考研数学二(选择题)模拟试卷82(题后含答案及解析)
考研数学二（选择题）模拟试卷82 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则( )
A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关。
B．当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关。
C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关。
D．当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关。
正确答案：D
解析：因为向量组Ⅰ可由向量组Ⅱ线性表示，故r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s。又因为当r＞s时，必有r(Ⅰ)＜r，即向量组Ⅰ的秩小于其所含向量的个数，此时向量组Ⅰ必线性相关，所以应选D。 知识模块：向量
2． 设非齐次线性方程组Ax=b有两个不同解β1和β2，其导出组的一个基础解系为α1，α2，c1，c2为任意常数，则方程组Ax=b的通解为
A．c1α1+c2(α1+α2)+(β1-β2)
B．c1α1+c2(α1-α2)+(β1+β2)
C．c1α1+c2(β1+β2)+(β1-β2)
D．c1α1+c2(β1-β2)+(β1+β2)
正确答案：B
解析：因α1，α1-α2是与基础解系α1，α2等价的线性无关向量组，故α1，α1-α2也是Ax=0的基础解系，又由(Aβ1+Aβ2)=(B+B)=b知(β1+β2)是Ax=B的一个解，由解的结构即知(B)正确． 知识模块：线性方程组
3． 在中，无穷大量是
A．①②．
B．③④．
C．②④．
D．②．
正确答案：D
解析：本题四个极限都可以化成的形式，其中n=2，3，故只需讨论极限要选该极限为+∞的，仅当n=3并取“+”号时，即．选
D． 知识模块：极限、连续与求极限的方法
4． 设X1，X2，…，Xn相互独立同分布，每个分布函数均为F(x)，记X=min(X1，…，Xn)，Y=max(X1，…，Xn)，则(X，Y)的分布函数F(x，y)当y＞x时在(x，y)处的值为( )
A．[F(x)F(y)]n
B．[F(y)]n一[F(y)一F(x)]n
C．[F(y)]n一[F(y)一F(x)F(y)]n．
D．[r(x)]n一[F(x)一F(y)]n．
正确答案：B
解析：r(x，y)=P{X≤x，Y≤y}=P{x≤+∞，Y≤y}一P{X＞x，Y≤y}
=P{Y≤y}一P{X＞x，y≤y}=P{max(X1，X2，…，Xn)≤y}-P{min(X1，X2，…，Xn)＞x，max(X1，X2，…，Xn)≤y}=[F(y)]n一P{X1＞x，…，Xn＞x，X1≤y，…，Xn≤y}=[F(y)]n一P{x＜X1≤y，x＜X2≤y，…，x＜Xn≤y}=[F(y)]n一P{x＜X1≤)，}P{x＜X2≤y}…P{x＜Xn≤y}=[F(y)]n一[F(y)-F(x)]n (y＞x)． 知识模块：概率论与数理统计
5． 二元函数f(x，y)=在点(0，0)处
A．连续，偏导数存在
B．连续，偏导数不存在
C．不连续，偏导数存在
D．不连续，偏导数不存在
正确答案：C 涉及知识点：多元函数微积分
6． 设函数f(x)与g(x)在[0，1]上连续，且f(x)≤g(x)，且对任何c∈(0，1)
A．．
B．．
C．．
D．．
正确答案：D 涉及知识点：一元函数积分学
7． 设f(x)=其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处 ( )
A．极限不存在
B．极限存在，但不连续
C．连续，但不可导
D．可导
正确答案：D
解析：=f(0)=0，f(x)在x=0点连续．所以f-’(0)=0．故f+’(0)=0，从而f’(0)存在，且f’(0)=0，应选(D)． 知识模块：一元函数微分学
8． 设函数f(x)=则在点x=0处f(x)( )．
A．不连续
B．连续但不可导
C．可导但导数不连续
D．导数连续
正确答案：D
解析：因为=f(0)=0，所以f(x)在x=0处连续； 知识模块：一元函数微分学
9． 设f(x)连续，且f’(0)>0，则存在δ>0，使得( )．
A．f(x)在(0，δ)内单调增加
B．f(x)在(-δ，0)内单调减少
C．对任意的x∈(-δ，0)，有f(x)>f(0)
D．对任意的x∈(0，δ)，有f(x)>f(0)
正确答案：D
解析：因为f’(0)=>0，所以由极限的保号性，存在δ>0，当0>0，当x∈(-δ，0)时，f(x)f(0)，应选(D) 知识模块：高等数学部分
