条件概率定义
条件概率全概公式
例如，掷一颗均匀骰子A＝{掷出2点}，
B={掷出偶数点}，P(A )=1/6，P(A|B)=？
已知事件B发生，此时试验所
有可能结果构成的集合就是B，
掷骰子
B中共有3个元素，它们的出现是
等可能的，其中只有1个在集A中，
于是P(A|B)= 1/3. 容易看到：
P(A B)116P(AB ) 3 36 P(B)
A与B , A 与 B , A与 都B 是相互独立的。
例 3 一个均匀的正四面体,将第一面染成
红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四
面同时染上红、白、黑三种颜色，如果以A、
B、C分别表示投掷一次正四面体时红、白、
黑颜色着地的事件，由于在四个面中两面上
着红色，故 同理可知
PA 1
2
PBPC1
其 中 P ( F G ) 1 - P ( F ) P ( G ) 0 .9 3 7 5
代入得
P(W)0.782
二 、全概率公式 贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算 比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公 式和乘法公式的综合运用.
综合运用
加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
95 94 5 0.046 100 99 98
3、 事件的相互独立性 对乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A) ，有的
问题中事件B发生的概率与事件A发生的条 件下事件B发生的概率是相等的，即
PB|APB,
相当于无条件概率，B是否发生与A无关，从 而
P ( A B ) P ( A ) P ( B |A ) P ( A ) P ( B )
2
P A B P A C P B C 1 P AB 1C
概率的条件与独立总结
概率的条件与独立总结概率论是数学的一个重要分支，主要研究随机事件的发生规律以及计算其可能性大小。
在概率论中，条件概率与独立事件是两个基本的概念。
本文将从这两个角度出发，对条件概率与独立事件进行总结和讨论。
一、条件概率的概念与计算方法条件概率是指在给定某一条件下，事件发生的概率。
设A、B为两个事件，且P(B)≠0 ，则在事件B发生的条件下，事件A发生的概率记为P(A|B)。
计算条件概率的方法如下：P(A|B) = P(AB) / P(B)其中P(AB)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
二、条件概率的性质条件概率具有一些重要的性质。
首先，当两事件A、B相互独立时，条件概率P(A|B)与事件A的概率P(A)是相等的，即P(A|B) = P(A)。
其次，条件概率满足乘法公式，即 P(AB) = P(A|B) * P(B)。
最后，根据全概率公式，我们可以得到P(A) = P(AB1) + P(AB2) + ... + P(ABn)，其中B1、B2、...、Bn为一系列互不相容的事件，并且它们的并集为全集。
三、独立事件的概念与判定方法独立事件是指两个事件相互之间不受对方发生与否的影响。
设A、B为两个事件，如果P(A|B) = P(A)，则事件A与事件B相互独立。
同时，根据乘法公式可以得到P(AB) = P(A) * P(B)。
根据这个公式，我们可以判断两个事件是否独立。
四、条件概率与独立事件的关系条件概率与独立事件之间有密切的关系。
如果事件A与事件B是独立的，那么条件概率P(A|B)与事件A的概率P(A)相等。
反过来，如果条件概率P(A|B)与事件A的概率P(A)相等，那么可以推导出事件A与事件B是独立的。
五、实际应用与案例分析概率论中的条件概率与独立事件在实际生活中有广泛的应用。
例如，考虑一个学生复习某门课程的情况。
如果我们已知该学生复习了课本，并且能够独立地完成每个练习题的概率为0.8，那么考试中该学生能够得到好成绩的概率是多少？根据条件概率的定义，我们可以计算出该概率为 P(好成绩|复习) = 0.8 * P(好成绩)。
名词解释条件概率的概念
名词解释条件概率的概念
条件概率是统计学家研究随机事件的必修课，也是概率统计的核心内容。
条件概率定义为考虑已经发生某种事件后，其他事件发生的概率。
它实际上就是一个简单条件下，某种情况发生的可能性。
一般来说，条件概率表达在形式上就是：条件概率 P (A | B) = P (A 交 B)/P (B)，其中P (A)表示事件A发生的概率，P (B)表示事件B发生的概率，而P (A 交 B)则是表示A与B同
时发生的概率。
也就是说，它表示在知道已经发生第一个事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率，最常用在概率分布中，多用来计算相关事件发生概率：也即一个给定的事件A，再加上一个直接说明事件A发生的前提条件B，按照该条件概率可以求出事件A发生的概率，也可以对另一个事件（D）比较事件A发生的概率及事件 D发生的概率。
相当于是让前提条件B作为研究被检验的指标，以此来研究和判断事件A与事件D发生的可能性。
也就是说，条件概率在研究中主要是来描述一个给定的前提条件后，其他事件可能发生的情况及概率，来考察研究中的特定结论发生的可能性。
常常使用这样的表达：知道已经发生的条件B，事件A的发生概率为P (A | B)。
它可以以较精确的方式描绘出某种事件的发
生概率，是描述随机事件的重要工具之一。
条件概率、全概公式、贝叶斯公式
P(AB 3 36 1 ) P(A| B) = = = 。 P(B ) 6 36 2 解法2: 解法 P(A| B) = 3 = 1。 6 2
在B发生后的 发生后的 缩减样本空间 中计算
设某种动物由出生算起活到20年以上的 例2: 设某种动物由出生算起活到 年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为 年以上的概率为0.4。 概率为 ，活到 年以上的概率为 。问 现年20岁的这种动物 它能活到25岁以上的 岁的这种动物， 现年 岁的这种动物，它能活到 岁以上的 概率是多少？ 概率是多少？ 能活20年以上 能活25年以上 解:设A={能活 年以上 B={能活 年以上 设 能活 年以上}, 能活 年以上}, 所求为P(B|A) 。 所求为 依题意， 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4， ，
