三角形测高
利用相似三角形测高
利用相似三角形测高作者：***来源：《初中生世界·九年级》2021年第02期第六章图形的相似领衔人：吴粉连组稿团队：江苏省常州市金坛区吴粉连名师工作室相似三角形是初中数学的重要知识点，在生活中也有着广泛的应用。
下面就如何利用相似三角形来测量物体的高度谈一点方法，希望能给同学们带来收获。
方法一：利用影子【操作方法】一名学生站在旗杆影子的顶端处，测出该生的身高和影长及此时旗杆的影长。
【点拨】把太阳的光线看成是平行的。
∵太阳的光线是平行的，∴AE∥CB，∴∠AEB=∠CBD。
∵人与旗杆是垂直于地面的，∴∠A BE=∠CDB=90°，∴△AEB-△CBD，∴AB/CD=BE/BD，即CD= AB·BD/BE。
因此，只要测量出入的影长BE，旗杆的影长DB，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了。
方法二：利用标杆【操作方法】选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上树一根高度已知的标杆。
观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上，此时分别测出他的脚与旗杆底部、标杆底部的距离即可求出旗杆的高度。
【点拨】如图3，过点A作AN⊥DC于点N，交EF于点M。
∵人、标杆和旗杆都垂直于地面，∴∠ABF=∠EFD=∠CDH=90°，∴人、标杆和旗杆是互相平行的。
∵EF∥CN，∴∠1=∠2。
∵∠3=∠3，∴△AEM一△ACN，∴AM/AN=CE/CN。
∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离、标杆与人的身高的差EM都已测量出，∴能求出CN。
∵∠ABF=∠CDF=∠ND=90°，∴四边形ABDN为矩形，∴DN=AB.∵能求出旗杆CD的长度。
【操作方法】选一名学生作为观测者，在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子。
固定鏡子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆顶部。
此时，测出他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度。
九上数学 第19讲 利用三角形相似测高
第19讲 《图形的相似》培优训练4.6利用三角形相似测高学习目标：1、掌握测量旗杆高度的方法；2、通过设计测量旗杆高度的方案，学会由实物图形抽象成几何的方法，体会实际问题转化成数学模型的转化思想； 一、温故知新1． 相等， 成比例的两个三角形相似，相似比是1的两个三角形是 三角形。
2．相似三角形的判定：① 对应相等的两个三角形相似．②两边对应成 ，且 相等的两个三角形相似． ③三边 的两个三角形相似．3．相似三角形的性质：相似三角形的对应角 对应边 。
二、实例讲解：利用阳光下的影长测物体的高度 示意图如下图1、原理及证明：太阳光线是平行的通过构造“ ”三角形来测量物高。
解：∵阳光AE 阳光BC ， ∴∠AEB= ， 又∵∠ABE= =90° ∴△ ∽△ ， ∴CDAB= ，即CD= . 2、待测数据： 、 、 。
3、结论：同一时刻物高与影长成比例．．．．．．．．．．．．4.若学生身高是1.6m,其影长是2m,旗杆影长5m,求旗杆高度为 .AE 人影 人B物影物高CDE人D镜子 阳光AB物高三、合作探究： 1、利用标杆测物体的高度 示意图如下1、原理：利用光的直线传播通过构造“ ”三角形来测量物高。
2、证明：∵ AB CD ，∴∠FHD=∠ ， 又∵∠FDH=∠ ，∴△ ∽△ ，∴AGDH= ， ∵FH=EC ，ＦＧ＝ＢＥ，EF=HC=GB,DH=DC-HC , 即AGDH= ，AG= . ∴物高AB=AG+GB=AG+EF3、待测数据： 、 、 、 。
4.若学生眼睛距地面高度是1.6m,学生脚距镜子1m,镜子距旗杆底部是5m,求旗杆高度为 。
2、利用镜子的反射测物体的高度 示意图如下图1．原理：利用光线的入射角等于反射角构造出相似三角形 2.解：由入射角等于反射角， ∴∠ =∠∵∠ +∠ACB=∠ +∠ ECD =90° ∴∠ACB=∠ ， ∵∠ B=∠ D=90°， ∴△ ∽△ ， ∴DEAB= ，即AB= 。
相似三角形测高