10． 已知三阶矩阵A与三维非零列向量α，若向量组α，Aα，A2α线性无关，而A3α=3Aα—2A2α，那么矩阵A属于特征值λ= —3的特征向量是( )
A．α
B．Aα+2α
C．A2α—Aα
D．A2α+2Aα—3α
正确答案：C
解析：由已知A3α+2A2α—3Aα=0，即有(A+3E)(A2α—Aα)=0=O(A2α—Aα)。因为α，Aα，A2α线性无关，那么必有A2α—Aα≠0，所以，A2α—Aα是矩阵A+3E属于特征值λ=0的特征向量，也是矩阵A属于特征值λ=
—3的特征向量，故选C。 知识模块：矩阵的特征值和特征向量
11． 设且｜A｜=m，则｜B｜=( )
A．m。
B．一8m。
C．2m。
D．一2m。
正确答案：D
解析：将行列式｜A｜的第一列加到第二列上，再将第二、三列互换，之后第一列乘以2就可以得到行列式｜B｜。由行列式的性质知｜B｜=一2｜A｜=一2m。 知识模块：行列式
12． A＝E－αTα，B＝E＋2αTα，其中E为n阶单位矩阵，则AB等于
A．0．
B．－E．
C．E．
D．E＋αTα．
正确答案：C 涉及知识点：矩 阵
13． 设则B=( )
A．P1P3A。
B．P2P3A。
C．AP3P2。
D．AP1P3。
正确答案：B
解析：矩阵A作两次初等行变换可得到矩阵B，而AP3P2，AP1P3描述的是矩阵A作列变换，故应排除。该变换或者把矩阵A第一行的2倍加至第三行后，再第一、二两行互换可得到B；或者把矩阵A的第一、二两行互换后，再把第二行的2倍加至第三行也可得到B。而P2P3A正是后者，所以应选B。 知识模块：矩阵
14． 设函数f(x)=，讨论f(x)的间断点，其结论为( )
A．不存在间断点．
B．x=0是可去间断点．
C．x=0是跳跃间断点．
D．x=0是无穷间断点．
正确答案：D
解析：因为所以x=0是f(x)的无穷间断点，故应选(D)． 知识模块：函数、极限、连续
15． 设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是( )
A．C[y1(x)一y2(x)]．
B．y1(x)+C[y1(x)一y2(x)]
C．C[y1(x)+y2(x)]．
D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]．
正确答案：B
解析：由于y1(x)一y2(x)是对应齐次线性微分方程y’+P(x)y=0的非零解，所以它的通解是Y=C[y1(x)一y2(x)]，故原方程的通解为y=y1(x)+Y=y1(x)+C[y1(x)一y2(x)]，故应选
B． 知识模块：常微分方程
16． 设α1，α2，α3线性无关，β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3线性表示，对任意的常数k有( )．
A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关
B．α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关
C．α1，α2，α3，β1+kβ2，线性无关
D．α1，α2，…，α3，β1+kβ2线性相关
正确答案：A
解析：因为β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3线性表示，所以kβ1+β2一定不可以由向量组α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关，选(A) 知识模块：线性代数部分
17． 设λ1，λ2是n阶矩阵A的特征值，α1，α2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，则 ( )
A．当λ1=λ2时，α1，α2对应分量必成比例
B．当λ1=λ2时，α1，α2对应分量不成比例
C．当λ1≠λ2时，α1，α2对应分量必成比例
D．当λ1≠λ2时，α1，α2对应分量必不成比例
正确答案：D
解析：当λ1=λ2时，α1与α2可以线性相关也可以线性无关，所以α1，α2可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除(A)，(B)．当λ1≠λ2时，α1，α2一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选(D)． 知识模块：线性代数
18． 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且r(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，k是任意常数，则方程组AX=b的通解是 ( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：方程组有齐次解：2α1一(α2+α3)=[2，3，4，5]T，故选(C)． 知识模块：线性代数
