人教版初三数学上册二次函数的图象和性质第1课时教案.1 二次函数的图象和性质第1课时教案
人教版九年级数学上册《二次函数的图象和性质(第1课时)》示范教学课件
二次函数
பைடு நூலகம்
定义
条件
等号右边是整式
自变量的最高次数必须是 2
二次项系数不为 0
一次项
二次项系数
一次项系数
（1）y＝－5x2； （2） y＝x3＋2x2＋1；
例1 下列函数中，哪些是关于 x 的二次函数？
（3）y＝(x－1)2－(x＋1)(x－2)；
（5）y＝x2－ ．
（4）y＝ax2＋4x＋5；
分析：这种产品的原产量是 20 t，一年后的产量是 20(1＋x) t，再经过一年后的产量是 20(1＋x)(1＋x) t，即两年后的产量 y＝20(1＋x)2，即 y＝20x2＋40x＋20． ③
y＝20x2＋40x＋20 ③
解：只有（1）是关于 x 的二次函数．
函数
二次项系数
一次项系数
常数项
y＝9x2
y＝(2x＋1)2－6x
（3） ．
（1）y＝9x2； （2）y＝(2x＋1)2－6x；
例2 请指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
分析：（2）y＝(2x＋1)2－6x＝4x2－2x＋1．
③式表示了两年后的产量 y 与计划增产的倍数 x 之间的关系，对于 x 的每一个值，y 都有唯一一个对应值，即 y 是 x 的函数．
思考
函数 ① y＝6x2，② ，③ y＝20x2＋40x＋20 有什么共同点？
函数都是用自变量的二次式表示的．
二次函数的图象和性质（第1课时）
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数．
1．函数的定义是什么？
人教版九年级上册数学二次函数的图象和性质-22.1.1二次函数(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数的图象和性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体抛射运动的情况？”（如抛篮球）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的图象和性质的奥秘。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了二次函数的图象和性质，我发现学生们对于这个新概念的理解程度各有不同。有的同学能迅速抓住二次函数的定义，通过图象直观地看出它的性质，但也有一些同学在理解对称轴和顶点坐标的计算上遇到了困难。
我意识到，在讲解对称轴和顶点坐标的计算时，需要更具体、更直观的例子来说明。可能的话，我可以借助一些教具，比如坐标系模型，让学生们亲手操作，感受二次函数图象的变化，从而更深刻地理解这些性质的计算过程。
人教版九年级上册数学二次函数的图象和性质-22.1.1二次函数（教案）
一、教学内容
人教版九年级上册数学第22章第一节“二次函数”的第一课时，主要内容包括：
1.二次函数的定义：y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）；
2.二次函数的图象：抛物线，探讨a、b、c对图象的影响；
3.二次函数的性质：
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数的图象特征和性质这两个重点。对于难点部分，如对称轴和顶点坐标的计算，我会通过具体例子和图象来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题，如物体抛射的最高点计算。
新人教版九年级上册数学22.1.4《二次函数的图象和性质(1)》教案
22.1.4二次函数y = ax2+ bx+ c的图象与性质第一课时一、教学目标（一）学习目标1. 会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象.2. 会用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性及最大或最小值.3•经历探索二次函数y = ax2+ bx + c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y= ax2+ bx+ c的性质.4.能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想.（二）学习重点用描点法画出二次函数y= ax2+ bx+ c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标及其性质。
