小学奥数进位制
四年级奥数进位制
一、数的进制1．十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”．在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制．比如二进制，八进制，十六进制等． 2．二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”．因此，二进制中只用两个数字0和1．二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20．二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一．注意：对于任意自然数n,我们有n 0=1． 3．k 进制：一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，．如二进位制的计数单位是02，12，22，，八进位制的计数单位是08，18，28，．4．k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=⨯+⨯++⨯+（）十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++；二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数 如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数． 5．k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的．二、进制间的转换：一般地，十进制整数化为k 进制数的方法是：除以k 取余数，一直除到被除数小于k 为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果． 如右图所示:知识框架进位制【例 1】 把9865转化成二进制、五进制、八进制，看看谁是最细心的．【巩固】 852567(((=== ） ） ）；【例 2】 将二进制数2(11010.11)化为十进制数为多少？【巩固】 同学们请将258(11010101),(4203),(7236)化为十进制数，看谁算的又快又准．例题精讲【例 3】 二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？【巩固】 将二进制数11101001．1011转换为十六进制数．【例 4】 ①222(101)(1011)(11011)⨯-=________；②2222(11000111(10101(11(-÷=））） ）；③88888(63121)(1247)(16034)(26531)(1744)----=________；【巩固】 ①在八进制中，1234456322--=________；②在九进制中，1443831237120117705766+--+=________．【例 5】 若(1030)140n =，则n =________．【巩固】 在几进制中有413100⨯=？【例 6】有个吝啬的老财主，总是不想付钱给长工．这一次，拖了一个月的工钱，还是不想付．可是不付又说不过去，便故作大方地拿出一条金链，共有7环．对长工说：“我不是要拖欠工资，只是想连这一个月加上再做半年的工资，都以这根金链来付．”他望向吃惊的长工，心中很是得意，“本人说话，从不食言，可以请大老爷作证．”大老爷可是说一不二的人，谁请他作证，他当作一种荣耀，总是分文不取，并会以命相拼也要兑现的．这越发让长工不敢相信，要知道，这在以往，这样的金链中的一环三个月的工钱也不止．老财主越发得意，终于拿出杀手锏：“不过，我请大老爷作证的时候，提到一项附加条件，就是这样的金链实在不能都把它断开，请你只能打开一环，以后按月来取才行！”当长工明白了老财主的要求后，不仅不为难，反倒爽快地答应了，而且，从第一个月到第七个月，顺利地拿到了这条金链，你知道怎么断开这条金链吗？【巩固】现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？【例 7】如果只许在天平的一边放砝码，要称量100g以内的各种整数克数，至少需要多少个砝码？【巩固】如果允许在天平的两边放砝码，要称量100g以内的各种整数克数，至少需要多少个砝码？【例 8】 有10箱钢珠，每个钢珠重10克，每箱600个．如果这10箱钢珠中有1箱次品，次品钢珠每个重9克，那么，要找出这箱次品最少要称几次?【巩固】 一些零件箱，每个零件10g ，每箱600个，共有10箱，结果发现，混进了几箱次品进去，每个次品零件9克，但从外观上看不出来，聪明的你能只称量一次就能把所有的次品零件的箱子都找出来吗？【例 9】 已知正整数N 的八进制表示为8(12345654321)N ，那么在十进制下，N 除以7的余数与N 除以9的余数之和是多少？【巩固】 在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余数为多少？【例 10】在美洲的一个小镇中，对于200以下的数字读法都是采取20进制的．如果十进制中的147在20进制中的读音是“seyth ha seyth ugens”，而十进制中的49在20进制中的读音是“naw ha dew ugens”，那么20进制中读音是“dew ha naw ugens”的数指的是十进制中的数____________．【巩固】一个自然数，在3进制中的数字和是2007，它在9进制中的数字和最小是，最大是．课堂检测【随练1】某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第1位数字是几? 【随练2】算式153********⨯=是几进制数的乘法？【随练3】茶叶店老板要求员工提高服务质量，开展“零等待”活动，当顾客要买茶叶的时候，看谁最快满足顾客的需要则为优秀．