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。” 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大
我们用A 表示“ 个人抽到入场券 个人抽到入场券” 我们用 i表示“第i个人抽到入场券”， i＝1,2,3,4,5。 ＝ 。 表示“ 个人未抽到入场券 个人未抽到入场券” 则 A “第i个人未抽到入场券”， 表示 i 显然，P(A1)=1/5，P( A)＝4/5， 显然， ， ， 1＝ 也就是说， 也就是说， 个人抽到入场券的概率是1/5。 第1个人抽到入场券的概率是 。 个人抽到入场券的概率是
乙两厂共同生产1000个零件，其中 个零件， 例3: 甲、乙两厂共同生产 个零件 其中300 件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有189个 个零件中， 件是乙厂生产的。而在这 个零件中 个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件中任取一个， 是标准件，现从这 个零件中任取一个 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 零件是乙厂生产}， 设B={零件是乙厂生产 ， 零件是乙厂生产 A={是标准件 ， 是标准件}， 是标准件 所求为P(AB)。 。 所求为
条件概率
§1.4 条件概率本节包括条件概率的定义、加法公式、全概率公式和贝叶斯公式等内容，主要介绍条件概率的定义及其三大公式的计算和应用。
一、条件概率的定义条件概率要涉及两个事件A 与B ，在事件B 已经发生的条件下，事件A 再发生的概率称为条件概率，记为P (A |B )。
它与前面所讲的无条件概率是两个完全不同的概念。
例1.5.1 某温泉开发商通过网状管道向25个温泉浴场提供矿泉水，每个浴场要安装一个阀门，这25个阀门购自两家生产厂，其中部分还是有缺陷的，具体情况如下：A ：“选出的阀门来自厂1”，B ：“选出的阀门有缺陷” 则P (A )=15/25，P (B )=7/25，P (AB )=5/25。
那么P (A |B )=5/7=57/2525=()()P AB P B ； P (B |A )=5/15=1/3=515/2525=()()P AB P A 。
解释：按厂家和有无缺陷做树状图，很容易求得P (B |A )和P (A |B )。
例 1.4.1 考察有两个小孩的家庭，其样本空间是{,,,}bb bg gb gg Ω=，其中b 代表男孩，g 代表女孩，bg 代表大的是男孩小的是女孩，依次类推……。
讨论：A =“家中至少有一个女孩”， B =“家中至少有一个男孩” 计算：(),()P A P B(|),(|)P A B P B A定义1.4.1 设A ，B 是样本空间Ω中的两事件，若()0P B >，则称()(|)()P AB P A B P B = 为“在B 发生下A 的条件概率”，简称条件概率。
例1.4.2 设某样本空间Ω含有25个等可能的样本点，事件A 含有15个样本点，事件B 含有7个样本点，交事件AB 含有5个样本点计算：(),()P A P B ，()P AB(|),(|)P A B P B A概率的有关性质对条件概率是否成立？ 如：(|)1(|)P A B P A B =-当12,A A 互不相容时，1212(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+ 实际上都是成立的。
条件概率讲义
P( Ai )P(B｜Ai )
n
P( Ai )P(B｜Ai )
j 1
在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为 原因的先验概率和后验概率.
P(A贝i)(叶i=斯1,2公,…式,n从)是数在量没上有刻进划一了步这信种息变（化不。 知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸 事件发生可能性大小的认识.
B={掷出偶数点}， P(A )=1/6， P(A|B)=？
分析：事件B已经发生，因此，这时试验的所
有可能结果构成的集合就是B，
B中共有3个元素，它们的出现是等可能 的，其中只有1个在A中，
于是P(A|B)= 1/3. 容易看到，这里
P(A|B) 1 1 6 P( AB) . 3 3 6 P(B)
随机取一个球，观看颜色后放 回罐中，并且再加进c个与所抽出
的球具有相同颜色的球.
b个白球, r个红球
解: 设Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4
Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4
于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第 一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”
用乘法公式容易求出
例2: 对以往数据分析结果表明，当机器调整得 良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生 某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器 开动时，机器调整良好的概率为75%，试求已 知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整 良好的概率是多少？ 解: 设A：“产品合格”，B：“机器调整良好”， 则P(A|B)=0.9，P(A| B )=0.3,P（B）=0.75，
当有了新的信息（知道B发生），人们对诸 事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计.