19． 已知α1是矩阵A属于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩阵A属于特征值λ=6的线性无关的特征向量，那么矩阵P不能是 ( )
A．[α1，一α2，α3]
B．[α1，α2+α3，α2—2α3]
C．[α1，α3，α2]
D．[α1+α2，α1-α2，α3]
正确答案：D
解析：P=[α1，α2，α3]，则有AP=PA，即即 [Aα1，Aα2，Aα3]=[a1
考研数学(数学二)模拟试卷282(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷282 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设，则当x→0时，f(x)是g(x)的( )．
A．低阶无穷小
B．高阶无穷小
C．等价无穷小
D．同阶但不等价的无穷小
正确答案：B
解析：因为，所以f(x)是g(x)的高价无穷小，因而选(B)．
2． 设周期函数f(x)在(-∞，+∞)内可导，周期为4，又，则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线的斜率为( )．
A．1／2
B．0
C．-1
D．-2
正确答案：D
解析：由题设，f(x)的周期为4，则所求点(5，f(5))处切线的斜率应该与(1，f(1))处的斜率相同，则由导数定义知即为所求斜率，又由 所以点(5，f(5))处切线的斜率为-2．选(D)。
3． 设函数f(x)连续，F(u，v)=，其中区域Duv为图中阴影部分，则=( )．
A．vf(u2)
B．
C．vf(u)
D．
正确答案：A
解析：在极坐标系下，，故应选(A)．
4． 设f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足，则函数f(x，y)在点(0，0)处( )．
A．取极大值
B．取极小值
C．不取极值
D．无法确定是否有极值
正确答案：A
解析：因为，根据极限保号性，存在δ＞0，当，而x2+1＞1＞0，所以当，有f(x，y)-f(0，0)＜0，即f(x，y)＜f(0，0)， 所以f(x，y)在点(0，0)处取极大值，选(A)．
5． 设函数y=y(x)由参数方程，确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是( )．
A．
B．
C．-8ln2+3
D．8ln2+3
正确答案：A
解析：由题意可知，当x=3时，t=1，t=-3(不合题意，舍)，有 求得y=y(x)在x=3处的法线方程为y=ln2-8(x-3)． 令y=0，得法线与x轴交点的横坐标为x=(1/8)ln2+3．所以选(A)．
考研数学二(选择题)模拟试卷121(题后含答案及解析)
考研数学二（选择题）模拟试卷121 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 下列关于向量组线性相关性的说法正确的个数为( )①若α1，α2，…，αn线性相关，则存在全不为零的常数k1，k2，…，kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0。②如果α1，α2，…，αn线性无关，则对任意不全为零的常数k1，k2，…，kn，都有k1α1+k2α2+…+knαn≠0。③如果α1，α2，…，αn线性无关，则由k1α1+k2α2+…+knαn=0可以推出k1=k2=…kn=0。④如果α1，α2，…，αn线性相关，则对任意不全为零的常数k1，k2，…，kn，都有k1α1+k2α2+…+knαn=0。
A．1。
B．2。
C．3。
D．4。
正确答案：B
解析：对于①，线性相关的定义是：存在不全为零的常数k1，k2，…，kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0。不全为零与全不为零不等价，故①错。②和③都是向量组线性无关的等价描述，正确。对于④，线性相关性只是强调不全为零的常数k1，k2，…，kn的存在性，并不一定要对任意不全为零的k1，k2，…，kn都满足k1α1+k2α2+…+knαn=0，故④错误。事实上，当且仅当α1，α2，…，αn全为零向量时，才能满足对任意不全为零的常数k1，k2，…，kn，都有k1α1+k2α2+…+knαn=0。综上所述，正确的只有两个，故选B。 知识模块：向量
2． 设当x→0时，f(x)=ax3+bx与g(x)=∫0sinx(一1)dx等价，则 ( )
A．a=，b=1
B．a=3，b=0