（三）学习难点理解二次函数y = ax2+ bx + c（a^0）的图象和性质，会利用二次函数的图象性质解决简单的实际问题.二、教学设计（一）课前设计11•预习任务(1) 二次函数y=a(x-h)1 2+k 的顶点坐标是(hk)，对称轴 是x=h ,当a>0时，开口 向上，此时二次函数有最小值，当 x >h 时，y 随X 的增大而增大，当x <h 时， y 随x 的增大而减小；当a<0时，开口向下，此时二次函数有最大值，当 x <h时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小.(2) 用配方法将y=ax 2+bx+c 化成y=a(x-h)2+k 的形式为 2值，当a>0时，函数y 有最小值，当a<0时，函数y 有最大值. 2.预习自测(1)抛物线y = 2x 2 — 2x -1的开口 __________ ，对称轴是 _________ 【知识点】二次函数的性质.【解题过程】解：抛物线y = 2x 2 — 2x — 1，v 2>0,二开口向上，对称轴为:b -21 — — — ・2a 2 22【思路点拨】掌握二次函数的性质，正确记忆抛物线对称轴公式是解题关键. 【答案】向上，x =丄2(2)抛物线y = x 2 — 2x + 2的顶点坐标是 _________. 【知识点】二次函数的性质.【解题过程】解：将y = x 2— 2x + 2配方得y=(x-1)2，1，顶点坐标是(1，1) 【思路点拨】将抛物线的一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特” 2 2b j 4ac —b 2 y = a lxV 2a 丿 4a4ac * .则二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标是(-—, 2a4a 2a则h=-A，k=4ac_b )，对称轴是x=-—，当x=-A时，二次函数y=ax2+bx+c有最大(最小) 4a 2a2a点，直接写出顶点坐标.【答案】（1,1）（3）________________________________ 二次函数y = -x2+ 2x+ 1的最是.2【知识点】二次函数的最值.【解题过程】解：将y =丄x2+ 2x+ 1配方得y J（x，2）2_1 , v ->0,.••其最2 2 2小值是-1.【思路点拨】把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值.【答案】小，-1（4）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①4ac v b2;②a+c>b;③2a+b> 0.其中正确的有（）A.①② B .①③ C.②③ D .①②③【知识点】二次函数图象与系数的关系.【思路点拨】根据抛物线与x轴有两个交点即可判断①正确，根据x=- 1,y v0, 即可判断②错误，根据对称轴x> 1,即可判断③正确，由此可以作出判断.【解题过程】解：v抛物线与x轴有两个交点，•••△ > 0,b2- 4ac> 0,••• 4ac v b2，故①正确，v x= - 1 时，y v 0,••• a- b+c v0,• a+c v b,故②错误,•••对称轴x> 1, a v 0,• - b v 2a,• 2a+b> 0,故③正确.故选B.【答案】B(二) 课堂设计i. 知识回顾(1)二次函数y = a(x -h)2• k(a严0)的图象性质:(h)左加右减，(k)上加下减2•问题探究探究一从旧知识过渡到新知识•活动①复习配方2 2 2 2填空.(1)x +4x+9=(x+ ) + .(2)X 一5x + 8 = (x- ) +生答：(1) 2, 5; (2)-,-2 4总结规律：当二次项的系数为1时，常数项须配一次项系数一半的平方.【设计意图】复习配方，为新课作准备•活动②以旧引新1. 二次函数y = a(x—h)2+ k的图象，可以由函数y= ax2的图象先向 ________ 平移 ________单位，再向___________ 移__________ 单位得到.生答：左或右，|h，上或下，|k2. 二次函数y = a(x—h)2+ k的图象的开口方向 _______ ，对称轴是，顶点坐标是 ________ .生答：a>0，向上；a<0，向下x=h (h，k)3. 二次函数y= 2x2—6x + 21,你能很容易地说出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？1 2点拨:先将y= 2x —6x+ 21配方，再得出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象，由此引出新课【设计意图】整合旧知，引出新课探究二用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴★ ▲ •活动①合作探究1 2例1：画函数y=?x -6x 21的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.2分析：首先要用配方法将函数写成y=a(x-h) k的形式；然后，确定函数图象的开口方向、对称轴与顶点坐标；接下来，利用函数的对称性列表、描点、连线.1 2解：y=2x —6x+ 21=1(x2—12x+ 42)=1(x2—12x+ 36—36+ 42)=1(x2—12x+ 36+ 6)=1(x2—12x+ 36) + 3=*(x —6)2+ 3.画图略，所以它的开口向上，对称轴是x=6，顶点坐标是(6，3)归纳:一般式化为顶点式的思路：(1)二次项系数化为1; (2)加、减一次项系数一半的平方；(3)写成平方的形式.【设计意图】引导学生利用配方法，求抛物线的对称轴和顶点坐标，并由此作抛物线。
