高考数学解答题如何考满分：大题规范练一

大题规范练一
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
1．(本题满分12分)已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2(a 1＜a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根．
(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；
(2)在(1)中，设b n ＝S n n ＋c
，求证：当c ＝－12时，数列{b n }是等差数列． 解：(1)∵a 1，a 2(a 1＜a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根，
∴a 1＝1，a 2＝5，∴等差数列{a n }的公差为4，
∴S n ＝n·1＋n （n －1）2
·4＝2n 2－n. (2)当c ＝－12时，b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n －12
＝2n ， ∴b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2，b 1＝2.
∴数列{b n }是以2为首项，2为公差的等差数列．
2．(本题满分12分)某县响应党中央的号召，积极开展了建设社会主义新农村的活动，实行以奖代补，并组织有关部门围绕新农村建设中的五个方面(新房舍、新设施、新环境、新农民、新风尚)对各个村进行综合评分，高分(大于等于88分)的村先给予5万元的基础奖励，然后比88分每高1分，奖励增加5千元，低分(小于等于75分)的村给予通报，取消5万元的基础奖励，且比75分每低1分，还要扣款1万元，并要求重新整改建设，分数在(75，
88)之间的只享受5万元的基础奖励，下表是甲、乙两个乡镇各10个村的得分数据(单位：分)：
甲：62，74，86，68，97，75，88，98，76，99；
乙：71，81，72，86，91，77，85，78，83，84.
(1)根据上述数据完成以下茎叶图，并通过茎叶图比较两个乡镇各10个村的得分的平均值及分散程度(不要求计算具体的数值，只给出结论即可)；
(2)为继续做好社会主义新农村的建设工作，某部门决定在这两个乡镇中各任意抽取一个进行工作总结，求抽取的2个村中至少有一个得分是低分的概率；
(3)从获取奖励的角度看，甲、乙两个乡镇哪个获取的奖励多？
解：(1)茎叶图如图：
通过茎叶图可以看出，甲乡镇10个村的平均得分比乙乡镇10个村的平均得分高，甲乡镇10个村的得分比较分散，乙乡镇10个村的得分比较集中．
(2)由茎叶图可知甲乡镇10个村中低分的有4个，乙乡镇10个村中低分的有2个，所
以从甲乡镇10个村中随机抽取1个，得分是低分的概率为410＝25
，从乙乡镇10个村中随机抽取1个，得分是低分的概率为210＝15，故抽取的2个村中至少有一个得分是低分的概率为25
×45＋35×15＋25×15＝1325
. (3)由茎叶图可知甲乡镇10个村中，高分(大于等于88分)有4个，分别是88分、97分、
98分、99分，奖励分共9＋10＋11＝30分，低分(小于等于75分)有4个，分别是75分、74分、68分、62分，扣款分共1＋7＋13＝21分，分数在(75，88)之间的有2个，故甲乡镇所获奖励为6×5＋30×0.5－21×1＝30＋15－21＝24万元．
由茎叶图可知乙乡镇10个村中，高分(大于等于88分)有1个，为91分，奖励分共3分，低分(小于等于75分)有2个，分别是71分、72分，扣款分共4＋3＝7分，分数在(75，
88)之间的有7个，故乙乡镇所获奖励为8×5＋3×0.5－7×1＝40＋1.5－7＝34.5万元．
故从获取奖励的角度看，乙乡镇获取的奖励多．
3．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ln x ＋a x
，a ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间；
(2)设函数g (x )＝(x －k )e x ＋k ，k ∈Z ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．当a ＝1时，若∃x 1∈(0，＋∞)，∀x 2∈(0，＋∞)，不等式5f (x 1)＋g (x 2)＞0成立，求k 的最大值．
解：(1)f ′(x )＝1－a －ln x x 2
(x ＞0)． 由f ′(x )＝0，得x ＝e 1－a .
易知f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，
∴当0＜x ＜e 1－a 时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增；
当x ＞e 1－a 时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )单调递减．
∴函数f (x )的单调递增区间是(0，e 1－a )，单调递减区间是(e 1－a ，＋∞)．
(2)当a ＝1时，由(1)可知f (x )≤f (e 1－a )＝1，
∴∃x 1∈(0，＋∞)，∀x 2∈(0，＋∞)，5f (x 1)＋g (x 2)＞0成立，等价于5＋(x －k )e x ＋k ＞0对x ∈(0，＋∞)恒成立，
∵当x ∈(0，＋∞)时，e x －1＞0，
∴5＋x e x ＞k (e x －1)对x ∈(0，＋∞)恒成立，
∴5＋x e x
e x －1
＞k 对x ∈(0，＋∞)恒成立， ∴x ＋x ＋5e x －1
＞k 对x ∈(0，＋∞)恒成立．
设h (x )＝x ＋x ＋5
e x －1，则h ′(x )＝e x （e x －x －6）（e x －1）2. 令F (x )＝e x －x －6，则F ′(x )＝e x －1.
当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )＞0，
∴函数F (x )＝e x －x －6在(0，＋∞)上单调递增．
而F (2)＝e 2－8＜0，F (3)＝e 3－9＞0.
∴F (2)·F (3)＜0.
∴存在唯一的x 0∈(2，3)，使得F (x 0)＝0，即e x 0＝x 0＋6.
∴当x ∈(0，x 0)时，F (x )＜0，h ′(x )＜0，此时函数h (x )单调递减；
当x ∈(x 0，＋∞)时，F (x )＞0，h ′(x )＞0，此时函数h (x )单调递增．
∴当x ＝x 0时，函数h (x )有极小值(即最小值)h (x 0)．
∵h (x 0)＝x 0＋x 0＋5e x 0－1＝x 0＋x 0＋5（x 0＋6）－1
＝x 0＋1∈(3，4)． 又k ＜h (x 0)，k ∈Z .
∴k 的最大整数为3.
选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
4．(本题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－35
t ，y ＝－2＋45t (t 为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ.
(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；
(2)若C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，求1|P A |＋1|PB |
的值． 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t 可得，曲线C 1的普通方程为4x ＋3y －2＝0； 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝x 2.
(2)由点P 的极坐标为⎝
⎛⎭⎫22，－π4可得点P 的直角坐标为(2，－2)．曲线C 1的参数方程
为⎩⎨⎧x ＝2－35t ，
y ＝－2＋45t (t 为参数)，代入y ＝x 2得9t 2－80t ＋150＝0， 设t 1，t 2是点A ，B 对应的参数，则t 1＋t 2＝809，t 1t 2＝503
＞0. ∴1|P A |＋1|PB |＝|P A |＋|PB ||P A |·|PB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝815
. 5．(本题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|，g (x )＝|x －a |＋|x ＋a |.
(1)解不等式f (x )＞9；
(2)∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，求实数a 的取值范围．
解：(1)f (x )＝⎩⎨⎧
3x ，x ≥12
，2－x ，－1＜x ＜12，－3x ，x ≤－1.
f (x )＞9等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ＞9或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜12，2－x ＞9
或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，
－3x ＞9. 综上，原不等式的解集为{x |x ＞3或x ＜－3}．
(2)∵|x －a |＋|x ＋a |≥2|a |.
由(1)知f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫12＝32，
所以2|a |≤32
， 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦
⎤－34，34.。