dd12-暑-05s-p06带余除法与同余
余数及同余
余数及同余
一、带余除法的定义：
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q…r，也就是a ＝b×q＋r,
0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：
（1）当时：我们称a可以被b整除，记作b|a，q称为a除以b 的商或完全商
（2）当时：我们称a不可以被b整除，记作，q称为a除以b的商或不完全商
二、同余的概念
两个整数被同一个大于1的整数m除，所得的余数相同，就说这两个
整数对于除数m来说是同余的.也可以换句话来说这个概念，如果两个整数的差能被大于1的整数m整除，那么这两个整数对于除数m来说是同余的.
同余的概念和符号都是德国伟大数学家高斯引进的.一般地，两个整数a和b，除以大于1的正整数m，如果所得的余数相同，就说a、b对于模m 同余，记作a≡b（mod m）.
由于一个整数被m除的余数只能是0、1、2、3、…、m-1这m个数，所以全体整数可按被m除的余数分类，凡是余数相同的归为一类，全体整
数就被划分成了m类，同一类中的任何两数被m除的余数都相等，即同一
类中任何两数的差都能被m整除，不同类的任何两数被m除的余数都不相等.
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dd12-秋-05s-p06抽屉原理
第六讲抽屉原理抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。
比如，我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔、…等十二种生肖）相同.怎样证明这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚.事实上，由于人数（13）比属相数（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把13人看成13个“苹果”，把12种属相看成12个“抽屉”）。
应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。
例1、有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。
例2、一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？例3、证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。
例4、从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。
例5、从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。
例6、从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。
我们知道，把3个苹果随意放进两个抽屉里，至少有一个抽屉里有两上或两个以上的苹果.如果把5个苹果放进两个抽屉里，上述结果当然还能成立.能不能有更强一点的结果呢？我们发现把5个苹果往两个抽屉里放，即使每个抽屉都放2个还剩1个苹果，这个苹果无论放到哪个抽屉里都会出现有一个抽屉里有3个苹果.同样，如果苹果个数变为7个，那么就可以保证有一个抽屉里至少有4个苹果了。
这里有什么规律呢？先将苹果平均分到各个抽屉里，如果至少还余1个苹果，那么多余的苹果无论再放入哪个抽屉中都可以保证至少有一个抽屉里有（商+1）个（或更多的）苹果。
这样，可得到下述加强的抽屉原理：把多于m×n个苹果随意放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有（m+1）个或（m＋1）个以上的苹果。
余数与同余解析
六余数和同余1.有余数的除法各部分之间的关系：被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法2.除法算式的特征:余数＜除数3.有关余数问题的性质：性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a和b的差能被m整除。
性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。
性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。
解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。
1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。
根据被除数﹦商×除法＋余数，算得：0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24；4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。
所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。
一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？这道题可采取经典的余数处理方法------凑。
这个凑，可不是漫无目的的凑。
而是有理有据才行。
1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。
2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。
3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37.4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。
被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数））5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37.6、结果是17+22×37即为答案。
奥数五六年级知识点总结第五讲余数与同余
奥数是指奥林匹克数学竞赛（International Mathematical Olympiad，简称IMO），是世界性的数学竞赛。
奥数竞赛注重学生的思维能力的发展，培养学生的逻辑推理、问题解决和创新思维能力。
数学竞赛中的知识点是教育学生数学基本概念及运算，以及运用数学的方法来解决问题。
下面是我所总结的奥数五六年级第五讲的知识点，主要涉及到“余数与同余”。
一、余数1.定义：在整除的运算中，除法所得的剩下的数就是余数。
2. 例如：11除以3，商为3，余数为2，记作11≡2（mod 3）。
3.基本性质：（1）两个数相加与他们的余数相加的结果相等。
（2）两个数相乘与它们的余数相乘的结果相等。
（3）两个数的商的余数与这两个数余数的商的结果相等。
（4）两个数的幂次方的余数与这两个数的幂次方的余数的结果相等。
二、同余1. 定义：若整数 a、b、m 为任意给定的整数，若 m 能整除 (a-b)，即 (a-b) 是 m 的倍数，则称a与b对模 m同余，记作a≡b (mod m)。