人教版初中数学课标版九年级上册第二十二章22.1二次函数的图象和性质(1)教案
人教版初中数学课标版九年级上册第二十二章22.1二次函数的图象和性质（1）教案《22.1二次函数（1）》教学设计【教学目标】1．理解二次函数的概念，会用描点法画形如y=ax2的二次函数的图象，了解抛物线的有关概念．2．类比一次函数的研究方法，探究二次函数y=ax2的图象与性质，感知式、数、形之间内在联系，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法以及数形结合的思想．【教学重点】二次函数y=ax2的图象和性质．【教学难点】二次函数y=ax2的图象和性质的发现过程．【教学过程】一、创设情境，生成概念1．用一根长为30cm的绳子围成一个矩形．如果改变矩形的一边AB的长x（cm），那么矩形的哪x些量随x的值的变化而变化？（1）把邻边的长记作y，表示出y与x的关系？y是x的函数吗？为什么？（当矩形的一边长x取定一个值时，它的邻边长y有唯一确定的值与其对应，因此我们说x是自变量，y是x的函数。
）这是什么函数？（一次函数）什么是一次函数？（定义，强调k≠0），指出一次项系数和常数项．利用一次函数的图象和性质求解，得实际问题的答案．2．一次函数的图象和性质又是如何研究的？ 1）通过列表、描点、连线画函数图象，观察图象特征得倒一次函数的性质； 2）经历了从特殊到一般的探究过程，先研究了特殊的一次函数——正比例函数y =kx （k ≠0）的图象和性质，再研究了一般的一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象和性质；（3）分k ＞0，k ＜0,两种情况讨论，由k 取具体的数值入手，最后归纳出一般的情况．三、绘制图象，探究性质1．类比一次函数的研究内容和方法，画最特殊的二次函数y =x ²的图象，并观察图象说出图象特征和性质．（1）“由数画图”：列表：从解析式分析自变量的取值范围，在此基础上合理的选取x 的值，计算y 的值．描点、连线：学生自己动手实践，对称描点，从左至右用平滑的曲线顺次连接，并用几何画板演示．（2）“由形得数”：实际二次定图性利用二实际问题 目观察图象，列表概括二次函数y =x ²的图象特征和性质．（板书）（3）“用数释形”：结合解析式的特点和表格中数据的特点，从数的角度解释为什么图象会具有这样的特点：过原点（0,0），其余各点均在x 轴的上方；无最高点，原点为最低点；图象关于y 轴对称等．（如：图象有最高点和最低点，因为函数有最大值或最小值等）2．在同一坐标系中画二次函数212y x =，22y x =的图象，与函数y =x ²的图象比，有什么共同点和不同点？归纳：当a >0时，抛物线y =ax ²的开口向上；对称轴是y 轴；顶点是原点，顶点是抛物线的最低点；当 x ＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x >0 时， y 随 x 的增大而增大． a 越小，抛物线的开口越大．3．画出函数y =－x 2、y =－2x 2、y =－12x 2的图象．观察这些抛物线有何共同点和不同点．它们之间是否有着某些联系？在画图之前预测图象的特征，然后动手画图验证．归纳：当a＜0时，抛物线y=ax²的开口向下；对称轴是y轴；顶点是原点，顶点是抛物线的最高点；当x＜0 时，y随x的增大而增大；当x>0 时，y 随x 的增大而减小．|a|越小，抛物线开口越大．4．归纳梳理二次函数y=ax²的图象和性质．（1）二次函数y = ax2(a≠0)的图象特征与函数性质：（2）函数y=ax2(a≠0)中，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大。
人教版九年级数学上册22.1.3 二次函数的图像和性质(第1课时)一等奖优秀教学设计
人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册
22.1.3. 二次函数的图像和性质教学设计
一、教材分析 1、地位作用：
二次函数y=ax 2+k 的图像和性质是人教版九年级数学上册第二十一章第三节第一课时的内容，是在学生学习了二次函数的基本概念及y=ax 2的图像和性质之后引入的新内容。
本节课的教学内容既是对y=ax 2的图像和性质的引申，也是后面研究y=a(x-h)2+k 和一般形式的二次函数图像性质的基础。
所以，学习本节内容我们既要对前段的内容进行升华，又要对后段内容进行启发。
2、教学目标：
（1）能够准确绘制y=ax 2+k 二次函数图像；通过图像发现和研究二次函数y=ax 2+k 的性质。
（2）会应用二次函数的性质解决问题.
