带余除法总结
有余数的除法,总结
有余数的除法,总结有余数的除法归纳总结1.把一些物体平均分后还有剩余，这个过程可以用有余数的除法算式来表示，其中不够再分而剩余的数就是余数。
2.有余数的除法横式中有四个数字：被除数、除数、商、余数，其中商和余数两部分是算式的结果。
3.除法竖式计算步骤：1 写竖式除号2 写被除数和除数3 写商4 写商与除数的积5 写余数4.竖式要注意数位对齐。
5.有余数除法的求商方法：“被除数”里最多有几个“除数”，商就是几。
6.余数一定都比除数小。
7.解应用题时，要注意“商”和“余数”两数的单位，余数的单位与被除数相同，最后要写回答问题。
8.被除数÷除数=商??余数被除数=商×除数＋余数除数=÷商商=÷除数余数=被除数-商×除数第65课时：第六单元单元小结教学目标：知识与技能目标：使学生加深理解有余数的除法的含义，认识余数，理解余数要比除数小的道理。
并能够运用有余数的除法解决生活中的简单实际问题。
过程与方法：学生在获取知识的过程中，渗透借助直观研究问题的意识和方法，积累观察、操作、讨论、合作交流、抽象和概括等数学活动经验，发展抽象思维。
情感、态度与价值观：学生在自主探究解决问题的过程中，感受数学与生活的联系，体验成功的喜悦。
教学重点：有余数除法的意义和计算方法。
教学难点：利用有余数的除法结合实际解决生活中的问题。
教学方法：三疑三探教学方法教学用具：小黑板、小棒等。
教学过程：一、设疑自探：、练习巩固：1、看谁算的又对又快17÷2= 31÷5=25÷6=19÷4= 27÷8=19÷5=2、用竖式计算56÷8= 37÷4=50÷7=、导入新课看来大家已经初步掌握了简单的有余数的除法，今天我们就来对有余数的除法进行整理复习，让我们对这一单元的知识掌握的更牢固。
、看到课题你还对这一部分的知识有什么疑问吗？请你提出来。
《除法竖式》有余数的除法
在进行除法竖式运算时，先将被除数分 成若干份，每一份都小于或等于除数， 然后逐一相加，直到全部份数加完为止
。
在这个过程中，每份的数量就是商，而 每份中剩余的部分就是余数。因此，除 法竖式实际上是一种形象的、易于理解 的方法，可以帮助我们更好地掌握除法
运算。
02
有余数的除法
余数的定义和计算方法
余数的定义
04
除法竖式实例解析
简单实例解析
总结词
通过简单实例，学习并掌握除法竖式的 正确书写格式，理解除法竖式中各数位 的意义。
VS
详细描述
以100÷20=5为例，首先将100的个位数 0拉下来作为商的个位数，然后将除数20 的个位数0拉下来作为被除数的个位数， 接着将除数20的十位数2拉下来放在被除 数的十位数下面作为新的被除数，最后进 行相减得到余数1，将余数放在被除数的 下面并与商相加得到最终结果。
《除法竖式》有余数的除法
2023-11-09
目录
• 除法竖式基础 • 有余数的除法 • 除法竖式中的余数处理 • 除法竖式实例解析 • 练习题与解答
01
除法竖式基础
定义和构成
除法竖式是一种用于表示除法运算过程的数学表达形式，它由被除数、除数、商 和余数四个部分组成。
被除数是指要进行除法运算的数字，除数是指用来除被除数的数字，商是除法运 算的结果，余数则是不够除的部分。
特别注意
在计算过程中，要保持竖 式的整齐和清晰，避免出 现错误。
如何处理多个余数的情况
按位处理
在处理多个余数时，需要分别对每一位进行 计算。
借位处理
在需要借位时，需要将前一位的数字写在下 面，并用符号表示借位。
进位处理
在计算过程中，需要注意进位的情况，及时 将进位数写下来。
带余除法的应用
带余除法的应用带余除法（亦称为带余除法算法或取余算法）是一种常见的算术运算方法，用于计算除法运算中的余数。
带余除法在数学、计算机科学和工程领域中有广泛的应用。
本文将介绍带余除法的原理，并探讨其在不同领域的应用。
一、带余除法的原理带余除法是一种基于整除关系的运算方法，用于计算除法运算中的余数。
其基本原理如下：对于两个整数a和b，其中a是被除数，b是除数，且b不等于0。
带余除法通过将a除以b，将商q舍去小数部分，得到整数商q（忽略小数部分），再将整数商q乘以除数b，得到乘积q*b。
然后，将被除数a减去乘积q*b，即a-q*b，得到的结果即为余数r。
