【优化方案】高考理数大一轮总复习练习：专题讲座五(含答案解析)
2021年高考数学第一轮复习 课后练习册子及其答案和详细解析
强化练习题
目录
第 1 讲 集合与简易逻辑...........................................................................................................................- 1 第 2 讲 函数及其性质经典精讲 ...............................................................................................................- 2 第 3 讲 函数及其性质 2019 高考真题赏析 .............................................................................................- 3 第 4 讲 函数及其性质 2018 高考真题赏析 .............................................................................................- 4 第 5 讲 平面向量.......................................................................................................................................- 5 第 6 讲 三角函数与三角恒等变换经典精讲 ............................................................
优化方案(新课标)高考数学一轮复习第五章第4讲知能训练轻松闯关
【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习 第五章 第4讲 知能训练轻松闯关1．在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n，n ∈N *，则S 60的值为( ) A ．990 B ．1 000 C ．1 100 D ．99解析：选A.n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，a n ＝2；n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，a n ＝n .故S 60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.2．(2015·山东济南期末)已知{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( )A ．40B ．200C ．400D ．20解析：选C.S 20－2S 10＝20（a 1＋a 20）2－2×10（a 1＋a 10）2＝10(a 20－a 10)＝100d .又a 10＝a 2＋8d ，∴33＝1＋8d ，∴d ＝4. ∴S 20－2S 10＝400.3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5C.3116D.158解析：选C.设数列{a n }的公比为q .由题意可知q ≠1，且9（1－q 3）1－q ＝1－q61－q，解得q ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝3116.4．(2015·皖西七校联考(一))已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan 225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)na n }的前n 项和，则S 2 016＝( )A ．2 016B ．－2 016C ．3 024D ．－3 024解析：选C.∵a 1＝tan 225°＝1，∴a 5＝13a 1＝13，则公差d ＝a 5－a 15－1＝13－14＝3，∴a n ＝3n －2，∴(－1)n a n ＝(－1)n(3n －2)，∴S 2 016＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＋…＋(a 2 016－a 2 015)＝1 008d ＝3 024.5．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前8项和为( )A ．－34B ．－815C.34D.815解析：选 B.设数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5， 解得a 1＝1，d ＝－1，故{a n }的通项公式为a n ＝2－n .所以1a 2n －1a 2n ＋1＝1（3－2n ）（1－2n ）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前8项和为12⎝⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋116－3－116－1 ＝－815.6．数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为________．解析：a 1＋...＋a k ＋...＋a 10 ＝240－(2＋...＋2k ＋ (20)＝240－（2＋20）×102＝240－110＝130.答案：1307．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________．解析：a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q |＝2，则|a n |＝12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n－1－12. 答案：－2 2n －1－128．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：∵a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n . ∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－29．(2014·高考安徽卷)数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列{a n n }是等差数列；(2)设b n ＝3n·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a n n＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2. 从而b n ＝n ·3n.S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.② ①－②得，－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·（1－3n）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32.所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.10．在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1、a 5的等比中项为16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n<k 对任意n ∈N *恒成立．若存在，求出正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由． 解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由题意可得a 3＝16， ∵a 3－a 2＝8，则a 2＝8， ∴q ＝2.∴a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝log 42n ＋1＝n ＋12，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n （n ＋3）4.∴1S n ＝4n （n ＋3）＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋3. ∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －1n ＋3＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3<43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13<229， ∴存在正整数k 的最小值为3.1．