（3）经历观察，推理和交流等过程，获得研究问题与合作交流的方法和经验；体验数学活动中的探索性和创造性。
3、教学重、难点
教学重点：用描点法画二次函数的图像；探索二次函数y=ax 2+k 的图像特点和性质。
教学难点：二次函数y=ax 2+k 的性质的应用。
突破难点的方法：类比一次函数的平移和二次函数2ax y 的性质学习，构建一个知识体系。
二、教学准备：多媒体课件，几何画板.
三、教学过程:。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第22章 二次函数的图象和性质 (第1课时)教案
22.1 二次函数的图象和性质22.1.3 二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（第1课时）一、教学目标【知识与技能】1.能画出二次函数y=ax2+k的图象；2.掌握二次函数y=ax2与y=ax2+k图象之间的联系；3.掌握二次函数y=ax2+k的图象及其性质.【过程与方法】通过画二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象，感受它们与y=2x2的联系，并由此得到y=ax2与y=ax2+k的图象及性质的联系和区别.【情感态度与价值观】在通过类比的方法获取二次函数y=ax2+k的图象及其性质过程中，进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.二、课型新授课三、课时第1课时，共3课时。
四、教学重难点【教学重点】1.二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象之间的联系；2.二次函数y=ax2+k的图象及其性质.【教学难点】二次函数y=ax2+k的性质的基本应用.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等六、教学过程（一）导入新课这个函数的图象是如何画出来呢？（出示课件2）（二）探索新知探究一二次函数y=ax2+k图象的画法在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2 ,y=x2+1,y=x2-1的图象.（出示课件4）学生自主操作，画图，教师加以巡视，纠正画图过程中可能出现的失误，并引导他们进行分析，发现规律，获得感性认识.1.列表：2.描点，连线：（出示课件5）教师问：抛物线y=x2、y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？（出示课件6）学生独立思考并整理.出示课件7：例在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象.学生自主操作，画图，教师加以巡视.解：先列表：然后描点画图：（出示课件8）教师问：抛物线y=2x2+1 , y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？（出示课件9）学生独立思考并整理.探究二二次函数y=ax2+k的性质教师归纳：（出示课件10）二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质：开口方向：向上.对称轴：x=0.顶点坐标：（0，k）.最值：当x=0时，有最小值，y=k.增减性：当x ＜0时，y 随x 的增大而减小； 当x ＞0时，y 随x 的增大而增大.出示课件11：在同一坐标系中，画出二次函数212y x =-，2122y x =-+，2122y x =--的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标.学生自主操作，画图，并整理. 解：如图所示.出示课件12：在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：；；. 学生自主操作，画图，教师巡视加以指导.231x y -=23121--=x y 23122+-=x y出示课件13，14：根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是;(2)三条抛物线的开口方向_______;(3)对称轴都是__________;(4)从上而下顶点坐标分别是_____________________;(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________;(6) 函数的增减性都相同：____________________________.学生独立思考并口答.⑴抛物线；⑵向下；⑶直线x=0；⑷( 0，2)，(0，0)，( 0，-2)；⑸高；大；y=2，y=0，y=-2；⑹对称轴左侧y随x增大而增大,对称轴右侧y随x增大而减小师生共同归纳：二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质（出示课件15）出示课件16：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.学生独立思考后，师生共同解答.解：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.教师归纳：方法总结：二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．出示课件17：抛物线y=−2x2+3的顶点坐标是________,对称轴是________，在________侧，y随着x的增大而增大；在________侧，y随着x的增大而减小.学生口答：（0,3）；y轴；对称轴左；对称轴右探究三二次函数y=ax2+k的图象及平移出示课件18：从数的角度探究：出示课件19：从形的角度探究：观察图象可以发现，把抛物线y=2x2向_____平移1个单位长度，就得到抛物线_____；把抛物线y=2x2向_____平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1.学生观察图象并解答：上；y=2x2+1；下师生共同归纳：二次函数y=ax2与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系（出示课件20）二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到：当k>0时,向上平移k个单位长度得到.