例3: 假定用甲胎蛋白法诊断肝癌，P（A|B1） =0.99,P（A|B2）=0.05，其中B1表示“被检 验者患有肝癌”， B2=B1, A 表示“被检 验者试验反应为阳性”。据调查某地区居民
条件概率
Probabilit
条件概率的性质
Probabilit
例 某科动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25 岁的概率为0.56,求现年为20岁的动物活到25岁的概率.
解 ：设A表示“活到20岁以上”的事件，B表示“活
Probabilit
到25
P（A）=0.7,P(B)=0.56，且B A.
P( A | B)
4 P( AB) 10
Probabilit
4 5
4 4 10 P( AB) P( A | B) 5 5 P( B) 10
B
AB A
条件概率的定义
定义1.4.1 设（Ω，F ，Ｐ）为一概率空间， Ａ∈ F ，Ｂ∈ F ，且Ｐ（B）＞０，在“已 知事件Ｂ 已经发生”的条件下，“事件 Ａ 发生”的条件概率Ｐ(A|B)定义为:
Probabilit
Probabilit
4、 根据以往的临床记录，某种诊断癌 症的试验具有如下的效果：若以A表示事 件“试验反应为阳性”，以C表示事件” 被诊断者患有癌症”，则有P（A|C） =0.95，P( A | C ) 0.95 ．现在对自然人群 进行普查，设被试验的人患有癌症的概率 为0.005。即P(C)＝0.005。试求P(C|A)
Probabilit
Probabilit
4
四、贝叶斯公式
全概率公式的逆问题 设在进行随机试验中该事件B已发生，问 在这条件下，各原因发生的条件概率是多 少？
Probabilit
A1 A2
A3
B A4 A7
A5 A6 A8
四、贝叶斯公式
Probabilit
1.3 条件概率、全概率公式
• 例1.20 由以往的临床记录，某种诊断癌症的实 验具有如下效果：被诊断者有癌症，实验反应 为阳性的概率为0.95，被诊断者没有癌症，实 验反应为阴性的概率为0.98，现对自然人群进 行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为 0.005，求：已知实验反应为阳性，该被诊断者 确有癌症的概率。
P(A|B)= 1/3. 容易看到
P(A|B) 1 1 6 P( AB) 3 3 6 P(B)
1. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称
P( A | B) P( AB)
(1)
P(B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
“条件概率”是“概率”吗？
条件概率符合概率定义中的三个条件 对概率所证明的一些结果都是用） 设A、B ，P(A)>0,则 P(AB)＝P(A)P(B|A).
推广到三个事件的情形： P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).
• 例1.15 一批彩电，共100台，其中有10台次品， 采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽1台，求 第三次抽到合格品的概率。
如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率， 将此概率记作P(A|B).
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}，P(A )=1/6，P(A|B)=？
已知事件B发生，此时试验所有可能
结果构成的集合就是B，
掷骰子
B中共有3个元素,它们的出现是等
可能的,其中只有1个在集A中. 于是
定理1.3 贝叶斯公式
设事件A1, A2 ,..., An是的一个划分，B是任意一个事件
且P(B)>0, P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则有
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条件概率定义
unit3
条件概率是指已知一个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
它的计算方法是
根据相关试验的结果统计出发生概率最大的事件作为单一结论。
具体来说，条件概率就是
指已知某一事件A发生的前提下，另一事件B发生的概率。
其计算公式是：
P(B|A)=P(A∩B)/P(A)。
条件概率可以用于各种事件的测定，如自然现象的研究、药物的效果、社会现象的分
析等。
它的应用可以在改善食品质量，改善治疗药物的疗效，提高社会安全性等方面得到
雄厚的贡献。
例如，人们可以分析一次精神分裂所犯罪行的发生概率，以及和某种心理障
碍有关的犯罪行为出现的概率等。
此外，条件概率还可以应用于提高决策效果，它来源于统计学相关概念，可以通过对
不确定事件发生概率进行统计，确定最佳的选择。
例如，假如我们可以采取的决策中，以
犯罪为条件考虑，那么我们就可以通过分析犯罪发生的概率，判断最佳方案，从而提高决
策效率。
条件概率也广泛用于财务分析中，它可以帮助金融机构分析财务风险，提高风险评估
的准确度，预测企业的盈利能力，以及确定它们的行为是否正确、合理以及可行等。
此外，条件概率还可以用于企业的投资决策。
通过它，可以根据过去的不同时期的资产表现，对
未来的投资进行估值，并有效限制投资风险，实现长期的财务收益。