双曲线专题复习(精心整理).
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
数学(理)一轮复习题库：第九章 第讲 双曲线
第5讲双曲线一、选择题1．设双曲线错误!－错误!＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0,则a的值为( )．A．4 B．3 C．2 D．1解析双曲线错误!－错误!＝1的渐近线方程为3x±ay＝0与已知方程比较系数得a＝2。
答案C2．已知双曲线C:错误!－错误!＝1的焦距为10,点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为（）．A.错误!－错误!＝1B.错误!－错误!＝1C.错误!－错误!＝1D.错误!－错误!＝1解析不妨设a>0，b〉0，c＝错误!。
据题意，2c＝10，∴c＝5。
①双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，且P（2，1)在C的渐近线上，∴1＝错误!。
②由①②解得b2＝5，a2＝20，故正确选项为A.答案A3．已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则错误!·错误!的最小值为( ）．A．－2 B．－错误!C．1 D．0解析设点P（x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0），F2（2,0）,则有错误!＝x2－1，y2＝3（x2－1），错误!·错误!＝（－1－x，－y)·(2－x，－y）＝(x＋1）（x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝4错误!2－错误!,其中x≥1.因此，当x＝1时,错误!·错误!取得最小值－2，选A。
答案A4．过双曲线错误!－错误!＝1(a〉0，b>0）的左焦点F(－c,0）（c>0)作圆x2＋y2＝错误!的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P,若错误!＋错误!＝2错误!，则双曲线的离心率为（）．A。
2 B。
错误!C。
错误! D.错误!解析设双曲线的右焦点为A，则错误!＝－错误!,故错误!＋错误!＝错误!－错误!＝错误!＝2错误!，即OE＝错误!AP.所以E是PF的中点，所以AP＝2OE＝2×错误!＝a.所以PF＝3a.在Rt△APF中,a2＋（3a）2＝(2c）2，即10a2＝4c2,所以e2＝错误!，即离心率为e＝错误!＝错误!，选C.答案C5．已知双曲线x24－错误!＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ）．A. 5 B．4 2 C．3 D．5解析易求得抛物线y2＝12x的焦点为（3,0)，故双曲线错误!－错误!＝1的右焦点为（3，0），即c＝3,故32＝4＋b2,∴b2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为错误!＝错误!.答案A6．如图,已知点P为双曲线错误!－错误!＝1右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心,若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则λ的值为（)A.错误!B。
高中双曲线知识点
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5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F( 7 ，0)直线y=x-
1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为
2 3
，则此
双曲线的方程是( D )
(A) x2 y2 1
34
(C) x2 y2 1
52
(B) x2 y2 1
43
(D) x2 y2 1
52
能力·思维·方法
1. 求与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线，且过点M(2,-2)的双
课前热身
1．如果方程 x2 y2 1表示双曲线，则实数m的取值
m -1 2-m
范围是( D )
(A)m＞2 (C)-1＜m＜2
(B)m＜1或m＞2 (D)-1＜m＜1或m＞2
2．若椭圆
x2 a2
by22
1ab0的离心率为32，则双曲线
x2 a2
y2 b2
1的离心率是(
Ｂ)
(A) 5
(B) 5
(C) 3
返回 4. 已知双曲线x2/a2-y2/b2=1的离心率e＞1+√2，左、右焦点
分别为F1，F2，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找到
一点P，使得|PF1|是P到l 的距离d与|PF2|的等比中项?
