(完整版)高一函数大题训练含答案解析

(完整版)高一函数大题训练含答案解析一、解答题1．已知有穷数列{}n a 、{}n b （1,2,,n k =⋅⋅⋅），函数1122()||||||k k f x a x b a x b a x b =-+-+⋅⋅⋅+-.（1）如果{}n a 是常数列，1n a =，n b n =，3k =，在直角坐标系中在画出函数()f x 的图象，据此写出该函数的单调区间和最小值，无需证明；（2）当n n a n b ==，7k m =（m ∈*N ）时，判断函数()f x 在区间[5,51]m m +上的单调性，并说明理由； （3）当n a n =，1n b n=，100=k 时，求该函数的最小值. 2．若函数()f x 对任意的x ∈R ，均有()()()112f x f x f x -++≥，则称函数()f x 具有性质P ．（1）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由．①()1xy a a =>；②3y x =． （2）若函数()f x 具有性质P ，且()()()*002,N f f n n n >∈==，求证：对任意{}1,2,3,,1i n ∈-有()0f i ≤；（3）在（2）的条件下，是否对任意[]0,x n ∈均有()0f i ≤．若成立给出证明，若不成立给出反例．3．已知函数()y f x =，若存在实数(),0m k m ≠，使得对于定义域内的任意实数x ，均有()()()m f x f x k f x k ⋅=++-成立，则称函数()f x 为“可平衡”函数，有序数对(),m k 称为函数()f x 的“平衡”数对.（1）若1m =，判断()sin f x x =是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若a R ∈，0a ≠，当a 变化时，求证：()2f x x =与()2xg x a =+的“平衡”数对相同；（3）若12,m m R ∈，且1,2m π⎛⎫ ⎪⎝⎭、2,4m π⎛⎫ ⎪⎝⎭均为函数()2cos f x x =的“平衡”数对.当04x π<≤时，求2212m m +的取值范围.4．已知定义在R 上的函数()x ϕ的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上()x ϕ都不是常值函数.设011i i n a t t t t t b -=<<<<<<=，其中分点121n t t t -、、、将区间[],a b 任意划分成()*n n N ∈个小区间[]1,i i t t -，记{}()()()()()()01121,,n n M a b n t t t t t t ϕϕϕϕϕϕ-=-+-++-，称为()x ϕ关于区间[],a b 的n 阶划分“落差总和”.当{},,M a b n 取得最大值且n 取得最小值0n 时，称()x ϕ存在“最佳划分”{}0,,M a b n . (1)已知()x x ϕ=，求{}1,2,2M -的最大值0M ；(2)已知()()a b ϕϕ<，求证：()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b 的充要条件是()x ϕ在[],a b 上单调递增.(3)若()x ϕ是偶函数且存在“最佳划分”{}0,,M a a n -，求证：0n 是偶数，且00110i i n t t t t t -+++++=.5．已知函数2()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1，记()(||)f x g x =，x ∈R ；（1）求实数a 、b 的值；（2）若不等式222()()log 2log 3f x g x k k +≥--对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的范围；（3）对于定义在[,]p q 上的函数()m x ，设0x p =，n x q =，用任意i x (1,2,,1)i n =⋅⋅⋅-将[,]p q 划分成n 个小区间，其中11i i i x x x -+<<，若存在一个常数0M >，使得不等式01121|()()||()()||()()|n n m x m x m x m x m x m x M --+-+⋅⋅⋅+-≤恒成立，则称函数()m x 为在[,]p q 上的有界变差函数，试证明函数()f x 是在[1,3]上的有界变差函数，并求出M 的最小值；6．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体；在定义域内存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+．（1）判断()32f x x =+是否属于集合M ，并说明理由； （2）若2()lg2af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x M ∈．7．已知函数()242 1.x xf x a =⋅--（1）当1a =时，求函数()f x 在[]3,0x ∈-的值域； （2）若()f x 存在零点，求a 的取值范围.8．已知函数()22f x x x a =+--.（1）当0a =时，求函数()f x 的零点；（2）若不等式()0f x <至少有一个负解，求实数a 的取值范围. 9．已知函数11()(,0)f x b a b R a x a x a=++∈≠-+且. （1）判断()y f x =的图象是否是中心对称图形？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由；（2）设()(1)g x b x =+，试讨论()()y f x g x =-的零点个数情况.10．已知函数()f x ，对任意a ，b R ∈恒有()()()f a b f a f b 1+=+-，且当x 0>时，有()f x 1>．