(2015·唐山市第一次模拟)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n＋1，则∑k ＝1na 2k ＝( )A.n （n ＋5）2B.3n （n ＋1）2C.n （5n ＋1）2D.（n ＋3）（n ＋5）2解析：选B.当n ＝1时，3S 1＝a 1a 2，即3a 1＝a 1a 2，∴a 2＝3，当n ≥2时，由3S n ＝a n a n ＋1，可得3S n －1＝a n －1a n ，两式相减得：3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)，又∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝3，∴{a 2n }为一个以3为首项，3为公差的等差数列，∴∑k ＝1na 2k ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝3n ＋n （n －1）2×3＝3n （n ＋1）2.2．已知F (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－1是R 上的奇函数，a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝n －1B ．a n ＝nC ．a n ＝n ＋1D ．a n ＝n 2解析：选C.∵F (x )＋F (－x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋12＝2， 即若a ＋b ＝1，则f (a )＋f (b )＝2.于是，由a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)，得2a n ＝[f (0)＋f (1)]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋[f (1)＋f (0)]＝2n ＋2，∴a n ＝n ＋1.故选C.3．(2015·辽宁省五校上学期联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋2＋(－1)na n ＝1.记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 60＝________．解析：依题意得，当n 是奇数时，a n ＋2－a n ＝1，即数列{a n }中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＝30×1＋30×292×1＝465；当n 是偶数时，a n ＋2＋a n ＝1，即数列{a n }中的相邻的两个偶数项之和均等于1，a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 58＋a 60＝(a 2＋a 4)＋(a 6＋a 8)＋…＋(a 58＋a 60)＝15.因此，该数列的前60项和S 60＝465＋15＝480.答案：4804．(2015·湖南长郡中学、衡阳八中等十二校联考)定义：称nx 1＋x 2＋…＋x n为n 个正数x 1，x 2，…，x n 的“平均倒数”，若正项数列{c n }的前n 项的“平均倒数”为12n ＋1，则数列{c n }的通项公式为c n ＝________．解析：由已知可得，数列{c n }的前n 项和S n ＝n (2n ＋1)，所以数列{c n }为等差数列，首项c 1＝S 1＝3，c 2＝S 2－S 1＝10－3＝7，故公差d ＝c 2－c 1＝7－3＝4，得数列的通项公式为c n ＝c 1＋(n －1)×4＝4n －1.答案：4n －15．(2015·广东广州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋pn ＋q (p ，q ∈R )，且a 2，a 3，a 5成等比数列．(1)求p ，q 的值；(2)若数列{b n }满足a n ＋log 2n ＝log 2b n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)法一：当n ＝1时， a 1＝S 1＝1＋p ＋q ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋pn ＋q －[(n －1)2＋p (n －1)＋q ]＝2n －1＋p . ∵{a n }是等差数列，∴1＋p ＋q ＝2×1－1＋p ，得q ＝0. 又a 2＝3＋p ，a 3＝5＋p ，a 5＝9＋p ， ∵a 2，a 3，a 5成等比数列， ∴a 23＝a 2a 5，即(5＋p )2＝(3＋p )(9＋p )，解得p ＝－1.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .∵S n ＝n 2＋pn ＋q ，∴d 2＝1，a 1－d2＝p ，q ＝0. ∴d ＝2，p ＝a 1－1，q ＝0. ∵a 2，a 3，a 5成等比数列， ∴a 23＝a 2a 5，即(a 1＋4)2＝(a 1＋2)(a 1＋8)，解得a 1＝0. ∴p ＝－1.(2)由(1)得a n ＝2n －2. ∵a n ＋log 2n ＝log 2b n ，∴b n ＝n ·2a n ＝n ·22n －2＝n ·4n －1.∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1＋b n ＝40＋2×41＋3×42＋…＋(n －1)·4n －2＋n ·4n －1，①4T n ＝41＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)·4n －1＋n ·4n，②①－②得－3T n ＝40＋41＋42＋…＋4n －1－n ·4n ＝1－4n 1－4－n ·4n＝（1－3n ）·4n－13.∴T n ＝19[(3n －1)·4n＋1]．6．(选做题)(2015·浙江杭州第一次质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n，其中n ∈N *.(1)设b n ＝22a n －1，求证：数列{b n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式；(2)设c n ＝4a n n ＋1，数列{c n c n ＋2}的前n 项和为T n ，是否存在正整数m ，使得T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a n －1－22a n －1＝4a n 2a n －1－22a n －1＝2(常数)， ∴数列{b n }是等差数列． ∵a 1＝1，∴b 1＝2，因此b n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，由b n ＝22a n －1，得a n ＝n ＋12n.(2)由c n ＝4a n n ＋1，a n ＝n ＋12n ，得c n ＝2n，∴c n c n ＋2＝4n （n ＋2）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<3，依题意要使T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立，只需1c m c m ＋1≥3，即m （m ＋1）4≥3，解得m ≥3或m ≤－4，又m 为正整数，所以m 的最小值为3.。
【优化方案】高考理数大一轮总复习练习：专题讲座四(含答案解析)
1.如图，ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，E 、F 分别是AD 、DD 1的中点，则平面EFC 1B 和平面BCC 1所成二面角的正切值等于( ) A ．22 B. 3 C. 5 D.7解析：选A.设正方体的棱长为2，建立以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，则E(1，0，0)，F(0，0，1)，EB →＝(1， 2，0)，EF →＝(－1，0，1)．易知平面BCC 1的一个法向量为CD →＝(0，－2，0)，设平面EFC 1B 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则m·EB →＝x ＋2y ＝0，m·EF →＝－x ＋z ＝0，令y ＝－1，则m ＝(2，－1，2)，故cos 〈m ，CD →〉＝m·CD →|m||CD →|＝23×2＝13，tan 〈m ，CD →〉＝2 2.故所求二面角的正切值为2 2.2．(2016·唐山统考)已知点A 、B 、C 、D 均在球O 上，AB ＝BC ＝3，AC ＝3，若三棱锥D-ABC 体积的最大值为334，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．16πC ．12πD.163π 解析：选B.由题意可得，∠ABC ＝2π3，△ABC 的外接圆半径r ＝3，当三棱锥的体积取最大值时，V D ABC ＝13S △ABC ·h(h 为点D 到底面ABC 的距离)⇒334＝13×334×h ⇒h ＝3，设R为球O 的半径，则(3－R)2＝R 2－r 2⇒R ＝2， 所以球O 的表面积为4π·22＝16π.3．