三角形的中位线经典课件

判 文字语言
图形语言 符号语言
定
定 两组对边分别平行的 Ｄ
Ｃ∵AB∥CD,AD∥
义 四边形是平行四边形
BC
Ａ Ｂ ∴…是平行四边形
定 两组对边分别相等的 Ｄ
Ｃ ∵AB=CD,AD=
理 四边形是平等四边形
BC ∴…是平行
１
Ａ
定 对角线互相平分的四 Ｄ
ＢＣ
四边形 ∵OA=OC,OB=
理 边形是平行四边形 ２
N
B
C
回顾与联想：平行四边形的判定方法
(1) AB∥CD, BC∥AD
(2) AB=CD，BC=AD (3) AB∥CD,AB=CD (4) ∠A= ∠C ， ∠ B=∠ D
□ ABCD
(5) AO=OC, BO=OD
A
D
O
B
C
现有一张三角形纸片，你能通过裁剪，将它拼 成一个平行四边形吗？ 问题1：需要把三角形剪成几块？ 问题2：如何将剪开的部分拼成一个平行四边形？
EC
A
l
1
它与点与点的
距离、点到直
∟
∟∟
l2 线的距离的联
FD
B
系与区别
如图，l1 // l2 ，点A、C、E在l1上，线段AB、
CD、EF都垂直与l2 ，垂足分别为B、D、F，则
AB、CD、EF的长短相等吗？为什么？
平行线间的距离处处相等
如图，在平行四边形ABCD的一组对边AD、 BC上截取EF＝MN，连接EM、FN，EM和 FN有怎样的关系？为什么？
A
H
E
(三角形中位线定理)
D
同理： HG∥AC，HG=1
2
AC
G ∴EF ∥HG，且EF=HG
B
F
C ∴四边形EFGH是平行四边形
10.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、 BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能在 图中画出多少个平行四边形？
A
D
F
B
E
C
巩固练习
1.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、 在BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能
2、这三条中位线把三角形分成几个三角形？ 四个
三角形的中位线与三角形的中线有
什么区别？ A
A
D
E
B
CB
F
C
中位线是两条边中点的连线，而中线是一
个顶点和对边中点的连线。
1、如图在等边△ABC中，AD=BD，AE=EC，
⑴△ADE是什么三角形？
等边三角形
⑵DE是△ABC的什么线？ 中位线
⑶DE与BC有什么样关系？
图中画出多少个平行四边形？
A
D
F
B
E
C
如图，l1 // l2 ， 线段AB//CD//EF, 且 点A、C、E在l1上，B、D、F在l2上，则AB、
CD、EF的长短相等吗？为什么？
EC
A
lBiblioteka Baidu
1
l2
FD
B
夹在两平行线间的平行线段相等。
一条直线上的任一点到另一条直线的 距离，叫做这两条平行线间的距离。
∴AB∥FC 又AD=DB ∴BD∥
CF且
BD
B =CF
C
所以 ，四边形BCFD是平行四边形
∴DF∥BC，DF＝BC 即DE∥BC 还有另外的
又∵ DE 1 DF DE 1 BC 证法吗？
2
2
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 A
例如：DE是△ABC的中
E
位线
D
C
思考：
B
F
1、一个三角形有几条中位线？ 3条
AEF
D
B
MN
C
1.如图1,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D,F
分别为AC，BC的中点，CE是斜
C
边的中线，如果DF=3cm，
则CE=_______cm。
D
F
直角三角形斜边上的中线等于 A 斜边的一半。
E
B
图1
2.已知如图2，BD、CE分别是 △ABC的外
角 平分线，过点A作AF⊥BD,AG ⊥CE，垂
A
M
N
B
C
8.如图， A 、B两点被池塘隔开，在AB外选
一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点
的实际距离？根据是什么？
A
C
B
挑战自我:
4.已知：如图，△ABC是锐角三角形。分别
以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边
三角形CAN。D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，
连结DE，EF。 求证：DE=EF
2.定义 ：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
3.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形
的第三边，且等于第三边的一半。
4.三角形的中位线定理不仅给出了中位线与第三 边的关系，而且给出了他们的数量关系，在三角 形中给出一边的中点时，要转化为中位线.
知识回顾 Knowledge Review
A
D
E
F
B
C
例1、如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC
的中点，求证DE∥BC且DE= 1 BC
2
证明：如 图，位延置长关DE系到 F，数使量关系
2DE=BC
A
EF=DE ，连 结CF.
∵DE=EF 、 ∠AED=∠CEF AE=EC∴△ADE ≌ △CFE
、
D
∴AD=FC 、∠A=∠ECF
EF
∥=
FC
∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
归纳：
三角形中位线定理
三边的三一角半形。的中位线平行于第三边，且等A于第
用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线
D
E
∴ DE∥BC，（位置关系）
DE= 1 BC. （数量关系）
2
主要用途：
B (1)证明平行 (2)证明一条1线段是另一条线
小结
1、三角形中位线的定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
2、三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于 第三边的一半
3、两条平行线间的距离 一条直线上的任一点到另一条直线的距离， 叫做这两条平行线间的距离
平行线间的距离处处相等
知识总结： 1。判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
从对角线来判定 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
（1）如图，S BC AE CD AF
（2）同底（等底）同高（等高）的
平行四边形面积相等。
F
AE
DF
A
D
EB
B
C
C
练习：
2、如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，
AF⊥CD于F，∠ADC＝60°，BE＝2， CF＝1. 求△DEC的面积.
