§1-3 描述质点运动的坐标系 (2)

抛体运动轨道方程
令y
=
y (tan 0 )x
0，得
2(v0
g
cos 0 )2
x2
(tan 0 )x
2(v0
g
cos 0 )2
x2
0
x1 = 0是抛射点的位置，另一个是射程
x2
v02 g
sin 2 0
11
2
抛射角0 =/4时，最大射程
xmax
v0 g
物体的飞行时间
T
x2
v0 cos 0
2v0 g
x x x0 vx (t t0)
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当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运动 是各个独立运动的合成结果，这称为运动叠加原理 (superposition principle)，或运动的独立性原理。
质点的实际运动是各分运动的矢量合成。
运动的叠加性也是运动的一个重要特性，抛体的运 动正是竖直方向和水平方向两种运动叠加的结果。
dv z
k
dt dt dt
d2 x dt 2
i
d2 y dt 2
j
d2z dt 2
k
axi +ay j+azk
ax
dv x dt
d2x dt 2
,
ay
dv y dt
d2y ,
dt 2
az
dvz dt
d2z dt 2
加速度大小
a
a
ax2 ay2 az2
任何一个方向的速度和加速度都只与该方向的位置矢 量的分量有关，而与其他方向的分量无关。
根据类似的无数的客观事实，可得到一个结论： 一个运动可以看成是几个各自独立进行的运动叠 加而成，这就是运动的叠加原理。
6
如果质点在某个方向(如x方向)上的加速度不随时
间变化，该方向上分运动为匀变速直线运动。例如，
在x方向的速度变化可根据速度公式求得
vx vx0 ax (t t0)
x
x0
vx0t
§1-3 描述质点运动的坐标系
一、直角坐标系 (rectangular coordinate)
在参考系上取一固定点作为坐标原点O, 过点O画
三条相互垂直的带有刻度的坐标轴, 即x轴、y轴和z
轴, 就构成了直角坐标系 O-xyz。
通常采用的直角坐标系 属右旋系, 当右手四指由x轴
z P(x,y,z)
r
x 轴水平向右, y 轴竖直向上, 如图。
抛体运动可以看作为x方向
y
的匀速直线运动和y方向的匀
v0
变速直线运动相叠加。
0
O
x
叠加原理是求解复杂运动的有力工具。
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ax 0 , vx v0 cos 0 , x (v0 cos 0 )t
ay g,vy v0 sin 0 gt,y (v0 sin 0 )t 1 gt2. 2
sin 0
当物体到达最大高度时，必有 v y 0
物体达最大高度的时间
t1
v0 g
sin 0
最大高度
H
v02 2g
sin 2 0
实际运动轨道是弹道曲线，射程和最大高度
都比上述值要小。
12
二、平面极坐标系(planar polar coordinates) 用平面极坐标系处理圆周运动一类的平面运动。 取参考系上一固定点O作极点,过极点所作的
方向转向y轴方向时, 伸直的
O
y
拇指则指向z轴的正方向。
x
1
位置矢量可表示为 r xi yj zk
其中i 、j 和 k分别是x、y和z方向的单位矢量。
位矢大小 r r x2 y2 z 2
可用方向余弦来表示位置矢量方向。
cos x , cos y , cos z
r
r
r
cos2 cos2 cos2 1
dt
dt
l
22
x h
负号表示小船速
v u
u
x
x
度沿x 轴反方向。
小船向岸边移
d2x dv
u2h2
a
动的加速度为
dt2 dt
x3
9
例2 抛体运动。假设物体以初速度v0沿与水平方向
成角 0 方向被抛出, 求物体运动的轨道方程、射程、
飞行时间和物体所能到达的最大高度。
解 首先必须建立坐标系, 取抛射点为坐标原点O,
4
质点的任意运动都可以看作是由在三个坐标轴 方向上各自独立进行的直线运动所合成的。
质点的任意运动都可以分解为，在三个坐标轴 方向上各自独立进行的直线运动。
这是运动叠加原理在直角坐标系中的表现。 如果质点在某个方向(如x方向)上速度不随时间 变化, 即质点在该方向上的分运动为匀速直线运动, 则在x方向上的位移可根据位移公式求得
的极角在改变，e
ρ
方
向也相应改变，eρ 的方向是时间的函数，写为 eρ(t)。
v (t )
d dt
(
eρ
)
d
dt
eρ
deρ dt
式中 deρ 是单位矢量
eρ 的方向随时间的变化率。
dt
14
在t 时间内, 质点沿任意平面曲线L由点A到
达点B, 极角的增量为 。
B eρ (t t)
eρ (t) eρ (t t) 1
y 轴竖直向下, 如图所示。
u
O x
l
h
h
l
x
x
y
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设小船到坐标原点的距离为l, 任意时刻小船到
岸边的距离x总满足 x 2 = l 2 h 2
两边对时间t 求导数, 得
dx 2x
dl 2l
dt dt
dl u 是绞车拉动纤绳的速率，纤绳随时间在缩
dt
短，故 dl 0 ; dx v 是小船向岸边移动的速率。
2
质点运动的轨道参量方程式 x x(t)
写成分量形式
y y(t)
速度表达式
z z(t)
v
dr dt
dx dt
i
dy dt
j
dz dt
k
vxi
vy
j
vzk
vx
dx dt
,
vy
dy dt
,
vz
dz dt
v
v
vx2 vy2 vz2
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加速度的表达式
a
dv x
i
dv
y
j
1 2
a
x
t
2
vx vx0 axt
vx2 vx02 2ax (x x0 )
vx vx0 axt
x
x0
vx0 2
vx
t
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例1 通过绞车把湖中小船拉向岸边，如图。如果 绞车以恒定的速率u拉动纤绳, 绞车定滑轮离水面的 高度为h, 求小船向岸边移动的速度和加速度。
解 以绞车定滑轮处为坐标原点, x 轴水平向右,
一条固定射线OA称为极轴。
质点处于点P, 连线OP 称为
点P的极径, 用表示；从OA到
P(, )
OP转过的角称为点P的极角。
点P位置可用(, )来表示, 这两 O
A
个量就称t)
(t)
eρ(t)
eρ
(t
)是极径方向的单位矢量，长度为1，沿
增大
的方向。随着质点的运动，点P
(t t)
(t) A
O L
eρ (t)
eρ (t t)
B
eρ
A
O
eρ (t)
等腰三角形OAB, 当t→0时, 底边趋于与腰
垂的直单,位矢eρ量的e方。向趋于极角增大的方向, 引入该方向