当k<0时,向下平移k个单位长度得到.教师强调：上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.出示课件21：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( )A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到学生独立思考并口答：D出示课件22：想一想：教师问1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步？学生答：第一种方法：平移法，分两步，即第一步画y=ax2的图象；第二步把y=ax2的图象向上（或向下）平移︱k︱单位.第二种方法：描点法，分三步即列表、描点和连线.教师问2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？学生答：a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.（三）课堂练习（出示课件23-27）1.将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是．2.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线．3.填表：4.已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，点(-m,n)___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.5.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k____.6.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：⑴抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.（2）函数y=-x2+1，当x_____时，y随x的增大而减小；当x_____时，函数y有最大值，最大值y是_____，其图象与y轴的交点坐标是_____，与x轴的交点坐标是_____.（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.7.对于二次函数y=(m+1)x m2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2），则a=____.9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.参考答案：1.y=x2+22.y=2x2－43.4.在5.=2；＞2；＜26.⑴向下平移1个单位.⑵>0；=0；1；(0,1)；(-1,0),(1,0)⑶开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.7.28.-29.8（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看. （五）课前预习预习下节课（22.1.3第2课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本课时教学重点在于培养学生的比较能力，旨在希望学生通过对比发现函数图象的性质，从而进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.。
人教版初三数学教案 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第二十二章 二次函数22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质第1课时 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质学习目标：1.会用配方法或公式法将一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 化成顶点式y =a (x －h )2+k .2.会熟练求出二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴.重点：能够熟练地求出二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴. 难点：会用配方法或公式法将一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 化成顶点式y =a (x －h )2+k .自主学习一、知识链接1.说说函数y =a (x －h )2+k 图象的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减变化情况.2.将下列式子因式分解：（1）a 2+2ab +b 2=____________; (2)a 2-2ab +b 2=____________.课堂探究二、要点探究探究点1：将一般式y =ax 2+bx +c 化成顶点式y =a (x －h )2+k问题 怎样将216212y x x 化成y =a (x －h )2+k 的形式？填一填（1）x 2-12x +36=_____________; （2）x 2-12x =_____________ .想一想（1）请将216212y x x 化成y =a (x －h )2+k 的形式，并说一说配方的方法及步骤；（2）如何用配方法将一般式y =ax 2+bx +c (a ≠0)化成顶点式y =a (x －h )2+k ？练一练将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y =a (x -h )2+k 的形式，并指出其顶点坐标． （1）y =x 2-2x +1； （2）y =2x 2-4x +6．探究点2：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质问题1 你能说出21632y x 的对称轴和顶点坐标吗？问题2 二次函数21632y x 可以看作是由212y x 怎样平移得到的？问题3 如何画二次函数216212y x x =-+的图象？问题4 结合二次函数216212y x x =-+的图象，说出其性质.