【解题回顾】1＜e≤1+√2是双曲线x2/a2-y2/b2=1 ，左支上存在
P 点 ， 使 |PF1|2=|PF2|·d 成 立 的 充 要 条 件 ， 例 如 双 曲 线 x2/20y2/25=1的离心率e=3/2＜1+√2，则这样的P
延伸·拓展
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5.已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a＞0，b点A(0，-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为 3
双曲线知识点归纳总结高中
双曲线知识点归纳总结高中双曲线是高中数学中一个重要的概念，是二次曲线的一种。
它的形状与椭圆和抛物线有所不同，具有独特的特点和性质。
在学习双曲线的过程中，我们需要了解它的定义、方程、性质以及与其他数学概念的关系。
一、双曲线的定义双曲线是平面上所有到两个固定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点的轨迹。
这两个固定点被称为焦点，常数2a则是该双曲线的主轴长度。
二、双曲线的方程对于一个位于坐标原点的双曲线，它的方程可以表示为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
其中，a和b分别表示主轴长度的一半，且a > 0，b > 0。
方程中的符号正负取决于焦点的位置与坐标轴的关系。
三、双曲线的性质1. 双曲线是对称的，关于x轴和y轴都有对称轴。
2. 双曲线是无界的，无论在x轴还是y轴方向都没有范围限制。
3. 双曲线有两个分支，分别向外延伸。
4. 双曲线的离心率是大于1的实数，可以用来描述其扁平程度。
四、双曲线的焦点和准线1. 焦点：双曲线的焦点是定义中提到的那两个固定点，它们位于双曲线的主轴上。
2. 准线：双曲线的准线是与轨迹上每个点的切线平行的直线。
五、双曲线与其他数学概念的关系1. 长轴和短轴：双曲线的主轴长度由长轴和短轴定义，长轴是两个焦点之间的距离，短轴是主轴上的中线段。
2. 离心率：双曲线的离心率是一个重要的概念，可以用来描述焦点和准线之间的距离比例。
3. 常见双曲线：双曲线有很多变种，常见的有右开口和左开口的双曲线。
六、应用领域双曲线在很多科学和工程领域有广泛的应用。
在物理学中，双曲线可以描述牛顿引力定律中的两个天体之间的运动轨迹。
在电磁学中，双曲线可以表示电荷在电场中的运动轨迹。
在工程学中，双曲线可以用来设计反射器和天线。
双曲线作为一个重要的数学概念，不仅在高中数学中常出现，而且在更高级的数学研究和应用中也有着重要的地位。
通过深入学习双曲线的定义、方程、性质以及与其他数学概念的关系，我们可以更好地理解和应用数学知识。
高考双曲线知识点总结
高考双曲线知识点总结一、双曲线的定义和性质1. 双曲线的定义双曲线是平面上的一类曲线，其定义为到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
2. 双曲线的性质（1）双曲线的标准方程双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（横轴为实轴）或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（纵轴为实轴）。
其中，a和b分别为横轴和纵轴半轴的长度。
（2）双曲线的对称性双曲线关于x轴、y轴、原点对称。
（3）渐近线双曲线有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
（4）焦点和直焦距双曲线的焦点定义为到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
焦点之间的距离称为直焦距。
（5）双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
双曲线与它的渐近线有如下关系：a）当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$时，它的渐近线是x=±a，当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=-1$时，它的渐近线是y=±b;b）当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}<1$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}<1$时，它的渐近线是y=ax或x=ay;c）当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}>0$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}>0$时，它的渐近线是没有。
（６）四条特殊的双曲线内离心双曲线，外离心双曲线，右开弧双曲线，左开弧双曲线。
二、双曲线的图像与方程1. 双曲线的图像（1）当$a>b$时，双曲线的图像为两支开口朝左右的曲线，焦点在横轴上。
双曲线及其性质知识点及题型归纳总结
双曲线及其性质知识点及题型归纳总结知识点精讲一、双曲线的定义平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值．．．．．等于常数（大于零且小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为{})20(22121F F a a MF MF M<<=-.注（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.（2）当212F F a =时，点的轨迹是以1F 和2F 为端点的两条射线；当02=a 时，点的轨迹是线段21F F 的垂直平分线.（3）212F F a >时，点的轨迹不存在. 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：①条件“a F F 221>”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2a ，2b 的值），注意222c b a =+的应用.