文科圆锥曲线专题练习及问题详解

文科圆锥曲线

1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b

+=>>的左、右焦点，P 为直线32a

x =上一点，12PF F ?是底角为30的等腰三

角形，则E 的离心率为（ ）

()

A 12 ()

B 23 ()

C 3

4

()

D 4

5

【答案】C

【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思

想，是简单题.

【解析】∵△21F PF 是底角为0

30的等腰三角形， ∴322c a =

，∴e =3

4

， ∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，

2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）

()A ()B ()C 4 ()D 8

【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.

【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解

得y =||AB =a =2，

∴C 的实轴长为4，故选C.

3.已知双曲线1C ：22

221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距

离为2，则抛物线2C 的方程为

(A) 2x y =

(B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质

解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为

（A ）

2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22

1124

x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。

【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2

2448a a c c

=?==，所以2

2

2

844b a c =-=-=。故选答案C

5.已知1F 、2F 为双曲线22

:2C x y -=的左、右焦点，点

P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=

（A ）

14 （B ）35 （C ）34 （D ）45

【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。

【解析】解：由题意可知，,2a b c ==∴=，设12||2,||PF x PF x ==

，则12||||2PF PF x a -===

12|||PF PF ==124F F =

，利用余弦定理可得

222121212123cos 24PF PF F F F PF PF PF +-∠===?。

6. 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点。若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，

则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A.3

B.2

C.

D. 【命题意图】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质，通过对两者公交点求解离心率的关系.

【解析】设椭圆的长轴为2a ，双曲线的长轴为2a '，由M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则222a a '=?，即2a a '=，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c ，则双曲线的离心率为c e a '=

'，c e a =，2e a

e a '=='

. 7.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）

A

、 B

、 C 、4 D

、 [解析]设抛物线方程为y 2=2px(p>0),则焦点坐标为（

0,2p ），准线方程为x=2

p

-, 3

2)22(2||22,22

2,13

2p 22p -222022

02=+=∴∴===+=+∴∴OM M y p y M M 有：），根据两点距离公式（点解得：）（）（线的距离，即到焦点的距离等于到准在抛物线上，

[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点，F 为抛物线的焦点，d 为点M 到准线的距离). 8.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程2

2

1mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ）

A 、充分不必要条件

B 、必要不充分条件

C 、充分必要条件

D 、既不充分也不必要条件 【答案】B.

【解析】方程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，常数常数n m ,的取值为0,0,,m n m n >??

>??≠?

所以，由0mn >得不到程

122=+ny mx 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn >，【点评】本题主要

考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数n m ,的取值情况.属于中档题.

9.椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2。若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列，

则此椭圆的离心率为A.

14

B. C. 12

D.

【解析】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想. 利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+.又已知1AF ，12F F ，

1F B 成等比数列，故2()()(2)a c a c c -+=，即2224a c c -=，则225a c =.

故5c e a =

=

.

即椭圆的离心率为5

. 【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关,a c 的方程，然后化为有关,a c 的齐次式方程，进而转化为只含有离心率e 的方程，从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴

长及其标准方程的求解等.

10.已知双曲线C ：22x a -2

2y b =1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为

A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220

y =1 D.220x -2

80y =1[

【解析】设双曲线C ：22x a -2

2y b

=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.

又

C 的渐近线为b y x a =±

，点P （2,1）在C 的渐近线上，12b

a

∴=，即2a b =. 又2

2

2

c a b =+

，a ∴==∴C 的方程为220x -2

5

y =1.

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.

11.已知双曲线22x a -2

5

y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于

A

14 B

4

C 32

D 43

分析：本题考查的知识点为圆锥曲线的性质，利用离心率a

c

e =

即可。

解答：根据焦点坐标)0,3(知3=c ，由双曲线的简单几何性质知952

=+a ，所以2=a ，因此2

3

=

e .故选C. 二 、填空题

12.椭圆22

21(5

x y a a +

=为定值，且a 的的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB ?的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。【答案】3

2

，

[解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又52

2=-c a 3

2,2==∴=∴a c e c

[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.

13.）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线

22

214

x y m m -=+m 的值为 ▲ ．【答案】2。

【解析】由

22

214

x y m m -=+得a b c

∴=c e a 244=0m m -+，解得=2m 。

14右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.

