一元三次方程求根公式
一元三次方程求根公式推导过程
一元三次方程求根公式推导过程一元三次方程的求根公式，即可利用一个公式求得该方程的三个根，可谓一个十分重要的数学公式。
其公式的推导过程，虽繁琐，但也是有一定的规律可循的。
本文将就这一推导过程，加以详述。
首先来看一元三次方程的一般形式：$$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$$将该方程的左右两边分别平方，得到：$$a^2x^6+2abx^5+2acx^4+b^2x^4+2bcdx^3+2acdx^2+cd^2x^2+2abdx +c^2=0$$将上式两边同时乘以$4a^3$，得到：$$4a^3x^6+8a^2bx^5+8a^2cx^4+4a^2b^2x^4+16a^2bcdx^3+16a^2acd x^2+4a^2cd^2x^2+8a^2abdx+4a^2c^2=0$$将上式整理得到：$$x^2(4a^3x^4+8a^2bx^3+8a^2cx^2+4a^2b^2x^2+16a^2bcdx+16a^2a cd)+c^2-4a^3d^2=0$$设 $P =4a^3x^4+8a^2bx^3+8a^2cx^2+4a^2b^2x^2+16a^2bcdx+16a^2acd$，则上式变为：$$x^2P+c^2-4a^3d^2 = 0$$再将上式整理得到：$$x^2P+(frac{-b}{2a})^2-frac{1}{4a^2}(4ac-b^2)=0$$ 把上式分解因式，即有：$$x^2+frac{-b}{2a}+frac{2ac-b^2}{4a^2P} = 0$$ 设$D = b^2-4ac$，则上式可写为：$$x^2+frac{-b}{2a}+frac{D}{4a^2P} = 0$$将上式左右两边同时乘以$frac{1}{4a^2P}$，得到：$$frac{x^2}{4a^2P}+frac{-b}{8a^3P}+frac{1}{16a^4P^2}D=0$$ 根据二次方程的求根公式，即有：$$x=frac{-2a^2Ppmsqrt{8a^2Pb+D^2}}{4a^3P}$$再将上式改写，即得最终的一元三次方程求根公式：$$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}-frac{2a^2P}{bpmsqrt{b^2-4ac }}$$由此可见，一元三次方程求根公式，是通过繁琐的整理、变形，最终才得到的。
一元三次方程万能求根公式
一元三次方程万能求根公式一元三次方程，听上去是不是有点吓人？其实它就像一道数学小题，咱们今天就来聊聊这个“万能求根公式”。
别担心，数学不一定得是严肃的，它也可以轻松有趣，咱们就像聊聊天一样。
想象一下你在海边捡贝壳，偶尔捡到一个特别的，嘿，就是一元三次方程！你心里想：“这玩意儿能干嘛？”其实它的世界大有可为。
这方程的形状就像个有点叛逆的孩子，写成了ax³ + bx² + cx + d = 0。
你一看就觉得，这一堆字母可不是简单的加减乘除呀。
可别急，其实它的背后藏着很多有趣的故事和小秘密。
咱们找找这个“万能求根公式”，听起来像是超能力一样，能让这复杂的方程轻松变得简单。
想象一下，拿出一把万能钥匙，哐当一下，门就开了，问题迎刃而解。
先来个大概念，咱们说的这个公式啊，通常写得有点复杂，但别被吓到。
其实就是为了找出那几个神秘的根，方程的解。
你可以把它看作是方程的好朋友，帮助它找到自己的归属。
想象一下，方程就像一个失落的小孩，根就是它的家，终于找到了可以回去的路。
说到这里，很多小伙伴可能会皱眉头：“这根到底是什么啊？”简单来说，根就是让方程等于零的那些数字。
比如说，咱们用这个公式来求解，可能会得到几个不一样的数字，嘿，这就是它的根。
就像你去找丢失的钥匙，结果翻遍了沙发底下，最后竟然在冰箱里找到了，哈哈，没想到吧？好，咱们再深入一点。
这个公式的确是有点长，像个古老的诗句，但其实它的用法不复杂。
你只需要代入你的系数 a、b、c 和 d，然后一通运算，哗啦啦，结果就出来了。
就像你跟朋友去做一顿丰盛的晚餐，准备食材、调料，然后一气呵成，最后享受美味的过程。
哎呀，光是想象都觉得美好。
很多人可能会觉得，这数学公式太高深，跟自己无缘。
其实啊，生活中到处都有数学的影子。
比如说，你在超市买菜，算算价格，或者打折的时候，看看划不划算，这不就是在做数学吗？一元三次方程也是其中之一，只不过它可能会让你感到一丝神秘感。
一元三次方程求根公式
一元三次方程求根公式三次方程新解法——盛金公式解题法三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
盛金公式（Shengjin's Formulas）一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，总判别式：Δ=B^2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；X2，X3=(－2b+(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3))/(6a)±3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))i/(6a)，其中Y1，Y2=Ab+3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。
当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；X2，X3=(－b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)。
求根的相关公式
求根的相关公式【原创版】目录一、引言二、求根公式的基本概念1.一元二次方程的求根公式2.一元三次方程的求根公式3.一元 n 次方程的求根公式三、求根公式的应用实例四、结论正文一、引言在数学中，求根公式是一种用于解决方程根的问题的工具，特别是在代数方程中。
通过求根公式，我们可以找到方程的解，这对于理解和解决许多实际问题都非常重要。
本文将介绍一元二次方程、一元三次方程和一元 n 次方程的求根公式。