二、双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质如表10-2所示.题型归纳及思路提示题型1 双曲线的定义与标准方程 思路提示求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数a ，b ，c ，即利用待定系数法求方程.（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程.例10.11 设椭圆1C 的离心率为135，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（ ）A. 1342222=-y xB. 15132222=-y xC. 1432222=-y xD. 112132222=-y x解析 设1C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则⎪⎩⎪⎨⎧==135262a c a ，得⎩⎨⎧==513c a .椭圆1C 的焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，因为218F F <，且由双曲线的定义知曲线2C 是以21,F F 为焦点，实轴长为8的双曲线，故2C 的标准方程为1342222=-y x ，故选A.变式 1 设命题甲：平面内有两个定点21,F F 和一动点M ，使得21MF MF -为定值，命题乙：点M 的轨迹为双曲线，则命题甲是命题乙的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件变式 2 已知)0,2(-M 和)0,2(N 是平面上的两个点，动点P 满足2=-PN PM ，求点的P 轨迹方程.变式 3已知)0,2(-M ，)0,2(N ，动点P 满足22=-PN PM ，记动点的P 轨迹为W ，求W 的方程. 例10.12 求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1）经过点)2,5(-，焦点为)0,6(；（2）实半轴长为32且与双曲线141622=-y x 有公共焦点； （3）经过点)72,3(P ，)7,26(-. 分析 利用待定系数法求方程.设双曲线方程为“)0,0(12222>>=-b a b y a x ”，或“x bay =”，求双曲线方程，即求参数a ，b ，为此需要找出并解关于a ，b 的两个方程. 解析 （1）解法一：因为焦点坐标为)0,6(，焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x b a y -=，又双曲线过点)2,5(-，所以142522=-ba ，又因为6=c ，所以622=+b a ，解得52=a ，12=b ，故所求双曲线方程为1522=-y x . 解法二：由双曲线的定义a MF MF 221=-，()()=+--=+---++-=610356103526526522222a52530530=---.得5=a ，6=c 故1=b ，双曲线方程为1522=-y x .（2）解法一：由双曲线方程141622=-y x ，得其焦点坐标为)0,52(1-F ，)0,52(2F ，由题意，可设所求双曲线方程为x bay -=，由已知32=a ，52=c ，得8222=-=a c b ，故所求双曲线方程为181222=-y x . 解法二：依题意，设双曲线的方程为)164(141622<<-=+--k ky k x ， 由()k -=16322.得4=k ，故所求曲线的方程为181222=-y x . （3）因为所求双曲线方程为标准方程，但不知焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为)0(122<=+mn ny mx ，因为所求双曲线经过点)72,3(P ，)7,26(-，所以⎩⎨⎧=+=+149721289n m n m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=251751n m ，故所求双曲线方程为1752522=-x y . 评注 求双曲线的标准方程一般用待定系数法，若焦点坐标确定，一般仅有一解；若焦点坐标不能确定是在x 轴上还是在y 轴上，可能有两个解，而分类求解较为繁杂，此时可设双曲线的统一方程)0(122<=+mn ny mx ，求出即可n m ,，这样可以简化运算.变式 1 根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且过点)33,3(-； （2）与双曲线141622=-y x 有公共焦点；且过点)2,23(.变式 2 若动圆M 与圆()93:221=++y x C 外切，且与圆()13:222=+-y x C 内切，求动圆M 的圆心M 的轨迹方程.例10.13 已知双曲线的离心率为2，焦点分别为)0,4(-，)0,4(，则双曲线方程为（ ）A. 112422=-y x B. 141222=-y x C. 161022=-y x D.110622=-y x 解析 由焦点为)0,4(-，)0,4(，可知焦点在x 轴上，故设方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，且2==ace ，故2=a .所以42=a ，162=c ，12222=-=a c b ，故所求双曲线的方程为112422=-y x .故选A. 