C．a=，b=0
D．a=1，b=0
正确答案：C
解析： 知识模块：函数、极限、连续
3． 两个4阶矩阵满足A2=B2，则
A．A=
B．
B．A=－
B．
C．A=B或A=－
B．
D．｜A｜=｜B｜或｜A｜=－｜B｜．
正确答案：D
解析：对A2=B2两边取行列式，得｜A｜2=｜B｜2｜A｜2－｜B｜2=0(｜A｜－ ｜B｜)(｜A｜+｜B｜)=0｜A｜－｜B｜=0或｜A｜+｜B｜=0即｜A｜=｜B｜或｜A｜=－｜B｜． 知识模块：矩阵
考研数学二(解答题)模拟试卷87(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷87 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设a1＝1，a2＝2，3an+2－4an-1＋an＝0，n＝1，2，…，求．
正确答案：由3an+2－4an+1＋an＝0，得3(an+2－an+1)＝an+1－an(n＝1，2，…)． 令bn＝an+1－an，则bn+1／bn＝1／3(n＝1，2，…)， 由b1＝1，得bn＝(n＝1，2，…)，即 解得an＝1＋，所以 涉及知识点：函数、极限、连续
2．
正确答案： 涉及知识点：高等数学部分
3． 在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布N(a，0．22)，表示n次称量结果的算术平均值，则为使P{｜一a｜＜0．1}≥0．95，n的最小值应不小于多少?
正确答案：由已知条件 涉及知识点：概率论与数理统计
4． 设A是n阶实反对称矩阵，x，y是实n维列向量，满足Ax=y，证明x与y正交．
正确答案：因为AT=－A，Ax=y，所以(x，y)=xTAx=(ATx)Tx=(－Ax)Tx=(－y，x)，得(x，y)=0． 涉及知识点：向量组的线性关系与秩
5． 已知线性方程组的一个基础解系为：(b11，b12，…，b1，2n)T，(b21，b22，…，b2，2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn，2n)T． 试写出线性方程组的通解，并说明理由．
正确答案：记方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)的系数矩阵分别为A、B，则可以看出题给的(Ⅰ)的基础解系中的n个向量就是的n个行向量的转置向量．因此，由(Ⅰ)的基础解系可知 ABT＝O 转置即得BAT＝0 因此可知AT的n个列向量——即A的n个行向量的转置向量都是方程组(Ⅱ)的解向量． 由于B的秩为n(B的行向量组线性无关)，故(Ⅱ)的解空间的维数为2n－r(B)＝2n－n＝n，所以(Ⅱ)的任何n个线性无关的解就是(Ⅱ)的一个基础解系．已知(Ⅰ)的基础解系含n个向量，即2n－r(A)＝n，故r(A)＝n，于是可知A的n个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成(Ⅱ)的一个基础解系，因此(Ⅱ)的通解为 y＝c1(a11，a12，…，a1，2n)T＋c2(a21，a22，…，a2，2n)T＋…＋cn(an1，an2，…，an，2n)T其中c1，c2，…，cn为任意常数． 涉及知识点：线性方程组
考研数学二(选择题)模拟试卷90(题后含答案及解析)
考研数学二（选择题）模拟试卷90 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)可导，f(x)=0，f’(0)=2，F(x)=∫0xt2f(x3-t3)dt，则当x→0时，F(x)是g(x)的( )
A．低阶无穷小
B．高阶无穷小
C．等价无穷小
D．同阶但非等价无穷小
正确答案：D
解析：先改写其中，则。故选D。 知识模块：函数、极限、连续
2． 设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，则g(1)=( )
A．ln3—1。
B．一ln3—1。
C．一ln2—1。
D．ln2—1。
正确答案：C
解析：函数h(x)=e1+g(x)两边同时对x求导，可得h’(x)=e1+g(x)g’(x)。在上面的等式中令x=1，结合已知条件h’(1)=1，g’(1)=2，可得1=h’(1)=e1+g(1)g’(1)=2e1+g(1)，因此得g(1)=一ln2—1。故选C。 知识模块：一元函数微分学
3． 设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的—1倍加到第2列得C，记P=，则( )
A．C=P—1AP
B．C=PAP—1
C．C=PTAP
D．C=PAPT
正确答案：B
