善用变式教学

善用变式教学
【摘要】在初中数学的教学中，新《数学课程标准》的总目标具体阐述了，要让学生获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识.在这指挥棒下一批批探索性、开放性和应用性题型不断在中考涌现.要适应这新的教育形势,我们应如何帮助学生形成独立思考、分析问题,解决问题的能力呢?在实际教学中,我对此问题做了一些思考,“变式训练”无疑是激发学生兴趣,开拓思路,培养良好思维品质和应变能力的一种有效方法.
【关键词】变式训练；一题多解；一题多变
变式训练包括两类:一是“一题多解”训练;二是“一题多变”训练.“一题多解”实际上是解题或证明定理,公式的变式,因为它的实质是以不同的论证方式反映条件和结论间的同一必然的本质联系,运用这种变式教学,可以引导学生对同一材料,从不同角度,用各种途径,多种方法思考问题,探求不同的解答方案.培养思维的发散性.“一题多变”实质是题目结构的变式,是指变换题目的条件或结论或题目形式,从不同角度,不同方面去解决问题的实质.运用这种变式教学,能使学生随时根据变化了的情况积极思考,设法想出解决问题的方法,培养思维的灵活性.
1．一题多解,培养思维发散性
一题多解,有利于沟通各知识的内涵和外延,深化知识,培养发散性和创造性思维,更能帮助学生提炼分析问题和解决问题的通性,通法,从中择优,培养聚合思维,形成多方面探索思考的良好习惯.下面从几道例题分析一题多解的在教学中的运用。

例1. （2014•广东）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m ）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
解法（一）
∵∠CAB=30°，∠CBD=60°，
∴∠ACB=60°-30°=30°，∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=10，
在Rt△CBD中，sin60°=CD BC,
∴ CD=BC •sin ∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）
答：这棵树CD 的高度为8.7米．
解法一从等腰三角形的性质出发，利用“等角对等边”再使用三角函数求得
解法（二）
设这棵树的高度为x 米
在Rt △BCD 中， tan ∠CBD= CD
BD
∴BD=tan CD CBD ∠
=tan 603CD x ==∠︒
∴
AD=10+x
在Rt △ACD 中，tanA=CD
AD
∴tan30°
=
∴3
=
∴133x x +=
解得x=5≈5×1.732=8.7（米）
答：这棵树CD 的高度为8.7米．
解法二通过设未知数利用三角函数
解法（三）
∵∠CAB=30°，∠CBD=60°，
∴∠ACB=60°-30°=30°，∴∠CAB=∠ACB ，
∴BC=AB=10，
在Rt △BCD 中，∵∠CBD=60°
∴∠BCD=90°-60°=30°
∴BD=12CB=1
2×10=5
∴
==≈5×1.732=8.7（米）
答：这棵树CD 的高度为8.7米．
解法三利用等腰三角形“等角对等边”的性质及勾股定理
解法（四）设这棵树CD 的高度为x 米
在Rt △BCD 中，tan ∠CBD= CD
BD
∴BD=tan CD CBD ∠
=tan 60CD x ==∠︒
∴
AD=10+x
在Rt △ACD 中，∵∠A=30°
∴AC=2CD=2x
∵222
AD CD AC +=
∴()2
22102x x x ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
化简得22750x --=
解得1x =
（舍去），2x =（米）
答：这棵树CD 的高度为8.7米．
解法四通过设未知数利用三角函数表示出直角三角形各边再用勾股定理解得
解法（五）
过B 做BF ⊥AD 于点B
∵∠CAB=30°，∠CBD=60°，
∴∠ACB=60°-30°=30°，∴∠CAB=∠ACB ，
∴BC=AB=10，
在Rt △ABF 中，∵∠CAB=30°
tan30°=BF
AB
∴BF=A B•tan30°
=
10=
∵∠BCD=90°-60°=30° ∴BD=12BC
=5
∵BF ∥CD
∴△ABF ∽△ADC
∴
BF AB CD AD = 即
10
3105CD
=+ ∴
CD= ≈5×1.732=8.7（米）
答：这棵树CD 的高度为8.7米．
解法五利用等腰三角形性质，三角函数以及相似的性质
解法（六）
设BD 为x 米，CD 为y 米，在Rt △ACD 中
∵∠CAB=30°，tan30°= 10y
x +
在Rt △BCD 中
∵∠CBD=60°，tan60°= y
x
即
10y x y x ⎧⎪⎪+⎨⎪⎪⎩
解得：⎧⎪⎨⎪⎩
x=5，
y ＝ ∴
CD= ≈5×1.732=8.7（米）
答：这棵树CD 的高度为8.7米．
解法六通过设未知数利用三角函数再用方程组解出未知数
例2.（人教版八年级上册P57习题12.3第6题）如图，点D,E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC,AD=AE.求证BD=CE.
C E D
B
证法一：过A 作AF ⊥BC 于F
∵AB=AC
∴BF=CF
∵AD=AE
∴DF=EF
∵BF-DF=CF-EF
即BD=CE
证法二、三与证法一类似，从△ABC 和△ADE 是等腰三角形这一角度出发，利用“等腰三角形地边上的三线合一”这一重要性质，过A 作底边上的中线或顶角平分线。

证法四：∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵AD=AE
∴∠ADE=∠AED
∴∠ADB=∠AEC
在△ABD 和△AEC 中
ADB AEC
AB AC ∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ B = C
∴△ABD ≌△ACE(AAS)
∴BD=CE
证法五可证明△ABE ≌△ACD,另外证明三角形全等又都可用AAS,ASA,SAS 进行证明。

2.一题多变，培养思维灵活性
知识是固定的，习题示变化无穷的，可通过很多途径对课本例题，习题进行变式，如改变条件，改变结论，改变数据或图形，条件引申或结论拓展；条件开放或结论开放或条件结论同时开放。

变式练习可以把各个阶段所学的知识，知识的各个方面紧密联系起来，加深对知识的理解，认识和体会数学是一个整体，但重要的是起到做一道题，懂一类题，提高学习效率的目的，激发学生的学习兴趣，创新意识和探索精神，培养创新能力，学会学习。

对课本例题可灵活变式，例如：
例2、（人教版九年级上册P87例题4）如图，⊙O 的直径AB 为10cm,弦AC 为6 cm ，∠ACB
的平分线交⊙O 于D ，求BC 、AD 、BD 的长。

变式1：如图，⊙O 的直径AB 为10cm,弦AC 为6 cm ，∠ACD=∠BAD ，求BC 、AD 、BD 的长。

D
B
A D
B A
变式2：如图， AB 是⊙O 的直径,弦AC 为6 cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，
AD=求BC 、BD 的长。

像以上这些变式训练的例题练习,在我们的日常教学中常有出现，需要我们有意识的去分析研究，整理，不失时机地引导学生进行变式训练，通过广泛的联想，使得学生的思维向不同方向延伸，不同层次深入，这样不仅能高效率地巩固所学知识，还能很好地培养学生思维的发散性和灵活性，进一步提高学生的数学能力。

在日后的教学中，定当努力深入研究课本例题、习题和历年中考题，让自己的教学架构更加完善。

【参考文献】
[1]北京师范大学出版社编著.义务教育数学课程标准2011年版
[2]2014年广东省初中毕业生学业考试数学试卷
[3] 课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著.义务教育课程标准实验教科书,数学教师教学用书 八年级上册.北京: 人民教育出版社,2009，4
D
B A。