二、求根公式的基本概念1.一元二次方程的求根公式一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是已知数，而 x 是未知数。
一元二次方程的求根公式为：x1,2 = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a其中，sqrt 表示平方根，b^2 - 4ac 被称为判别式。
2.一元三次方程的求根公式一元三次方程是形如 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 的方程，其中 a、b、c、d 是已知数，而 x 是未知数。
一元三次方程的求根公式较为复杂，通常使用卡尔丹公式（Cardano"s formula）表示：x = [q/2 + sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)]^(1/3) - [q/2 - sqrt((q/2)^2 + (p/3)^3)]^(1/3)其中，q = b^3 - 3abc，p = 2b^3 - 9abc + 27ad。
3.一元 n 次方程的求根公式对于一元 n 次方程，求根公式并不像一元二次方程和一元三次方程那样具有通用的表达式。
然而，根据代数学的理论，对于任何一元 n 次方程，都可以表示为如下形式：x = [cos(θ) - (b/a)sin(θ)]^(1/n) - [cos(θ) +(b/a)sin(θ)]^(1/n)其中，θ是方程的根，a、b、c 是方程中各项的系数，n 是方程的次数。
三、求根公式的应用实例求根公式在许多实际问题中都有应用，例如在物理学、化学、生物学和经济学等领域。
一元三次方程复数根求根公式
一元三次方程复数根求根公式一元三次方程是指形如ax^3+bx^2+cx+d=0的方程，其中a、b、c、d为实数且a≠0。
如果该方程没有实数根，则它一定有一对共轭复数根。
下面我们来介绍一元三次方程的复数根求根公式。
设一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的三个根分别为α、β、γ，由于它们是复数，因此可以表示为：α = p + qiβ = r + siγ = u + vi其中，p、q、r、s、u、v均为实数。
根据复数的定义，α、β、γ满足方程：(ax^2+bx+c)(x-α)(x-β)(x-γ) = 0将x=α、x=β、x=γ代入上式，可得：(ax^2+bx+c)(p-α)(p-β)(p-γ) = 0(ax^2+bx+c)(r-α)(r-β)(r-γ) = 0(ax^2+bx+c)(u-α)(u-β)(u-γ) = 0将上述三个式子相加，得到：(ax^2+bx+c)[(p-α)(p-β)(p-γ)+(r-α)(r-β)(r-γ)+(u-α)(u-β)(u-γ)] = 0因为ax^2+bx+c≠0，所以有：(p-α)(p-β)(p-γ)+(r-α)(r-β)(r-γ)+(u-α)(u-β)(u-γ) = 0对上式进行展开，得到：pqr + pqs + prs + qru + qsu + rsu - (p^2s + p^2u + q^2r + q^2u + r^2p + r^2s + s^2p + s^2u + u^2q + u^2r + v^2p + v^2q + v^2r + v^2s + v^2u) = 0移项后，得到：(pq + pr + qr + qu + rs + su) - (p^2 + q^2 + r^2 + s^2 + u^2 + v^2) + i(ps - qr) = 0因为α、β、γ是一对共轭复数根，所以它们的实部相等，虚部互为相反数，即：p + r + u = -b/aq + s + v = 0ps = qr代入上式，得到：3pq - b/a(p+q) + c/a = 0将ps = qr代入ax^3+bx^2+cx+d=0，得到：a(x-α)(x^2+px+q) = 0因为α是原方程的一个根，所以x=α代入上式应该成立，即： a(α-α)(α^2+pα+q) = 0即：α^2 + pα + q = 0同理，β、γ的方程分别为：β^2 + pβ + q = 0γ^2 + pγ + q = 0将α、β、γ的式子代入ps = qr，得到：(p+q)(r+s)(u+v) - 3(pq+rs+uv) = 0即：(p+q+r+s+u+v)^2 - 3(p^2+q^2+r^2+s^2+u^2+v^2) = 0 所以，解得：p+q+r+s+u+v = 0p^2+q^2+r^2+s^2+u^2+v^2 = (b^2-3ac)/a^2综上所述，一元三次方程的复数根求根公式为：p、q、r、s、u、v分别为：p = -(b/a)/3 + (2/3)√[(b^2-3ac)/a^2]q = -(b/a)/3 - (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]r = -(b/a)/3 - (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]s = -(b/a)/3 + (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]cos(θ)u = -(b/a)/3 + (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]cos(θ+2π/3) v = -(b/a)/3 + (1/3)√[(b^2-3ac)/a^2]cos(θ-2π/3) 其中，θ为任意角度。
一元三次方程求根公式推导
一元三次方程求根公式推导推导一元三次方程的求根公式可以基于维尔斯特拉斯方程，该方程是一个带参数的三次方程，具有一根已知解。
我们将在推导的过程中应用维尔斯特拉斯方程。
下面是详细的推导步骤：1.令y=x-α，其中α是一个待定常数。
将y代入原一元三次方程，并进行变形，得到新的方程a(y+α)^3+b(y+α)^2+c(y+α)+d=0。
展开并对y进行整理，得到a(y^3+3αy^2+3α^2y+α^3)+b(y^2+2αy+α^2)+c(y+α)+d=0。