已知多面体ABC-A 1B 1C 1的直观图和三视图如图所示，则平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值是________．解析：由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A 1(0，0，2)，B(－2，0，0)，C(0，－2，0)，C 1(－1，－1，2)，则CC 1→＝(－1，1，2)，A 1C 1→＝(－1，－1，0)，A 1C →＝(0，－2，－2)．设平面C 1A 1C 的法向量为m ＝(x ，y ，z)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧m·A 1C 1→＝0，m·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－2y －2z ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝1.故m ＝(1，－1， 1)，而平面A 1CA 的一个法向量为n ＝(1，0，0)，则cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝13＝33，故平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值为33.答案：334.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ∶BC ∶AB ＝2∶3∶4，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将四边形ADFE 沿直线EF 进行翻折，给出下列四个结论：①DF ⊥BC ；②BD ⊥FC ；③平面BDF ⊥平面BCF ；④平面DCF ⊥平面BCF ，则上述结论可能正确的是________． 解析：对于①，因为BC ∥AD ，AD 与DF 相交但不垂直，所以BC 与DF 不垂直，则①不成立；对于②，设点D 在平面BCF 上的射影为点P ，当BP ⊥CF 时就有BD ⊥FC ，而AD ∶BC ∶AB ＝2∶3∶4可使条件满足，所以②正确；对于③，当点D 在平面BCF 上的射影P 落在BF 上时，DP平面BDF ，从而平面BDF ⊥平面BCF ，所以③正确；对于④，因为点D 在平面BCF 上的射影不可能在FC 上，所以④不成立． 答案：②③ 5．(2016·九江统考)如图所示，在长方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB ＝λAD ＝λAA′(λ>0)，E ，F 分别是A′C′和AD 的中点，且EF ⊥平面A′BCD′. (1)求λ的值；(2)求二面角C A ′B E 的余弦值． 解：以D 为原点，DA ，DC ，DD ′所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设AA′＝AD ＝2，则AB ＝2λ，D(0，0，0)，A ′(2，0， 2)，D ′(0，0，2)，B(2，2λ，0)，C(0，2λ，0)，E(1，λ，2)，F(1，0，0)．(1)EF →＝(0，－λ，－2)，D ′A ′→＝(2，0，0)，A ′B →＝(0，2λ，－2)， 因为EF ⊥D′A′，EF ⊥A ′B ，所以EF →·D ′A ′→＝0，EF →·A ′B →＝0， 即－2λ2＋4＝0，所以λ＝ 2.(2)设平面EA′B 的一个法向量为m ＝(1，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m·A′B →＝0，m·A′E →＝0，因为A ′B →＝(0，22，－2)，A ′E →＝(－1，2，0)，所以⎩⎨⎧22y －2z ＝0，－1＋2y ＝0，所以y ＝22，z ＝1，所以m ＝⎝⎛⎭⎫1，22，1. 由已知得EF →为平面A′BC 的一个法向量，又EF →＝(0，－2，－2)，所以cos 〈m ，EF →〉＝m·EF →|m|·|EF →|＝－1－212＋⎝⎛⎭⎫222＋12×02＋（－2）2＋（－2）2＝－3102×6＝－155.又二面角CA′BE 为锐二面角， 所以二面角CA′BE 的余弦值为155. 6．(2015·高考江苏卷)如图，在四棱锥P-ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2， PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长．解：以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则各点的坐标为B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．(1)由题意知，AD ⊥平面PAB ，所以AD →是平面PAB 的一个法向量，AD →＝(0，2，0)． 因为PC →＝(1，1，－2)，PD →＝(0，2，－2)． 设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z)， 则m·PC →＝0，m·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1. 所以m ＝(1，1，1)是平面PCD 的一个法向量． 从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m|＝33，所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为33. (2)因为BP →＝(－1，0，2)，设BQ →＝λBP →＝(－λ，0，2λ)(0≤λ≤1)， 又CB →＝(0，－1，0)，则CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1，2λ)， 又DP →＝(0，－2，2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2 . 设1＋2λ＝t ，t ∈[1，3]， 则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝⎛⎭⎫1t －592＋209≤910.当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|的最大值为31010.因为y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数， 所以此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值． 又因为BP ＝12＋22＝5， 所以BQ ＝25BP ＝255.1．(2016·宣城一模)如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，O 为CD的中点，沿AO 将三角形AOD 折起，使DB ＝ 3.(1)求证：平面AOD ⊥平面ABCO ； (2)求直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值．解：(1)证明：在矩形ABCD 中， 因为AB ＝2AD ＝2，O 为CD 的中点， 所以△AOD ，△BOC 为等腰直角三角形， 所以∠AOB ＝90°，即OB ⊥OA.取AO 的中点H ，连接DH ，BH ，则OH ＝DH ＝12AO ＝22，在Rt △BOH 中，BH 2＝BO 2＋OH 2＝52，在△BHD 中，DH 2＋BH 2＝⎝⎛⎭⎫222＋52＝3， 又DB 2＝3，所以DH 2＋BH 2＝DB 2， 所以DH ⊥BH.又DH ⊥OA ，OA ∩BH ＝H ， 所以DH ⊥平面ABCO. 而DH平面AOD ，所以平面AOD ⊥平面ABCO.(2)分别以OA ，OB 所在直线为x 轴，y 轴，O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，2，0)，A(2，0，0)， D ⎝⎛⎭⎫22，0，22，C ⎝⎛⎭⎫－22，22，0. 所以AB →＝(－2，2，0)， AD →＝⎝⎛⎭⎫－22，0，22，BC →＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，0.设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n·AB →＝0，n·AD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，－22x ＋22z ＝0， 即x ＝y ，x ＝z ，令x ＝1， 则y ＝z ＝1，n ＝(1，1，1)．设α为直线BC 与平面ABD 所成的角， 则sin α＝|BC →·n||BC →|·|n|＝23＝63，即直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值为63.2.