相似三角形测高影子落在水平面上•某班同学要测量学校国旗旗杆的高度,在同一时刻,量得某一同学的身高是1.5米,影子长是1米,旗杆影子长是8米,则旗杆的高度是多少?要点提示：1.太阳光线默认平行2.同一时刻,两个物体的高度和水平地面上的影长的比例是相等的,即物1：影1=物2：影2•如图,阳光从教室的窗户射入室内,窗户框AB在地面上的影长是1.8米,窗户下沿到地面的距离BC=1米,EC=1.2米,那么窗户的顶端到地面AC是多少米?影子一部分落在水平面上,另一部分落在墙上•如图,教学楼前有一根旗杆,在阳光下,它的影子一部分落在了地面上,另一部分落在了教学楼的墙上,经测量,地面上的影子长2.7米.墙上的影子是1.2米.同一时刻,测得垂直于地面的1米长的竹竿的影子长0.9米.问旗杆的高度是多少米?要点提示：照在垂直墙面上的影子没有被拉长，对应原物体高度分析方法：影子一部分落在水平面上,另一部分落在斜坡上•如图,小明准备测量电线杆AB的高度,发现电线杆的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得CD=4米,BC=10米,CD与地面成30°角,且此时测得1米的杆影长为2米,求电线杆的高度.(结果保留根号)要点提示：把斜坡上的影子转化为垂直地面的影子和水平地面的影子（借助三角函数），其中垂直地面的影子对应原物体高度，没有被拉长。
水平地面的影子被拉长，拉长比例与地面影子相同分析方法：影子一部分落在水平面上,另一部分落在台阶上•如图,有一朝西下降的阶梯,阳光从正西边照过来,在距离阶梯6米处有一根柱子,其影子的前端恰好到达阶梯的第三阶。
此外,树立一根长70cm的杆子,测量其影子的长度为175cm,又知阶梯各阶的高度与宽度均为50cm,则柱子的高度为多少？要点提示：把台阶上的影子转化为垂直地面和平行地面两部分影子。
其中垂直地面的影子长度与对应柱子原长度，没有被拉伸；平行地面的影子被拉伸，拉伸比例与地面影子部分相同由灯求影由影求灯•晚上,一个身高1.6米的人站在路灯下,发现自己的影子刚好是4块地砖的长(地砖是边长为0.5米的正方形).当他沿着影子的方向走了4块地砖时,发现自己的影子刚好是5块地砖的长.根据他的发现,你能不能计算路灯的高度?要点提示：灯光光线看成是四射的,而且同一物体的投影的大小是随着灯的远近变化的.•如图，路灯P距离地面8米,身高1.6米的小丽从距离路灯的底部(点O)20米的A处,沿AO所在的直线行走14米到达B时,人影长度怎样改变?改变了多少?双灯双影•一个人在两个路灯之间行走,那么他前后的两个影子的长度有什么关系什么?如图,人的身高AB=a,路灯CD=EF=b,两个路灯的间距为m,BM、BN表示前后的两个影子要点提示：两个影子的和为定值中心灯影•(2003年河北省中考题)如图,这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后,在地面形成阴影的示意图.已知桌面的直径为1.2米,桌面距离地面1米若灯泡距离地面3米,则地面上阴影部分的面积为( )要点提示：灯在圆桌的正上方,所以圆桌的影子也是圆形.由于圆桌和影子是平行的,利用图中的相似三角形可求解房屋采光问题•图为住宅区内的两幢楼,它们的高AB=CD=30米,两楼间的距离AC=24米,现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高?(结果保留根号)要点提示：太阳的光线是直线传播的,经过甲楼点B的光线经延长对应到乙楼上的点到地面的距离及为影子镜子反射•如图,在水平地面上放一面平面镜,镜子与教学大楼的距离EA=21米.当小玲与镜子的距离CE=2.5米时,她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米。
利用相似三角形测高的三种方法
利用相似三角形测高的三种方法
1.形似定理法：这个方法是利用相似三角形的三边成比例的性质来求
出物体与仪器距离（x）及物体的高度（h）的。
假设有一个类似于图中的
场景，物体AB的高度为h，相机CD离地面的距离为x，相机镜头视角下
的物体高度为y。
通过三角形相似关系可得：AD/CD=AB/BC，即AD=(CD/BC)*AB=x/h*AB。
所以物体与相机的距离为x=AD*BC/AB=h*BC/AB。
而物体的高度为
h=y*(AD+CD)/CD=y*BC/CD。
2.变换法：这个方法是通过将相机移动至两个不同的位置，同时拍摄
同一物体的两个照片来求出物体的高度。
如图，相机从C位置拍摄照片时，物体的高度为h1，相机从C’位置拍摄同一物体时，物体的高度为h2。
根据相似三角形原理，可得：h1/(x1+d)=h2/(x2+d)，其中d为相机
的移动距离。
所以，物体的高度可以表示为h2=h1*(x2+d)/(x1+d)。
3. 斜向测量法：这个方法是利用相似三角形的夹角相等的原理来测
量物体高度。
如图，相机以斜向的角度（α）拍摄物体的照片，由相似三