2. 对表达式进行分组，得到 (ay^3 + by^2 + cy + d) + 3α(ay^2 + by + c) + 3α^2(ay + b) + α^3a + α^2b + αc + d = 0。
3. 根据原一元三次方程的定义，ay^3 + by^2 + cy + d = 0，因此第一项为 0，可以消去。
4. 对剩下的表达式控制进行整理，得到3α(ay^2 + by + c) +3α^2(ay + b) + α^3a + α^2b + αc + d = 0。
5. 接下来，我们需要选择α 的值，使得3α(ay^2 + by + c) +3α^2(ay + b) + α^3a + α^2b + αc + d = 0 中的二次项系数为 0。
令3α(ay^2 + by + c) + 3α^2(ay + b) = 0，消去α，并整理表达式，得到ay^2 + (2aα + b)y + α(ay + b) + c = 0。
6.根据二次项系数为0的条件，2aα+b=0，解得α=-b/(2a)。
7. 将α 的值代入到原一元三次方程中，得到a(y+α)^3 +b(y+α)^2 + c(y+α) + d = 0，展开并整理表达式，得到 a y^3 + (3αa + c)y^2 + (3α^2a + 2αc + d)y + (α^3a + α^2c + αd) = 0。
一元三次方程复数根求根公式
一元三次方程复数根求根公式一元三次方程是数学中的一个重要概念，在许多实际问题的处理中，都需要用到它的求解方法。
在复数域中，一元三次方程有一个特殊的求根公式，它可以在较简单的条件下求出三次方程的全部复数根。
本文主要介绍一元三次方程复数根求根公式的相关内容。
一、什么是一元三次方程？一元三次方程是指一个只有一个未知数的三次方程。
它的一般形式为：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0其中，a、b、c、d为已知常数，x为未知数。
二、一元三次方程的基本求解方法对于一般的一元三次方程，我们可以采用如下方法进行求解：步骤一：将一元三次方程化为标准形式。
如果a≠0，可将方程两边同时除以a；如果a=0，将方程变形，使其不含二次项。
步骤二：变形，将三次方程化为二次方程。
通过变量代换或公式变形，将三次方程转化为二次方程。
步骤三：求出二次方程的解。
采用求根公式或配方法等方法，求解二次方程。
步骤四：得到三次方程的解。
通过步骤二和步骤三的结果，求得三次方程的解。
但是，在某些情况下，采用上述方法难以求出一元三次方程的解。
此时，我们需要用到一元三次方程复数根求根公式。
三、一元三次方程复数根求根公式一元三次方程复数根求根公式可以用来求解一元三次方程在复数域中的全部解。
它的表达式如下：x1=(m + √n + √p + i(√n - √p))/3x2=(m - (√n + √p)/2 - i(√n - √p)√3/2)/3x3=(m - (√n + √p)/2 + i(√n - √p)√3/2)/3其中，i为虚数单位，m、n、p均为已知常数。
若x1、x2、x3的实部和虚部均为实数，则方程在实数域中有三个实根。
四、举例说明例如，求解一元三次方程x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0在复数域中的全部解。
根据一元三次方程复数根求根公式，我们可以得到：m=4/3，n=139/9，p=35/9于是，我们可以得到方程在复数域中的三个根：x1=(4/3 + √(139/9) + √(35/9) + i(√(139/9) - √(35/9)))/3≈1.6214+0.1784ix2=(4/3 - (√(139/9) + √(35/9))/2 -i(√(139/9) - √(35/9))√3/2)/3≈0.7827-1.0834i x3=(4/3 - (√(139/9) + √(35/9))/2 +i(√(139/9) - √(35/9))√3/2)/3≈0.5958+0.9049i 因此，一元三次方程x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0在复数域中的全部解为：x≈1.6214+0.1784i，x≈0.7827-1.0834i，x≈0.5958+0.9049i五、总结一元三次方程是数学中的一个基础概念，对于某些实际问题的处理十分重要。
一元三次方程求根公式化为乘积形式
一元三次方程求根公式化为乘积形式概述一元三次方程是数学中的重要概念，解决它的根是数学学习中的基本内容之一。
本文将介绍如何将一元三次方程的求根公式化为乘积形式，通过清晰简洁的语言和生动的示例，帮助读者更好地理解该概念。
一元三次方程一元三次方程是形如$a x^3+bx^2+c x+d=0$的方程，其中$a\n e q0$。
解决这样的方程需要运用一元三次方程求根公式。
一元三次方程求根公式一元三次方程的求根公式如下：$$x=-\fr ac{b}{3a}-\f ra c{u_1}{3a}-\f r ac{u_2}{3a}$$其中，$$u_1=\s qr t[3]{\fra c{q}{2}+\sq rt{\f r ac{q^2}{4}+\fra c{p^3} {27}}}$$$$u_2=\s qr t[3]{\fra c{q}{2}-\s qr t{\f ra c{q^2}{4}+\f ra c{p^3}{27}}}$$$$p=\f ra c{3a c-b^2}{3a^2}$$$$q=\f ra c{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$$公式化为乘积形式要将一元三次方程的求根公式化为乘积形式，需要将根据上述公式计算得到的解转化为乘积形式。
下面是具体的步骤：1.计算$p$和$q$的值；2.计算$u_1$和$u_2$的值；3.将$u_1$和$u_2$分别写成三角函数的形式（使用欧拉公式）；4.将$u_1$和$u_2$的三角函数形式转化为指数形式；5.将指数形式的$u_1$和$u_2$代入$x$的公式，化简得到乘积形式的解。