变式 1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 3=，一个焦点在抛物线x y 242=的准线上，则双曲线的方程为（ ）A. 11083622=-y x B.127922=-y x C.13610822=-y x D.192722=-y x 变式 2 已知双曲线1:2222=-by a x C 的焦距为10，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）A. 152022=-y x B.120522=-y x C.1208022=-y x D.1802022=-y x 变式 3 已知点)4,3(-P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 渐近线上的一点，E ，F 是左、右两个焦点，若0=⋅FP EP ，则双曲线的方程为（ ）A. 14322=-y x B. 13422=-y x C.116922=-y x D. 191622=-y x 题型2 双曲线的渐近线思路提示掌握双曲线方程与其渐近线方程的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程可得出a ，b 的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件.另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长b .例10.14 双曲线14222-=-y x 的渐近线方程为（ ） A. x y 2±=B. x y 2±=C. x y 22±= D. x y 21±= 分析 对不标准的圆锥曲线方程应首先化为标准方程，再去研究其图形或性质，不然极易出现错误.解析 双曲线的标准方程为12422=-x y ，焦点在y 轴上，且42=a ，22=b ，故渐近线方程为x b ay ±=，故所求渐近线方程为x y 22±=，即x y 2±=.故选A. 评注 应熟记，若双曲线的标准方程为12222=-b y a x ，则焦点落在x 轴上，渐近线方程为x a by ±=；若双曲线的标准方程为12222=-b x a y ，则焦点落在y 轴上，渐近线方程为x b ay ±=.本题也可以直接写出渐近线方程为04222=-y x ，化简得x y 2±=. 变式 1已知双曲线)0(1222>=-b by x 的一条渐近线的方程为x y 2=，则b _________变式 2 设双曲线)0(19222>=-a y ax 的渐近线方程为023=±y x ，则a 的值为（ ） A.4B.3C.2D.1变式 3 已知双曲线)0(12222>=-b b y x 的左、右焦点分别为21,F F ，其中一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在该双曲线上，则21PF PF ⋅等于（ ）A.-12B.-2C.0D.4例10.15 双曲线191622=-y x 的一个焦点到其渐近线的距离是_________. 解析 由题设可知其中一条渐近线方程为043=+y x ，则焦点)0,5(到该渐近线的距离3435322=+⨯=d .评注 双曲线12222=-by a x 的一个焦点到其渐近线的距离（焦渐距）为b .变式 1双曲线13622=-y x 的渐近线与圆())0(3222>=+-r r y x 相切，则=r （ ） A. 3B. 2C.3D.6变式 2 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线均和圆056:22=+-+x y x C 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A. 14522=-y x B. 15422=-y x C. 16322=-y x D. 13622=-y x 例10.16 过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若AB 21=BC ，作为双曲线的渐近线方程为_______. 解析 解法一：对于)0,(a A ，则直线方程为0=-+a y x ，将该直线分别与两渐近线联立，解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a ab b a a B ,2，⎪⎪⎭⎫⎝⎛---b a ab b a a C ,2，则有=BC ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2222222,2b a b a b a b a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=b a ab b a abAB ,，因为AB 21=BC ，则222b a b a b a ab -=+-，得a b 2=，故224a b =，得双曲线方程为142222=-ay a x ，则双曲线的渐近线方程为02=±y x . 解法二：如图10-5所示，过C 点作BO CD //交x 轴于点D ，作x CH ⊥轴于H ，则由AB 21=BC ，得AO 21=OD ，故)0,2(a D -. 又COD BOA CDO ∠=∠=∠，所以CO CD =，则H 为OD 中点，即)0,(a H -. 又在直角三角形CHA 中，︒=∠45CHA ，故a AH CH 2==，即)2,(a a C -.故22-=-==-aak a b OC ，即2=ab，故双曲线的渐近线方程为02=±y x . 评注 在解法一种，若注意到AB AC 3=，则可利用B C y y 3=巧妙求解；解法二更能帮助我们挖掘出图形的本质特征.变式 1 过双曲线1:22=-y x C 的右顶点A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于P ，Q 两点，且AQ PA 2=，则直线l 的斜率为_____________.题型3 离心率的值及取值范围 思路提示求离心率的本质就是探求a ，c 间的数量关系，知道a ，b ，c 中任意两者的等式关系或不等关系便可求解出e 或其范围，具体方法为标准方程法和定义法.例10.17 已知双曲线13422=-y x ，则此双曲线的离心率e 为（ ） A.21B.2C. 22D.27解析 由题意可知42=a ，32=b ，故7222=+=b a c ，所以离心率27==a c e .故选D. 评注 本题若借用公式27474311222=⇒=+=+=e ab e ，则更为简洁，因为此种方法在求解过程中避开了基本量c 的求解，从而使得求解过程变得更为简捷.但是同学们应对公式：椭圆中)10(1222<<-=e a b e ；双曲线中)1(1222>+=e ab e ，加以熟练识记.