结果有一个员工总是第一名，而且顾客到他那儿不需要等待．原来他把茶叶先称出若干包来，放在柜台上，顾客告诉他重量，他就拿出相应重量的茶叶．别的伙计看在眼里，立即学习，可是柜台上却放不下许多包．奇怪的是，最佳员工的柜台上的茶叶包裹却不是很多．于是有员工去取经，发现最佳员工准备的茶叶数量是：1，2，4，8，16，32，64，128，256．你能解释一下其中的道理么?这些重量可以应付的顾客需要的最高重量是多少？【随练4】 古代英国的一位商人有一个15磅的砝码，由于跌落在地碎成4块，后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至15磅之间的任意整数磅的重物（砝码只能放在天平的一边）．那么这4块砝码碎片各重 ， ， ，【作业1】 计算4710(3021)(605)()+= ；【作业2】 在几进制中有12512516324⨯=？【作业3】 向电脑输入汉字，每个页面最多可输入1677个五号字．现在页面中有1个五号字，将它复制后粘贴到该页面，就得到2个字；再将这2个字复制后粘贴到该页面，就得到4个字．每次复制和粘贴为1次操作，要使整个页面都排满五号字，至少需要操作 次．家庭作业【作业4】 成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难．假设愚公家门口的大山有80万吨重，愚公有两个儿子，他的两个儿子又分别有两个儿子，依此类推．愚公和它的子孙每人一生能搬运100吨石头．如果愚公是第1代，那么到了第 代，这座大山可以搬完．（已知10个2连乘之积等于1024）【作业5】 10个砝码，每个砝码重量都是整数克，无论怎样放都不能使天平平衡，这堆砝码总重量最少为_________克．【作业6】 计算机存储容量的基本单位是字节，用B 表示，一般用KB 、MB 、GB 作为存储容量的单位，它们之间的关系是1012KB B =，1012MB KB =，1012GB MB =．小明新买了一个MP3播放器，存储容量为256MB ，它相当于_____B ．。
小学奥数精讲第四讲 进位制与位值原理
第4讲 进位制与位值原理（二）同步练习： 1. 计算：102(2014)()= 210(101110)()=【答案】见解析【解析】倒取余数法：102(2014)(11111011110)=位值原理法：210(101110)(46)=2. 八进制的1234567化成四进制后，前两位是多少? 【答案】11【解析】先八进制化为二进制：一位变三位：82(1234567)(1010011100101110111)=；再把二进制化为四进制：两位合一位：24(1010011100101110111)(1103211313)=.可见，前两位为11.3. 在几进制中有12512516324⨯=? 【答案】7【解析】注意101010(125)(125)(15625)⨯=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10<n ．再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)⨯=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．因为出现了6，所以n 只能是7．4. 已知100(1)3=+-÷bab b a ，则b =_____. 【答案】7【解析】10110=+bab b a ;100(1)1001003+=+-÷b b a .得313300+=a b .（a ,b ）= (9,7)，b =7.5. 将6个灯泡排成一行，用○和●表示灯亮和灯不亮，下图是这一行灯的五种情况，分别表示五个数字：1，2，3，4，5．那么●○○●○●表示的数是______．【答案】26【解析】从图中数字1、2、4的表示可知：自右向左第一个灯亮表示1，第二个灯亮表示2，第三个灯亮表示4，第四个灯亮表示8，第五个灯亮表示16，第六个灯亮表示32．因此问题当中的表示168226++=54321●○○○●○○●○○●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●6. 在宇宙中有一个使用三进制的星球．小招移居到这个星球后更换身份证，要把年龄从十进制数变为三进制数表示．小招发现，只要在原来十进制年龄末尾添个“0”，就是三进制下的年龄．请问小招多少岁? 【答案】21岁【解析】①设小招为a 岁，得(10)(3)0=a a ，又10(3)(10)03033=⨯+⨯=a a a ，解得0=a ，不合题意，所以小招的年龄不可能是一位数．②设小招是ab 岁，由题意得：(10)(3)0=ab ab ．因为(10)10=+ab a b ，(3)0930193=⨯+⨯+⨯=+ab a b a b ，所以1093+=+a b a b ，即2=a b ． 又因为0ab 是三进制数，a ，b 都小于3，所以2=a ，1=b ．所以，小招为21岁． ③设小招为abc 岁，由题意有，(10)(3)0=abc abc ，因为(10)10010=++abc a b c ， 32(3)03332793=⨯+⨯+⨯=++abc a b c a b c ，所以100102793++=++a b c a b c ．即732+=a b c ．又a 、b 、c 都小于3，所以上述等式不成立． 综上可知小招的年龄是21岁．7. abcd ，abc ，ab ，a 依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且满足abcd -abc -ab -a = 1787，则这四位数=______或______. 【答案】2009或2010【解析】原式可表示成：8898991787+++=a b c d ，则知a 只能取：1或2，当1=a 时，b 无法取，故此值舍去.当2=a 时，0=b ，0=c 或1，d 相应的取9或0.