基于FWD的沥青路面结构单层模量反算研究

∞
ｚ
ｚ
０
０
∞
（ ） １ ３ ） 中， 即 为 传 递 矩 阵， 用Ｔ １ ３） ｅ ｘ ｚ Ａ（ 式 （ ｐ（ ξ） 表示 ， 它给出 ｚ＝０ 处 ， 经Ｈ 变 换 的 位 移 和 ａ ｎ ｋ ｅ ｌ 应力边界向量与任意深度 ｚ 处向量之间的关系 ． 根据 Ｃ ａ ｌ ｅ ａ ｍ ｉ ｌ ｔ ｏ ｎ定理及矩阵指数的定 －Ｈ ｙ 义， 传递矩阵可表示为
第２期
李美玲 ， 等： 基于 ＦＷＤ 的沥青路面结构单层模量反算研究
·３ ６ ７·
２ 求解路面结构层状弹性体系
３－ ６］ 路面结构层状 ［ 弹性体系图如图 １ 所示 ． 其
这样建立了初始状态向量和任意深度处的状 态向量之间关系 ， 由 边 界 条 件， 并进行 Ｈ ａ ｎ ｋ ｅ ｌ逆 ） 通过解二元一次方程组即可求出 ｗ（ 变换 ， ｒ， ０ ．
ｕ（ ｒ， ｚ） 熿 燄 珡（ ｗ ｒ， ｚ）
２ Ｅ （ １ １） － － ２ ２ ２ ＋ ｒ ｒ ｒ １ ｒ － 燀 μ
ｒ， ｚ） １ σ ｚ（ －（ ＋ ） ｒ ｒ ｒ， ｚ） τ ｚ ｒ（ 燀 燅
０ 燅 （ ） １ ０
） 作关于坐标ｒ 的 Ｈ 令 １ ０ ａ ｎ ｋ ｅ ｌ积分变换， 将式（
２ ３ （ ）＝ ａ Ｔ ＝ｅ ｘ ｚ Ａ（ Ｉ＋ａ Ａ ＋ａ Ａ Ａ ＋ａ ｐ ０ １ ２ ３ ξ） （ ） １ ４
ｚ ｒ
ｚ ｒ
１
０
） 对式 （ 进行坐标ｒ 的汉克尔积分变换可得 １ ０ 珔（， 珔（， ｕ ｚ） ｕ ｚ） 熿 ξ 燄 熿 ξ 燄 珡 ξ， 珡（ ， ｚ） ｗ ｚ） ξ ｗ（ （ ） １ １ ＝ Ａ（ ξ）珋 （， ） 珋 ｚσ ｚ） σ ｚ（ ｚ ξｚ ξ，
２ （ ｒ， ｚ） ａ ｕ ｒ， ｚ） ｕ（ ｒ， ｚ） τ ｚ ｒ（ ａ ２ ＋ ＋ － ｚ ｒ ｒ ｒ
ｒ， ｚ） ｒ， ｚ） σ ｒ， ｚ） ｒ， ｚ） －σ σ τ ｒ（ ｚ ｒ（ ｒ（ θ（ ＋ ＋ ＝０ ｒ ｚ ｒ （ ） １ ｒ， ｚ） ｒ， ｚ） τ ｒ， ｚ） σ τ ｚ（ ｚ ｒ（ ｚ ｒ（ ） ２ ＋ ＋ ＝０ （ ｚ ｒ ｒ ）物理 方 程 式 （ 广 义 虎 克 定 律， 用位移表示 ２
（ ２ １＋μ） 燄 Ｅ ０ －ξ
－ μ ξ ０ １－μ ０ ０
Ｅ ２ μ ０ ２ ξ ０ ξ １－μ １－μ 燀 燅 珚 珔 珚 珋 （ ， ） ［ （ ， ） （ ， ） （ ， ） 令向量 Ｘ ξｚ ＝ ｕ ξｚ ｗ ξｚ σ ｚ ξｚ
ｚ （ ） （ 烄 ｈｚ ａ ｈ ｚ） －ξ ｓ ０ ＝ｃ ξ， ２ ξ （ （ ３ ｓ ｈ ｚ） ｚ ｃ ｈ ｚ） －ξ ξ ξ ａ １ ＝ ２ ξ 烅 ｚ （ ） ａ ｓ ｈξ ｚ ２ ＝ ２ ξ １［ （ （ ］ ａ ｚ ｃ ｈ ｚ） ｈ ｚ） －ｓ ３ ＝ ３ ξ ξ ξ ２ 烆 ξ ） 即可得传递矩阵Ｔ． ａ ａ ａ １ ４ 将ａ ０， １， ２， ３ 代入式（
边界条件为 ）在路表处 ， ， 即 ｚ＝０ 处 ， 轴对称的σ １ ｒ， ０） ｚ（ 分 布 均 已 知， 经 Ｈ ｒ， ０） ａ ｎ ｋ ｅ ｌ变 换 可 确 定 τ ｚ ｒ（ 珋 珋 ） ， ） ０ ０ ． σ τ ｚ（ ｚ ｒ（ ξ， ξ， ）当 ｚ→ ∞ 时 ， 则有 ｕ（ ２ ｒ， ｚ） ＝０， ｗ（ ｒ， ｚ） ＝０， 经Ｈ ａ ｎ ｋ ｅ ｌ变换可得 珔 珡（ ｕ（ ∞ ）＝ ０ ｗ ∞ ）＝ ０ ξ， ξ， ）层间完全接触的条件为 ３ ｕ（ ｒ， ｚ ｕ（ ｒ， ｚ ｉ） ｉ） 熿 燄 熿 燄 ｗ（ ｒ， ｚ ｗ（ ｒ， ｚ ｉ） ｉ） ＝ ｒ， ｚ ｒ， ｚ σ σ ｚ（ ｉ） ｚ（ ｉ）