角形的夹角相等可得：h/L=ta nα，即物体的高度为h=L*tanα。
其中，L
为相机离物体的距离。
这三种方法都是利用相似三角形的性质来测量物体高度的，其中形似
定理法和变换法需要测量相机距离、相机移动距离等参数，斜向测量法则
需要知道相机与物体的夹角。
所以在不同的场景下，选择不同的方法来测
量物体高度，能有效提高测量的精度。
用解直角三角形测量房子高度操作步骤
用解直角三角形测量房子高度操作步骤方法一：利用相似三角形的知识求解。
可以找一个已知长度的杆立在那里，测量其影子的长度，而后测量房子影子长度。
因为杆和地面本身是直角，太阳的照射角在同一时间同一地点也是相同的，两个三角形两个角相等是相似三角形。
利用相似的性质，对应边成比例求解。
已知杆的高度：其影子的长度=房子高度：房子影子长度。
进行求解。
方法二：测量房子影子的长度。
在影子的顶点处（远离旗杆那端）用角度测量仪测量房子顶部与该点连线与地面的夹角A，利用房子的长度：影子的长度=tanA。
也可以通过其他方法测出太阳的照射角也可。
方法三：在建筑物外点一点（离建筑物距离最好接近建筑物的高度）,测量点到建筑物的距离L,测量点与建筑物顶的夹角a（方法很多种,如果有仪器测角最好）,H=L*sina; 测角是放在仪器上面再加仪器高就可以了。
利用相似三角形测高
02 测高原理及步骤
利用相似三角形测高原理
相似三角形性质
当两个三角形对应角相等时，这 两个三角形相似。相似三角形的 对应边成比例。
测高原理
通过构造一个与待测高度相关的 相似三角形，利用已知距离和角 度信息，可以推算出待测高度。
实际操作步骤
1. 选择合适的观测点
可以计算出建筑物的高度。
确定建筑物位置
在建筑设计中，可以利用相似三 角形原理，通过已知的两个点和 角度，确定建筑物的准确位置。
评估建筑物稳定性
相似三角形可以用于分析建筑物 的倾斜度和稳定性，通过比较建 筑物不同部位的高度差和水平距 离，可以判断建筑物是否存在倾
斜或变形等问题。
航海领域应用
01
测定海上目标距离
多源数据融合提高测量精度
利用多传感器融合技术，结合相似三角形测高算法，可以 从多个角度获取测量数据，进一步提高测量精度和稳定性 。
拓展至三维空间测量
目前相似三角形测高主要应用于二维空间的测量，未来可 以将其拓展至三维空间，实现更复杂场景下的高度测量。
对个人能力提升意义
提高了分析问题和解决问题的能力
THANKS
感谢观看
注意事项
01
确保测量工具的精度和 稳定性，以减小误差。
02
在进行测量前，对测量 工具进行校准和检查。
03
选择合适的天气和时间 进行测量，避免大气折 射等因素对测量结果的 影响。
04
在计算过程中，注意单 位统一和数值准确性。
03 实际应用举例
建筑行业应用
测量建筑物高度
利用相似三角形的性质，通过测 量建筑物底部到顶部的距离和建 筑物与观测点之间的水平距离，
利用相似三角形测高的三种方法
利用相似三角形测高的三种方法方法一：影子测量法影子测量法是一种利用日光的投影效果来测量高度的方法。
这种方法需要在测量地点及其附近的已知高度点上安装标杆，然后利用地面上的标记点和标杆上的影子来确定两个相似三角形。
当太阳光照射到地面上时，标杆上的影子会呈现出一个固定的长度。
通过测量该影子的长度和标杆顶部到标记点的距离，可以得出两个相似三角形的对应边长比。
然后，通过比例关系计算出未知高度点的高度。
方法二：测角法测角法是一种利用三角形的内角关系来测量高度的方法。
这种方法需要使用测角仪或经纬仪等仪器来测量两个角度，分别是测量点和未知高度点的水平角度和仰角。
然后，利用三角形的内角和为180度的性质，可以计算出其余的角度。
根据相似三角形的性质，可以得出两个相似三角形的边长比。
最后，通过比例关系计算出未知高度点的高度。
方法三：测距法测距法是一种利用距离和角度来测量高度的方法。
这种方法需要使用测距仪或测距仪等仪器来测量测量点与未知高度点之间的水平距离。
然后，使用同一台仪器测量测量点和未知高度点之间的仰角。
根据三角形的正弦定理，可以计算出未知高度点和测量点之间的垂直距离。
最后，通过测量点的高度和垂直距离，可以计算出未知高度点的高度。
在实际应用中，这些方法都需要注意一些因素，如仪器的精度、光线的影响和地形的变化等。
此外，需要选择合适的方法来适应不同的场景和需求。
因此，使用这些方法时应根据实际情况选择最合适的方法，并进行正确的计算和测量，以保证测量结果的准确性。