所以这个四位数是：2009或2010.8. 十进制计算中,逢10必须进位,有保密员之间采用r 进位制方式计算,在他们的运算中: 10(166)(133)(24)-=r r ，则r =______.【答案】7【解析】(166)(133)(33)33247-==⨯+=⇒=r r r r r .9. 一个三位数A 的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是数A ，这个三位数A 是_____. 【答案】495【解析】设这个最大三位数为abc ，那么最小三位数为cba ，于是99()=-=-A abc cba a c ，三位数A 是99的倍数，所有可能值如下：198、297、396、495、594、693、792、891.代入题中检验，得A =495.10. 记号(75)k 表示k 进制的数，如果(70)k 在m 进制中表示为(56)m ,又m 、k 均小于等于10，求k 和m 的值.【答案】8,10==k m【解析】由于()()107077=⨯=k k k ,()()10565656=⨯+=+m m m ;所以567+=m k ,求得8,10==k m .深化练习11. 正整数3、5、6、15可以分别表示为121⨯+，2121⨯+，21212⨯+⨯，321212121⨯+⨯+⨯+，他们的上述表示(又称之为二进制)中1的个数分别是2，2，2，4，都是偶数，像3、5、6、15…这样的数，称为魔数，前10个魔数(从小到大)的和是______. 【答案】115【解析】魔数从小到大排列：11，101，110，1001，1010，1100，1111，10001，10010，10100，……，前10个有5个1在末位，5个1在倒数第二位，5个1在倒数第三位，4个1在倒数第4位，3个1在倒数第5位，和为2345152524232115⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＝.12. 四位数1234可通过下面的变换变成1541：现在有一个四位数，通过以上方法变换成3779，那么原来的这个四位数是______. 【答案】3271【解析】设原来这个四位数是，则有37++=a b ，79++=c d ，即11237+=a b ，11279+=c d ，解得3,2,7,1====a b c d ，所以原来这个四位数是3271.13. 一个人今年的年龄恰好等于他出生年的数字和，那么这个人今年的年龄是______. 【答案】5或23【解析】(1)设这个人的出生年为19ab ，根据题意19201719+++=-a b ab102017190010++=---a b a b化简得：112107+=a b .所以111072=-a b 因为9≤b ，所以111071889≥-=a .从而9≥a 推出9=a ，4=b .这个人的年龄为2017199423-=（岁）.(2)设这个人的出生年月为20ab ，根据题意 20201720+++=-a b ab ， 11215+=a b12==，a b .这个人的年龄为201720125-=（岁）.14. 四位数及其逆序数的和是35的倍数，求满足条件的四位数一共有多少个？ 【答案】238【解析】()()1001110+=+++abcd dcba a d b c ，可以知道+a d 是5的倍数，+b c 是7的倍数，其中a ，d 不为0，有5/10/15+=a d ，0/7/14+=b c ，(),a d 一共有17组，(),b c 一共有14组，那么一共有1714238⨯=.12+1+21541123415.a、b、c是0~9中不同的数字，用a、b、c共可组成六个数，如果其中五个数之和不小于2009，也不大于2012，那么另一个数是______.【答案】208【解析】这六个数的总和为222（a＋b＋c）.若a＋b＋c=10，那么六个数总和为2220，所求的数不小于208，不大于211，只有208满足条件；若a＋b＋c=11，那么六个数总和为2442，所求的数不小于430，不大于433，都不符合条件；若a＋b＋c=12，那么六个数总和为2664，所求的数不小于652，不大于655，都不符合条件；若a＋b＋c=13，那么六个数总和为2886，所求的数不小于874，不大于877，都不符合条件；若a＋b＋c≥14，那么六个数总和不小于3108，那么另一个数超过1000，不符合题意.综上可得，另一个数必是208.。
小五奥数-十进制和二进制
1、进位制的基本原理（1）十进位制我们通过对常用的“十进位制”的进一步认识。
推广到其他非十进位制，概括出进位制原理。
十进位制记数法，只用十个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9.它是“位值制”记数法（即同一个数码，在不同的位置上表示不同的数值），如246的百位上的数码2表示200，十位上的数码4表示40，个位上的数码6表示6，即246=200＋40＋6=2210+4106⨯⨯+一般来说，任何一个十进位制数，都可以用各位数码（共十个不同数码）与10的方幂的乘积的和来表示，其中幂指数比相应数码所在的位数（从右往左数）少1.如 10543210356842=300000500006000800402310+510+610+810+410+210+++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯说明 : ①十进位数 10356842 的下标（10），是为了和其他进位制区别开，一般下标“（10）”省略，即10356842 =356842② 10356842 是“位值制”，一般第二步可以省略不写，可按法则直接写成与10的方幂的乘积的和的形式。
③十进位制数，要“满十进一”。
（2）二进位制类比十进位制数来认识二进位制数，注意相同点和不同点。
二进位制记数法：只用两个数码，即“0”和“1”。
二进位制数也是“位值制”记数法，低位向高位进位要“满二进一”。
