2.……………【小结作业】小结：作业：对应限时练。
定积分的概念导学案
1 / 1定积分的概念导学案学习目标：1、借助函数图象，直观地明白得函数的最大值和最小值的概念；2、清晰函数的最值与极值的区别与联系，明白得和熟悉函数必有最值的充分条件；3、会解决有关利用导数求给定区间上的最值的问题．学习重点：利用导数求函数的最值． 学习难点：利用导数求函数的最值． 知识清单：1、假设函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的图像是一条 ，则)(x f y =函数在[]b a ,上一定能够取得 与 ，函数的最值必在 或 取得．若函数在内),(b a 存在 ，该函数的最值必在 取得．2、求函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最值的步骤：（1）求函数)(x f y =在 的极值；（2）由0)('=x f ，求其方程的解；（3）将函数)(x f y =的 与端点处的函数值比较，其中最大的是最大值，最小的一个是最小值． 探究问题：问题一、对函数的最值与极值的异同的认识．问题二、求函数的最值与求函数的极值有什么异同？是否能够用函数的单调性求函数的最值．二、题型归类题型一：求函数的最值1、求函数3243365)(x x x x f ++-=在区间[)∞+-，2上的最大值与最小值．2、求函数263)(23-+-=x x x x f 在区间[]1,1-内的最大值与最小值．题型二：最值思想的综合应用（一）用最大值、最小值处理恒成立的问题 1、已知[]的取值范围恒成立，求实数时，当m m x f x x x x x f <-∈+--=)(2,1,5221)(23．２、已知函数()的取值范围，求实数上恒大于，在a xax x f 40)(∞++=．方法小结及摸索：（二）利用最值求参数的范畴１、,R a ∈设函数233)(x ax x f -=．（1）的值；的极值点，求是函数若a x f y x )(2==（2）[]的取值范围处取得最大值，求在若函数a x x x f x f x g 0,2,0),()()('=∈+=．方法小结及摸索：。
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1.5定积分的概念 (一)一，学习任务 1．连续函数2．曲边梯形的面积 (1)曲边梯形：(2)求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：②近似代替：③求和：④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．【例题1】求由直线x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2所围成的图形的面积S .思考1在求曲边梯形面积中第一步“分割”的目的是什么？思考2求曲边梯形面积时，能否直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样才能减小误差？3．变速直线运动的路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内的位移s .【例题2】一辆汽车做变速直线运动，设汽车在时刻t 的速度v (t )＝ - t 2+2 , 求汽车在t ＝0到t ＝1这段时间内运动的路程s .二，巩固练习1．和式)1(y 51i i ∑=+可表示为。
( )A ．(y 1＋1)＋(y 5＋1)B ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋1C ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5D ．(y 1＋1)(y 2＋1)…(y 5＋1)2．在求由x ＝a 、x ＝b (a <b )、y ＝f (x )(f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是 ( )①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ； ④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于。
( )A ．只能是左端点的函数值f (x i )B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确4．在求由函数y ＝1x与直线x ＝1、x ＝2、y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为。
( )A ．[i －1n ，i n ]B ．[n ＋i －1n ，n ＋i n ]C ．[i －1，i ]D ．[i n ，i ＋1n]5．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与y ＝1围成的面积是。
( )A ．4πB ．5π2C ．3πD ．2π6．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间],1[nin i (i ＝1,2，…，n )上的值可以用______近似代替( )A.n i B ．）（n f 1 C ．）（n i f D ．n17．求直线x ＝0、x ＝2、y ＝0与曲线y ＝x 2所围成曲边梯形的面积．学习报告（学生）： 教学反思（教师）：1.5定积分的概念 (二)一，基础知识1、 定积分的定义⎰=badx x f )( ；叫a , 叫b ,[]b a ,叫 , 叫)(x f , 叫x , dx x f )(叫 。
2、定积分⎰ba dx x f )(的几何意义是： 。
3⎰b adx x f )(1－⎰badx x f )(2的几何意义是： 。
4、定积分的性质： 。
。
。
二、解答题：例1. 函数x x f =)(在区间[]b a ,上连续,如同曲边梯形面积得四步曲求法写出运算过程.例2.计算下列定积分的值,并从几何上解释这个值表示什么? (1) ⎰13dx x （2） ⎰+-12)2(dt t例3.利用定积分的几何意义说明dx x ⎰-1021的大小.二，巩固练习1. 设连续函数0)(>x f ,则当b a <时,定积分⎰ba dx x f )(的符号。
( )A.一定是正的B.一定是负的C.当b a <<0时是正的D.以上都不对 2. 与定积分dx x ⎰π23sin 相等的是。
。