利用相似三角形测高(知识讲解)数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题4.22 利用相似三角形测高（知识讲解）【学习目标】1、理解并掌握用不同方法构造相似三角形测高的原理2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，掌握把实际问题抽象为数学问题方法.【要点梳理】测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.特别说明：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.特别说明：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、利用相似三角形测高1．已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时，（如图1）点B离地高1.5米；当AB的另一端点B碰到地面时，（如图2）点A离地高1米，求跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为多少米？【答案】跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离为0.6米．【分析】过点B 作BN ⊥AH 于点N ，AM ⊥BH 于点M ，直接利用相似三角形的判定与性质分别得出OH AO BN AB=，OH BO AM AB =，即可得出答案． 解：如图所示：过点B 作BN ⊥AH 于点N ，AM ⊥BH 于点M ，可得HO ∥BN ，则△AOH ∽△ABN ， 故OH AO BN AB=， ∵AB 长为3米，BN 长为1.5米， ∴1.53OH AO =， ∴2OH OA =同理可得：△BOH ∽△BAM ， 则OH BO AM AB=， ∵AB 长为3米，AM 长为1米， ∴313OH AO -=，即3213OH OH -= ∴OH ＝0.6，答：跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离为0.6米．【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式，建立方程是解题关键．【变式1】李师傅用镜子测量一棵古树的高，但树旁有一条小河，不便测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次把镜子放在C 点（如图所示），人在F 点正好在镜中看到树尖A ；第二次他把镜子放在C '处，人在F '处正好看到树尖A ．已知李师傅眼睛距地面的高度为1.7m ，量得CC '为12m ，CF 为1.8m ，C F ''为3.84m ，求树高．【答案】这棵古树的高为10m【分析】根据反射定律可以推出∠ACB ＝∠ECF ，∠AC′B ＝∠E′C′F′，所以可得∠BAC∠∠FEC 、∠AC′B∠∠E′C′F′，再根据相似三角形的性质解答．解：根据反射定律可以推出∠ACB ＝∠ECF ，∠AC′B ＝∠E′C′F′，∠∠BAC∠∠FEC 、∠AC′B∠∠E′C′F′，设AB ＝x ，BC ＝y ∠ 1.7 1.8=1.7 3.8412x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩解得1018017x y =⎧⎪⎨=⎪⎩． ∠这棵古树的高为10m ．【点拨】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．【变式2】如图，小明同学为了测量路灯OP 的高度，先将长2m 的竹竿竖直立在水平地面上的B 处，测得竹竿的影长3m BE =，然后将竹竿向远离路灯的方向移动5m 到D 处，即5m BD =，测得竹竿的影长5m DF =（AB 、CD 为竹竿）．求路灯OP 的高度．【答案】路灯OP 的高度为7m【分析】先根据AB ∠OF ，CD ∠OP 可知△EAB ∠∠EPO ，同理可得△FCD ∠∠FPO ，再由相似三角形的对应边成比例即可得出OP 的值．解：由已知得，2AB CD ==m ，3BE =m ，5BD =m ，5DF =m ，90POE ABE CDF ∠=∠=∠=︒，AEB PEO ∠=∠，CFD PFO ∠=∠，∠在EAB ∆和EPO ∆中，AEB PEO ABE POE ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∠EAB ∆∠EPO ∆ ∠AB OP BE OE =，即233OP OB =+， ∠263OB OP +=，在FCD ∆和FPO ∆中CFD PFO CDF POF∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∠FCD ∆∠FPO ∆， ∠CD OP DF OF =，即2510OP OB =+， ∠2205OB OP +=，∠263OB OP +=，2205OB OP +=，∠7.5OB =，7OP =，即路灯OP 的高度为7m ．