如 1+1=10,10+1=11，11+1=100,100+1=101,101+1=110,110+1=111,111+1=1000等等十进位制数和二进位制数对照表如下：十进位制数1，2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， …… 二进位制数1，10，11，100，101，110，111，1000， ……二进位制数也可以表示成：以2为底的方幂的乘积的和的形式，例如：020220210=1x2=211=1x2+1x2=2+1=3100=12+02+02=2=4101=12+02+12=2+1=5⨯⨯⨯⨯⨯⨯（2）（2）（2）（2），，，一般来说，任何一个二进位制数，就是各位数码与2的方幂的乘积的和，其中幂指数等于相应数码所在位数（从右往左数）减1.说明 因为“1”乘任何数仍得那个数，其因数1可以省略不写，又因为“0”乘任何数仍得“0”，零项也可以省略不写。
五年级奥数第五讲-进位制
1.了解二进制、八进制、十进制； 2.掌握十进制、二进制和八进制互化； 3.练习进制位数的加减乘除。
一、什么是进位制？
进位制是用有限的数字，通过放在不同位置的方式来表示不同的数值 的一种记数方式。 比如01，10，100，1000…这些都是不同数值，但是可以用0和1两个 数字表示出来，用的就是十进制的方法，满十进一。（即：位数上积 累满10个这个单位的数就可以向上一位进“1”） 除了十进制，我们根据实际需要还有采用二进制、八进制、十二进制 和十八进制等等进制方法来记数。 60进制：60秒等于1分钟 360进制：360度等于一周
练习：把下列十进制数化成二进制数 1、27 2、121 3、2002 4、0.25 5、0.78125
2.二进制数化成十进制数 按照位权展开：
练习：把下. （2002）2
四、二进制数的加减乘除
1.加法 列竖式计算，每个数位对齐相加，从个位数开始，满2就向 高位进1位。
三、十进制和二进制的互化
1.十进制数化成二进制数
（1）整数：除以2取余数
具体：把十进制数13化成二进制数，用2连续去除，然后将每次所得的余 数，按自下而上的顺序写出来。
（13）10=（1101）2
（2）小数：乘以2取整数 具体：把小数十进制数0.3125化成二进制数，要连续乘以2，直到最终结 果为整数，取其整数放在小数部分，自上而下写下来。
二、进制数的表示方法
用不同进位制的数的写法是不同的。 可以用“括号+下标”来表示。比如10可以写成：
那10的十二进制怎么写？
1.二进制使用的数字只有0和1，进位规则是“逢二进一”，也就是 说每个数位上积累了2个单位的数就向上进一个单位。 十进制数对应的二进制数： 1，2，3，4，5，6…， 1，10，11，100，101，110，111…。
小学六年级奥数 第十三章 进位制
第十三章进位制知识要点在日常生活中，我们通常使用十进制，在我们熟知的十进制中，常有O，1，2，…，9共十个数字，相加时满十就要进一。
类似地，在二进制中有“满二进一”，在八进制中有“满八进一”等等。
进位制的选择和使用有一定的客观标准，哪种进位制更能方便地反映某类客观事物的数量关系，人们就会采用哪种进位制。
例如：1小时等于60分钟是六十进制，一年等于十二个月是十二进制等等。
一般地，设K为大于1的自然数时，K进位制的特点是：1.“满K进一”，即相邻两个单位的进率为K，把K叫做K进位制的基数。
2.K进位制有K个不同的记数符号。
如五进制用0，1，2，3，4五个记数符号。
一个K进位制的数就是各位数字与K的幂的乘积的和，其中幂指数等于相应的数字所在的位数(从右往左数)少1。
3.十进制和二进制的转化。
十进制和二进制的对应关系：十进制1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…二进制1，10， 11 ，100 ，101， 110， 111 ，1000 ，1001，1010，…把一个十进制数化为二进制数，只要用2连续去除，然后将每次所得的余数，按自下而上的顺序写出来。
例如，把(13)10化成二进制：把一个二进制数化为十进制数，只要把二进制数写成以2为底的幂的和的形式，再具体算出来。
例如：(1101)2＝(1×23＋1×22＋0×21＋1×20)10＝(8＋4＋1)10＝(13)10学习进位制知识，就要善于把进位制知识灵活地运用，把问题转化到最合适的进位制中解决问题。
例如计算机就是采用二进制，充分发挥了其运行速度快的特点。
例1 把十进制数(3568)10写成数码与计算单位乘积的和的形式。
点拨一个十进制整数的位数从右边第一位数起依次为个、十、百、千、万…”.计数单位是1，10，100，1000，10000，…，用乘方的形式来写，计数单位依次为1(100)，101，102，103，104…。
(小学奥数)进制的应用
1. 瞭解進制；2. 會對進制進行相應的轉換；3. 能夠運用進制進行解題一、數的進制1.十進位：我們常用的進制為十進位，特點是“逢十進一”。
在實際生活中，除了十進位計數法外，還有其他的大於1的自然數進位制。
比如二進位，八進制，十六進制等。
2.二進位：在電腦中，所採用的計數法是二進位，即“逢二進一”。
因此，二進位中只用兩個數字0和1。
二進位的計數單位分別是1、21、22、23、……，二進位數也可以寫做展開式的形式，例如100110在二進位中表示為：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二進位的運算法則：“滿二進一”、“借一當二”，乘法口訣是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：對於任意自然數n ,我們有n 0=1。