要点归纳：二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质一般地，二次函数y =ax 2+bx +c 可以通过配方化成y =a (x -h )2+k 的形式，即y =ax 2+bx +c =______________;因此，抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点坐标是：______________; 对称轴是：直线______________;如果a >0，当x < _________时，y 随x 的增大而减小；当x > _________时，y 随x 的增大而增大.如果a <0，当x <________时，y 随x 的增大而增大；当x >_________时，y 随x 的增大而减小.例1 画出函数2241y x x =--+的图象，并说明这个函数具有哪些性质.练一练 已知二次函数y ＝x 2﹣6x +5．（1）将y ＝x 2﹣6x +5化成y =a (x -h )2+k 的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当x 取何值时，y 随x 的增大而减小．探究点3：二次函数字母系数与图象的关系问题1 一次函数y =kx +b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空.k10，b10；k20，b20；k30，b30.问题2 二次函数2y ax bx c的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空.a10，b10，c10；a20，b20，c20；a30，b30，c30；a40，b40，c40；例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4三、课堂小结二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质顶点式配方法或公式法→224()24b ac by a xa a顶点坐标：24()24b ac ba a，对称轴：2bxa图象与a、b、c的关系a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；b=0，对称轴为y轴；a、b同号，对称轴在y轴的左侧，a、b异号，对称轴在y轴的右侧；c=0，图象经过原点；c＞0，与y轴交于正半轴，c＜0，与y轴交于负半轴.当堂检测1. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的x 、y 的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为( )A.y 轴B.直线x =52C.直线x =2 D .直线x =322.已知二次函数y =－x 2＋2bx ＋c ，当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b 的取值范围是（ ） A ．b ≥－1 B ．b ≤－1 C ．b ≥1 D ．b ≤13.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，则下列结论： (1) a 、b 同号；(2) 当x =－1和x =3时，函数值相等； (3) 4a +b =0；(4) 当y =－2时，x 的值只能取0； 其中正确的是 .4.已知抛物线y =2x 2-12x +13.（1）当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？ （2）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小;（3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的表达式.5.已知二次函数y =x 2-4x -1． （1）将函数y =x 2-4x -1的解析式化为y =a (x +m )2+k 的形式，并指出该函数图象顶点B 的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y =x 2-4x -1与y 轴交点为C ，抛物线的对称轴与x轴交点为A ，求四边形OABC 的面积．x －1 0 1 2 3 y51－1－11。
人教版九年级数学上册22.1.3-二次函数的图像和性质(第1课时)一等奖优秀教学设计
人教版九年级数学上册22.1.3-二次函数的图
像和性质(第1课时)
一等奖优秀教学设计-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册
22.1.3. 二次函数的图像和性质教学设计
一、教材分析 1、地位作用：
二次函数y=ax 2+k 的图像和性质是人教版九年级数学上册第二十一章第三节第一课时的内容，是在学生学习了二次函数的基本概念及y=ax 2的图像和性质之后引入的新内容。
本节课的教学内容既是对y=ax 2的图像和性质的引申，也是后面研究y=a(x-h)2+k 和一般形式的二次函数图像性质的基础。
所以，学习本节内容我们既要对前段的内容进行升华，又要对后段内容进行启发。
2、教学目标：
（1）能够准确绘制y=ax 2+k 二次函数图像；通过图像发现和研究二次函数y=ax 2+k 的性质。
（2）会应用二次函数的性质解决问题.
（3）经历观察，推理和交流等过程，获得研究问题与合作交流的方法和经验；体验数学活动中的探索性和创造性。
3、教学重、难点
教学重点：用描点法画二次函数的图像；探索二次函数y=ax 2+k 的图像特点和性质。
教学难点：二次函数y=ax 2+k 的性质的应用。
突破难点的方法：类比一次函数的平移和二次函数2ax y 的性质学习，构建一个知识体系。
二、教学准备：多媒体课件，几何画板.。
《二次函数的图像和性质》第一课时教案 (1)