示例假设有一元三次方程$x^3-3x^2+3x-1=0$，根据上述公式计算如下：1.计算$p$的值：$$p=\f ra c{3a c-b^2}{3a^2}=\fr ac{3(3)(1)-(3)^2}{3(1)^2}=0$$2.计算$q$的值：$$q=\f ra c{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}=\fr ac{2(3)^3-9(3)(1)(1)+27(1)^2(-1)}{27(1)^3}=0$$3.计算$u_1$和$u_2$的值：$$u_1=\s qr t[3]{\fra c{q}{2}+\sq rt{\f r ac{q^2}{4}+\fra c{p^3} {27}}}=0$$$$u_2=\s qr t[3]{\fra c{q}{2}-\s qr t{\f ra c{q^2}{4}+\f ra c{p^3}{27}}}=0$$4.将$u_1$和$u_2$分别写成三角函数的形式：$$u_1=0$$$$u_2=0$$5.将$u_1$和$u_2$的三角函数形式转化为指数形式：$$u_1=1\cd ot e^{0i}=1$$$$u_2=1\cd ot e^{0i}=1$$6.将指数形式的$u_1$和$u_2$代入$x$的公式，化简得到乘积形式的解：$$x=-\fr ac{b}{3a}-\f ra c{u_1}{3a}-\f r ac{u_2}{3a}=-\f ra c{3}{3}-\f rac{1}{3}-\f ra c{1}{3}=-1$$所以，一元三次方程$x^3-3x^2+3x-1=0$的根可以表示为$x=-1$。
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一元三次方程求根公式目录盛金公式三次方程新解法——盛金公式解题法三次方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。
范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。
盛金公式（Shengjin's Formulas）一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=b2－3ac；B=bc－9ad；C=c2－3bd，总判别式：Δ=B2－4AC。
当A=B=0时，盛金公式①：X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。
当Δ=B2－4AC>0时，盛金公式②：X1=(－b－(Y1)1/3－(Y2)1/3)/(3a)；X2，X3=(－2b+(Y1)1/3+(Y2)1/3)/(6a)±31/2((Y1)1/3)－(Y2)1/3)i/(6a)，其中Y1，Y2=Ab+3a(－B±(B2－4AC)1/2)/2，i2=－1。
当Δ=B2－4AC=0时，盛金公式③：X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)。
当Δ=B2－4AC<0时，盛金公式④：X1=(－b－2A1/2cos(θ/3))/(3a)；X2，X3=(－b+A1/2(cos(θ/3)±31/2sin(θ/3)))/(3a)，其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A3/2)，(A>0，－1<T<1)。
盛金判别法盛金判别法（Shengjin's Distinguishing Means）① 当A=B=0时，方程有一个三重实根；② 当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；③ 当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；④当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
盛金定理盛金定理（Shengjin's Theorems）当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T<-1或T>1时，盛金公式④无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T<-1或T>1的值？盛金定理给出如下回答：盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。
盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式①解题）。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。
盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。
（此时，适用盛金公式④解题）。
盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1<T<1。
显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
注意：盛金定理逆之不一定成立。
如：当Δ>0时，不一定有A<0。
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。
任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。
与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。
重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。
国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。
范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。
（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, China. Vol. 2, No. 2；Dec，1989）, A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation.，Fan Shengjin. PP·91—98 .一元三次ax^3 +bx^2+cx+d=0可用求根公式x= 求解，它是由方程系数直接把根表示出来的公式。