3.k 進制：一般地，對於k 進位制，每個數是由0，1，2，，1k -（）共k 個數碼組成，且“逢k 進一”．1k k >（）進位制計數單位是0k ，1k ，2k，．如二進位制的計數單位是02，12，22，，八進位制的計數單位是08，18，28，．知識點撥教學目標5-8-2.進制的應用4.k 進位制數可以寫成不同計數單位的數之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a k a k a ---=⨯+⨯++⨯+（）十進位表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++；二進位表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++；為了區別各進位制中的數，在給出數的右下方寫上k ，表示是k 進位制的數 如：8352（），21010（），123145（）,分別表示八進位制，二進位制，十二進位制中的數．5.k 進制的四則混合運算和十進位一樣先乘除，後加減；同級運算，先左後右；有括弧時先計算括弧內的。
二、進制間的轉換：一般地，十進位整數化為k 進制數的方法是：除以k 取餘數，一直除到被除數小於k 為止，餘數由下到上按從左到右順序排列即為k 進制數．反過來，k 進制數化為十進位數的一般方法是：首先將k 進制數按k 的次冪形式展開，然後按十進位數相加即可得結果．如右圖所示:模組一、進制在生活中的運用【例 1】 有個吝嗇的老財主，總是不想付錢給長工。
高斯小学奥数六年级上册含答案第05讲 进位制问题
第五讲进位制问题有这样一个笑话：请问“11+”在什么样的情况下等于10，答：“在算错的情况下等于10！”．笑话毕竟是笑话，现实生活中一般也不会出现把11+算错的情况．不过学习完今天的知识，同学们就知道，不用算错，11+也是可以等于10！说起来很奇怪，但在二进制中就是这样的．说到这里，同学们可能会有疑问，什么是二进制呢？那还得从进位制说起．一、什么是进位制所谓“进位制”就是指进位的法则．在我们已经学过的加法运算中就有一条进位法则——逢十进一．由于它规定逢十．进一，所以这一进位法则又称“十进制”．生活中最常用的就是十进制，例如10分钱就是1角，10角钱就是1元；10毫米等于1厘米，10厘米等于1分米，10分米等于1米．当然，生活中也并不总是“逢十进一”，比如时间就是60进制的：60秒等于1分钟，60分钟等于1小时．再比如西方国家常用的单位“打”，所谓一“打”就是指12个，这就是一种12进制．我国古代重量单位“斤”和“两”就是16进制的，常说的“半斤八两”就是指半斤和八两相当，所以一斤就是16两……像这样的例子有很多，大家不妨自己想想，还有没有别的进位制的例子．二、怎么表示进位制这么多进位制，究竟怎么通过写法把它们区分开来呢？一般的，如没有特殊说明，．．．．．．．．．．．．都．默认为．．．10．．进制．．．如果要表示其他进制，就必须采用括号加脚标的形式．例如5进制中的1234，我们就写成()51234，2进制的101就写成()2101．在n 进制中，恰好会用到n 种数字：从0一直到1n -．这里请大家注意以下两点：（1）n 进制中，不可能出现数字n 以及比n 更大的数：如5进制中不可能出现数字5、6、7、8、9等；反过来，如果一个数中出现了数字5或大于5的数字，这个数就一定不会是5进制数，如125，733都不可能是5进制数；（2）n 进制中，出现的数字可能会超出0到9这十种数字，比如16进制，必须逢16才能进1，所以从0开始数到9之后不能进位，必须仍然用一个字符来表示．数学上约定在16进制种，用字母A 、B 、C 、D 、E 、F 来表示等于10进制中的10、11、12、13、14、15．在n 进制种，n 也称为该进位制的“基”．三、n 进位制化十进制十进制：3221012101100101=⨯+⨯+⨯+； 三进制：()321321012313031=⨯+⨯+⨯+； 四进制：()321421012414041=⨯+⨯+⨯+； 五进制：()321521012515051=⨯+⨯+⨯+； ……例1． （1）5812162013====（_______）（_______）（_______）（_______）（2）()1052012=（_______） （3） ()10122012=（_______）「分析」把10进制的数转化为其他进制，一般采用的是短除求余法，就是把10进制数不断的除以进制数，保留余数，直到余数为0为止，然后将余数倒序写出即可；其它进制转化成10进制，可以用位值原理展开求解．练习1、()101232A =（_______） ()1016ADD =（_______） ()1252012=（_______）()1282012=（_______）例2．（1）把三进制数12120120110110121121改写为九进制，它从左向右数第1位数字是多少？（2）()482111011001==（_______）（_______）．「分析」三进制数化为九进制数除了用前面说过的以十进制为桥梁进行转化，是否有更简单巧妙的办法呢？练习2、()93120011221=（_______）例3． ()()77754536245+=（_______）「分析」这是一个七进制下的加法，记住严格遵循“逢七进一”的原则，你一定能得出正确答案．练习3、例4．在6进制中有三位数abc ，化为9进制为cba ，这个三位数在十进制中是多少？ 「分析」怎样把题目中的两个数统一在一个进位制下，是十进制还是二进制？你是否能根据位置原理列出不同进制下的三位数展开形式呢？练习4、在7进制中有三位数，化为9进制为，这个三位数在十进制中是多少？例5．一个天平，物品必须放在左盘，砝码必须放在右盘，那么为了能称出1克到1000克，至少需要多少个砝码？「分析」从最小的重量1、2、3……克开始推理，注意已有砝码是可以累加在一起的．例6．一本书共有2013页，第一天看一页书，从第二天起，每天看的页数都是以前各天的总和．如果直到最后剩下的不足以看一次时就一次看完，共需多少天？「分析」根据题目要求逐一列出每天所看的页码数，不断总结计算纸质得出最后答案．cba abc ()()555123123⨯=（_______）作业1. 