数学表达式可表示为：a = b * q + r其中，a为被除数，b为除数，q为整数商，r为余数。
二、1. 取模运算带余除法中的余数r在计算机科学中常被用于取模运算。
取模运算是计算一个数除以另一个数后所得到的余数。
例如，我们可以使用带余除法来计算一个整数是否为偶数，只需计算该数除以2的余数，若余数为0，则该数为偶数；若余数为1，则该数为奇数。
2. 素数判定带余除法在素数判定中也具有重要的应用。
素数是指只能被1和自身整除的自然数。
要判断一个数n是否为素数，可使用带余除法将n依次除以小于等于根号n的所有自然数，若除数能够整除n，则n不是素数；若除数不能整除n，则n是素数。
3. 错误检测与校验带余除法在数据传输和信息校验中被广泛应用。
例如，带余除法常用于校验数据传输中的错误。
发送方在发送数据时，可以通过计算发送数据的带余除法来得到一个校验码，并将该校验码与数据一同发送给接收方。
接收方在接收到数据后，再次计算接收到的数据的带余除法，并将计算所得的校验码与接收到的校验码进行比对，若两个校验码相同，则说明数据传输过程中未出现错误。
4. 多项式除法带余除法在代数学中也有着广泛的应用。
在多项式除法中，带余除法用于计算一个多项式p(x)除以另一个多项式d(x)的商和余式。
通过带余除法，可以将多项式的除法问题转化为多项式的减法和乘法运算，简化了多项式的运算过程。
《有余数的除法》
目录
• 课程介绍与背景 • 基本概念与性质 • 计算方法与技巧 • 实际应用举例 • 拓展延伸与提高 • 课程总结与回顾
01
课程介绍与背景
有余数的除法定义
有余数的除法是指在进行除法 运算时，被除数不能被除数整 除，留下了一部分余数。
余数是被除数在整除后剩余的 部分，它小于除数。
创新解题方法
鼓励学生尝试不同的解题方法， 如使用图形、表格等辅助工具，
培养学生的创新能力。
探究性问题学习
引导学生提出探究性问题，如“ 除法运算有哪些特殊性质？”、 “余数有哪些应用？”等，培养 学生的探究精神和自主学习能力
。
挑战性问题探讨
大数除法运算
01
探讨大数除法运算的方法和技巧，如使用长除法、分段除法等
学习中的应用
数学运算
在学习数学的过程中，有余数的除法 是基础运算之一。掌握这种运算方法 有助于学生理解更复杂的数学概念， 如分数、小数等。
问题解决
在学习过程中遇到需要平均分配或者 计算比例的问题时，有余数的除法是 一种有效的解决工具。比如分配学习 小组、计算成绩比例等。
工作中的应用
财务管理
在财务和会计工作中，经常需要用到 有余数的除法来处理各种财务数据。 比如计算每个人的平均工资、分配预 算等。
常见问题及解决方法
余数过大
当余数大于除数时，说明商取 得过小，应调整商的值。
余数负数
当余数为负数时，说明商取得 过大，应将商减1并重新计算余 数。
无法整除
当被除数无法被除数整除时， 应保留余数或根据实际情况进 行取舍。
计算错误
检查计算过程中是否有误操作 或计算错误，及时纠正并重新
计算。
带余除法定理
带余除法定理带余除法定理是数学中一项基本概念，用于解决除法运算中的余数问题。
它是我们在学习整数除法时必须掌握的重要知识点之一。
下面我们就来详细了解一下带余除法定理的原理和应用。
带余除法定理是指当我们用一个整数除以另一个非零整数时，总可以得到一个商和一个余数。
这个定理的原理是基于整数的性质：对于任意两个整数a和b，存在唯一的整数q和r，使得a=bq+r，其中q为商，r为余数。
举个例子来说明带余除法定理的应用。
假设我们要将17除以5，根据带余除法定理，我们可以得到商和余数。
首先我们找到一个最大的整数q，使得5q不超过17，这里q为3。
然后我们计算余数r，即17-5q，也就是17-5*3=2。
所以17除以5的商为3，余数为2。
在实际应用中，带余除法定理可以帮助我们解决很多问题。
比如，我们可以利用带余除法定理来判断一个数是否能被另一个数整除。
如果一个整数a除以另一个整数b的余数为0，那么我们就可以说a能被b整除。
这在编程中尤其有用，可以用来判断一个数是否为偶数或奇数，或者判断一个数是否为另一个数的因子。
带余除法定理还可以帮助我们进行整数的取模运算。