如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成的角为60°. (1)求证：AC ⊥平面BDE ； (2)求二面角F-BE-D 的余弦值；(3)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．解：(1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC. 因为四边形ABCD 是正方形， 所以AC ⊥BD ，又DE∩BD ＝D ， 所以AC ⊥平面BDE. (2)因为DE ⊥平面ABCD ，所以∠EBD 就是BE 与平面ABCD 所成的角， 即∠EBD ＝60°.所以EDBD＝ 3.由AD ＝3，得BD ＝32，DE ＝36，AF ＝ 6.如图，分别以DA ，DC ，DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A(3，0，0)，F(3，0，6)，E(0，0，36)， B(3，3，0)，C(0，3，0)． 所以BF →＝(0，－3，6)，EF →＝(3，0，－26)．设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n·BF →＝0，n·EF →＝0，即⎩⎨⎧－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0.令z ＝6，则n ＝(4，2，6)． 因为AC ⊥平面BDE ，所以CA →＝(3，－3，0)为平面BDE 的一个法向量． 因为cos 〈n ，CA →〉＝n·CA →|n||CA →|＝626×32＝1313.故二面角F-BE-D 的余弦值为1313. (3)依题意，设M(t ，t ，0)(t>0)， 则AM →＝(t －3，t ，0)， 因为AM ∥平面BEF ， 所以AM →·n ＝0，即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2. 所以点M 的坐标为(2，2，0)， 此时DM →＝23DB →，所以点M 是线段BD 上靠近B 点的三等分点．。
广东新高考数学理科一轮总复习课时练习5.6不等式选讲(含答案详析)
第6讲 不等式选讲1．不等式|x －2|>x －2的解集是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)2．设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |>2，x ∈R }．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D ．|a －b |≥33．不等式1≤|x －3|≤6的解集是( )A ．{x |－3≤x ≤2或4≤x ≤9}B ．{x |－3≤x ≤9}C ．{x |－1≤x ≤2}D ．{x |4≤x ≤9}4．若不等式|ax ＋2|<4的解集为(－1,3)，则实数a 等于( )A ．8B ．2C ．－4D ．－25．不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( )A ．[－5,7]B ．[－4,6]C ．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)6．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围________．7．(2011年天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ＝4t ＋1t －6，t ∈(0，＋∞)，则集合A ∩B ＝__________. 8．(2011年陕西)若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________________________________________________________________________．9．已知函数f (x )＝|x －7|－|x －3|.(1)作出函数f (x )的图象；(2)当x <5时，不等式|x －8|－|x －a |>2恒成立，求a 的取值范围．10．(2013年新课标Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．第6讲 不等式选讲1．A 2.D 3.A 4.D5．D 解析：方法一：当x ≤－3时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x －x －3＝2－2x ≥10，即x ≤－4，∴x ≤－4.当－3<x <5时，|x －5|＋|x ＋3|＝5－x ＋x ＋3＝8≥10，不成立，∴无解． 当x ≥5时，|x －5|＋|x ＋3|＝x －5＋x ＋3＝2x －2≥10，即x ≥6，∴x ≥6. 综上可知，不等式的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．故选D.方法二：可用特值检验法，首先x ＝0不是不等式的解，排除A 、B ；x ＝6是不等式的解，排除C.故选D.6．(5,7) 7.{x |－2≤x ≤5}8．(－∞，－3]∪[3，＋∞) 解析：当x ≤－1时，|x ＋1|＋|x －2|＝－x －1－x ＋2＝－2x ＋1≥3；当－1<x ≤2时，|x ＋1|＋|x －2|＝x ＋1－x ＋2＝3；当x >2时，|x ＋1|＋|x －2|＝x ＋1＋x －2＝2x －1>3；综上可得|x ＋1|＋|x －2|≥3，所以只要|a |≥3，解得a ≤－3或a ≥3.即实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．9．解：(1)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，(x ≤3)，10－2x ，(3<x <7)，－4(x ≥7)，图象如图D75所示．(2)∵x <5，∴|x －8|－|x －a |>2，即8－x －|x －a |>2，即|x －a |<6－x ，对x <5恒成立． 即x －6<x －a <6－x 对x <5恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <6，a >2x －6对x <5恒成立． 又∵x <5时，2x －6<4，∴4≤a <6.∴a 的取值范围为[4,6)．图D7510．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1.其图象如图D76所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．图D76 (2)当x ∈⎝⎛⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈⎝⎛⎭⎫－a 2，12都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，43.。
2021年高考数学一轮复习 专题讲座五 知能训练轻松闯关
2021年高考数学一轮复习专题讲座五知能训练轻松闯关1．(xx·郑州市质检)每年春季在郑州举行的“中国郑开国际马拉松赛”活动，已成为最有影响力的全民健康活动之一，每年的参与人数不断增多，然而也有部分人对该活动的实际效果提出了疑问．对此，某新闻媒体进行了网上调查，在所有参与调查的人中，持“支持”、“保留意见”和“不支持”态度的人数如下表所示：(1)个人，已知从持“支持”态度的人中抽取了45人，求n的值；(2)接受调查的人同时要对这项活动进行打分，其中6人打出的分数如下：9．2，9．6，8．7，9．3，9．0，8．2，把这6个人打出的分数看作一个总体，从中任取2个数，求这2个数与总体平均数之差的绝对值都不超过0．5的概率．解：(1)所有参与调查的人数为800＋100＋450＋150＋200＋300＝2 000，由分层抽样知：n＝45900×2 000＝100．(2)总体平均数x－＝9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.26＝9．0，从这6个数中任取2个的所有可能取法为：(9．2，9．6)、(9．2，8．7)、(9．2，9．3)、(9．2，9．0)、(9．2，8．2)、(9．6，8．7)、(9．6，9．3)、(9．6，9．0)、(9．6，8．2)、(8．7，9．3)、(8．7，9．0)、(8．7，8．2)、(9．3，9．0)、(9．3，8．2)、(9．0，8．2)，共计15种．由|x－9．0|≤0．5知，当所取的2个数都在[8．5，9．5]内时符合题意，即(9．2，8．7)、(9．2，9．3)、(9．2，9．0)、(8．7，9．3)、(8．7，9．0)、(9．3，9．0)符合，共计6种，所以所求概率P＝615＝25．2．(xx·东北四市联考) 在海岛A上有一座海拔1 km的山峰，山顶设有一个观察站P．有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11∶00时，测得此船在岛北偏东15°、俯角为30°的B处，到11∶10时，又测得该船在岛北偏西45°，俯角为60°的C处．