5.4二次函数的图像和性质(1)教材分析：本节内容是在学生已经学习过的一次函数、反比例函数的图象与性质，以及二次函数的有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，又是对前面所学一次函数、反比例函数图象与性质的一次升华，还是今后学习的基础，在教材中起着非常重要的作用． 教学设计：本课一开始先让学生回忆用描点法画函数图象的一般步骤和方法，然后根据表中的各对对应值，在直角坐标系中描出相应的各点，用光滑的曲线连接，画出图象．通过画出图象，让学生分析、归纳二次函数的图象与性质.学习目标：知识与技能：1.掌握二次函数的图象的作法及其性质，会根据图象用数学语言表达图象的性质．2.能分清当a>0,a<0时图象之间有什么共同点与不同点． 过程与方法：通过对二次函数图象与性质的发现，提高分析、归纳等能力，体验数学中的数形结合思想的应用.情感态度和价值观：引导学生养成全面看问题，分类讨论的学习习惯，通过直观多媒体演示和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极性．学习重难点：重点：能在直角坐标系中，正确画出二次函数的图象，并能说出二次函数的图象的性质. 难点：作二次函数图象时要选取适当的点，选取适当数目的点.课前准备教具准备 教师准备PPT 课件教学过程：知识回顾：一次函数:y =kx +b (k ≠0) 图象:直线反比例函数： (k ≠0)图象:双曲线 问:1．如何画出函数图象呢?2．如何得到相应的性质呢?【设计意图】：通过对一次函数和反比例函数解析式、图象的回顾，一方面巩固学生的旧知，另一方面对本节课的学习起到类比作用.合作探究一: 二次函数y=ax 2(a>0)的图象请同学们用描点法按下列要求画图： k y x请A组同学同桌合作画函数y=x2的图象；请B组同学同桌合作画函数y= 1/2x2的图象归纳: 二次函数y=ax2 (a>0)的性质合作探究二: 二次函数y=ax2 (a<0)的图象请同学们用描点法按下列要求画图：请A组的同学同桌合作在和抛物线y=x2同一坐标系中画函数y=-x2的图象，并观察；请B组同学同桌合作在和抛物线y=-1/2 x2同一坐标系中画函数y=-1/2 x2的图象，并观察.归纳: 二次函数y=ax2 (a<0)的性质【设计意图】：在探索性质时，利用课件展示给学生图形，在验证学生图形画的准确的前提下，给出学生一定的提示，从那几个方面进行探索，并先让学生自己探索，然后再与同学交流，这样即锻炼了学生的自学与归纳能力，又培养了学生的合作意识.当堂检测：1．对于函数y＝2x2，下列结论正确的是( )A．当x取任何实数时，y的值总是正的 B．x的值增大，y的值也随着增大C．x的值增大，y的值随着减小 D．图像关于y轴对称2．分别说出抛物线y=4x2与y=-5x2的开口方向，对称轴与顶点坐标.3．如何根据函数的图象，(1)根据图象，求当y=2时，对应的x的值(精确到0.1)；(2)利用图象，求的√3值(精确到0.1).4．已知二次函数y=ax2的图象如图，x1<x2，则对应的y值y1,y2大小关系为y1____y25．观察上面画的图象回答：（1）在对称轴右边，y随x的增大而______（2）在对称轴左边y随x的增大而______课堂小结:本节课学习了二次函数y=ax2的图象和性质作业:课本 P.33第1,2题板书设计:5.4二次函数的图像和性质(1) 知识回顾：合作探究一:二次函数y=ax2(a>0)的图象归纳:二次函数y=ax2(a>0)的性质合作探究二:二次函数y=ax2(a<0)的图象归纳:二次函数y=ax2(a<0)的性质。
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第1课时)》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十二章 二次函数22.1二次函数的图象和性质 二次函数y =a (x -h )2+k 的图象和性质教学设计 第 1 课时一、教学目标1．使学生理解二次函数y =ax 2＋k 的图象与二次函数y =ax 2的图象之间的关系． 2．会确定二次函数y =ax 2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．二、教学重点及难点重点：理解二次函数y =ax 2＋k 的性质及其图象与y =ax 2的图象之间的关系． 难点：正确理解二次函数y =ax 2＋k 的图象与二次函数y =ax 2的图象之间的关系以及二次函数y =ax 2＋k 的性质．三、教学用具多媒体课件，三角板或直尺。
四、相关资源《二次函数y =ax 2图象与性质的复习》动画，《二次函数y =2x 2＋1和y =2x 2－1的图象画法》动画，《《二次函数y =2x 2＋1和y =2x 2－1的图象》图片，《函数2133y x =+，2123y x =-》动画）。
五、教学过程【复习提问】你能说出二次函数y =ax 2的性质吗？师生活动：教师提出问题，全班学生回顾，一起回答问题．小结：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线2y ax =，|a |越大，抛物线的开口越小，|a |越小，抛物线的开口越大．如果a ＞0，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大； 如果a ＜0，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．设计意图：让学生温习已学的知识，巩固上节课的内容，为本节课作铺垫． 【合作探究】1．在同一直角坐标系中，画出二次函数y =2x 2＋1，y =2x 2－1的图象．师生活动：师生一起完成列表，再由学生画出图象，交流成果，如图所示，教师投影订正．在学生画函数图象时，教师巡视指导．解：（1）列表：（2）描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．（3）连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到二次函数y =2x 2＋1和y =2x 2－1的图象．设计意图：通过学生动手画二次函数2y ax k =+的图象，给学生创设活动时间和空间，体现教师是主导，学生是主体的教学地位，让学生经历知识的发生、发展的过程，并通过观察、分析、探索出二次函数2y ax k =+的图象的有关性质，培养学生数形给合的思想．2．思考：（1）抛物线y =2x 2＋1，y =2x 2－1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？此图片是动画缩略图，此处插入交互动画《【知识探究】画二次函数平移的图象》，可以对y =ax 2图象上下平移得出y =ax 2±k 的图象,观察、分析函数y =ax 2±k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.师生活动：让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见．教师聆听，关注学生回答是否正确．