变式 1 下列双曲线中离心率为26的是（ ） A. 14222=-y x B. 12422=-y x C. 16422=-y x D.110422=-y x 变式 2 已知点)3,2(在双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 上，C 的焦距为4，则它的离心率为______.变式 3 已知双曲线1422=+my x 的离心率)2,1(∈e ，则m 的取值范围是（ ） A.)0,12(-B.)0,(-∞ C.)0,3(- D.)12,60(-- 例10.18 已知双曲线的渐近线方程是02=±y x ，则该双曲线的离心率等于________分析 因为不确定焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以需分情况求解，由渐近线中的a ，b 关系，结合222b a c +=得出离心率.解析 依题意，双曲线的渐近线方程是x y 2±=.若双曲线的焦点在x 轴上，则因为双曲线的渐近线方程为x a b y ±=，故有2=ab，所以离心率5122=+=ab e ；若双曲线的焦点在y 轴上，则因为双曲线的渐近线方程为x b a y ±=，故有2=b a ，即21=a b ，所以离心率25122=+=ab e ；故离心率e 等于5或25.评注 ①若双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x 时（焦点在x 轴上），其渐近线方程为x a by ±=；若双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a b x a y 时（焦点在y 轴上），其渐近线方程为x bay ±=；②若双曲线的渐近线方程为)0(>±=k kx y ；则其离心率21k e +=（焦点在x 轴上）或211ke +=（焦点在y 轴上）；③若双曲线的离心率为e ，则其渐近线方程为x e y ⋅-±=12（焦点在x 轴上）或x e y ⋅-±=112（焦点在y 轴上）.变式 1 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点)2,4(-，则它的离心率为（ ）A.6B.5C.26D.25 变式 2 若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率3=e ，则其渐近线方程为______.例10.19 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x .（1）若实轴长，虚轴长，焦距成等差数列，则该双曲线的离心率_________；（2）若实轴长，虚轴长，焦距成等比数列，则该双曲线的离心率_________.解析 （1）由题设可知c a b +=2，且222b ac +=，故2222⎪⎭⎫⎝⎛+=-c a a c ，得4c a a c +=-，即a c 53=，所以35=e . （2）由题设可知ac b =2，且222b a c +=，即ac a c =-22，由ac e =可得012=--e e ，得215+=e 或251-（舍去），所以215+=e . 变式 1 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（ ）A.2B.3C.213+D.215+变式 2 如图10-6所示，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个顶点为21,A A ，虚轴两个端点为21,B B ，两个焦点为21,F F ，若以21A A 为直径的圆内切于菱形2211B F B F ，切点分别为D C B A ,,,.则（1）双曲线的离心率=e _________.（2）菱形2211B F B F 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值=21S S例10.20 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 作倾斜角为︒30的直线交双曲线右支于点M ，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A.6B.3C.2D.33解析 依题意，如图10-7所示，不妨设12=MF ，则21=MF ，321=F F ，则3222121=-===MF MF F F a ca c e ，故选B. 变式1 已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，M 为双曲线上的点，若21MF MF ⊥，︒=∠3012F MF ，则双曲线的离心率为（ ）A.13-B.26C.13+D.213+变式2 已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 621=+，且21F PF ∆的最小内角为︒30，则C 的离心率为_____________.例10.21 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，若P 为其上一点，且212PF PF =，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A.)3,1(B.(]3,1 C.),3(+∞ D.[)+∞,3 解析 解法一：由双曲线的定义知a PF PF 221=-，212PF PF =，故a PF 41=，a PF 22=，又c F F PF PF 22121=≥+，故c a 26≥，即3≤e ，又1>e ，故31≤<e ，故选B.解法二：利用21PF PF 的单调性，22221212PF aPF a PF PF PF +=+=，随2PF 的增加，21PF PF 减小，也就是说，当P 点右移时，21PF PF 值减小，故要在双曲线上找到一点P ，使得221=PF PF ，而当P 点在双曲线的右顶点时，221≥PF PF ，得c a ac ca ≥⇒≥-+32，则31≤<e ， 故选B.评注 若在双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上存在一点P ，使得)1(21>=λλPF PF ，则111-+≤<λλe ，注意与椭圆中)1(111><≤+-λλλe 类似结论的区分和对比识记. 