2.基本性质：（1）若a≡b (mod m)，则a+c≡b+c (mod m)；（2）若a≡b (mod m)，则ac≡bc (mod m)；（3）若a≡b (mod m)，c≡d (mod m)，则a+c≡b+d (mod m)，ac≡bd (mod m)；（4）若a≡b (mod m)，则a^n ≡b^n (mod m)，其中 n 为任意正整数。
三、求余数与同余的方法1.利用除法法则求余数：（1）方法一：将被除数逐位地从左至右除以除数，除的过程中产生的余数就是最终的余数。
（2）方法二：利用整数的性质，寻找适合的数进行整除，或者先利用近似法求商，再求余数。
（3）方法三：利用乘法法则，将除数与整数相乘，再用被除数减去这个乘积来求余数。
2.利用同余法则求余数：（1）将同余公式改写为等式，然后同时减两边的倍数，可以得到一个新的同余公式。
（2）利用同余关系，可以将大数的运算转化为小数的运算，从而简化计算。
余数与同余解析
六余数和同余 1.有余数的除法各部分之间的关系：被除数=除数×商＋余数被除数－余数＝商×除法 2.除法算式的特征:余数＜除数 3.有关余数问题的性质：性质1：如果两个整数a,b 除以同一个数m，而余数相同，那么a 和b 的差能被m 整除。
性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。
性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。
解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。
1.把题目转化为算式就是：□÷7＝□……□ 余数要比除数7 小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。
根据被除数＝商×除法＋余数，算得：0×7＋0＝0；1×7＋1＝8；2×7＋2＝16；3×7＋3＝24；4×7＋4＝32；5×7＋5＝40；6×7＋6＝48。
所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。
一个三位数被37 除余17，被36 除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？这道题可采取经典的余数处理方法------凑。
这个凑，可不是漫无目的的凑。
而是有理有据才行。
1、找一个最小的自然数，满足除以37 余17，当然17 即可满足。
2、很显然，这个数除以36 并不余3，作适当调整。
3、为了不改变37 的那个余数，每次可加上一个37. 4、每加一次37，除以36 的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。
被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数））5、因为我们要求的数除以36 要余3，现在只是余17，即达到36 后再多出3，即余39 （注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22 个37. 6、结果是17+22×37 即为答案。
小学数学《带余除法与同余》ppt
小试身手
237除以一个大于50的两位数，余数 是6，则合适这个条件的两位数是多少？
答案：如果a被b除得的余 数是n，那么a-n能被b整除所以 用237-6=231，231能被一个两 位数整除，把231分解质因数后 找出大于50的两位数约数即为 所求237-6=231， 231=3×7×11，231的两位数 约数有11，21，77，33，其中 大于50的只有77，所以这个两 位数就是77
【例1】一个两位数去除259， 得到的余数是49，求这个两位数
思路点拨:如果a被b除得的 余数是n，那么a-能被b整除，所 以用259-49=210，210能被一个 两位数整除，把210分解质因数 后找出大于49的两位数约数即 为所求
【解】259-49=210， 210=2×3×5×7，210的两位约 数有10，14，15，21，35，42， 70，其中大于余数49的只有70， 所以这个两位数是70
对于已知整数a和自然数b， 求q和r，使a=bq+r(0≤r<b) 成立的运算叫做有余数的 除法，或称为带余除法， 记为a÷b=q(余r)或 a÷b=q...r
51÷8=6......3，27÷8=3......3,
其中51，27被8除的余数相同， 是同余除法
若整数a,b同除以自然数n的余 数相同，则称a和b对模n同余 （模n即除以n的意思，）这 就是同余除法
【例2】两个整数相除，商5余3，被 除数，除数，商，余数之和为113，求被 除数是多少？
思路点拨：由题意知道等量关 系式：被除数+除数+商+余数=11， 其中商是5，余数是3，所以被除数 +除数+5+3=11，即被除数+除数 =105，根据有余数除法中各部分之 间的关系，被除数=除数×商(5)+余 数（3），可巧设除数为x,则被除数 为5x+3，然后列出方程即可解答
dd05-春-05s-p06列方程解应用题
列方程、方程组解应用题例1幼儿园大班每人发13张画片，小班每人发17张画片，大班人数是小班的2倍，小班比大班多发126张画片。
那么小班有多少人？例2一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干重量相等的黑球，这时两边平衡。
在右盘上取走一个白球置于左盘上，再把左盘的两个黑球置于右盘上，同时给左盘加20克砝码，这时两边也平衡。
如果从右盘移两个白球到左盘上，从左盘移一个黑球到右盘上，则需再放50克砝码于右盘上，两边才平衡。
问：白球、黑球，每个重多少克？例3购买10种货物：A1,A2,A3,……,A10.如果在这10种中购买的件数依次是1，3，4，5，6，7，8，9，10，11件，共需人民币1992元；如果购买的件数依次是1，5，7，9，11，13，15，17，19，21件，共需人民币3000元，那么在这10种货物中各买一件时，共需人民币多少元？例4海淀区举行数学竞赛，把成绩排列名次后，前7名平均分比前四名平均分少1分，前10名平均分比前7名平均分少2分。
问5，6，7名3人的得分之和比第8，9，10名得分之和多几分？例5铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？例6．从甲地到乙地全是山路，其中上山路程是下山路程的23.已知一辆汽车的上山速度是下山速度的一半，并且它从甲开到乙共用了7个小时.求这辆汽车从乙地返回甲地所需的时间？例7 体育组第一次买了6个排球和1个足球共用去155元，第二次买了13个排球和3个足球共用去365元。
求每足球、排球各多少元？例8 学校买了4张办公桌和1把椅子，共用去510元，后又买来6张办公桌和1把椅子共用去750元。
求每张办公桌和每把椅子各多少元？例9一个大人一餐能吃3个面包，两个幼儿一餐能吃1个面包.现在有大人和幼儿共100人，并且他们一餐共吃了100个面包.那么，在这100人中，大人和幼儿各多少人？课堂练习1、所中学食堂本周运来大米7袋，面粉4袋共重680千克，上周运来大米3袋，面粉6袋共重420千克，问每袋大米、每袋面粉各重多少千克？2、8头牛和3只羊每天共吃青草79千克，3条牛和8只羊每天共吃青草64千克，每头牛和每只羊每天各吃青草多少千克？例10．现有1分、2分、5分硬币共100枚，总共价值2元.已知其中2分硬币的价值比1分硬币的多13分，那么三种硬币各多少枚？练习：小名买了2本练习本、2支铅笔、2块橡皮，共用去1.8元；小军买了4本练习本、3支铅笔、2块橡皮，共用去2.8元；小芳买了5本练习本、4支铅笔、2块橡皮共用去3.4元。