进制互化：（1）； （2）； （3）=； （4）=；（5）； （6）．2. （1）；（2）．3. 一个十进制三位数，其中的a 、b 、c 均代表某个数码，它的二进制表达式是一个七位数，这个十进制的三位数是多少？4. 一个自然数用三进制和四进制表示都为三位数，并且它的各位数字的排列顺序恰好相反，这个自然数用十进制表示是多少？5. a 、b 是自然数，a 进制数47和b 进制数74相等，a 与b 的和的最小值是多少？()21abcabc ()10abc()()()55521322⨯= ()4 ()()44202323+= ()()916157= ()()4911202= ()5 ()101248 ()16 ()103120 ()()10161CA = ()10 ()411202=第三讲 递推计数例题 例1． 答案：927详解：将作文数量与完成作文的方法数列成一张表格，如下所示：下面解释一下这张数表是如何累加得到的．写1、2、3篇作文的方法数可以枚举得到．写4篇作文的完成方法数可以分三类去数：如果第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下3篇有4种完成方法；如果第一天写2篇，同样参考数表可得，剩下2篇有2种完成方法；如果第一天写3篇，那么剩下1篇还有1种完成方法——因此4篇作文的完成方法总数为1247++=，如上表箭头所示．接着分析5篇作文的完成方法数，仍然分三类：第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下4篇还有7种完成方法；第一天写2篇，那么剩下3篇还有4种完成方法；第一天写3篇，那么剩下2篇还有2种完成方法——因此5篇作文的完成方法数等于24713++=……以此类推便可填满整张表格．例2． 答案：28详解：我们同样可以列出一个递推数列，将其表示如下：下面详细说明该问题的递推规律．覆盖1×3、2×3和3×3方格表的方法数可以枚举得到．接着分析覆盖4×3的表格有几种覆盖方法．如下图所示，左上角的阴影方格在覆盖的时候有两种方法：竖着覆盖或横着覆盖．当竖着覆盖时，余下部分恰好是一个3×3的方格表，覆盖方法数为2；当横着覆盖时，其下方的方格只能被横放的纸片盖住，因此只剩下一个1×3的方格表需要覆盖，方法数为1．由此可得4×3表格的方法数为2+1=3．用同样的方法分析5×3的方格表，可得其覆盖方法数等于43⨯的方法数加上23⨯的方法数，因此等于314+=．接着以此类推即可． 例3． 答案：5051余下部分是33⨯的方格表，覆盖方法有2种．阴影方格下方的格子只能用横放的纸片盖住，因此只剩下13⨯的方格表需要覆盖详解：我们同样可以列出一个递推数列，将其写为如下的一张数表：下面详细说明该递推过程．平面上有1、2、3条直线的情形画图即可解决，我们从第4条直线开始分析．如右图所示，当画上第4条直线时，会把原有的区域一分为二（如编号为I 、II 、III 、IV 的4个区域），因此会增加4个新区域．而之所以能产生4个新区域，就是由于第4条直线会与原有的3条直线产生3个交点，而这3个交点会把第4条直线分为4部分，每一部分都会位于一个原有的区域中，因此每一部分都就会把原有的某个区域一分为二，因此直线被分为几部分，区域数量自然也就增加几部分．上述逻辑关系在下方右侧有明确的表示．由此可得，增加到第n 条直线就会增加n 个新区域，因此答案是()22341005051+++++=．例4． 答案：1641详解：本题的方法称为“传球法”．传球法在很多问题中有着广泛的应用．如右侧表格所示，除了第“0”行外，其余每一行的数量都是由上一行的数量通过某种规则累加得到的．比如第“1”行A 下方的0，就是通过第“0”行B 、C 、D 的数量相加得到的；第“3”行B 下方的7，就是通过第“2”行A 、C 、D 的数量相加得到的；第“4”行C 下方的20，就是通过第“5”行A 、B 、D 的数量相加得到的；第“6”行D 下方的182，就是通过第“5”行A 、B 、C 的数量相加得到的．之所以有这样的累加规则，就是因为A 想拿球，必须由B 、C 、D 传球给他，所以他下方的数也必须由B 、C 、D 累加给他我们不停地将数表向下累加，每传一次球就多累加一行，最后得到第“8”行．这一行的四个数分别为1641、1640、1640和1640．他们分别表示8次传球后，由A 、B 、C 、D目要求最后球回到A 手中，因此答案为1641种．第4条III IIIIV增加第n 条直线产生1n -个交点第n 条直线被分成n 部分直线的每一部分都分出一个新区域增加n 个新区域2+3+5+100+4+…例5． 答案：1224详解：我们把这个七位数看作是1、2、3三个人之间传6次球的一个传球顺序，具体的传球规则是：1能传球给2、3，但不能给自己；2、3都能传球给1、2、3．依据“传球规则决定累加规则”，我们可以列出如右表所示的一张递推表格．表格的第“0”行是发球行，对应的是这个七位数的首位数字．由于1、2、3都能作首位，因此第“0”行写的都是1．接着按照传球规则累加即可．表格中第“6”行（最后一行）中的三个数分别表示第六次传球后，球在1、2、3手中的方法数，对于七位数而言，就是表示分别以1、2、3结尾的符合题意的七位数有多少个．所以最后答案应该把它们全加起来，等于328+448+448=1224．例6． 答案：42详解：我们依照连续偶数的次序进行递推累加．（1）圆周上有2个点，只有1种连法．（2）圆周上有4个点，只有2种连法．（3）圆周上有6个点A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6（如下左图），那么与A 1相连的点只能是A 2、A 4或A 6．依次分三类情况讨论：第一，A 1连A 2，剩下4个点连法数为2；第二，A 1连A 4，剩下4个点连法数为1；第三，A 1连A 4，剩下4个点连法数也为2．由此可得，6个点共有5种不同的连法．