(1)求船的航行速度；(2)求船从B到C的行驶过程中与观察站P的最短距离．解：(1)设船速为x km/h，则BC＝x6km．在Rt△PAB中，∠PBA与俯角相等为30°，∴AB＝1tan 30°＝3．同理，在Rt△PCA中，AC＝1tan 60°＝33．在△ACB 中，∠CAB ＝15°＋45°＝60°，∴由余弦定理得BC ＝（3）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332－2×3×33cos 60°＝213， ∴x ＝6×213＝221(km/h)， ∴船的航行速度为221 km/h ．(2)法一：作AD ⊥BC 于点D (图略)，∴当船行驶到点D 时，AD 最小，从而PD 最小．此时，AD ＝AB ·AC ·sin 60°BC ＝3×33×32213＝3147． ∴PD ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31472＝25914． ∴船在行驶过程中与观察站P 的最短距离为25914km ． 法二：由(1)知在△ACB 中，由正弦定理ACsin B ＝BC sin 60°，∴sin B ＝33×32213＝2114． 作AD ⊥BC 于点D (图略)，∴当船行驶到点D 时，AD 最小，从而PD 最小．∴PD ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫31472＝25914． ∴船在行驶过程中与观察站P 的最短距离为25914 km ． 3．(xx·福建福州模拟)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解：(1)设每件定价为t 元，依题意，有(8－t －251×0．2)t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40．∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋16(x2－600)＋15x有解，等价于x＞25时，a≥150x＋16x＋15有解，∵150x＋16x≥2150x·16x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10．2．∴当该商品明年的销售量a至少应达到10．2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．4．某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年投入各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f(n)表示前n年的纯收入(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)．(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时，以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂．问哪种方案较合算？解：由题意知，每年投入的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．则f(n)＝50n－[12n＋n（n－1）2×4]－72＝－2n2＋40n－72．(1)获取纯利润就是要求f(n)＞0，故由－2n2＋40n－72＞0，解得2＜n＜18．又n∈N*，故从第三年开始获利．(2)①平均利润为f（n）n＝40－2(n＋36n)≤16，当且仅当n＝6时取等号．故此方案获利6×16＋48＝144万美元，此时n＝6．②f(n)＝－2n2＋40n－72＝－2(n－10)2＋128，当n＝10时，f(n)max＝128．故此方案共获利128＋16＝144万美元．比较两种方案，在获利相同的前提下，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案较合算． a`24635 603B 总<J26336 66E0 曠29993 7529 甩22402 5782 垂{I{34373 8645 虅29824 7480 璀29377 72C1 狁。
2017《优化方案》高考理科数学(北师大版)一轮复习练习选修4-5不等式选讲第2讲知能训练轻松闯关Word版含答
1．如果x >0，比较(x －1)2与(x ＋1)2的大小．解：(x －1)2－(x ＋1)2＝[(x －1)＋(x ＋1)][(x －1)－(x ＋1)]＝－4x .因为x >0，所以x >0，所以－4x <0，所以(x －1)2<(x ＋1)2.2．设a >b >0，求证：a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 证明：法一：a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b＝a 3－b 3－ab 2＋a 2b －a 3＋b 3＋a 2b －ab 2（a 2＋b 2）（a ＋b ）＝2a 2b －2ab 2（a 2＋b 2）（a ＋b ）＝2ab （a －b ）（a 2＋b 2）（a ＋b ）， 因为a >b >0，所以a －b >0，ab >0，a 2＋b 2>0，a ＋b >0.所以a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b>0， 所以a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 法二：因为a >b >0，所以a ＋b >0，a －b >0.所以a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝a 2－b 2a 2＋b 2·a ＋b a －b＝（a ＋b ）2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. 所以a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 3．(2015·高考湖南卷)设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明： (1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab，a >0，b >0，得ab ＝1. (1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1；同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．4．已知a ，b ，c 均为正实数，且互不相等，且abc ＝1，求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c .证明：法一：因为a ，b ，c 均为正实数，且互不相等，且abc ＝1， 所以a ＋b ＋c ＝ 1bc ＋ 1ca ＋ 1ab <1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c. 所以a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c. 法二：因为1a ＋1b ≥21ab＝2c ； 1b ＋1c ≥21bc ＝2a ；1c ＋1a ≥21ac＝2b . 所以以上三式相加，得1a ＋1b ＋1c ≥a ＋b ＋c . 又因为a ，b ，c 互不相等，所以1a ＋1b ＋1c >a ＋b ＋c . 法三：因为a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1，所以1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab ＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc 2>abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .所以a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c. 5．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立． 故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3. 由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.6．(2016·贵州省六校第一次联考)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8； (2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明：(1)因为a ＋b ＝1，a >0，b >0， 所以1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b＝2⎝⎛⎭⎫a ＋b a ＋a ＋b b＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋4≥4 b a ×a b＋4＝8⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立， 所以1a ＋1b ＋1ab≥8. (2)因为⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab＋1， 由(1)知1a ＋1b ＋1ab≥8. 所以⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9.。