【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．【变式3】 在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB =2米，它的影子BC =1.6米，木杆PQ 的影子有一部分落在墙上，PM =1.2米，MN =0.8米，求木杆PQ 的长度．【答案】2.3米【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD 的影长，再根据此影长列出比例式即可解：如图，过点N 作ND ∠PQ 于D ，则DN =PM ，∠∠ABC ∠∠QDN ，AB QD BC DN∴=． ∠AB =2米，BC =1.6米，PM =1.2米，NM =0.8米， 2 1.21.6AB DN QD BC ⨯===1.5（米）， ∠PQ =QD +DP =QD +NM =1.5+0.8=2.3（米）．答：木杆PQ 的长度为2.3米．【点拨】此题考查相似三角形的应用和平行投影，解题关键在于掌握相似三角形的性质.【变式4】 某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网上从有关部门查得左侧路灯（AB ）的高度为4.8米，右侧路灯（CD ）的高度为6.4米，两路灯之间的距离（BD ）为12米，已知小明的身高（EF ）为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），测量相关数据．(1)若小明站在人行横道的中央（点F 是BD 的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP ＝ 米，FQ ＝ 米；(2)小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP ＝FQ ），请问时小明站在什么位置，为什么？【答案】(1)3，2(2)离B 地24m 5（或离D 地36m 5），理由见分析 【分析】（1）通过证明CDQ EFQ ，ABP EFP ，再根据相似三角形的性质进行求解即可；（2）由（1）得，EF QF CD QD =，EF PF AB BP=，设FP FQ x ==，可求出512BD x ==，求出x 的值，即可求解． (1)解：由题意得，,CDQ EFQ CQD EQF ∠=∠∠=∠，CDQ EFQ ∴，EF QF CD QD∴=， 4.8, 6.4,12, 1.6AB CD BD EF ====，点F 是BD 的中点，6BF DF ∴==，1.66.46QF QF∴=+， 解得2QF =；,ABP EFP APB EPF ∠=∠∠=∠，ABPEFP ∴， EF PF AB BP∴= 4.8, 6.4,12, 1.6AB CD BD EF ====，点F 是BD 的中点，6BF ∴=，1.64.86PF PF∴=+， 解得3PF =；故答案为：3；2；(2)小明站在离B 点245米处的位置，理由如下： 由（1）得，EF QF CD QD =，EF PF AB BP=， 4.8, 6.4,12, 1.6AB CD BD EF ====，设FP FQ x ==，1.6 1.6,6.4 4.8x x QD BP∴==， 4,3QD x BP x ∴==，,2BQ x DP x ∴==，512BD x ∴==， 解得125x =， 2425BF x ∴==，所以，小明站在离B点245米处的位置．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．类型二、利用相似三角形测距离2．综合与实践某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在旗杆底部所在的平面上，放置一个平面镜E．来测量学校旗杆的高度，当镜子中心与旗杆的距离20EB=米，镜子中心与测量者的距离2ED=米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆的顶端点A．已知测量者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米，求学校旗杆的高度是多少米．任务一：在计算过程中C，D之间的距离应该是米．任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校旗杆AB的高度．