解析：由题意得所以(*)式可以表示为C=PAP—1，故选B。这两道题主要考查的是初等变换与初等矩阵的关系。考生需要注意的是：初等行变换就是左乘初等矩阵，初等列变换就是右乘初等矩阵。 知识模块：矩阵
4． 设f(x)为可导函数，且满足条件则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( )
A．2．
B．一1．
C．．
D．一2
正确答案：D
解析：将题中等式两端同乘2，得由导数定义可知f’(1)=一2，故选
D． 知识模块：一元函数微分学
5． 对任意的x∈(一∞，+∞)，有f(x+1)=f2(x)，且f(0)=f’(0)=1，则f’(1)=( )
考研数学二(选择题)模拟试卷111(题后含答案及解析)
考研数学二（选择题）模拟试卷111 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 当x→0时，ex一(ax2+bx+1)是比x2高阶的无穷小，则( )
A．a=，b=1。
B．a=1，b=1。
C．a=，b=一1。
D．a=一1，b=1。
正确答案：A
解析：因ex=l+x++o(x2)，故ex一(ax2+bx+1)=(1—b)x+(一a)x2+o(x2)。显然要使上式是比x2高阶的无穷小(x→0时)，只要故选A。 知识模块：函数、极限、连续
2． 若f(1+x)=af(x)总成立，且f’(0)=b．(a，b为非零常数)则f(x)在x=1处
A．不可导．
B．可导且f’(1)=a．
C．可导且f’(1)=b．
D．可导且f’(1)=ab．
正确答案：D 涉及知识点：一元函数微分学
3． 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=O，则( )
A．E一A不可逆，E+A不可逆．
B．E—A不可逆，E+A可逆．
C．E—A可逆，E+A也可逆．
D．E—A可逆，E+A不可逆．
正确答案：C
解析：本题考查逆矩阵的概念及性质，抽象矩阵求逆一般从定义出发．由于(E-A)(E+A+A2)=E，从而E-A可逆，同理(E+A)(E-A+A2)=E，从而E+A可逆．故选
C． 知识模块：矩阵
4． 设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，若｜A｜=2，｜B｜=3，则分块矩阵的伴随矩阵为( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：根据公式AA*=｜A｜E，有因此A项不正确。而=｜A｜｜B｜，满足公式AA*=｜A｜E，故选B。同理可验证，C项和D项均不正确。 知识模块：矩阵
5． 设向量组α1,α2,α3线性无关，向量β1可由向量组α1,α2,α3线性表示，而向量β2不能由α1,α2,α3线性表示，则对于任意常数k，必有( )
A．α1,α2,α3，kβ1+β2线性无关．
考研数学二(填空题)高频考点模拟试卷80(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷80 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)=在x=0处连续，则A=______．
正确答案：
解析：由ex=1+x++o(x2)得 知识模块：高等数学
2． 设f(χ)＝χ(χ－1)(χ－2)…(χ－n)，则f′(0)＝_______，f(n+1)(χ)＝_______．
正确答案：(－1)nn!，(n＋1)! 涉及知识点：一元函数微分学
3． 如果且B2=E，则A2=____________．
正确答案：A
解析：已知且B2=E，因此 知识模块：矩阵
4． 已知A=，则(A—1)*=_________。
正确答案：
解析：若A可逆，由A*=｜A｜A—1有(A—1)*=｜A—1｜(A—1)—1=， 知识模块：矩阵
5． ＝_______。
正确答案：2(1—2e－1)； 涉及知识点：一元函数积分学
6． 设y=sinx2．则=________．
正确答案：
解析：用微分的商来求． 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算
7． 设f(x)为连续函数，且满足∫01(xt)dt=f(x)+xsinx，则f(x)=__________．
正确答案：cosx-sinx+C
解析：由∫01f(xt)dt=f(x)+xsinx，得∫01(xt)=xf(x)+x2sinx，即∫0xf(t)dt=xf(x)+x2sinx，两边求导得f’(x)=-2sinx-xcosx，积分得f(x)=cosx-sinx+
C． 知识模块：高等数学
8． 设f(χ)是连续函数，并满足∫f(χ)sinχdχ＝cos2χ＋C，又F(χ)是f(χ)
的原函数，且满足F(0)＝0，则F(χ)＝_______．