优化方案(新课标)高考数学一轮复习第五章第5讲知能训
【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习 第五章 第5讲 知能训练轻松闯关1．(2015·山西省四校联考)设等差数列{a n }和等比数列{b n }首项都是1，公差与公比都是2，则ab 1＋ab 2＋ab 3＋ab 4＋ab 5＝( )A ．54B ．56C ．58D ．57解析：选 D.由题意，a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，b n ＝1×2n －1＝2n －1，∴ab 1＋…＋ab 5＝a 1＋a 2＋a 4＋a 8＋a 16＝1＋3＋7＋15＋31＝57.2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为( )A ．{4，5}B ．{4，32}C ．{4，5，32}D ．{5，32}解析：选C.a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时，注意递推的条件是a n (而不是n )为偶数或奇数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32.3．(2014·高考辽宁卷)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0解析：选C.设b n ＝2a 1 a n ，则b n ＋1＝2a 1 a n+1 ，由于{2 a 1 a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2 a 1a n >2 a 1 a n+1 .∵y ＝2x是单调增函数，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，∴a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，∴a 1d <0.4．在数列{a n }中，若a 1＝－2，a n ＋1＝a n ＋n ·2n，则a n ＝( )A ．(n －2)·2nB ．1－12nC.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14nD.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n解析：选A.因为a n ＋1＝a n ＋n ·2n ，所以a n ＋1－a n ＝n ·2n，所以a n －a 1＝(a n －a n －1)＋(a n－1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＝(n －1)×2n －1＋(n －2)×2n －2＋…＋2×22＋1×21(n ≥2)． 设T n ＝(n －1)×2n －1＋(n －2)×2n －2＋…＋2×22＋1×21(n ≥2)，则2T n ＝(n －1)×2n＋(n －2)×2n －1＋(n －3)×2n －2＋…＋2×23＋1×22，两式相减得T n ＝(n －2)·2n＋2(n ≥2)，所以a n ＝(n －2)·2n ＋2＋a 1＝(n －2)·2n (n ≥2)．又n ＝1时，上式成立，所以选A.5．(2015·湖南澧县一中等三校联考)在等比数列{a n }中，0<a 1<a 4＝1，则能使不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≤0成立的最大正整数n 是( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等比数列，其公比为1q，因为0<a 1<a 4＝1，所以q >1且a 1＝1q3.又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≤0，所以a 1＋a 2＋…＋a n≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n，即a 1（1－q n ）1－q≤1a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1q n 1－1q，把a 1＝1q3代入，整理得q n ≤q 7，因为q >1，所以n ≤7，故选C.6．(2013·高考江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64，27＝128.则n ＋1≥7，即n ≥6.答案：6 7．在等比数列{a n }中，若a n >0，且a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则a 4＋a 5的最小值为________．解析：由等比数列性质得，a 1a 2…a 7a 8＝(a 4a 5)4＝16，又a n >0，∴a 4a 5＝2.再由基本不等式，得a 4＋a 5≥2a 4a 5＝2 2.∴a 4＋a 5的最小值为2 2.答案：2 28．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n ∈N *)是非零常数，则称数列{a n }为“和等比数列”．若数列{2b n}是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{b n }__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．解析：数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，所以2b n ＝2·4n －1＝22n －1，b n ＝2n －1.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n 2，T 2n ＝4n 2，所以T 2nT n＝4，因此数列{b n }是“和等比数列”．答案：是9．在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项公式a n . 解：(1)证明：∵b n ＝log 2a n ，∴b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1a n＝log 2q 为常数， ∴数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q .(2)设数列{b n }的公差为d ，∵b 1＋b 3＋b 5＝6，∴b 3＝2. ∵a 1>1，∴b 1＝log 2a 1>0. ∵b 1b 3b 5＝0，∴b 5＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1.∴S n ＝4n ＋n （n －1）2×(－1)＝9n －n22.∵⎩⎪⎨⎪⎧log 2q ＝－1，log 2a 1＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝16.∴a n ＝25－n (n ∈N *)．10．(2014·高考浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…·a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有S k ≥S n . 解：(1)由题意知a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6， 知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n （n ＋1）2＝(2)n (n ＋1)．故数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)， 所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)．②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）2n －1， 而n （n ＋1）2n －（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1>0， 得n （n ＋1）2n ≤5×（5＋1）25<1， 所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.。
优化方案(新课标)2016高考数学一轮复习 第六章 第5讲 .