ｒ， ｚ τ ｚ ｒ（ ｉ） ｉ １ ＋ 燀 燅
珔（ ｕ ｚ ｉ） ξ， 熿 燄 珡（ ｗ ｚ ｉ） ξ，
ｚ ｒ
ｚ ｒ
１
０
珋 ｚ） τ ｚ ｒ（ 燀 燅 ξ，
其中 ：
珋 ｚ） τ ｚ ｒ（ 燀 燅 ξ，
导数 ， 即
２ （ ｅ ｘ ｚ）＝ ａ ａ ａ λ λ＋３ λ ｐ １ ＋２ ２ ３ ） 、 （ ） 代入式 （ 可求出 １ ５ １ ６ 以λ＝± ξ，
（ ） １ ６

Ａ（ ξ）＝
熿 ０
ξ
０ （ （ １＋μ） １－２ μ） Ｅ（ １－μ） ０
ｒ， ｚ） ｒ Ｊ（ ｒ） ｄ ｒ ξ ∫ｕ（ 珡（ ｗ ｚ）＝ ｗ（ ｚ） ｒ Ｊ（ ｒ） ｄ ｒ ξ， ξ ∫ ｒ， 珋（ ｚ）＝ σ （ ｚ） ｒ Ｊ（ ｒ） ｄ ｒ σ ξ， ξ ∫ ｒ， 珋 （ ｚ）＝ τ （ ｚ） ｒ Ｊ（ ｒ） ｄ ｒ τ ξ， ξ ∫ ｒ，
１ ０ ∞ ０ ０ ∞
珔（ ｕ ｚ）＝ ξ，
第３ ５卷 第２期 ２ ０ １ １年４月
武汉理工大学学报 （ 交通科学与工程版 ） Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｗｕ ｈ ａ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｏ ｆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｙ ｇ ｙ ） （ Ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｏ ｒ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ＆Ｅ ｎ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｐ ｇ ｇ
０
∞
ｚ
ｚ
０
０
∞
） 中， 的特征方程为｜ １ ４ Ａ（ Ａ（ － Ｉ 式 （ λ ｜＝ ξ） ξ） ２ ２ ２ （ 即： ０， λ－ ξ ）＝０． 上述代数方程的根为 λ＝± ξ ） ） 式（ 中， 矩 阵 Ａ（ 用 其 特 征值代入也成 １ ４ ξ 立， 即
２ ３ （ （ ） ｅ ｘ ｚ）＝ ａ １ ５ λ λ＋ａ λ ＋ａ λ ｐ ０ ＋ａ １ ２ ３ 也应满足式（ 对λ 的 １ ５） 由于特征值 为 重 根 ，
模量反算方 法 主 要 有 图 表 法 和 回 归 公 式 法 、 迭代法 、 数据库搜索法 、 遗传算法和人工神经网络 法等 ５ 大类 我国已有的研究基本都集中在半 ． 无限体的模量反 算 上 ， 对于单层的模量反算研究
［ １］
应力的基本公式 ）
ｕ（ ｒ， ｚ） ｕ（ ｒ， ｚ） ｗ（ ｒ， ｚ） ｒ， ｚ）＝ ａ ＋ｂ ＋ｂ σ ｒ（ ｒ ｒ ｚ （ ） ３ ｕ（ ｒ， ｚ） ｕ（ ｒ， ｚ） ｗ（ ｒ， ｚ） ｒ， ｚ）＝ｂ ＋ａ ＋ｂ σ θ（ ｒ ｒ ｚ （ ） ４ ｕ（ ｒ， ｚ） ｕ（ ｒ， ｚ） ｗ（ ｒ， ｚ） ｒ， ｚ）＝ｂ σ ＋ｂ ＋ａ ｚ（ ｒ ｒ ｚ （ ） ５ 珔 珡 ） ） ｕ（ ｒ， ｚ， ｓ ｗ（ ｒ， ｚ， ｓ ）＝ｃ （ ） （ ｒ， ｚ， ｓ ｓ ＋ τ ｚ ｒ（ ｚ ｒ （ ） ６