正确答案：－2snχ．
解析：由题设及原函数存在定理可知，F(χ)＝∫0χf(t)dt为求f(χ)，将题设等式求导得 f(χ)sinχ＝[∫f(χ)]sinχdχ] ′＝(cos2χ＋C)′＝－2sinχcosχ， 从而f(χ)＝－2cosχ，于是 F(χ)＝∫0χf(t)dt＝∫0χ－2costdt＝－2snχ． 知识模块：一元函数积分概念、计算及应用
考研数学二(解答题)模拟试卷89(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷89 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 求常数m，n，使得
正确答案：由得m+2=6，解得m=4，n=-5． 涉及知识点：函数、极限、连续
2． 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，证明：存在ξ∈(0，1)，使得[f(1)一f(0)]=(1+ξ2)f’(ξ)．
正确答案：令F(x)=arctanx，F’(x)=≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(0，1)，
涉及知识点：高等数学
3． 已知函数y=e2x+(x+1)ex是二阶常系数线性非齐次方程y”+ay’+by=cex的一个特解，试确定常数a，b，c及该方程的通解．
正确答案：a=一3，b=2,c=一1．y=C1e2x+C2ex+xex 涉及知识点：常微分方程
4． 求下列不定积分：
正确答案：(Ⅰ)令，则再用上面的三角形示意图，则得(Ⅱ)令x=，于是dx=asec2tdt，=asect，则再利用上面的三角形示意图，则有其中C1=C－lna．(Ⅲ)
涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用
5． 已知f(x)=，求f’(1)．
正确答案： 涉及知识点：一元函数微分学
6． 设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得＝ξf′(ξ)．
正确答案：令φ(χ)＝f(b)lnχ－f(χ)lnχ＋f(χ)lna，φ(a)＝φ(b)＝f(b)lna． 由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ′(ξ)＝0． 而φ′(χ)＝－f′(χ)lnχ＋f′(χ)lna， 所以[f(b)－f(ξ)]－f′(ξ)(lnξ－lna)＝0，即＝ξf′(ξ)． 涉及知识点：中值定理与一元函数微分学的应用
7． 设f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在[一1，1]内存在ξ，使得f”(ξ)=3．
考研数学二(常微分方程)模拟试卷8(题后含答案及解析)
考研数学二（常微分方程）模拟试卷8 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 微分方程y’’-4y=e2x+x的特解形式为( )．
A．ae2x+bx+c
B．ax2e2x+bx+c
C．axe2x+bx2+cx
D．axe2x+bx+c
正确答案：D
解析：y’’-4y=0的特征方程为λ2-4=0，特征值为λ1=-2，λ2=2． y’’-4y=e2x的特解形式为y=axe2x， y’’-4y=x的特解形式为y2=bx+C，故原方程特解形式为axe2x+bx+c，选(D)． 知识模块：常微分方程
2． 设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x，则该微分方程为 ( )．
A．y’’’-y’’-y’+y=0
B．y’’’+y’’-y’-y=0
C．y’’’+2y’’-y’-2y=0
D．y’’’-2y”-y’+2y=0
正确答案：A
解析：由y1=ex，y2=2xe-x，y3=3e-x为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1=λ2=1，λ3=-1，其特征方程为(λ-1)2(λ+1)=0，即λ3-λ2-λ+1=0，所求的微分方程为y’’’-y’’-y’+y=0，选(A)． 知识模块：常微分方程
3． 设φ1(x)，φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )．
A．C[φ1(x)+φ2(x)]
B．C[φ1(x)-φ2(x)]
C．C[φ1(x)-φ2(x)]+φ2(x)
D．[φ1(x)-φ2(x)]+Cφ2(x)
正确答案：C