取模运算是指求一个整数除以另一个整数的余数。
在计算机科学中，取模运算经常用于计算哈希函数、判断奇偶性、周期性运算等。
带余除法定理的应用还可以扩展到负数和分数的除法中。
对于负数的除法，我们可以先对绝对值进行除法运算，然后根据被除数和除数的符号来确定商的符号。
对于分数的除法，我们可以将分子和分母都转化为整数，然后进行整数的除法运算，最后再将商和余数转化为分数形式。
总结起来，带余除法定理是解决除法运算中余数问题的重要工具。
通过带余除法定理，我们可以得到除法运算的商和余数，并应用于判断整除性、取模运算等各个领域。
带余除法定理的原理简单明了，应用广泛，是我们学习数学和计算机科学时必须掌握的基本知识之一。
小学二年级下册数学知识点总结(北师大).
新版北师大版二年级数学下册知识点归纳数与代数复习有余数除法用有余数除法解决生活中的简单问题1、有余数除法各部分的名称及联系总结：余数要比除数小。
2、有余数除法的计算方法（1）竖式计算43÷747÷934÷6（2）计算有余数除法时应注意哪些？基础练习1、计算有余数除法时，（）必须比（）小。
2、在36÷7=5……1中，被除数是36，除数是（）商是（），余数是（）。
3、有17个羽毛球平均分给5个班，每班分得（）个，还剩（）个。
4、在□÷7=□……□中，余数最大是（）。
5、括号里最大能填几？（）×4＜30 （）×5＜32 （）×7＜46 （）×9＜42拓展练习1、有16个放木块。
（1）摆5个过一样的长方体，每个长方体最多用（）个放木块，还剩（）个放木块。
（2）每个长方体用3个放木块，最多可以摆（）个长方体，还剩下（）个放木块。
2、有86个蘑菇，平均放在9个小筐里，每个小筐放几个？还剩几个蘑菇？3、小猴子爬杆，一秒钟能爬2米，杆长15米，小猴子7分钟能爬到杆顶吗？4、有26千克豆油，每个油桶装4千克油，这些油至少需要多少个油桶？5、妈妈买来30个扣子，每件衣服钉7个，最多可以钉几件衣服？提高练习1、大汽车：每次可以运5吨牛肉小汽车：每次可以运3吨牛肉（1）有13吨牛肉，怎样派车最合理？（2）有14吨牛肉，怎样派车最合理？2、32块饼干，每个小朋友分5块，还余2块，共发给几个小朋友？3、在（）÷（）=5……7中，当除数最小时，被除数是多少？4、请算出第22个图形和第48个图形分别是什么？☆△△□□○☆△△□□○……5、筐里有27个苹果，最少拿出多少个就能正好平分给7个同学？6、还有其他的方法，使得筐里的苹果正好平分给7个同学吗？7、有27本书，最少再添( )本就能平均分给6个小朋友？最少拿掉( )本就能平均分给5个人？万以内数的认识复习重点:对万以内数的读、写、比较等知识进行回忆与整理。
多项式的带余除法及同余问题
多项式的带余除法及同余问题一、多项式的带余除法带余除法是一种基础的多项式运算，它可以用来确定两个多项式之间的整除关系。
带余除法的核心思想是，用一个已知的多项式去除另一个多项式，然后求出余数和商。
下面我们就来介绍一下多项式的带余除法及其应用。
1.多项式的定义在代数中，多项式是由常数、变量和运算符号构成的表达式。
多项式的一般形式如下：P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + … + anxn其中，a0,a1,a2 … an是常数项，n是该多项式的最高次数。
2.多项式的带余除法设P(x)和Q(x)是两个多项式，其中Q(x)≠0，且Q(x)的最高次数不小于P(x)的最高次数。
那么，多项式P(x)除以Q(x)所得的商多项式为R(x)，余数多项式为S(x)。
带余除法的表示如下：P(x）= Q(x)× R(x) + S(x)其中，余数多项式S(x)的次数小于除式Q(x)的次数。
带余除法的流程如下：（1）将被除式P(x)和除式Q(x)按照它们的次数从高到低排列；（2）将P(x)中的最高次数项除以Q(x)中的最高次数项，得到商式的首项；（3）用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从P(x)中减去这个积，得到一个新的多项式；（4）重复以上操作，直到得到的新多项式的次数小于除式Q(x)的次数为止，最后所得的新多项式就是余数多项式S(x)。