（4）如果圆周上有8个点A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6、A 7、A 8（如下右图），那么与A 1相连的点有四种可能，分别是A 2、A 4、A 6或A 8．以此分四类讨论，共14种方法．（5）如果圆周上有10个点，同样考虑能与A 1相连的点，分五类讨论，如下图所示．共42种方法．A还剩4个点，2种方法．1种方法．还剩4个点， 2种方法．剩余42+个点，方法数为21⨯．42+个点，方法数为21⨯．还剩6个点，共5种方法．评析：本题虽然不像之前那样，只遵循一个简单的累加规则，但也仍然是一个由小求大的递推过程：在求解6个点的方法数时，会用到2个、4个点的方法数；在求解8个点的方法数时，也会用到2个、4个、6个点的方法数；而在求解10个点的方法数时，则会用到2个、4个、6个、8个点的方法数……由此可见“由小求大”应该说是递推法真正的内涵．我们再处理问题时，要有能力将数目较大的情形通过变形，化归为数目较小的情形来解决．另外，请大家观察右图．从A 处出发，每次只能向右或向上走一步，那么从A 到B 、C 、D 、E 、F 的最短路径分别有多少？大家不妨用标数法（参考四年级上册第16讲《加法原理与乘法原理》）自己做一做，在把相应的结果与本题的结果对照一下，你能发现其中的奥妙吗？3 4A 6A 3 4A 6A 3 4A 6A 3 4A 6A 3 4A 6A 剩余8个点 共14种方法 剩余26+个点 共15⨯种方法剩余44+个点 共22⨯种方法剩余26+个点 共15⨯种方法剩余8个点 共14种方法ABCDEF练习1、 答案：12简答：仿照例题1进行分类讨论，列出如下数表进行累加即可，注意累加规则．练习2、答案：21简答：仿照例题2，找到左上角的方格，按照该方格是横着覆盖还是竖着覆盖分两类讨论即可得递推规则．练习3、 答案：1276简答：本题与直线分平面的问题本质相同，因此与例题3类似进行递推即可．如下表所示练习4、 答案：434后的拿球人不是发球人这一点要注意！2+3+5+50+4+1. 答案：89 简答：简答：简答：略．4. 答案：3277简答：如右表所示，用传球法列表解决．传球规则是：0不能发球，其它都可以发球；传球不能传给自己，只能传给别人；总共传球传6次． 5. 答案：29简答：如下方左图所示，和例题2类似，找到某个方格，依据这个方格是横着覆盖还是竖着覆盖分两种情况讨论．就是的覆盖方法，利用练习2的分析方法和相关结论，可得答案为21．情况二，竖着覆盖：在这类情况下，有另外四个格子的覆盖方法唯一确定，如下方右图中的虚线所示，剩下需要覆盖的是一个的方格表，其方法数量也可参考练习2的分析方法和相关结论来取得，答案为8．上述两种情况相加，可得答案为．21829+= 52⨯ 72⨯。
五年级奥数第50讲 进位制与位值原理-
【例5】 (★★★★) 在6进制中有三位数 abc ，化为9进制为 cba，求 这个三位数在十进制中为多少？
1
二、位值原理
【例6】 (★★★) 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新 的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原 数大8802 。求原来的四位数。
例3答案：① (11100)2 ② (11000000）2 ③ (500)10 例4答案：248
④ (13121)8
例5答案：22
）2
一、进位制 2．咱要了解的进位制： ⑴本质：n进制就是逢n进一 ⑵n进制下的数字最大为(n－1) 特别的：超过9的一般用大写英文字母表示 3．会变身的进位制：n进制和十进制的相互转化
【例3】 (★★★) ① (101)2(1011)2 (11011)2 ( ）2 ② (11000111）2 (10101）2 (11）2 ( ）2 ③ (3021)4 (605)7 ( )10 ④ (63121)8 (1247)8 (16034)8 (26531)8 (1744)8 ( )2
进位制与位值原理
一、进位制 1．缤纷多彩的进位制：
六十 进制 二十 进制
二进 制 … … 十六 进制
五进 制 十二 进制
【例1】 (★★★) 把下列各数转化成十进制数： ⑴ (463)8；⑵ (2BA)12；⑶ (5FC)16。
【例2】 (★★★) ⑴把85化成二进制数。 ⑵ (567)10 ( ）8 ( ）5 (
【例7】 (★★★) 有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数， 如果这6个三位数的和是1554 ，那么这3个数字分 别是＿。
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进位制
例1 把十进制数(3568)10写成数码与计算单位乘积的和的形式。
解(3568)10＝3×103＋5×102＋6×101＋8×100
例2 把二进制的数(101011)2写成数码与计数单位乘积的和的形式。
解(101011)2＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝25＋23＋2＋1
例3 把(37)10改写成二进制数。
点拨把一个十进制数改写成二进制数，可以采用“方幂法”，即将这个十进制数写成若干个2的次幂形式，再根据例2写出这个二进制数；也可以用2连续除十进制数，然后将每次所得的余数按自下而上的顺序依次写出来，这种办法通常叫“二除取余法”，即用2除十进制数自下而上依次取余数。
解法一 (37)10＝32＋4＋1＝1×25＋0×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×20＝(100101)2解法二 (37)10＝(100101)2
例4 把二进制数(110011)2改写成十进位制数。
(110011)2＝1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20