这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔·花木子米给出。
南宋数学家秦九韶至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400 多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。
（《数学九章》等）一元三次方程求根公式一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。
卡尔丹公式的推导第一步：ax^3+bx^2+cx+d=0为了方便，约去a得到x^3+kx^2+mx+n=0令x=y-k/3 ，代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ，(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ，k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ，所以相加后y^2抵消，得到y^3+py+q=0，其中p=(-k^2/3)+m ，q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。
第二步：方程x^3+px+q=0的三个根为：x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)++[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)++w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)；x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)++w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，其中w=(-1+i√3)/2。
×推导过程：1、方程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ；2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ，3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。
再令x=y-s/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。
设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①，如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的两个根。
解之得，y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，不妨设A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，则u^3=A；v^3=B ，u= A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2 ；v= B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2 ，但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解：u1= A^(1/3)，v1= B^(1/3)；u2=A^(1/3)ω，v2=B^(1/3)ω^2；u3=A^(1/3)ω^2，v3=B^(1/3)ω，最后：方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3)；x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。
卡尔丹公式方程x^3+px+q=0，（p，q∈R）判别式△=(q/2)^2+(p/3)^3。
x1=A^(1/3)+B^(1/3)；x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。
这就是著名的卡尔丹公式。
卡尔丹判别法当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有一个实根和一对个共轭虚根；当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等；当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的实根。
根与系数的关系设ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0）的三根为x1，x2，x3，则x1+x2+x3=-b/a；x1x2+x2x3+x1x3=c/a；x1x2x3=-d/a。
一个三次方求根计算方法下面介绍一个三次方求根计算方法：X(n+1)=Xn+[A/X^2-Xn）1/3n,n+1是下角标，A被开方数。
例如，A=5，5介于1的3次方至2的3次方之间。
X0可以取1.1；1.2；1.3；1.4；1.5；1.6；1.7；1.8；1.9；2.0我们可以随意代入一个数，例如2，那么：第一步，2+[5/（2×2）-2]×1/3=1.7=X1；第二步，1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71=X2；第三步，1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709=X3；每次多取一位数。
公式会自动反馈到正确的数值。
一元三次方程置换群解法一元三次方程系数和根的关系如下：求出X,Y，后有这是个线性方程，其中为原方程的三个根！词条图片(共7张图片)返回词条返回所有图册。