3.例子说明我们以P(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x + 1和Q(x) = x^2 -x - 2为例，来说明多项式的带余除法的具体操作。
首先，将P(x)和Q(x)按照从高到低的次数排列：P(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x + 1Q(x) = x^2 - x - 2其次，将P(x)中的最高次数项除以Q(x)中的最高次数项，得到商式的首项为：x^2接着，用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从P(x)中减去这个积，得到一个新的多项式：P(x) - x^2 Q(x) = (x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x + 1) - (x^2 -x - 2) x^2 = 3x^3 - 2x^2 + 3x + 1重复以上操作，将新的多项式3x^3 - 2x^2 + 3x + 1除以Q(x)，得到商式的首项为：3x然后，用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从3x^3 - 2x^2 + 3x + 1中减去这个积，得到一个新的多项式：3x^3 - 2x^2 + 3x + 1 - 3x(x^2 - x - 2) = -5x^2 + 9x + 1 继续重复以上操作，将新的多项式-5x^2 + 9x + 1除以Q(x)，得到商式的首项为：-5最后，用得到的商式的首项乘以Q(x)，并从-5x^2 + 9x + 1中减去这个积，得到余数多项式：-5x^2 + 9x + 1 - (-5)(x^2 - x - 2) = 4x + 11因此，P(x)除以Q(x)所得的商多项式为x^2 + 3x - 5，余数多项式为4x + 11。
小升初数学复习重点 ：带余除法知识点总结
小升初数学复习重点：带余除法知识点总结一、求被除数类1. 同余加余，同差减差例1.某数被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此数最小是多少？解：因为“被5除余3，被3除余3”中余数相同，即都是3（同余），所以要先求满足5和3的最小数，［5、3］=15，15+3=18，18÷7=2……4不余6，（不对）15_2=30（30+3）÷7=4……5不余6（不对）（15_3+3）÷7=6……6（对）所以满足条件的最小数是48。
例2.某数被3除余2，被5除余4，被7除余5，这个数最小是多少？解：因为“被3除余2，被5除余4”中都差1就可整除，即同差，所以要先满足5和3的最小数，［5、3］=15，15-1=14，14÷7=2……0不余5（不对）（15_6-1）÷7=12 (5)所以满足条件的最小数是89。
例3.一个四位数，它被131除余112，被132除余98，求这个四位数？解：除数相差132-131=1，余数相差112-98=14，说明这个四位数中有14个131还余112。
所以131_14+112=1946。
二、求除数类1.若a÷c=……r；b÷c=……r.则cㄏ（a-b）。
例1.一个数去除551，745，1133这3个数，余数都相同。
问这个数最大可能是几？解：745-551=194，1133-745=388。
（194，388）=194，所以这个数最大是194。
2.若a÷c=……r1；b÷c=……r2， r1+ r2=d.则cㄏ（a+b-d）。
例2.有一个整数，用它分别去除157，234和324，得到的三个余数之和是100。
求这个整数？解：157+324+234-100=615，615=3_5_41。
100÷3=33……1，即最小的除数应大于34，小于157。
所以满足条件的有41、123两个，经过验算可知正确答案为41。
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令 r a qb ， 则有 a bq r , 0 r b 成立.
