空间几何练习题一(含答案)

1．四边都相等的四边形不一定是菱形（如空间四边形）．
2 ．无公共点的两条直线不一定平行（可能是异面的）；不平行的两条直线不一定相交（可能异面）．
3．分别在两个平面内的两条直线不一定是异面直线（可能平行，也可能相交）． 4．两两相交的三条直线不一定共面（如教室中三面墙的交线），当它们相交于一点且不共面时，能确定三个平面．
5．平行于同一平面的两条直线不一定平行（可能相交，也可能异面）． 6．两条平行线中的一条直线平行于一个平面，但另一条不一定平行于这个平面（另一条可能在这个平面内）．
7．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，这两个平面不一定平行（当这个平面内的任意一条直线，平行于另一个平面时，这两个平面平行）． 8．夹在两平行平面间的等长线段不一定平行（还可能相交，也可能异面）． 9．与两条异面直线都相交的两条直线不一定异面（还可能相交）．
例1 如图：已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，面对角线A B 1，
BC 1上分别有两点E 、F ，且B 1E = C 1F ．
求证：⑴EF ∥平面ABCD ；⑵平面AC D 1∥平面A 1BC 1． 一、线与面垂直关系转化
线线垂直、线面垂直、面面垂直这三者之间的关系非常密切，可以相互转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理，应当灵活应用这些定理证明问题和求解问题．
例2 如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE = CA = 2BD ，M 是EA 的中点，求证：⑴DE = DA ；⑵平面BDM ⊥平面ECA ；⑶平面DEA ⊥平面ECA ．
二、创设辅助线与面
如果已知条件中找不出现成的平行或垂直关系，此时要
根据题意灵活作出有理有据的辅助线或辅助面，适当添加辅助线或
辅助面是面是促进转化的重要环节．
C 1
D 1 A
B
D C A 1
B 1
N F
G
E M A
B
D
C C 1
D 1 A 1
B 1 M
N
E B
A
D
F M C
N
例3 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是对角线AB 1、BC 1上两点，且
MA M B 1=NB
N
C 1，求证：MN ∥平面A 1B 1C 1
D 1．
1.⑴证明：过E 、F 分别作AB 、BC 的垂线，EM 、FN 分别交AB 、BC 于M 、N ，连接MN ，
∵BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1，∴EM ∥FN ． ∵A B 1= BC 1，B 1E = C 1F ，∴AE = BF ，又∠B 1AB =∠C 1BC = 45°，∴Rt △AME ≌Rt △BNF ，∴EM = FN ．
∴四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN ． 又MN ⊂平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD ．
⑵证明：如图 ∵正方体ABCD —A 11B C 1D 1中，AD 1∥BC 1，CD 1
∥B A 1，
又AD 1 CD 1= D 1，BC 1 B A 1= B ， ∴平面ACD 1∥平面A 1BC ．
说明：较低一级的位置关系，判定着较高一级的位置关系，
如线线平行⇒线面平行⇒面面平行，反之较高一级的位置关系具有较低一级的性质，如面面平行⇒线面平行⇒线线平行，这种低级到高级、高级到低级的转化构成位置关系证题中的主要思维指向．
2.分析：⑴要证明DE = DA ，只须证明Rt △DFE ≌Rt △DBA ；⑵注意M 为EA 的中点，可取CA 的中点N ，先证明N 点在平面BDM 内，再证明平面BDMN 经过平面ECA 的一条垂线即可；⑶仍需证明平面DEA 经过平面ECA 的一条垂线．
证明：⑴如图，取EC 的中点F ，连接DF ， ∵EC ⊥BC ，易知DF ∥BC ，∴DF ⊥EC ．
在Rt △DFE 和Rt △DBA 中，
∵EF =2
1
EC = BD ，FD = BC =AB ，
∴Rt △DFE ≌Rt △DBA ， 故DE = DA ．
⑵取CA 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN =
//2
1
EC ， ∴MN ∥BD ，即N 点在平面BDM 内，
∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BC ，
C 1
D 1
A B
D
C
A 1
B 1
又CA ⊥BN ，∴BN ⊥平面ECA ，
∵BN 在平面MNBD 内， ∴平面MNBD ⊥平面ECA ． ⑶∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ， ∴DM ⊥平面ECA ， 又DM ⊂平面DEA ，
∴平面DEA ⊥平面ECA ．
说明：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明BN ⊥平面ECA 是关键．从解题方法上说，由于“线线垂直”、“线面垂直”与“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直转化途径进行．
3.分析：在图中，根据已知条件找不出现成的线线平行关系，怎么办？往往通过两条途径去探索证明思路：①用“面面平行⇒线面平行”；②添加辅助线，创设使用线面平行判定定理的条件，具体方法如下：
⑴由“面面平行⇒线面平行”去证．
在面A 1B 内，作M K ∥A 1B 1，交BB 1于K 点，连接K N ，由平行线截割定理知
MA M B 1=KB K B 1，而MA M B 1=NB N C 1已知），∴KB K B 1 =NB N
C 1 ，则K N ∥B 1C 1， ∴平面M K N ∥平面A 1B 1C 1
D 1， 即平面M K N 平面A 1B 1C 1D 1=Φ， 而MN ⊂平面M K N ， ∴MN ∥平面A 1B 1C 1D 1．
⑵添加辅助线，由“线线平行⇒线面平行”去证．
连接BM 并延长交A 1B 1于P 点，连接P C 1，则可证△B 1M P ∽△AMB ， ∴
MA M B 1=MB PM ，而MA M B 1=NB N
C 1（已知）， ∴
MB PM =NB
N
C 1，由平行截割定理得：MN ∥P C 1， 而P C 1⊂平面A 1B 1C 1
D 1，∴MN ∥平面A 1B 1C 1D 1．
说明：辅助线、辅助面所具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断．
A
B
D
C
C 1
D 1
A 1
B 1
M
K
N
A
B
D
C C 1
D 1 A 1
B 1 N
M。