(Ⅰ)求()f 0；(Ⅱ)求证：()f x 在R 上为增函数；(Ⅲ)若关于x 的不等式(()222f[2log x)4f 4t 2log x 2⎤-+-<⎦对于任意11x ,82⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围．11．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在0x 使得()()()0011f x f x f +=+成立．（1）函数()21f x x=+是否属于集合M ？请说明理由； （2）函数()2ln1af x x =∈+M ，求a 的取值范围； （3）设函数()23x f x x =+，证明：函数()f x ∈M ．12．已知函数()20182018,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，(1)分别求()()()()1,2018f f f f -的值: (2)讨论()()()f f x m m R =∈的解的个数:(3)若对任意给定的[)1,t ∈+∞,都存在唯一的x R ∈,满足()()222f f x a t at =-，求实数a的取值范围.13．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.（1）已知函数()sin()3f x x π=+，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；（2）设()2x f x m =+是定义在[1,1]-上的“M 类函数”，求是实数m 的最小值；（3）若22log (2)()3x mx f x ⎧-=⎨-⎩,2,2x x ≥<为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围.14．一般地，我们把函数1110()()N --=∈n n n n h x a x a x a x a n ++++称为多项式函数，其中系数0a ，1a ，…, n a ∈R ．设()f x ，()g x 为两个多项式函数，且对所有的实数x 等式[()][()]f g x g f x =恒成立．（1）若2()3f x x =+，()(0)g x kx b k =+≠． ①求()g x 的表达式； ②解不等式()()5f x g x ->．（2）若方程()()f x g x =无实数根，证明方程[()][()]f f x g g x =也无实数解． 15．若函数()f x 满足:对于任意正数,s t ，都有()()0,0f s f t >>，且()()()f s f t f s t +<+，则称函数()f x 为“L 函数”．（1）试判断函数()21f x x =与()122f x x =是否是“L 函数”； （2）若函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 为“L 函数”，且()11f =，求证：对任意()()12,2N*k kx k -∈∈，都有()122x f x f x x⎛⎫->- ⎪⎝⎭．【参考答案】一、解答题1．（1）图象见解析；递减区间(],2-∞，递增区间[)2,+∞，最小值()22f =；（2）单调递增；理由见解析；（3）292071. 【解析】（1）根据条件采用零点分段的方法作出函数()f x 的图象，根据图象确定出()f x 的单调区间和最小值；（2）写出()f x 的解析式，根据[]5,51x m m ∈+分析函数()f x 的结构，从而判断出()f x 的单调性；（3）先根据条件证明出()f x 的单调性然后即可求解出()f x 的最小值. 【详解】 （1）如图所示，由图象可知：单调递减区间(],2-∞，单调递增区间[)2,+∞，最小值()22f =； （2）因为()112233...77f x x x x m x m =⋅-+-+-++-且[]5,51x m m ∈+, 所以()()()()()()()()()()12233...555151...77f x x x x m x m m m x m m x =-+-+-++-+++-++-， 所以()()()()()()()()()222222155517212...55152 (72)2m m m m m f x x m x m m m +⋅++⋅=-+++-++++++ ， 所以()()()()()()()222222222552425152...712 (52)m m m m f x x m m m m +--=++++++-+++，所以()()()()()()()2222222+35152...712 (52)m m f x x m m m m =++++++-+++且2302m m+>， 所以()f x 在[]5,51m m +上单调递增；（3）因为()12131...1001f x x x x x =-+-+-++-，显然当[)1,x ∈+∞时，()f x 单调递增，当(],0x ∈-∞时，()f x 单调递减， 设存在一个值()1*t N t ∈，使得10,x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 递减，1,1x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 递增，此时最小值即为1f t ⎛⎫⎪⎝⎭，下面证明1t存在：因为若要10,x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 递减，1,1x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 递增，则有12112100......t t t t t t t t t-+++++>+++，解得：71t ≥，且()1221100 (1111111)t t t t t t t t t t -++++<+++≠------，解得：171t -<， 所以7172t ≤<，所以71t =，所以存在1171t =满足条件，故假设成立，综上可知：()f x 在1,71⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1+71⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上单调递增， ()()()()()()()min 1112170721731100171f x f x x x x x x ⎛⎫==-+-+⋅⋅⋅+-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭292041971x =+=【点睛】本题考查数列与函数的综合应用，其中着重考查了函数单调性方面的内容，对学生的理解与分析能力要求较高，难度较难.2．