M
D
A
N
F
B EC
9、求证顺次连结四边形各边中点所得的四边形
是平行四边形。
已★知：任如意图四，边在形四四边边形中A点BC连D线中所，得E、的F四、边G形、一H
定是分平别行是四A边B形、。BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明：连结AC
∵∴EAFE∥=EABC、，CEFF==F12BA, C
A
D
F
B
E
C
练习：
3、如图，O是□ABCD的对角线AC的中点，
过点O的直线EF分别交AB、CD于E、F两 点.
求证：四边形D AECFF是平行四C边形.
O
A
E
B
练习：
4、如图， AC是□ABCD的一条对角线，
BM⊥AC， ND⊥AC，垂足分别是M、N . 求证：四边形BMDN是平行四边形.
A
D
M
A
1
∴DE
BC
E
D
2
C
B
一般的三角形的中位线与第三边也存在 这样的关系吗？
例4、已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线
求证：DE∥B证C明，：且如DE图= ，延12B长CD。E 到 F，使
还
有
A
EF=DE ，连 结CF.
∵点E是AC的中点∴AE=EC
又∵DE=EF ∠1=∠2
另 外D
1E
∴△ADE ≌ △CFE F ∴AD=FC 、∠A=∠ECF
C
段的2倍或 2
巩固新知：
１.三角形的中位线_平__行__于__第三边,并且 __等__于__第三边的___一__半__
D DB
2．如图：在△ABC中，DE是中 A 位线。
（1）若∠ADE=60°，则∠B= 60°; E （2）若BC=8cm，则DE= 4 cm.
（3）DE +BC=12cm,则BC= 8cm
C
3．若等腰△ABC的周长40cm,AB=AC=14cm, 则中位线DE＝ ６cm
4.∠如A图BC, M=6N1为°则△A∠ABCM的N中=6位1°线,若,若MN=12,
则BC=24
.
A
M
N
B
C
5. 如图, △ABC中,D,E分别为AB,AC 的中点,
当BC=10㎝时,则BDE=5㎝ .
D
A
EC
6.如图,已知△ABC中,AB =3㎝,BC=3.4cm ，
AC=4㎝ 且D,E,F分别为AB,BC,AC边的中点,则
△DEF的周长是 5.㎝2 .
7、如下图：在Rt △ ABC中，∠A=90°,D、E、
F分别是各边中点, AB=6cm，AC=8cm，则
△DEF的周长= 12 cm。
A
B
D
E
D
F
C
F
B
⑹
A ⑺E
C
4.如图, MN 为△ABC 的中位线,若 ∠ABC =61°则∠AMN = , 61° 若MN =12 ,则BC = 24 .
DG 1 AC
2
E
∴EF＝DG
A G
你还想到了什么？
B
FD
C
定 理 应 用：
⑴定理为证明平行关系提供了新的工具 ⑵定理为证明一条线段是另一条线段的2 倍或 1/2提供了一个新的途径
注意：
在处理问题时,要求同时出现三角形及中位线
①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 ②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线
祝您成功！
Ａ
O
OD ∴…是平行
Ｂ 四边形
推 两组对角分别相等的 Ｄ
Ｃ ∵∠A=∠C,∠B=
论 四边形是平行四边形
∠D
Ａ Ｂ ∴…是平行四边形
平行四边形的判定方法
从边来判定
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
从角来判定 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
足分别是F、G，连结FG，延长AF、AG，与
直线BC相交,求证:
∟ D
A
FG=1/2（AB+BC+AC）
E
F
G
HH
B
C
K
思考题：已知如图：在△ABC中，AB、BC、
CA的中点分别是E、F、G，AD是高。求 证：
∠EDG＝ ∠EFG。
分析：EF是△ABC的中位线
EF 1 AC
2
DG是Rt△ADC斜边上的中线
又∵D为AB中点，
B
C ∴DB FC
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DE=// 又DE
B1C
DF
2
∴DE∥BC∴DE=
∥
1 2BC
A DE
证法三：过点C作AB的平行线交 DE的延长线于F
∵CF∥AB， F ∴∠A=∠ECF
又AE=EC，∠AED=∠CEF
B
C ∴△ADE≌△CFE
∴ AD=FC 又DB=AD，∴DB
的 B证
法 吗？
2 ∴AB∥FC
又AD=DB
C
∴BD∥ CF且 BD =CF
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DF∥BC，DF＝BC 即DE∥BC
又∵ DE 1 DF DE 1 BC
2
2
证明：如图，延长DE至F,
A
使EF=DE，连接CD、AF、CF
∵AE=EC DE=EF
D
E
∴四边形ADCF是平行四边形 F ∴AD FC