【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点O 的坐标为（0,0），

设l 与抛物线的交点为A B 、，根据题意，知A （-2，-2），B （2，-2）． 设抛物线的解析式为2

ax y =， 则有()2

22-?=-a ，∴2

1

-=a ．

∴抛物线的解析式为22

1

x y -= 水位下降1米，则y =-3，此时有6=x 或6-=x ．

∴此时水面宽为62米．

15.设P 为直线3b y x a =与双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>> 左支的交点，1F 是左焦点，1PF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率e =

16.已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a b

y a x C 与双曲线1164:

2

22=-y x C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为

F ,则a = b =

【解析】双曲线的

116422=-y x 渐近线为x y 2±=，而12222=-b y a x 的渐近线为x a b y ±=，所以有2=a b ，a b 2=，又双曲线122

22=-b

y a x 的右焦点为)0,5(，所以5=c ，又222b a c +=，即222545a a a =+=，所以

2,1,12===b a a 。

三、解答题

17.已知椭圆错误！未找到引用源。（a>b>0）,点P （错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。）在椭圆上。 （I ）求椭圆的离心率。

（II ）设A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ 的斜率的值。

【解析】(Ⅰ)

点,)2

P a 在椭圆上

2222

222221153521188a a b b e e a b a a ?+=?=?=-=?=

(Ⅱ) 设(cos ,sin )(02)Q a b θθθπ≤<；则(,0)A a

22222

2

(1cos )sin 13cos 16cos 50cos 3

AQ AO a b a θθθθθ=?-+=?-+=?=

直线OQ

的斜率sin cos OQ b k a θ

θ

=

=18..在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上.

（1）求椭圆1C 的方程；

（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切，求直线l 的方程. 【答案】

【解析】（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，

点(0,1)P 代入椭圆22

221x y a b

+=，得211b =，即1b =，

所以2

2

2

2a b c =+=，

所以椭圆1C 的方程为2

212

x y +=. （2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，

2

21

2

x y y kx m ?+=???=+?

，消去y 并整理得222(12)4220k x kmx m +++-=， 因为直线l 与椭圆1C 相切，所以2222164(12)(22)0k m k m ?=-+-=， 整理得2

2

210k m -+= ①

24y x

y kx m

?=?

=+?，消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+=。 因为直线l 与抛物线2C 相切，所以222(24)40km k m ?=--=， 整理得1km = ②

综合①②，解得k m ?=???=?

或k m ?=???=?

。

所以直线l

的方程为2y x =

或2

y x =-。 19.【2102高考北京文19】(本小题共14分)

已知椭圆C ：22x a +22y b =1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （2,0

），离心率为2

， 直线y=k(x-1)与椭圆C 交与不同的

两点M,N

（Ⅰ）求椭圆C 的方程 （Ⅱ）当△AMN

的面积为

3

时，求k 的值 【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是非常熟悉的，相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。

解：（1

）由题意得2

2222a c

a a

b

c =??

?=

??=+??

解得b =所以椭圆C 的方程为22142x y +=. （2）由22(1)142

y k x x y =-???+

=??得2222

(12)4240k x k x k +-+-=.

设点M,N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则11(1)y k x =-，22(1)y k x =-，2122412k x x k +=+，2122

24

12k x x k

-=+. 所以

由因为点A(2,0)到直线(1y k x =-）

的距离d =，

所以△AMN

的面积为1||2S MN d =?=

=，解得1k =±.

20.【2012高考湖南文21】（本小题满分13分） 在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为1

2

的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2+y 2-4x+2=0的圆心.[ （Ⅰ）求椭圆E 的方程 【答案】

【解析】（Ⅰ）由22420x y x +-+=，得22(2)2x y -+=.故圆Ｃ的圆心为点

(2,0),从而可设椭圆Ｅ的方程为22

221(0),x y a b a b +=>>其焦距为2c ，由题设知

2221

2,,24,12.2

c c e a c b a c a ==

=∴===-=故椭圆Ｅ的方程为： 22

1.1612

x y += 21.【2012高考陕西文20】（本小题满分13分）

已知椭圆2

21:14

x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率。 （1）求椭圆2C 的方程；

（2）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA =，求直线AB 的方程。

【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆2C 的方程为()22

2124

y x a a +=>，

=4a =． 故椭圆2C 的方程为1

4162

2=+x y ．

（Ⅱ）解法一：A B ，两点的坐标分别为()()A A B B x y x y ，，，，

由2AB OA =及（Ⅰ）知，O A B ，，三点共线且点A B ，不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为kx y =．

将kx y =代入1422=+y x 中，得()

44122=+x k ，所以2

2

414k x A +=，

将kx y =代入22+1164

y x =中，得()22416k x +=，所以2

2164B x k =+， 又由2AB OA =，得2

2

4A B x x =，即

224116

416k k +=+．

解得1±=k ，故直线AB 的方程为x y =或x y -=． 解法二：A B ， 两点的坐标分别为()()B B A A y x y x ,,,，

由2=及（Ⅰ）知，O A B ，，三点共线且点A B ，不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为kx y =．

将kx y =代入1422=+y x 中，得()

44122=+x k ，所以2

2

414k x A +=，

又由2AB OA =，得2

24116k x B

+=，2

22

4116k k y B +=， 将22

,B

B

y x 代入141622=+x y 中，得141422=++k

k ，即2

2414k k +=+， 解得1±=k ，故直线AB 的方程为x y =或x y -=