（1）①()1xy a a =>具有性质P ；②3y x =不具有性质P ，见解析；（2）见解析（3）不成立，见解析 【解析】 【分析】（1）①根据已知中函数的解析式，结合指数的运算性质，计算出()()()112f x f x f x -++-的表达式，进而根据基本不等式，判断其符号即可得到结论；②由3y x =，举出当1x =-时，不满足()()()112f x f x f x -++≥，即可得到结论； （2）由于本题是任意性的证明，从下面证明比较困难，故可以采用反证法进行证明，即假设()f i 为()()()1,2,,1f f f n -中第一个大于0的值，由此推理得到矛盾，进而假设不成立，原命题为真；（3）由（2）中的结论，我们可以举出反例，如()()2,,x x n x f x x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数，证明对任意[]0,x n ∈均有()0f x ≤不成立．【详解】证明：（1）①函数()()1xf x a a =>具有性质P ，()()()11111222x x x x f x f x f x a a a a a a -+⎛⎫-++-=+-=+- ⎪⎝⎭，因为1a >，120x a a a ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()()()112f x f x f x -++≥， 此函数为具有性质P ；②函数()3f x x =不具有性质P ，例如，当1x =-时，()()()()11208f x f x f f -++=-+=-，()22f x =-，所以，()()()201f f f -+<-， 此函数不具有性质P ． （2）假设()f i 为()()()1,2,,1f f f n -中第一个大于0的值，则()()10f i f i -->， 因为函数()f x 具有性质P ， 所以，对于任意*n ∈N ，均有()()()()11f n f n f n f n +-≥--， 所以()()()()()()11210f n f n f n f n f i f i --≥---≥≥-->，所以()()()()()()110f n f n f n f i f i f i =--+++-+>⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，与()0f n =矛盾， 所以，对任意的{}1,2,3,,1i n ∈-有()0f i ≤．（3）不成立．例如，()()2,,x x n x f x x x ⎧-=⎨⎩为有理数为无理数证明：当x 为有理数时，1x -，1x +均为有理数，()()()112f x f x f x -++-()()()2221121122x x x n x x x =-++---++-=，当x 为无理数时，1x -，1x +均为无理数，()()()()()2221121122f x f x f x x x x -++-=-++-=所以，函数()f x 对任意的x ∈R ， 均有()()()112f x f x f x -++≥， 即函数()f x 具有性质P ．而当[]()0,2x n n ∈>且当x 为无理数时，()0f x >． 所以，在（2）的条件下，“对任意[]0,x n ∈均有()0f x ≤”不成立． 如()()()01x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为有理数为无理数，()()()01x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为整数为非整数， ()()()2x f x xx ⎧⎪=⎨⎪⎩为整数为非整数等．【点睛】本题考查了函数的新定义及其应用，涉及指数函数和幂函数的性质，反证法，其中在证明全称命题为假命题时，举出反例是最有效，快捷，准确的方法．3．（1）()sin f x x =是“可平衡”函数,详见解析（2）证明见解析（3）221218m m <+≤【解析】 【分析】(1)利用两角和差的正弦公式求解即可.(2)根据题意可知,对于任意实数x ,()()22222=22mx x k x k x k ++-=+,再列式利用恒成立问题求解即可.(3)根据“平衡数对”的定义将12,m m 用关于x 的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可. 【详解】（1）若1m =,则()sin m f x x ⋅=,()()()()sin sin f x k f x k x k x k ++-=++-2sin cos x k =,要使得()f x 为“可平衡”函数,需使故()12cos sin 0k x -⋅=对于任意实数x 均成立,只有1cos 2k =,此时23k n ππ=±,n Z ∈,故k 存在,所以()sin f x x =是“可平衡”函数.