②由题意知 ED∥BC，ED＝BC， 所以四边形 BCDE 为平行四边形，因此 BE∥CD. 又 AP⊥平面 PCD，所以 AP⊥CD，因此 AP⊥BE. 因为四边形 ABCE 为菱形，所以 BE⊥AC. 又 AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面 PAC，
所以 BE⊥平面 PAC.
[解] (1)①由已知得 2Sn＝a2n＋an，且 an>0，当 n＝1 时， 2a1＝a21＋a1，解得 a1＝1(a1＝0 舍去)； 当 n≥2 时，有 2Sn－1＝a2n－1＋an－1. 于是 2Sn－2Sn－1＝a2n－a2n－1＋an－an－1， 即 2an＝an2－an2－1＋an－an－1. 于是 an2－an2－1＝an＋an－1， 即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1. 因为 an＋an－1>0，所以 an－an－1＝1(n≥2)． 故数列{an}是首项为 1，公差为 1 的等差数列，
2．证题的三种思路 (1)分析法证题的一般思路： 分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发， 倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问 题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分 条件． (2)综合法证题的一般思路： 用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就 是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想 已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步 推出结论．
法二：由两直线平行可知 bcos B－acos A＝0， 由余弦定理，得 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， ∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)， ∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a＝b 或 a2＋b2＝c2. 若 a＝b，则两直线重合，不符合题意，
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1．(2016·长春质量检测)若F(c ，0)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点，过F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△OAB 的面积为12a 27，则该双曲线的离心率e ＝( ) A.53 B.43 C.54D.85解析：选C.设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为θ，则tan θ＝b a ，tan 2θ＝2aba 2－b 2，因此△OAB 的面积可以表示为12·a ·atan 2θ＝a 3b a 2－b 2＝12a 27，解得b a ＝34，则e ＝54.故选C.2．(2016·山西省考前质量检测)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点E 在C 的准线上，且在x 轴上方，线段EF 的垂直平分线与C 的准线交于点Q ⎝⎛⎭⎫－1，32，与C 交于点P ，则点P 的坐标为( ) A ．(1，2) B ．(2，22) C ．(3，23)D ．(4，4)解析：选D.由题意，得抛物线的准线方程为x ＝－1，F(1，0)． 设E(－1，y)，因为PQ 为EF 的垂直平分线， 所以|EQ|＝|FQ|， 即y －32＝（－1－1）2＋⎝⎛⎭⎫322，解得y ＝4， 所以k EF ＝4－0－1－1＝－2，k PQ ＝12，所以直线PQ 的方程为y －32＝12(x ＋1)，即x －2y ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即点P 的坐标为(4，4)，故选D.[来源:学科网]3．已知F 1、F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆的中心O 任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值为________．解析：易知当P ，Q 分别是椭圆的短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大．由于F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P(0，1)，所以PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)， 所以PF 1→·PF 2→＝－2. 答案：－24．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为2π3，离心率为e ，则a 2＋e 22b 的最小值为________．解析：由题意，ba ＝3，所以b ＝3a ，所以c ＝2a ，e ＝2，a 2＋e 22b ＝a 2＋423a ＝a 23＋23a ≥233(当且仅当a ＝2时取等号)， 则a 2＋e 22b 的最小值为233.答案：2335.(2016·山西省四校联考)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．A 、B 是椭圆C 的右顶点与上顶点，直线y ＝kx(k>0)与椭圆相交于E 、F 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)当四边形AEBF 面积取最大值时，求k 的值． 解：(1)由题意知：e ＝c a ＝32，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2.又圆x 2＋y 2＝b 2与直线x －y ＋2＝0相切， 所以b ＝1， 所以a 2＝4，故所求椭圆C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设E(x 1，kx 1)，F(x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，将y ＝kx 代入椭圆的方程x 2＋y 24＝1整理得：(k 2＋4)x 2＝4，[来源:Z_xx_]故x 2＝－x 1＝2k 2＋4，① 因为A(1，0)，B(0，2)，故由两点式得直线AB 的方程为：2x ＋y －2＝0， 设点E ，F 到直线AB 的距离分别为h 1，h 2，则 h 1＝|2x 1＋kx 1－2|5＝2（2＋k ＋k 2＋4）5（k 2＋4），h 2＝|2x 2＋kx 2－2|5＝2（2＋k －k 2＋4）5（k 2＋4），|AB|＝22＋1＝5， 所以四边形AEBF 的面积为S ＝12|AB|(h 1＋h 2)＝12×5×4（2＋k ）5（k 2＋4）＝2（2＋k ）k 2＋4＝24＋k 2＋4kk 2＋4＝21＋4k k 2＋4＝21＋4k ＋4k≤22，当k 2＝4(k>0)，即k ＝2时，上式取等号．