变式1 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若双曲线上存在点P 使caF PF F PF =∠∠1221sin sin ，则该双曲线的离心率的取值范围是____________.题型4 焦点三角形 思路提示对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即a PF PF 221=-，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用θsin 212121PF PF S F PF ⋅=∆，a PF PF 221=-及余弦定理等知识；若未知角，则用022121y c S F PF ⋅⋅=∆. 例10.22 过双曲线13422=-y x 左焦点1F 的直线交双曲线的左支于两点N M ,，2F 为其右焦点，则MN NF MF -+22的值为_________.分析 利用双曲线的定义求解解析 如图10-8所示，由定义知412=-MF MF ，12=-NF NF 所以()81122=+-+NF MF NF MF ，所以22=-+MN NF MF变式 1 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点，21,F F 是该双曲线的两个焦点，若2:3:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为（ ）A. 36B.12C. 312D.24变式 2 双曲线1422=-y x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，21F PF ∆的面积为3，则21PF PF ⋅等于（ ） A.2B.3C.-2D.3- 变式 3 已知21,F F 分别为双曲线1279:22=-y x C 左、右焦点，点C A ∈，点M 的坐标为)0,2(，AM 为21AF F ∠的平分线，则=2AF __________.有效训练题1. 已知双曲线1722=-y m x ，直线l 过其左焦点1F ，交双曲线左支于B A ,两点，且4=AB ，2F 为双曲线的右焦点，2ABF ∆的周长为20，则的值为（ ） A. 8B. 9C. 16D. 202. 若点O 和点)0,2(-F 分别为双曲线)0(1222>=-a y ax 的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则FP OP ⋅的取值范围为（ ） A. [)+∞-,323B. [)+∞+,323C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,47D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,473. 已知21,F F 为双曲线222=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，212PF PF =，则=∠21cos PF F （ ） A.41B.53 C.43 D.544. 若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，则双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线方程为（ ） A. x y 21±= B. x y 2±= C. x y 4±= D. x y 21±=5. 双曲线C 的左、右焦点分别为21,F F ，且2F 恰好为抛物线x y 42=的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若21F AF ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2B. 21+C. 31+D. 32+6. 如图10-9所示，过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交轴y 于E ，若ME FM =，则该双曲线的离心率为（A.3B.2C. 3D. 27. 已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为)0,5(F ，则=a _______，=b ___________.8. 已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一个点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为_________.9. 若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，P 为双曲线上一点，且213PF PF =，则该双曲线离心率的取值范围是________.10. 根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线13422=-y x 有共同的渐近线，且过点)32,2(； （2）与双曲线191622=-y x 有公共焦点，且过点)4,22(-； （3）已知双曲线的渐近线方程为x y 32±=，且过点)1,29(-M ； （4）与椭圆1244922=+y x 有公共焦点，且离心率45=e .11. 中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点21,F F ，且13221=F F ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3:7.（1）求这两曲线方程；（2）若P 为这两曲线的一个交点，求21cos PF F ∠的值.12. 已知双曲线的中心在原点，焦点21,F F 在坐标轴上，离心率为2，且过点)10,4(-P . （1）求双曲线方程；（2）若点),3(m M 在双曲线上，求证：021=⋅MF MF ； （3）在（2）的条件下，求21MF F ∠∆的面积.。
(完整版)双曲线经典知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
(完整版)双曲线专题复习(精心整理).