（2）()2f x x =及()2xg x a =+的定义域均为R ,根据题意可知,对于任意实数x ,()()22222=22mx x k x k x k ++-=+,即22222mx x k =+,即()22220m x k --=对于任意实数x 恒成立,只有2m =,0k =,故函数()2f x x =的“平衡”数对为()2,0,对于函数()2xg x a =+而言,()222x x k x k m a a a +-⋅+=+++()2222x k k a -=+⋅+, 所以()()22222x x k km a a -⋅+=+⋅+,()()22220xkkm a m -⎡⎤⋅-++⋅-=⎣⎦,()2220k k m a m -⎧=+⎪⎨⋅-=⎪⎩, 即22m m ≥⎧⎨=⎩,故2m =,只有0k =,所以函数()2xg x a =+的“平衡”数对为()2,0, 综上可得函数()2f x x =与()2xg x a =+的“平衡”数对相同.（3）2221cos cos cos 22m x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以221cos 2sin m x x =, 2222cos cos cos 44m x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以22cos 1m x =,由于04x π<≤,所以21cos 12x ≤<,故(]212tan 0,2m x =∈,(]22sec 1,2m x =∈, ()22224121tan 4tan m m x x +=++()22222145tan 2tan 15tan 55x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭, 由于04x π<≤,所以20tan 1x <≤时,2116tan 555x <+≤,()2212tan 238x <+-≤,所以221218m m <+≤.【点睛】本题主要考查了新定义的函数问题,需要根据题意列出参数满足的关系式,利用恒成立问题或表达出参数满足的解析式再分析求范围等.属于难题. 4．(1)3；(2)见解析；(3)见解析 【解析】 【分析】(1)直接利用题中给的定义求解即可；(2)利用函数的单调性和数列的信息应用求出充要条件；(3)利用函数的奇偶性和存在的最佳划分，进一步建立函数的单调区间，最后求出函数的关系式. 【详解】(1)()()()()010023M ϕϕϕϕ=--+-=； (2)若()x ϕ在[],a b 上单调递增，则{}()()()(){}11,,,,1ni i i M a b n t t b a M a b ϕϕϕϕ-==-=-=⎡⎤⎣⎦∑，故()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b若()x ϕ在[],a b 上存在“最佳划分”{},,1M a b ，倘若()x ϕ在[],a b 上不单调递增， 则存在[]()()121212,,,,x x a b x x x x ϕϕ∈<>.由()()()()()()()()1122a b a x x x x b ϕϕϕϕϕϕϕϕ-≤-+-+-（*）等号当且仅当()()()()()()11220,0,0a x x x x b ϕϕϕϕϕϕ-≥->-≥时取得，此时()()()()()()()()()()11220a b a x x x x b a b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-=-+-+-=-<，与题设矛盾，舍去，故（*）式中等号不成立，即：增加分点12,x x 后，“落差总和”会增加，故{},,M a b n 取最大值时n 的最小值大于1，与条件矛盾. 所以()x ϕ在[],a b 上单调递增；(3)由(2)的证明过程可知，在任间区间[],a b 上，若()x ϕ存在最佳划分{},,1a b ，则当()()a b ϕϕ=时，()x ϕ为常值函数（舍）；当()()a b ϕϕ<时，()x ϕ单调递增；当()()a b ϕϕ>时，()x ϕ单调递减，若()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ，则此时在每个小区间[]()10,1,2,,i i t t i n -=上均为最佳划分{}1,,1i i M t t -.否则，添加分点后可使()x ϕ在[],a b 上的“落差总和”增大，从而{}0,,M a b n 不是“落差总和”的最大值，与“()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ”矛盾，故()x ϕ在每个小区间[]()10,1,2,,i i t t i n -=上都是单调，若()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ，则()x ϕ在相邻的两个区间[][]11,,i i i i t t t t -+、上具有不同的单调性，否则，()()()()()()11111i i i i i t t t t t t ϕϕϕϕϕϕ-+-+-=-+-，减少分点i t ，“落差总和”的值不变，而n 的值减少1，故n 的最小值不是0n ，与“()x ϕ在[],a b 上存在最佳划分{}0,,M a b n ”矛盾，()x ϕ存在“最佳划分”{}0,,M a a n -，故()x ϕ在每个小区间[]()10,1,2,,i i t t i n -=上都单调，而()x ϕ是偶函数，故()x ϕ在y 轴两侧的单调区间对称，共有偶数个单调区间，且当000,1,,2n i j n i ⎛⎫+== ⎪⎝⎭时，0i j t t +=，从而有00120n t t t t ++++=.【点睛】本题是信息给予题，考查了数学阅读能力，考查了函数和数列的综合应用能力，考查了数学运算能力.5．（1）0b =，1a =；（2）1[,8]2；（3）证明见解析，min 4M =；【解析】 【分析】（1）由已知()g x 在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1，结合函数的单调性及最值，易构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值。