所以当四边形AEBF 面积取最大值时，k ＝2.6.(2016·河南省八校联考)已知点P(2，3)，Q(2，－3)在椭圆x 216＋y 212＝1上，A 、B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点．(1)若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 的面积的最大值；(2)当A 、B 运动时，满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由． 解：(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝12x ＋t ，把其代入x 216＋y 212＝1，得x 2＋tx ＋t 2－12＝0， 由Δ＝t 2－4(t 2－12)>0，解得－4<t<4，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－t ，x 1x 2＝t 2－12.四边形APBQ 的面积S ＝12×6×|x 1－x 2|＝348－3t 2，所以当t ＝0时，S max ＝12 3.(2)当∠APQ ＝∠BPQ ，则直线PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ， 则PB 的斜率为－k ，直线PA 的方程为y －3＝k(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k （x －2），x 216＋y 212＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8(3－2k)kx ＋4(3－2k)2－48＝0，则x 1＋2＝8（2k －3）k3＋4k 2，同理直线PB 的方程为y －3＝－k(x －2)， 可得x 2＋2＝－8k （－2k －3）3＋4k 2＝8k （2k ＋3）3＋4k 2，所以x 1＋x 2＝16k 2－123＋4k 2，x 1－x 2＝－48k3＋4k 2， k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k （x 1－2）＋3＋k （x 2－2）－3x 1－x 2＝k （x 1＋x 2）－4k x 1－x 2＝12，所以直线AB 的斜率为定值12.1．(2016·洛阳统考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，一个焦点与抛物线y 2＝4x的焦点重合，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，k OA ·k OB ＝－b 2a 2，判断△AOB 的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．解：(1)由题意得c ＝1，又e ＝c a ＝12，所以a ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，由Δ＝(8mk)2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0得m 2<3＋4k 2.因为x 1＋x 2＝－8mk3＋4k 2，x 1x 2＝4（m 2－3）3＋4k 2，所以y 1y 2＝(kx 1＋m)·(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋mk(x 1＋x 2)＋m 2＝3（m 2－4k 2）3＋4k 2.由k OA ·k OB ＝－b 2a 2＝－34得y 1y 2＝－34x 1x 2，即3（m 2－4k 2）3＋4k 2＝－34·4（m 2－3）3＋4k2，化简得2m 2－4k 2＝3，满足Δ>0. 由弦长公式得|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·48（4k 2－m 2＋3）（3＋4k 2）2＝24（1＋k 2）3＋4k 2.又点O 到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m|1＋k 2， 所以S △AOB ＝12·d ·|AB|＝12 24（1＋k 2）3＋4k 2·|m|1＋k 2 ＝1224m 23＋4k 2＝ 3×2m 23＋4k 2＝ 3×（3＋4k 2）3＋4k 2＝ 3.故△AOB 的面积为定值 3.2．(2016·太原模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是点F 1、F 2，其离心率e ＝12，点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2面积的最大值为4 3. (1)求椭圆的方程；(2)若A 、B 、C 、D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，AC →·BD →＝0，求|AC →|＋|BD →|的取值范围．解：(1)由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，△PF 1F 2面积取最大值， 此时S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|OP|＝bc ，所以bc ＝43，[来源:学科网]因为e ＝12，所以b ＝23，a ＝4，所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由(1)得椭圆的方程为x 216＋y 212＝1，则F 1的坐标为(－2，0)，因为AC →·BD →＝0，所以AC ⊥BD ，①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得|AC →|＋|BD →|＝6＋8＝14，②当直线AC 的斜率k 存在且k≠0时，则其方程为y ＝k(x ＋2)，设A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 216＋y 212＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，所以|AC →|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝24（k 2＋1）3＋4k 2，此时直线BD 的方程为y ＝－1k(x ＋2)，同理，由⎩⎨⎧y ＝－1k （x ＋2），x 216＋y212＝1，可得|BD →|＝24（k 2＋1）3k 2＋4，所以|AC →|＋|BD →|＝24（k 2＋1）4k 2＋3＋24（k 2＋1）3k 2＋4＝168（k 2＋1）2（3k 2＋4）（4k 2＋3），[来源:学科网ZXXK]令t ＝k 2＋1(k≠0)，则t>1， 所以|AC →|＋|BD →|＝16812＋t －1t2， 因为t>1，所以0<t －1t 2≤14，所以|AC →|＋|BD →|∈⎣⎡⎭⎫967，14.[来源:学§科§网] 由①②可知，|AC →|＋|BD →|的取值范围是⎣⎡⎦⎤967，14.。