《圆锥曲线》 ---------双曲线主要知识点1、双曲线的定义 :(1)定义： _____________________________________________________________(2)数学符号： ________________________(3)应注意问题：2、双曲线的标准方程：图像标准方程不一样点同样点注意：怎样依据双曲线的标准方程判断出它的焦点在哪个轴上？进一步，怎样求出焦点坐标？3、双曲线的几何性质标准方程焦点焦距性范围极点质实轴虚轴对称性离心率渐近线注意：（ 1）怎样比较标准地在直角坐标系中画出双曲线的图像？（2）双曲线的离心率的取值范围是什么？离心率有什么作用？（3）当a b时，双曲线有什么特色？4．双曲线的方程的求法（1）双曲线的方程与双曲线渐近线的关系①已知双曲线段的标准方程是x2y21 (a 0, b 0)x2y21(a 0, b 0) ），a2b2（或2a2b则渐近线方程为________________________________________________________________ ；②已知渐近线方程为 bx ay0 ，则双曲线的方程可表示为__________________________ 。
（2）待定系数法求双曲线的方程x2y21 有共同渐近线的双曲线的方程可表示为_______________________ ；①与双曲线b2a2②若双曲线的渐近线方程是y b_____________________ ；x ，则双曲线的方程可表示为ax2y21 共焦点的双曲线方程可表示为_______________________________ ；③与双曲线b2a2④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为______________________________________ ；x2y2⑤与椭圆a2b2 1 (a b 0) 有共同焦点的双曲线的方程可表示为______________________________________________________________________________ 。
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《圆锥曲线》---------双曲线主要知识点1、 双曲线的定义:(1) 定义：_____________________________________________________________ (2) 数学符号：________________________ (3) 应注意问题：2注意：如何根据双曲线的标准方程判断出它的焦点在哪个轴上？进一步，如何求出焦点坐标？3注意：（1）如何比较标准地在直角坐标系中画出双曲线的图像？ （2）双曲线的离心率的取值范围是什么？离心率有什么作用？ （3）当时b a ，双曲线有什么特点？ 4．双曲线的方程的求法（1）双曲线的方程与双曲线渐近线的关系①已知双曲线段的标准方程是22221x y a b -=(0,0)a b >>（或22221(0,0)x y a b b a-=>>），则渐近线方程为________________________________________________________________； ②已知渐近线方程为0bx ay ±=，则双曲线的方程可表示为__________________________。
（2）待定系数法求双曲线的方程①与双曲线22221x y a b-=有共同渐近线的双曲线的方程可表示为_______________________；②若双曲线的渐近线方程是by x a=±，则双曲线的方程可表示为_____________________；③与双曲线22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可表示为_______________________________；④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为______________________________________；⑤与椭圆22221x y a b+=(0)a b >>有共同焦点的双曲线的方程可表示为______________________________________________________________________________。
5．双曲线离心率的有关问题 （1）ce a=，1e >，它决定双曲线的开口大小，e 越大，开口越大。
（2）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率2e =。
（3）双曲线离心率及其范围的求法。
①双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法求解。
②双曲线离心率范围的求解，一般可以从以下几个方面考虑：a ．与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；b ．通过判别式∆；c ．利用点在曲线内部形成的不等式关系；d ．利用解析式的结构特点。
6、直线与双曲线的位置关系的判定及相关计算（1）直线与双曲线的位置关系有：____________、____________、____________ 注意:如何来判断位置关系？（2）若斜率为k 的直线被双曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2,y 2)，则相交弦长 =AB _____________________ 二、典型例题：考点一：双曲线的定义例1 已知动圆M 与圆C 1：(x +4)2+y 2=2外切，与圆C 2：(x -4)2+y 2=2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程.变式训练：由双曲线4922y x -=1上的一点P 与左、右两焦点F 1、F 2构成△PF 1F 2，求△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点坐标.巩固训练：(1).F 1、F 2是双曲线162x －202y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.(2).过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是.(3).一动圆与两定圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为 A.椭圆 B. 双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线考点二：双曲线的方程例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线16922y x -=1有共同的渐近线，且过点（-3，23）；（2）与双曲线41622y x -=1有公共焦点，且过点（32，2）.变式训练：已知双曲线的渐近线的方程为2x ±3y =0, （1）若双曲线经过P （6，2），求双曲线方程； （2）若双曲线的焦距是213，求双曲线方程； （3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.