图 １ 路基路面层状弹性体系
３ ＦＷＤ 荷 载 作 用 下 路 面 层 状 弹 性 体系单层弹性模量的反算
根据 传 递 矩 阵 Ｔ 的 计 算 公 式 ， 对路基路面ｎ
ｒ， ｚ τ ｚ ｒ（ ｉ） ｉ 燀 燅 ａ ｎ ｋ ｅ ｌ变换得 经 Ｈ 珔 （ ｕ ξ， ｚ ｉ） 熿 燄 珡（ ｗ ｚ ｉ） ξ，
珔（ ｚ） Ｊ（ ｒ） ｄ ξ， ξ ξ ξ ∫ｕ ｗ（ ｒ， ｚ）＝ ｗ ｒ， ｚ） Ｊ（ ｒ） ｄ ξ ξ ξ ∫珡（ ｒ， ｚ）＝ σ ｚ） Ｊ（ ｒ） ｄ σ（ ξ， ξ ξ ξ ∫珋 （ ｒ， ｚ）＝ τ ｚ） Ｊ（ ｒ） ｄ τ （ ξ， ξ ξ ξ ∫珋 （
ｕ（ ｒ， ｚ）＝
∞
１
０
∞
０
Ｖ ｏ ｌ ． ３ ５ Ｎ ｏ ． ２ Ａ ｒ ． ２ ０ １ １ ｐ
基于 ＦＷＤ 的沥青路面结构单层模量反算研究 ＊
李美玲１） 冉 晋２） 任瑞波１） 王守军３）
（ ） 山东建筑大学土木学院１） 济南 ２ ５ ０ １ ０ １ ） （ 山东职业学院土木工程系２） 济南 ２ ５ ０ １ ０ ４ （ ） 济南市市政工程设计研究院有限公司３） 济南 ２ ５ ０ １ ０ １ 摘要 ： 利用矩阵传递法推算了 ＦＷＤ 动荷载作用下沥青路面层状弹性体系单层模量的 反 算 公 式 ， 并 可用于分析和评估路面 单 层 的 承 载 能 力 ． 利用计算程序， 对某 编制了计算程序来反算单层的模量 ， 与材料的室内试验数据进行比较 ， 结果显示反 工程项目的基层测得的 ＦＷＤ 弯沉数据进行了反算 ， 算数据与试验数据基本吻合 ， 验证了反算模型的可用性 ． 关键词 ： 路面结构 ； 沥青路面 ； 单层模量反算 ； 传递矩阵法 ； ＦＷＤ 中图法分类号 ： Ｕ ４ １ ６． ２ ： ／ Ｄ Ｏ Ｉ １ ０． ３ ９ ６ ３ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ６ ２ ８ ２ ３． ２ ０ １ １． ０ ２． ０ ３ ６ － ｊ
１ 传递矩阵法
１． １ 基本公式 ）平 衡 微 分 方 程 式 在 柱 坐 标 情 况 下 轴 对 １ 称问题的静力平衡方程为
Ｅ 为弹性模量 ； μ 为泊松比 ． １． ２ 单层弹性体传递矩阵的推导
） ） 式（ 和式 （ 中４个应力分量是２个 ３ ５ ６） ～（ 设法消去 ２ 个应力分量 ， 为了方 位移分量的函数 ， ， ， 、 （ 便起见 ， 消去σ 将式（ 代入 ｒ， ｚ） ｒ， ｚ） ３） ４） σ ｒ（ θ（ ） 式（ 可得 １
珋 ］ ， ） 则式 （ 变为 ｚ） １ １ τ ｚ ｒ（ ξ，
［ ′ 珚（， 珚（ ］＝ Ａ （ Ｘ ｚ） Ｘ ｚ） ξ） ξ， ｚ ξ ） 的解为 １ ２ 式 （ 珚 珚（ （ （ ） ） Ｘ ξ， ｚ）＝ ｅ ｘ ｚ Ａ（ Ｘ ０ ｐ ξ） ξ， （ ） １ ２
它们的反演公式为
２ ０ １ １年 第３ ５卷
２ ａ ｗ（ ｒ， ｚ） ｒ， ｚ） ２ｕ（ ＋ｂ ＝０ ｚ ｒ ｒ
（ ） ７
） 对ｒ 求偏导得 ５ 再把式 （
２ （ ｒ， ｚ） ｒ， ｚ） ｂ ｕ（ ｒ， ｚ） σ ｚ（ ｕ ＝ｂ ＋ － ２ ｒ ｒ ｒ ｒ ２ ｂ ｗ（ ｒ， ｚ） ｒ， ｚ） ＋ａ ２ｕ（ ｚ ｒ ｒ