任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用测量者在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，请你再备用图中画出该方案的示意图，并说明必要的已知条件．【答案】任务一：1.5；任务二：学校旗杆的高度是15米；任务三：如图见分析，点A，M，F三点共线，已知测量者的身高MN，影长FN，旗杆的影长FB即可求得旗杆AB的高度【分析】（1）C，D之间的距离应是测量者的眼睛距离地面的距离，即可作答；（2）因为入射光线和反射光线与镜面夹角相等，所以△CDE∠∠ABE，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可；（3）点A，M，F三点共线，已知测量者的身高MN，影长FN，旗杆的影长FB，即可求得旗杆AB的高度．解：任务一：C，D之间的距离应是测量者的眼睛距离地面的距离，即为1.5米，故答案为：1.5；任务二：由已知，∠DEC=∠BEA，∠CDE=∠ABE=90°，∴△CDE∠∠ABE，CD DEAB BE∴=，1.5220AB∴=，∴AB=15，所以，学校旗杆的高度是15米；任务三：如图所示，点A，M，F三点共线，已知测量者的身高MN，影长FN，旗杆的影长FB，即可求得旗杆AB的高度．【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质，解题关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．【变式1】为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：∠镜子；∠皮尺；∠长为2m的标杆；∠高为1.5m的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：(1)在你设计的方案中，选用的测量工具是___；（用工具序号填写）(2)在下图中画出你的测量方案示意图；(3)你需要测量示意图中的哪些数据，并用a，b，c，α，β等字母表示测得的数据；(4)写出求树高的算式：AB＝___m．（用a，b，c，α，β等字母表示）【答案】(1)∠∠(2)见分析(3)EA（镜子离树的距离）＝am，EC（人离镜子的距离）＝bm，DC（目高）＝cm(4)ac b【分析】此题要求学生根据题意，自己设计方案，答案不唯一；可借助相似三角形的对应边成比例的性质进行设计测量方法，先测得CE，EA与CD的大小，根据相似三角形的性质；可得：CE DCEA AB=；即AB=acb．(1)解：∠∠；(2)解：测量方案示意图；(3)解：EA（镜子离树的距离）＝amEC（人离镜子的距离）＝bm，DC（目高）＝cm；(4)解：根据相似三角形的性质；可得：CE DC EA AB=；即AB=acb．【点拨】本题考查相似三角形的应用，构造相似三角形，借助相似三角形的性质解决问题．【变式2】枣庄某学校九年级一班进行课外实践活动，王嘉同学想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，王嘉边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得王嘉落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知王嘉的身高EF是1.7m，请你帮王嘉求出楼高AB．【答案】26.2米【分析】过点D作DN∠AB，垂足为N．交EF于M点，由四边形CDME、ACDN是矩形，得AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），得MF＝EF﹣ME＝1.7﹣1.2＝0.5（m），依题意知，EF∠AB，则△DFM∠∠DBN，DM MFDN BN=解得BN＝25（m），即可AB＝BN+AN＝25+1.2＝26.2（m）．解：过点D作DN∠AB，垂足为N．交EF于M点，∠四边形CDME、ACDN是矩形，∠AN＝ME＝CD＝1.2（m），DN＝AC＝30（m），DM＝CE＝0.6（m），∠MF＝EF﹣ME＝1.7﹣1.2＝0.5（m），∠依题意知，EF∠AB，∠∠DFM∠∠DBN，∠DM MF DN BN=，即：0.60.5 30BN=，∠BN＝25（m），∠AB＝BN+AN＝25+1.2＝26.2（m）．答：楼高为26.2m．【点拨】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．