小学奥数精讲：带余除法(同余式和同余方程)知识点及典型例题
小学奥数精讲：带余除法（同余式和同余方程）一、基本性质的复习1、带余数除法算式：a÷b=q……r(a、b、q、r 均为整数) 从中我们应该得到：（1）b>r 除数大于余数（2）a-r=b×q 被除数减去余数则会出现整除关系，则带余数问题就可以转化为整数问题。
2、余数的性质：（1）可加性：和的余数等于余数的和。
即：两数和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和。
例：7÷3=2……1 5÷3=1……2，则（7+5）÷3 的余数就等于（1+2）÷3 的余数0。
（2）可减性：差的余数等于余数的差。
即：两数差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差。
例：17÷3=5……2 5÷3=1……2，则（17-5）÷3 的余数就等于（2-2）÷3 的余数0。
（3）可乘性：积的余数等于余数的积。
即：两数积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积。
例：64÷7=9……1 45÷7=6……3，则（64×45）÷3 的余数就等于（1×3）÷7 的余数3。
二、同余式在生活中，若两个自然数 a 和 b 都除以同一个除数m 时，余数相同该如何表示呢？在代数中我们称之为同余。
即：a 与b 同余于模m。
意思就是自然数a 和b 关于m 来说是余数相同的。
用同余式表达为：a≡b(modm).注：若a 与b 同余于模m，则a 与b 的差一定被m 整除。
（余数的可减性）三、例题。
例1、当2011 被正整数N 除时，余数为16，请问N 的所有可能值有多少个？例2、（1）求多位数1234567891011…20102011除以9的余数？（2）将1开始到103的连续奇数依次写成一个多位数：a=135791113…9799101103，则数a共有多少位？数a除以9 的余数为几？（3）一个多位数1234567……979899，问除以11 的余数是多少？例3、（1）用一个数除200 余5，除300 余1，除400 余10，求这个数？（2）甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69 人，85 人、93 人、97 人。
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第六讲带余除法
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≢r＜b，使得a=b×q+r。
当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为a÷b=q…r，0≢r＜b。
例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。
例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？
例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？
例4 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。
例5 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？
例669、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。
【家庭作业】
1.用一个自然数去除另一个自然数，商是8，余数是16.被除数、除数、商、余数这四个数的和为463，求除数。
2.某数除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是多少？
3.某数除以8余3，除以9余4，除以12余7，在1000以内这样的数有哪几个？
4.用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋.这批货至少有多少袋？
5.57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零.求284被这个自然数除的余数
同余
同余定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b（modm）. （*）可读作：a同余于b，模m。
同余式（*）意味着（我们假设a≣b）：a-b=mk，k是整数，即m｜（a-b）.
a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0（modm）。
补充定义：若m（a-b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：a b（modm）
我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d是整数，而m是自然数）。
性质1：a≡a（mod m），（反身性）
这个性质很显然.因为a-a=0=m·0。
性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m），（对称性）。
性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m），那么a≡c（mod m），（传递性）。
性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m），（可加减性）。
性质5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）。
性质6：若a≡b（mod m），那么a n≡b n（mod m），（其中n为自然数）。
性质7：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m），（记号（c，m）表示c与m的最大公约数）。
例1 判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？
例2 求乘积418×814×1616除以13所得的余数。
例3 四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？
例4求77被4除的余数.
例5今天是星期日，再过364365天是星期几？再过365364天又是星期几？
例639865×48731=1382476895吗？为什么？
例7一个整数除300、262、205都得到相同的余数，且余数不为0.问这个整数是几？
例8求1993100的个位数字.
【家庭作业】
1.已知自然数a、b、c，其中c≣3，a除以c余1，b除以c余2，则ab除以c余多少？
2.1993年的六月一日是星期二，这一年的十月一日是星期几？
3.求33335555＋55553333被7除的余数。
4.用弃九法检验下面运算是否正确：
①845×372=315340；
②1144192613÷28997＝39459。