巩固训练：(1)求与椭圆221255x y +=共焦点且过点的双曲线的方程； (2)中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，求双曲线的标准方程；(3)已知双曲线的离心率e =(5,3)M - ，求双曲线的方程；(4)与双曲线1422=-y x 有共同渐近线，且过点)2,2(的双曲线方程; (5)已知双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的两条渐近线方程为x y 33±=，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_________________.(6).已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围是__________________. (7).经过两点)3,72(),26,7(B A --的双曲线的标准方程为___________.考点三：双曲线的几何性质例3 双曲线C ：2222b y a x -=1 (a ＞0,b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q （2a ，0），若C 上存在一点P ，使·=0，求此双曲线离心率的取值范围.变式训练：已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2,且过点P （4，-10）.（1）求双曲线方程；（2）若点M （3，m ）在双曲线上，求证：1·2MF =0；（3）求△F 1MF 2的面积.巩固训练：（1）已知双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线的离心率是：A.1B. 2C.3D.4(2)已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为: A.2 B. 3 C.263 D.233(3)设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_________.(4)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为F (4，0)，过双曲线的右顶点作垂直于x 轴的垂线交双曲线的渐近线于A ，B 两点，O 为为坐标原点，则△AOB 面积的最大值为: A. 8 B. 16 C. 20 D. 24考点四：双曲线的离心率例1、已知F 1、F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 1作垂直于X轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△AF 2B 是直角三角形，求双曲线的离心率。
变式训练：1、若△AF 2B 是等边三角形，则双曲线的离心率为__________。
2、若△AF 2B 是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为________。
3、若△AF 2B 是钝角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为________。
巩固训练：1、已知F 1、F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 2作倾斜角为︒60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线的离心率的取值范围。
2、已知F 1、F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 2作垂直于渐近线的直线与双曲线的两支都相交，求双曲线的离心率的取值范围。
3、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 没有公共点，则k 的取值范围为_______,有两个公共点，则k 的取值范围为_______,有一个公共点，则k 的取值范围为_______,与左支有两个公共点，则k 的取值范围为_______。
考点五：双曲线中的焦点三角形例、设F 1和F 2为双曲线22x y 1169-=的两个焦点，P 是双曲线上一点，已知∠F 1PF 2=600求△F 1PF 2的面积变式训练：设F 1和F 2为双曲线22x y 1169-=的两个焦点，P 是双曲线上一点， 已知∣PF 1∣∣PF 2∣=32,求∠F 1PF 2的余弦值与三角形F 1PF 2面积 巩固训练：1. 双曲线221169x y -=左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABF △（2F 为右焦点）的周长是____________2、已知定点A B ，，且6AB =，动点P 满足4PA PB -=，则PA 的最小值是．3、 设F 1和F 2为双曲线22xy 14-=的两个焦点，P 为双曲线上一点，若∠F 1PF 2=900, 则三角形F 1PF 2面积是4、设F 1和F 2为双曲线22x y 1169-=的两个焦点，P 是双曲线上一点，已知∠F 1PF 2=600则P 点到F 1和F 2两点的距离之和为___________5、已知双曲线C 2222x y 1a b-=（a>0,b>0）的两个焦点为F 1(-2,0) ,F 2(2,0),点P （3双曲线C 上（1）求双曲线C 的方程（2）记O 在坐标原点，过Q （0，2）的直线L 与双曲线C 相交于不同的两点E,F ，若△OEF 的面积L 的方程考点六：直线和双曲线的位置关系例4. 已知曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率3e =，直线l 过A (a ，0)、B (0,)b -两点，原点O 到l 。
(1)求双曲线的方程；(2)过点B 作直线m 交双曲线于M 、N两点，若23-=⋅OM ，求直线m 的方程。
变式训练：直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B.（Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.巩固训练：1、已知双曲线2222x y -=的左、右两个焦点为1F , 2F ，动点P 满足|P 1F |+| P 2F |=4.①求动点P 的轨迹E 的方程；②设过2F 且不垂直于坐标轴的动直线l 交轨迹E 于A 、B 两点，问：终段O 2F 上是否存在一点D ，使得以DA 、DB 为邻边的平行四边形为菱形?作出判断并证明. 2、已知双曲线C ：λ-12x -λ2y =1（0＜λ＜1）的右焦点为B ，过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点，试确定λ的范围，使OM ·ON =0，其中点O 为坐标原点.3、已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F 1(-3,0),一条渐近线的方程是5x -2y =0. (1)求双曲线C 的方程;(2)若以k (k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ,N 且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281,求k 的取值范围.。