( )A.⎰π230sin xdx B.⎰π230sin xdx C.⎰πsin xdx -⎰ππ23sin xdx D.⎰⎰+23220sin sin πππxdx xdx3. 定积分的⎰badx x f )(的大小。
( )A. 与)(x f 和积分区间[]b a ,有关,与i ξ的取法无关.B. 与)(x f 有关,与区间[]b a ,以及i ξ的取法无关C. 与)(x f 以及i ξ的取法有关,与区间[]b a ,无关D. 与)(x f 以及i ξ的取法和区间[]b a ,都有关4. 下列等式成立的是。
( )A.a b dx b a -=⨯⎰0B.21=⎰b a xdx C.dx x dx x ⎰⎰=-10112 D.⎰⎰=+b a b a xdx dx x )1( 5. 已知⎰ba dx x f )(=6,则______)(6=⎰dx x f ba6. 已知,18)()(=+⎰dx x g x f ba）（⎰=badx x g 10)(,则⎰badx x f )(=______________7. 已知,3)(2=⎰dx x f 则[]=+⎰dx x f 26)(___________8. 计算dx x 21031⎰9. 计算dx x 316⎰学习报告（学生）： 教学反思（教师）：1.6微积分基本定理一，基础知识1．微积分基本定理 内容符号2.利用基本初等函数的求导公式求下列函数的原函数3. 定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图①，则⎰ba dx x f )(＝____．(2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图②，则⎰badx x f )(＝_____(3)当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③，则⎰badx x f )(＝________若S 上＝S 下，则⎰badx x f )(＝______例1计算下列定积分：(1)dx x ⎰211； (2)dx x ⎰π0sin ； (3)dx x x ⎰-212)12（；二，巩固练习1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)()cos ,()f x x F x ==若则(2)()sin ,()f x x F x =-=若则(3)(),()x f x e F x ==若则1(4)(),()f x F x x==若则(5)(),()n f x x F x ==若则3(6)(),()f x x F x ==若则21(7)(),()f x F x x ==若则(8)(),()f x x F x ==若则(1)若F ′(x )＝f (x )，则F (x )唯一．。
( )2. 定积分⎠⎛a b f (x )d x 的几何意义是由x 轴、函数y ＝f (x )的图象以及直线x ＝a ，x ＝b 围成的各部分面积的代数和． ( )3．下列各式中，正确的是( )A .⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F ′(b )－F ′(a ) B. ⎠⎛ab F ′(x )d x ＝F ′(a )－F ′(b )C ⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F (b )－F (a )D ．⎠⎛ab F ′(x )d x ＝F (a )－F (b ) 4．下列积分值等于1的是。
( )A.⎠⎛01x d x B ．⎠⎛01(x ＋1)d x C ．⎠⎛011d x D ．⎠⎛0112d x 5.⎠⎛02(x 2－23x )d x ＝________.6．计算下列定积分： (1)⎠⎛12(x 2＋1x 4)d x ； (2)⎠⎛49(1＋x )d x .7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x0≤x ＜π2，1π2≤x ≤2，x －12＜x ≤4，先画出函数图象，再求这个函数在区间[0,4]上的定积分．学习报告（学生）： 教学反思（教师）：1.7.1微积分基本定理与应用一，基础知识1，不分割型图形面积的求解求不分割型图形面积的一般步骤如下：同时，要注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．例1计算由曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积．2 分割型图型面积的求解由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限．例2，求直线y＝x，y＝2x，以及曲线y＝x2所围成的平面图形的面积．二，巩固练习1、如图，求由两条曲线2xy-=，24xy-=及直线y= -1所围成图形的面积．2、如图，抛物线C1：y= -x2与抛物线C2：y=x2-2ax(a>0)交于O、A两点．若过原点的直线l与抛物线C2所围成的图形面积为329a，求直线l的方程．3，在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为112，试求：切点A的坐标，过切点A的切线方程．4，求曲线y＝sin x与直线x＝－π2，x＝54π，y＝0所围图形的面积．学习报告（学生）：教学反思（教师）：Ayxo122--1-1A B C D2xy-=24xy-=1.7.1定积分在物理中的应用一 求变速直线运动的路程、位移求做变速直线运动物体位移与路程的方法(1)做直线运动物体的位移与路程是两个不同的概念，位移是指物体位置的改变，位移不但有大小，而且有方向，是一个矢量(或向量)；路程是物体运动轨迹即质点运动时所经过的实际路径的长度，路程只有大小，没有方向，是个标量(或数量)．(2)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )＞0，则运动物体的路程为s ＝b a ⎰v (t )d t ；若v (t )＜0，则运动物体的路程为s ＝ba ⎰|v (t )|d t ＝b a -⎰v (t )d t .(3)物体做变速直线运动时，经过的位移s ，等于其速度v ＝v (t )在时间区间[a ，b ]上的积分，即b a ⎰v (t )d t .例1,、已知一辆汽车的速度——时间的函数关系为：（单位：).(),/(s t s m v ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤≤≤=.6040,905.1;4010,30;100,103)(2t t t t t t v求（1）汽车s 10行驶的路程；（2）汽车s 50行驶的路程；（3）汽车min 1行驶的路程.