小结：抛物线y =2x 2＋1，y =2x 2－1的开口都是向上，对称轴都是y 轴，顶点分别是（0，1）与（0，－1）．（2）抛物线y =2x 2＋1，y =2x 2－1与抛物线y =2x 2有什么关系？师生活动：让学生观察三个函数图象，说出把抛物线y =2x 2的图象向上平移1个单位长度，就得到抛物线y =2x 2＋1；把抛物线y =2x 2向下平移1个单位长度，就得到抛物线y =2x 2－1．（3）抛物线y =ax 2＋k 与y =ax 2有什么关系？师生活动：四人一小组，小组讨论、交流．教师巡查，关注学生是否认真讨论，能否讨论归纳得出结论．归纳：抛物线y =ax 2＋k 与y =ax 2形状相同，位置不同；当k ＞0时，抛物线y =ax 2向上平移|k |个单位长度可以得到抛物线y =ax 2＋k ； 当k ＜0时，抛物线y =ax 2向下平移|k |个单位长度可以得到抛物线y =ax 2＋k ．设计意图：通过分析、小组合作探究，引导学生完成对知识的归纳，符合学生的认知规律，同时也培养了学生分析问题和解决问题的能力，完成由实践上升到理论这一认知过程．【例题分析】例 分别在同一直角坐标系中，描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴和顶点：2133y x =+，2123y x =-。
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对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0＜x＜10)就是所求的函数关系式．
二、提出问题
某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?
在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：
1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?
[利润=(售价－进价)×销售量]
2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?
[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]
3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?
教学难点
求出函数的自变量的取值范围。
课堂教学程序设计
设计意图
复习旧知引出课题
1.我们已经学习了那些函数？它们的图像是什么？
2.出示图片（课件）：打篮球，拱桥，喷泉，跳绳等。
3.引出课题：喷水池喷出的水，河上路线都会形成一条曲线，这些曲线是否能用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？现在我们开始探讨新一章的内容-----二次函数，这节课我们一起研究什么样的函数是二次函数
一、试一试
1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中，
AB长x(m)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
BC长(m)
12
面积y()
48
2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗?
3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式，
y=－2x2＋20x (0＜x＜10)……………………………(1)
将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为：
y=－100x2＋100x＋20D (0≤x≤2)……………………(2)
三、观察；概括
1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答；
(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个?
(各有1个)
(2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式?
(分别是二次多项式)
(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点?
(都是用自变量的二次多项式来表示的)
(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？
让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。
[(10－8－x)；(100＋100x)]
4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，
[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]
5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。
[y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)]
将函数关系式y=x(20－2x)(0＜x＜10＝化为：
对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。
2．二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．
四、课堂练习
P3练习第1，2题。
五、小结
1．请叙述二次函数的定义．
2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。
作业
设计
必做
教科书P14：1、2
教学
反思
教学时间
课题
22.1二次函数（1）
课型
新授课
教
学
目
标
知 识
和
能 力
能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围
过 程
和
方 法
注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识
情 感
态 度
价值观
培养学生的良好的学习习惯
教学重点
能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。