唯一性 设另外有 q, r Z 使 a bq r,0 r | b | ，则
进而得到 | b || q q || r r 。 如果 q q ，则等式的左端 | b |， 但另一方面 0 r, r | b | ，即可知等式 q q 的右端 | b | 。这个矛盾说明 ， 从而 r r 。定理得证。
例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日 （第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星期几？
解：每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天）， 从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.
例5 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。
14 ( 3) 14 3
注：一般地，要求a, q是整数，b, r是非负整数；
如果允许b取负值，则要求 0 r b . 思考 28 6 14 3 4 (余 2) 正确吗？
例1 一个两位数去除251，得到的余数是41. 求这个两位数。
分析 这是一道带余除法题，且要求的数是 大于41的两位数. 解题可从带余除式入手分析。
的和倍问题
除数=861÷41， 除数=21， ∴被除数=21×40+16=856。 答：被除数是856，除数是21。
例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？
解：十月份共有31天，每周共有7天， ∵31=7×4+3， ∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。 ∴这年的10月1日是星期四。
例8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次 取5个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？
•
解：2+[5，7]×1=37（个） ∵37除以3余1，除以5余2，除以7余2， ∴布袋中至少有小球37个。
前面我们讲到除法中被除数和除数的整 除问题.除此之外，例如：16÷3=5…1， 即16=5×3+1.此时，被除数除以除数 出现了余数，我们称之为带余数的除法。
定义 设a与b是两个整数，b > 0，则存在唯一
的两个整数q和r，使得
a bq r , 0 r b (1)
定义2：（1）式通常写成
分析：本题我们可以采用“逐级满足法”先求出满足3、5两数的最小数， 然后在不改变余数的基础上求满足7的最小数。 解：：[3，7]+2=23 还可以直 23除以5恰好余3。 接列举 所以，符合条件的最小自然数是23。 这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二， 五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？” 关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树 梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余数乘以70， 用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的 和大于105，那么就减去105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解 法如下： 2×70+3×21+2×15=233 233-105×2=23 符合条件的最小自然数是23。
a b q (余r )
并称q为a被b除所得的不完全商；
(2)
r叫做a被b除所得的余数； 提醒：除数＞余数 (2)式称为带余数除法。
定理1 设a与b是两个整数，b > 0，则存在唯一
的两个整数q和r，使得 证明： 存在性：考虑整数序列 , 3b, 2b, b,0, b,2b,3b, 则a必在序列的某两项之间， 即存在一个整数q，使得 qb a (q 1)b
例6 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然 数。
• 分析 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2 后被6整除”。 解：[5，6]-2=28，即28适合前两个条件。 想：28+[5，6]×？之后能满足“7除余1”的条件？ 28+[5，6]×4=148，148=21×7+1， 又148＜210=[5，6，7] 所以，适合条件的最小的自然数是148。
例7 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。 • 解：想：2+3×？之后能满足“5除余3”的条件？ 2+3×2=8。 再想：8+[3，5]×？之后能满足“7除余4”的条件？ 8+[3，5]×3=53。 ∴符合条件的最小的自然数是53。
• 归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法.当找到满足某个条 •件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要 •加上已满足条件中除数的倍数。
bq r bq r
例 利用带余数除法，由a, b的值求q, r .
(1) a 14, b 3 (2) a 14, b 3 (3)a 14, b 3
14 3 4 ( 余 2 ), q 4, r 2 14 3 5 ( 余 1 ), q 5, r 1
例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、 商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？
解：∵被除数=除数×商+余数， 即被除数=除数×40+16。 由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877， 思考：是否就是关于除 ∴（除数×40+16）+除数=877， 数和减去余数的被除数 ∴除数×41=877-16，
解：∵被除数÷除数=商…余 数， 即被除数=除数×商+余数， ∴251=除数×商+41， 现在怎么办呢？ 251-41=除数×商， 因式分解 ∴210=除数×商。
这些可能都可以吗？ ∵210=2×3×5×7， 除数＞余数 ∴210的两位数的约数有 10、14、15、21、30、35、42、70，
其中42和70大于余数41.所以除数是42或70. 即要求的两位数是42或70。