练习1：变速直线运动的物体速度为,1)(2t t v -=初始位置为,10=x 求它在前s 2内所走的路程及s 2末所在的位置.例2 动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求：(1)点P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移； (2)点P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．练习2、已知一辆汽车的速度——时间的函数关系为：（单位：).(),/(s t s m v ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤≤≤=.6040,905.1;4010,30;100,103)(2t t t t t t v求（1）汽车s 10行驶的路程；（2）汽车s 50行驶的路程；（3）汽车min 1行驶的路程.二，求变力做功的方法步骤(1)首先要明确变力的函数式F (x )＝kx ，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝b a ⎰F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．例3 ，一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力——位移曲线如图所示．求该物体从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，力F (x )做的功．练习3，设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．学习报告（学生）： 教学反思（教师）：微积分基本定理基础巩固 1.⎠⎛0π(cos x ＋1)d x等于( )A ．1B ．0C ．π＋1D ．π2．设f(x)＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，2x ，x ＜0，则⎰11-)(dx x f 的值是 ( )A . ⎠⎛-11x 2d x B. ⎠⎛-112x d x C . ⎠⎛-10x 2d x ＋⎠⎛012x d x D. ⎠⎛-102x d x ＋⎠⎛01x 2d x3．若⎠⎛1a⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．6B ．4C ．3D ．24．若函数f(x)＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x)＝2x ＋1，则⎠⎛12f(－x)d x ＝( )A .56B .12C .23D .165．已知函数f(a)＝⎠⎛asin x d x ，则f⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( )A ．1B ．1－cos 1C ．0D ．cos 1－1 6．已知⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛019x 2d x，则⎠⎛2[f(x)＋6]d x ＝( )A ．9B ．12C ．15D ．187．已知t ＞0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝3，则t ＝__________.8．已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则当⎠⎛0α(cos x －3sin x)d x 取得最大值时，α＝__________.9．已知t>1，若⎠⎛1t (2x ＋1)d x ＝t 2，则t ＝________. 10．已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f(x)d x ＝－2，求a 、b 、c的值．定积分的应用一、选择题 1、由x xy ,1=轴及2,1==x x 围成的图形的面积为（ ）2ln .A 2lg .B 21.C 1.D2、π20,sin ≤≤=x x y 与x 轴围成的图形的面积为（ ）0.A 2.B π2.C 4.D3、由曲线[])(.,,,),0)()((b a b x a x b a x x f x f y <==∈≤=和x 轴围成的曲边梯形的面积S = （ ）⎰badx x f A )(. ⎰-badx x f B )(. []⎰-badx a x f C )(. []⎰-badx b x f D )(.4、由曲线2x y =与直线x y 2=所围成的平面图形的面积为（ ）316.A 38.B 34.C 32.D 5、若()y f x =与()y g x =是[,]a b 上的两条光滑曲线的方程则由这两条曲线及直线,x a x b ==所围成的平面区域的面积为 （ ）A ．[()()]ba f x g x dx -⎰ B ．[()()]ba g x f x dx -⎰ C ．|()()|ba f x g x dx -⎰ D ．|()()|ba f x g x dx -⎰ 6、已知自由下落物体的速度为v gt =，则物体从0t =到0t t =所走过的路程为 （ ）A ．2013gtB ．20gtC ．2012gtD ．2014gt 7、曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴所围图形的面积是 （ ）A ．2B ．3C ．52D ．4二、填空题1.dx x ⎰-224=___________.2.一物体在力()34F x x =+（单位：N ）的作用下，沿着与力相同的方向从0x =处运动到4x =处（单位：）则力()F x 所作的功为___________.三、解答题：1、求下列曲线所围成的图形的面积（1）.0,,===x e y e y x （2）.0,23,2,cos ====y x x x y ππ2、求下列曲线所围成的图形的面积（1）.1,2ln ,1-=-=-=e y x e y x （2）3,==y x y 和1=xy . （3）.2,0,cos ,sin π====x x x y x y3、过原点的直线l 与抛物线：)0(22>-=a ax x y 所围成的图形面积为329a ，求直线l 的方程.4、计算抛物线22y x =与直线4y x =-所围成的图形面积.5、计算由曲线2y x =，2y x =所围图形的面积S.6、计算由直线=-，曲线y=x轴所围图形的面积S.4y x。