解析：因为φ1(x)，φ2(x)为方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以φ1(x)-φ2(x)为方程y’+P(x)y=0的一个解，于是方程y’+P(x)y=Q(x)的通解为C[φ1(x)-φ2(x)]+φ2(x)，选(C)． 知识模块：常微分方程
考研数学二(填空题)模拟试卷88(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷88 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． =__________。
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数积分学
2． 设y=f(lnx)ef(x)，其中f(x)可微，则dy=__________．
正确答案：ef(x)[ f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx
解析：利用一阶微分形式不变性，可得dy=d[f(lnx)ef(x)]=ef(x)[df(lnx)]+f(lnx)def(x)=ef(x)[f’(lnx)dlnx]+f(lnx)ef(x)df(x)=ef(x)[ f’(lnx)+f’(x)f(lnx)]dx． 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算
3． 对数螺线r=eθ在点(r，θ)=处的切线的直角坐标方程为_______．
正确答案：
解析：对数螺线的参数方程为于是它在点处切线的斜率为当θ=时x=0，y=．因此该切线方程为. 知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算
4． 求函数z＝χy(4－χ－y)在χ＝1，y＝0，χ＋y＝6所围闭区域D上的最大值_______与最小值_______．
正确答案：，fmin(3，3)＝－18 涉及知识点：多元函数微积分
5． 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为_______．
正确答案：2
解析：f的矩阵A=的秩为2． 知识模块：二次型
6． y=sin4x+cos4x，则y(n)=______(n≥1)．
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数微分学
7． 求=________.
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
8． ∫0+∞=______．
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数积分概念、计算及应用
9． =________．
正确答案：
解析：因(xex)’=ex(x+1)，令xex=t，则dt=ex(x+1)dx，于是 知识模块：一元函数积分概念、计算及应用
考研数学二(线性方程组)模拟试卷8(题后含答案及解析)
考研数学二（线性方程组）模拟试卷8 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设Q＝方阵P3×3≠0，而PQ＝O，则 【 】
A．t＝6时，必有秩(P)＝1．
B．t＝6时，必有秩(P)＝2．
C．t≠6时，必有秩(P)＝1．
D．t≠6时，必有秩(P)＝2．
正确答案：C 涉及知识点：线性方程组
2． 设非齐次线性方程组Aχ＝b有两个不同解，β1和β2其导出组的一个基础解系为α1，α2，c1，c2为任意常数，则方程组Aχ＝b的通解为 【 】
A．c1α1＋c2(α1＋α2)＋(β1－β2)
B．c1α1＋c2(α1－α2)＋(β1＋β2)
C．c1α1＋c2(β1＋β2)＋(β1－β2)
D．c1α1＋c2(β1－β2)＋(β1＋β2)
正确答案：B 涉及知识点：线性方程组
3． 设α1＝(1，0，2)T及α2＝(0，1，－1)T都是线性方程组Aχ＝0的解，则其系数矩阵A＝ 【 】
A．
B．
C．
D．
正确答案：A 涉及知识点：线性方程组
4． 设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Aχ＝0仅有零解的充要条件是A的 【 】
A．列向量组线性无关．
B．列向量组线性相关．
C．行向量组线性无关．
D．行向量组线性相关．
正确答案：A 涉及知识点：线性方程组
5． 设齐次线性方程组的系数矩阵为A．且存在3阶方阵B≠O．使AB＝O，则 【 】
A．λ＝－2且｜B｜＝0．
B．λ＝－2且｜B｜≠0．
C．λ＝1且｜B｜＝0．
D．λ＝1且｜B｜≠0．
正确答案：C 涉及知识点：线性方程组
6． 设矩阵Am×n的秩为r(A)＝m＜n．b为任一m维列向量，则 【 】