＝25＋24＋21＋1 ＝32＋16＋2＋1＝(51)10
例5 把(394)10写成八进制数。
点拨把十进制数改写成八进制数和十进制数改写成二进制数的方法类似，可以采用“方幂法”和“八除取余法”。
解法一 (394)10＝6×82＋1×81＋2×80＝(612)8
解法二
(394)10＝(612)8
例6 把(354)6改写成十进制数。
(354)6＝3×62＋5×61＋4×60＝108＋30＋4＝(142)10
例7 把三进制数201012化为八进制的数。
点拨要想把三进制数化为八进制的数，首先将三进制的数化为十进制的数，再将此十进制的数化为八进制的数。
(201012)3＝2×35＋0×34＋1×33＋0×32＋1×31＋2×30＝486＋27＋3＋2＝(518)10
(518)10＝1×83＋0×82＋0×81＋6×80＝(1006)8
例8 在什么进位制里，十进位制数71记为47
设这种进位制的基数为x，则有
(47)x＝4×x1＋7×x0＝4x＋7 于是有 4x＋7＝71 解得x＝16
例9 计算：(1)(110101)2＋(11101)2； (2)(1101101)2－(1011110)2。
点拨：二进制是“满二进一”，“借一当二”（0+0=0，0+1=1，1+1=10，0 进位为1）。
解(1)(110101)2＋(11101)2＝(1010010)2 (2)(1101101)2－(1011110)2＝(1111)2
例10 计算：(1)(101110)2×(101)2； (2)(110011)2÷(1001)2。
点拨：试商时不够商1要商O，不够减时注意“借一当二”。
(1)(101110)2×(101)2＝()2 (2)(1100111)2÷(1001)2＝(1011)2余(100)2
例11 一个自然数的七进位制表达式是一个三位数，而这个自然数的九进位制表达式也是一个三位数，而且这两个三位数的数码顺序恰好相反。
求这个自然数。
解设这个自然数n＝(abc)7＝(bca)9。
则有a×72＋7b＋c＝c×92＋9b＋a
整理得b＝8×(3a－5c)。
因为a，b，c出现在七进制中，故它们只能取O，1，2，3，4，5，6。
由于0≤b＜7，因此b＝0，即3a－5c＝0，此时a＝5，c＝3
所以(503)7＝(305)9＝(248)10。
答：这个自然数为248。
例12 有229人参加学校乒乓球赛，比赛实行淘汰制。
为了尽量减少比赛场次，规定只有在某一轮参赛选手为奇数时，才安排一人轮空。
此次安排比赛有几人轮空
第一轮229=114×2+1 轮空一人，淘汰114人；第二轮114+1=57×2+1 轮空一人，淘汰57人；第三轮57+1=29×2 不轮空淘汰29人；第四轮29=14×2+1 轮空一人淘汰14人；
第五轮14+1=7×2+1 轮空一人淘汰7人；第六轮7+1=4×2 不轮空淘汰4人；第七轮4=2×2 不轮空淘汰2人；第八轮2=1×2 不轮空淘汰1人决出冠军；既有4人轮空。
1.若5×6＝26，则6×6＝
设（26）x这种进位制的基数为x，则（2x+6）10=(30)10， 2x+6=30, x=12。
6×6=（36）10=（30）12
个鸡蛋至少分装在几个盒子里，每个盒子里各几个，才能保证250以内所需鸡蛋数都可以
用几只盒子凑齐，而不必再打开盒子
1+2+4+8+16+32+64+128=255＞250，所以至少需要8个盒子，即n的最小值是8．盒子里分别装1，2，4，8，16，32，64，123个鸡蛋。
3.一个十进位制三位数(abc)10，其中a，b，c代表数码，它的二进制表达式是(1abcabc)2，求(abc)10。
因为a，b，c出现在二进制的表达式内，所以这三个字母只能是是0或1，
又因为a出现在十进制表达式最高位上，所以a≠0，则a=1，因为（abc)10=(1abcabc)2，则1×100+10×b+c=1×26+1×25+b×24+c×23+1×22+b×2+c，
得8b+8c=0，所以b=c=0．则三位数abc=100。
答：这个数是100。
4.某一个从“长寿”村来的少年自称现年101岁，小聪明断定“长寿村”的101岁不是十进制的。
小聪明出了几道算术题给这个少年做：1＋1＝1＋1＋1＝1＋1＋1＋1＝少年解答如下：1＋1＝2，1＋1＋1＝3，1＋1＋1＋1＝10。
小聪明立即算出了少年的十进制数的年龄，你能算出吗
根据1＋1＋1＋1＝10，可知是4进制，（101）4=（17）10，该少年17岁。
5.用a，b，c，d，e分别代表五进制中5个互不相同的数字，如果ade，adc，aab是由小到大排列好的连续自然数，那么(cde)5所表示的整数化成十进制应是多少因为（adc)5-（ade)5=1，所以c-e=1，又因为（aab)5-(adc)5=1，即25a+5a+b-(25a+5d+c)=1，所以（5a+b）-（5d+c）=1，所以5（a-d）+（b-c）=1；由于a，b，c，d，e都是0至4之间的不同整数，从而可以推知：a-d=1，c-b=4。
经检验，得 c=4，b=0，e=3，a=2，d=1，于是有 (cde)5=（413）5=4×52+1×51+3×50=4×25+5+3=100+5+3=108。
6.设1，3，9，27，81，243是六个给定的数，从这六个数中每次取若干个数求和(每个数只能取一次)，可以得到一个新数，这样共得到63个新数。
如果把它们从小到大依次排列起来是1，3，4，9，10，12，…，那么第39个数是多少
1=30，3=31,9=32,27=33,81=34,243=35，，且每个数都大于前面所有数的和，因为这六个数每个数都有取和不取两种可能，于是取若干个数求和所得新的一列数中最小的是
000001，最大的是111111.这样我们就把取数和二进制数建立起一个联系。
因为（39）10=（100111）2，所以第39个数应是35+32+3+1=256。
7.(3051)
8－(2127)
8
＝( )
8。
8.(2102)3×(1202)3＝( )3。