【变式3】在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的两名同学选择了测量学校里的两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作；小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．(1)在横线上直接填写甲树的高度为_____________米；(2)画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度．【答案】(1) 5.1 (2) 4.2米【分析】（1）根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用比例式直接得出树高； （2）根据辅助线作法得出假设没有墙时影子长度，即可求出答案．(1)解：根据题意得：10.8 4.08=x 解得： 5.1x =（米），故答案为：5.1．(2)解：假设AB 是乙树，∠ 2.4BC =（米） 1.2CD =（米） ∠10.8=CD CE ， ∠1.210.8=CE ， ∠0.96CE =（米）， ∠10.8 2.40.96=+AB ， ∠ 4.2AB =（米），答：乙树的高度为4.2米．【点拨】本题主要考查了相似三角形的应用，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙时求出影长是解决问题的关键．。
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A
AC BC A 'C ' B 'C '
B
3m
C
1.8m
A'
求得 A'C'=54m
1.8 3 A ' C ' 90
B'
90m
?
C'
答：这栋高楼的高度是54m.
2. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落 在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.（设网 球是直线运动） 2.4m
抢答
探究：怎样测量旗杆的高度?
4.6利用相似三角形测高
学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？ 你有什么办法测量？
E
D
A
B
C
E
B
D
C A F
E
D
A
B
C
例：数学兴趣小组测校内一旗杆，有以下三种方法： 方法一：利用阳光下的影子。
例：数学兴趣小组测校内一旗杆高，有以下三种方法： 方法二：利用标杆 把长为CD的标杆直立在地面上，量出旗杆的影长为 EB，标杆影长为。
C
E A D
？ ┏ B
3、如图，有一路灯杆AB(底部B不能直接到达)，在灯光下，小 明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得 自己得影长FG＝4m，如果小明得身高为1.6m，求路灯杆AB的高 度。
A
C
E
B
D
F
G
ห้องสมุดไป่ตู้
4.如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现 他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再步行 12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部， 已知小华的身高是1.60m，两个路灯的高度都是9.6m，设AP =x(m)。 (1)求两路灯之间的距离； (2)当小华走到路灯B时，他在路灯下的影子是多少？
C
D
A
P
Q
B
惜时专心苦读是做学问的一个好方法。
请你自己写出求解过程，并与同伴探讨，还有其他测量旗 杆高的方法吗？
C
A
F
D
E
B
例：数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下三种方法：
方法三：如图，把镜子放在离旗杆（AB）点E处，然 后沿着直线BE后退到D，这时恰好在镜子里看到秆顶点 A，再用皮尺量得DE，观察者目高CD；
A C
3 4 2
1
D
E
B
知识要点
测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度，通 常用“在同一时刻物高与影长成正比例” 的原理解决。 物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长
四、相似三角形的应用的主要图形
课堂小结:
随堂练习
1.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m， 同时测得一栋高楼的影长为90m，这栋高楼的高度是 多少？